高三数学-2018年北京市海淀区三模试题-数学 精品

海淀区高三年级第二学期适应性练习数 学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集I 是实数集R. M=}112|{}4|{2≥-=>x x N x x 与都是I 的子集（如图所示， 则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}2．已知x ,y 为正实数，且x ，a 1, a 2,y 成等差数列，x , b 1, b 2, y 成等比数列，那么21221)(b b a a ⋅+的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．),4[+∞C ．]4,0(D ．[2，4]3．（理科）圆锥曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （其中参数t ∈R ）的准线方程是（ ）A ．x =－1B ．x =1C ．x =－2D ．x =0 （文科）直线3x +4y －7=0与直线6x +8y+3=0之间的距离是（ ）A ．54 B ．2 C ．1017 D ．5174．已知)2(,32)(,12cos 1cos sin αββαααα--=-=-⋅tg tg 则等于 （ ）A ．－47 B ．－81 C ．81D ．74 5．已知a ,b,c 为三条不同的直线，且a ⊂平面a ，b ⊂平面β，α∩β=c ①若a 与b 是异面直线，则c 至少与a ，b 中的一条相交. ②若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直.③若a //b ，则必有a //c④若a ⊥b ，a ⊥c 则必有α⊥βA ．②③④B ．①③C ．①④D ．②③6．已知集合A={1，2，3，4，5，6}，若a ∈A ，b ∈A ，则离心率互不相同的椭圆12222=+by a x 的个数为（ ）A ．15B ．13C ．12D ．117．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个 焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距 为2c(a >c>0)，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹 后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ）A ．2(a －c)B ．2(a +c)C ．4aD ．以上答案均有可能8．已知函数f (x )=a |x |(a >0且a ≠1)，f (a )<1设)]([),2(log ),(a f f s af n a f m a==-=则（ ） A ．n<s<m B ．m<s<n C ．s<m<n D ．n<m<s 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在复平面内，点A 、B 对应的复数分别为z 1=3+2i 及z 2=7－4i 则向量对应的复数为 ；线段AB 的中点M 对应的复数为 .10．已知等比数列{a n }中，a 1+a 2=3，a 3+a 4=6则a 9+a 10= ；a 11+a 12+a 13+a 14= .11．设函数f (x )=)]2([)1(log )1(22f f x xx x 则⎪⎩⎪⎨⎧>≤= ;不等式f (x )>1的解集为 . 12．将函数12)(-+=x x x f 的反函数的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位之后，得到函数g(x )的图象，则g(1)+3·g(3)+5·g(5)+7·g(7)+9·g(9)的值等于 。

. 13．如图△ABC 是一个等边三角形遮阳棚，A ，B 为南北方向上两个定点，AB=2米， 正东方向射出的太阳光与地面成40°角. 为了使遮荫面△ABD 的面积最大，遮阳棚 △ABC 与地面所成有的大小应为 度；最大遮荫面积为 平方米. 14．如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中间4个点在某个圆内，其余12个点在圆外. 在16个点中任选3个点构成三角形，其中恰有两个顶点在圆内的三角形有 个； 至少有一个顶点在圆内的三角形有 个.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ,b,c.已知a +c=10,∠C=2∠A ，cosA=43 （I ）求ac的值； （II ）求b 的值.16．（本小题满分14分）已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值.17．（本小题满分16分）如图所示，K1K3B2B1是正方形纸片，A是B1B2的中点，C1、K2、D依次为K1K3的四等分点.沿虚线折叠使得B1K1与B2K3粘合，AB1与AB2粘合，CK1与CK2粘合，DK3与DK2粘合.（即K1、K2、K3重合于K点，B1、B2重合于B点）形成一个四面体ABCD.（I）求证AB⊥CD（II试求AD与平面BCD所成角的正弦值.18．（本小题满分12分）该市付煤气费的方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费.如果每月用气量不超过最低额度a立方米时，只付基本费3元和每户每月额定保险费c元；如果每月用气量超过最低额度a 立方米时，超过部分应按b元/立方米的标准付费.并知道保险费c不超过5元（a,b,c>0）.试根据以上提供的资料确定a,b,c的值.19．（本小题满分12分）设抛物线y2=2p x(p>0)的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.又M是其准线上一点.试证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列.20．（本小题满分14分）已知函数f (x )的定义域为R （实数集），且对于任意实数x , y 总有f (x +y)=f (x )·f (y)成立. （I ）试说明函数y=f (x )的图象必通过（0，0）点，或通过（0，1）点； （II ）若存在x 0∈R 使得f (x 0)≠0，试证对于任意x ∈R, f (x )>0总成立； （III ）（理科）若.1)(,]1,0(>∈x f x 时试判断f (x )的单调性，并证明你的结论. （文科）证明 ),2,1()]([)( ==n x f nx f n海淀区高三年级第二学期适应性练习数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分）9．4－6i ; 5－i 10．48; 288 11．2; {x |0<x ≤1或x >2}12．15 13．50°；50cos 314．60；312 三、解答题（共80分） 15．（本小题满分12分）（I ）解 在△ABC 中，AA A R C R a c sin 2sin sin 2sin 2==……………………………………2分 =AAA sin cos sin 2⋅…………………………………………4分=23432cos 2=⨯=A ……………………………………6分（II ）解 依a +c=10及6,423===c a a c 可得……………………………………8分又依余弦定理：432cos 222=-+=bc a c b A ……………………………………10分 化简得b 2 －9b+20=0 b=4或5注意到当b=4时，不符合题意，舍去. 故只取b=5…………………………12分 16．（本小题满分14分）（I ）解 依a 1=5可知：a 2=23, a 3=95 ………………………………………………2分 （II ）解 设.3n nn b a =+λ若{b n }是等差数列，则有2b 2=b 1+b 3……………………4分即331223332λλλ+++=+⨯a a a ………………………………………………6分)95(271)5(31)23(92λλλ+++=+ 得21-=λ…………………………………………………………………………10分事实上，1]1)13[(31]1)3[(313213211111111=+-=+-=---=-+++++++n n nn n n n n n n n a a a a b b 因此，存在23}3{,21成为首项是可使n n a λλ+-=、公差是1的等差数列.……14分 17．（本小题满分16分）（I ）证明 依原因形中关系可知：⇒⎭⎬⎫⊥⊥CD BK CD AK CD ⊥平面ABK ………………4分又AB ⊂平面ABK 故AB ⊥CD ……………6分 （II ）解 由（I ）可知平面CDB ⊥平面ABK ，交线为BK ，过A 作AH ⊥BK 于H ，则AH ⊥平面BCD …………8分连结DH ，则∠ADH 是AD 与平面BCD 所成角………………………………10分 设原正方形K 1K 3B 2B 1的边长为4a .则AK=BK=4a , AB=2a , AD=a 17………………………………………………12分 取AB 的中点M ，则KM ⊥AB ，AM=BM=a KM=a 15在△ABK 中，AH=a a a a BK KM AB 2154152=⋅=⋅…………………………14分在直角△ADH 中：3425517215)sin(===∠aaAD AH ADH …………………16分 即AD 与平面BCD 所成角的正弦值为34255. 18．（本小题满分12分）解 设每月的用气量为x 立方米，支付费用为y 元.依题意得：⎩⎨⎧>+-⋅+≤≤+=(*))(303a x c a x b a x cy ……………………………2分由于0<c ≤5，可知3+c ≤8.………………………………………………………4分依表中可知第二、三月份的费用均大于8，故第二、三月份的用气量为25立方米、35立六米均应大于最低额度a . 因此可将x =25 及35分别代入（*）式得：⎩⎨⎧+-+=+-+=ca b c a b )35(319)25(314……………………………………………………7分解得 c a b 23,21+==………………………………………………………………8分 又由于 将c c x ++-+==)]23(4[2134:(*)4式代入 使得该方程无解，可以推得a ≥4，此时付款方式应为y =3+c即 3+c=4 故c=1……………………………………………………………………11分 立即有a =5…………………………………………………………………………………12分 因此有.1,21,5===c b a 19．（本小题满分12分）证明 依题意直线MA 、MB 、MF 的斜率显然存在，并分别设为k 1，k 2，k 3 点A 、B 、M 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(－2p ,m) 由“AB 过点F(2p ，0)”得l AB ：x =ty+2p ……………………………………2分 将上式代入抛物线y 2=2p x 中得：y 2－2pty －p 2=0 可知y 1·y 2=－p 2………4分 又依“y 12=2p x 1及y 22=2p x 2”可知分因此分分102)()(2)()(2228)(2222226)(2122222112212211222112122121214222221211 p m p y p m y p y p y p m y p p x m y p x m y k k p y y p p py p p p y p x p y pp p y p x -=+--++-=+-++-=++=+=+=++=+=+ 而p m p p m k -=---=)2(203……………………………………………………12分 故k 1+k 2=2k 3即 直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列.20．（本小题满分14分）（I ）解 在f (x +y)=f (x )·f (y)中 令x =y=0…………理科1分，文科2分则f (0)=f (0)·f (0)得f (0)=0或f (0)=1……………………………………理科3分，文科5分即函数y= f (x )的图象通过（0，0）点或通过（0，1）点.（II ）证明 对于任意实数x ,可知0)]2([)2()2()22()(2≥=⋅=+=x f x f x f x x f x f （*）…………理科5分，文科7分 另外，0)()(])[()(000≠⋅-=+-=x f x x f x x x f x f可知 f (x )≠0 （**）……………………………………………理科7分，文科9分 由（*）、（**）可以推得：对于任意x ∈R ，总有f (x )>0成立.（III ）证明 首先证明f (nx )=[f (x )]n (n=1,2,…)当n=1时，显然f (x )= f (x )成立.………………………………理科8分，文科11分 假设n=k (k ≥1)时命题成立，即f (kx )=[f (x )]k那么当n=k+1时f [(k+1)x ]=f (k x +x )=f (kx )·f (x )=[f (x )]k ·f (x )=[f (x )]k+1综上可知，对于任意自然数n ，总有f (nx )=[f (x )]n 成立…………理科10分，文科14分 不难发现：对于任意x >0，总可以找到自然数N ，使得0<x <N ，]1)([)()()()()(])[()()(.0)()(,1)(]1,0(121)]([)()(,0,.1)]([,1)(.10121111211121221>--⋅=-⋅-=-+-=-<>∈>∈>=⋅=>>><<x x f x f x f x f x x f x f x x x f x f x f x x x f R x II x f x Nx f N x N f x f x Nx f N x f Nx N N 研究任意取有可知对则由时又因为分理科对任意于是则可以推出即 这是因为由x 2－x 1>0可得)(12x x f ->1且f (x 1)>0的缘故.因此可知f (x )是R 上的单调增函数.………………………………理科14分（囿于篇幅，若有其它正确解法请按相应步骤给分.）。