高中数学必修四 角度制 三角函数关系及诱导公式讲解

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

A

90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A

7、正切、余切的增减性：

一、任意角的三角函数的定义： 设

α是

任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，

那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r

x

α=()0x ≠，

()csc 0r

y y

α=

≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.

有向线段OM 为余弦线

有向线段AT 为正切线

比较)2

,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：

三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 四、一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

两个技巧

(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．

(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．

(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．

(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

（3）α与2

α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四确定”.

若α是第一象限，则2α

是第一、三象限角；

若α是第二象限，则2α

是第一、三象限角；

若α是第三象限角，则2α

是第二、四象限；

若α是第四象限角，则2

α

是第二、四象限。

五. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

（3）商数关系：sin cos tan ,cot αα

αα==

同角三角函数的基本关系式理解

（1）平方关系：1cos sin 22=+αα用于相同角正弦和余弦之间的互相转化，开方时要注意由角的象限确定正负，必要时需要讨论。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号 （2）

αα

α

tan cos sin =用于弦和切互化

（3）巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，

15，17）；

(4)求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）最后确定角的大小。

六、三角函数诱导公式（1）（2

k

πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），

符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）. 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；②转化为锐角三角函数（“去负——脱周——化锐”） （2）根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是

1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-；

2K π±α,-α,2

π

±α,π±α,23π±α的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 α的

三角函数

作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即

利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o ,360o )或[0o ,180o )内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

记忆口诀：2

k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。

()()1sin 2sin k παα+=， ()cos 2cos k παα+=， ()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-， ()t a n t a n παα

+=． ()()4sin sin παα-=， ()c o s c o s παα-=-， ()t a n t a n παα-=-． ()()3sin sin αα-=-， ()c o s c o s αα-=

， ()t a n t a

n αα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα⎛⎫-=

⎪⎝⎭， c o s s i n 2παα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

． ()6sin cos 2π

αα⎛⎫+=

⎪⎝⎭， c o s s i n 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

．

：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以

讨论。

②求任意角的三角函数值。 步骤：

③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤：①确定角α所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角1α；如函数值为负，先求出与其绝对值对

应的锐角1α；

③根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限，则它是1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

公式二、 四、五、 六、七、 八、九

考向一 角的集合表示及象限角的判定

【例1】►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；

(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ

3角的终边相同的角； (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α

2所在的象限． [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． 解 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π

3， ∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫α⎪

⎪⎪

α＝π

3＋k π，k ∈Z

. (2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π

3(k ∈Z )． 依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜18

7，k ∈Z .

∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π

21. (3)∵α是第二象限角，

∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .

∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，

当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°； 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，

m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°； ∴α

2为第一或第三象限角．

(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，

它们之间相差360°的整数倍．

(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为

⎩⎨⎧⎭

⎬

⎫

x ⎪

⎪⎪

x ＝2k π－

π2，k ∈Z ，也可以表示为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪

⎪⎪

x ＝2k π＋3π

2，k ∈Z .

（3）α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α

是

第_____象限角

【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )

解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )． 答案 D

考向二 三角函数的定义

【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝2

4 m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．

[审题视点] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r ＝3＋m 2

，∴m 3＋m 2＝2

4

m ，∵m ≠0，

∴m ＝±5，

故角θ是第二或第三象限角．

当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－6

4，

tan θ＝y x ＝5－3

＝－15

3.

当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3

＝15

3.

任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若

角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45

解析 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±5

5，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－3

5. 答案 B

考向三 弧度制的应用

【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .

[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；

(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积． 解 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π

3. (2)由(1)可知α＝π

3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π

3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，

而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝503

2，

∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3－32.

弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，

用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 解 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40，

S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫

2022＝100.

当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.

∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．

考向四 三角函数线及其应用

【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－1

2.

[审题视点] 作出满足sin α＝32，cos α＝－1

2的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解

(1)作直线y ＝3

2交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫α⎪⎪⎪

2k π＋π3≤α≤2k π＋2

3π，k ∈Z

.

(2)作直线x ＝－1

2交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α⎪

⎪⎪

2k π＋23π

≤α≤2k π＋4

3π，k ∈Z .

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：

(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围；

(3)求交集，找单位圆中公共的部分；

(4)写出角的表达式．

【训练4】 求下列函数的定义域：

(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．

解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.

由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

∴定义域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵3－4sin 2x ＞0，

∴sin 2x ＜34， ∴－32＜sin x ＜32.

利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，

∴定义域为⎝ ⎛⎭

⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．

规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值

【问题研究】 三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，

y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝y r 、cos α＝x r 、tan α＝y x

分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．

【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；

然后对于含参数问题要注意分类讨论．

【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos

α＝

3

6

x，求sin α、tan α的值．

只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．

[解答示范] ∵P(x，－2)(x≠0)，

∴P到原点的距离r＝x2＋2，(2分)

又cos α＝

3

6x，

∴cos α＝

x

x2＋2

＝

3

6x，

∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝2 3.(6分)

当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，

由三角函数定义，有sin α＝－

6

6，tan α＝－

5

5；(9分)

当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，

∴sin α＝－

6

6，tan α＝

5

5.(12分)

当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．

【试一试】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋4

5tan α.

[尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝5，则sin α＝－3

5，cos α＝

4

5，tan α

＝－3 4，

故sin α＋cos α＋4

5tan α＝－

3

5＋

4

5＋

4

5×⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

3

4

＝－25；

取直线3x ＋4y ＝0上的点P 2(－4,3)，

则sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.

故sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－34＝－45. 综上，sin α＋cos α＋45tan α的值为－25或－45.