导数研究函数的单调性

导数研究函数的单调性

用导数证明、划分函数的单调性是导数最基本的应用，其他性质如极值，最值都必须用到单调性，它比用单调性的定义证明简单。

一、利用导数求函数的单调区间

例1、研究函数ax x y +=3的单调性

解：因为ax x y +=3，所以a x y +=23'，a>0时，0'>>a y ，函数在),(+∞-∞上是增函数；

a=0时，3x y =在),(+∞-∞上增函数；

a<0时，设)3

')(3'(3'3','2a x a x a x y a a -+=-=-=， 当3'a x -<或3

'a x >时，函数是增函数；当3'3'a x a <<-时，函数是减函数， 所以ax x y +=3，这时有三个区间。

二、利用导数比较大小

例2、已知a ，b 为实数，且b>a>e ，其中e 为自然数对数的底，求证：a b b a >.

分析：通过考察函数的单调性来证明不等式也是常用的一种方法。根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导好判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)('>x F ，则函数F （x ）在（a ，b ）上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即).()(x g x f >

三、根据单调性求参数

例3、已知1)(--=ax e x f x

。

（1）求f （x ）的单调区间；

（2）若f （x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；

（3）是否存在a ，使f （x ）在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

分析：函数的增区间是0)('≥x f 恒成立的区间，函数的减区间是0)('≤x f 恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。

解：（1）因为1)(--=ax e x f x ，所以a e x f x -=)('，令0)('≥x f ，得a e x ≥， 当0≤a 时，有0)('>x f 在R 上恒成立；当a>0时，有a x ln ≥，

综上情况，当0≤a 时，f （x ）的单调增区间为R ，当a<0时，f （x ）的单调增区间为).,[ln +∞a

（2）因为1)(--=ax e x f x ，所以a e x f x -=)('，因为f （x ）在R 上单调递增，所以0)('≥-=a e x f x （等号只能在有限个点取得）恒成立，即R x e a x ∈≤,恒成立，所以R x ∈时，),0(+∞∈x e ，所以0≤a .

（3）由已知f （x ）在]0,(-∞上单调递减，在区间),0[+∞上单调递增，可知f （0）是f （x ）的极值，所以0)0('0=-=a e f ，所以a=1，所以存在a=1满足条件。

点评：利用导数研究函数的单调性时，应注意在（a ，b ）内0)('>x f （或0)('