北航运筹学(最优化方法)第二章 线性规划的基本理论与方法
合集下载
运筹学2 线性规划I
?????????????0??????????x?x?取值无约束321321321321321063244239232minxxxxxxxxxxxxxz03???x??????????3?3?1???3??3x???1????3??3???1????3x??3???1????3?x?3???1??06332442239200332max54225242542xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzzz??11?xx??33?3x??xx??令03??x其中并按上述规则该问题的标准形式为
厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 20%可以自然净化。 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根 据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂 据环保要求， .2%。 都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本 都需各自处理一部分工业污水。
3 3 是 1000 元/万 m ， 第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m 。 3 3
例1：（产品组合问题） ：（产品组合问题） 产品组合问题
某厂利用A 两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下： 某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产 品消耗 原料 原料名称 产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（T/日 数量（T/日） 6 8
A B
千元/T /T） 产品售价 （千元/T）
设 x1, x2分别代表每粒胶丸 中甲、 中甲、乙两种原料的用量
例4、合理下料问题 、
长的钢筋， 用7.4m长的钢筋，分别截取 长的钢筋 分别截取2.9m、2.1m、1.5m各至少 、 、 各至少 100根，要求用料最少。 根 要求用料最少。
分别代表采用切割方案1~8所需 所需7.4米的 设 xj 分别代表采用切割方案 所需 米的 钢筋的数量。 钢筋的数量。
厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 20%可以自然净化。 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根 据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂 据环保要求， .2%。 都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本 都需各自处理一部分工业污水。
3 3 是 1000 元/万 m ， 第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m 。 3 3
例1：（产品组合问题） ：（产品组合问题） 产品组合问题
某厂利用A 两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下： 某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产 品消耗 原料 原料名称 产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（T/日 数量（T/日） 6 8
A B
千元/T /T） 产品售价 （千元/T）
设 x1, x2分别代表每粒胶丸 中甲、 中甲、乙两种原料的用量
例4、合理下料问题 、
长的钢筋， 用7.4m长的钢筋，分别截取 长的钢筋 分别截取2.9m、2.1m、1.5m各至少 、 、 各至少 100根，要求用料最少。 根 要求用料最少。
分别代表采用切割方案1~8所需 所需7.4米的 设 xj 分别代表采用切割方案 所需 米的 钢筋的数量。 钢筋的数量。
运筹学 第二章 线性规划课件
ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
运筹学基础-线性规划(方法)
问题描述
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
第二章 最优化-线性规划
D≠ F 时但目标函数无下界时,称线性规划(LP) 无界或无最优解; D≠ F 时若目标函数有下界,可以证明线性规 划(LP)必有最优解.
27Leabharlann 可行域为凸集定理2.2.1线性规划问题 min cTx (LP) s.t. Ax=b x≥0 的可行域D为凸集.
对任意的a ∈ [0,1],设 z=ax+(1-a)y,则z≥0,且 Az=A(ax+(1-a)y) =aAx+(1-a)Ay =ab+(1-a)b =b 证明 任取x,y ∈ D,则有 因此z ∈ D Ax=b,x≥0, Ay=b,y≥0 D为凸集.
15
凸函数的性质
2
1
0
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 16
凸函数的判断
定理2.1.1 设f(x)定义在凸集D Rn上,x,y∈D. 令F (t)=f (tx+(1-t)y), t ∈ [0,1],则 (i) f(x)是凸集D上的凸函数的充要条件是对任 意的x,y∈ D,一元函数F (t)为[0,1]上的凸函 数. (ii) f(x)是凸集D上的严格凸函数的充要条件是 对任意的x,y ∈ D(x≠y),一元函数F (t)为[0,1] 上的严格凸函数. 该定理的几何意义是:凸函数上任意两点之间 的部分是一段向下凸的弧线.
5
凸集的性质
(i)有限个(可以改成无限)凸集的交集为凸集. 即:若Dj(j ∈ J)是凸集,则它们的交集 D={x|x ∈ Dj,j ∈ J } 是凸集. (ii)设D是凸集,b是一实数,则下面集合是凸集 b D={y | y =b x, x ∈ D}.
6
凸集的性质
(iii)设D1,D2是凸集,则D1与D2的和集 D1+D2={y|y=x+z,x ∈ D1,z ∈ D2}是凸集. 注:和集与并集有很大的区别,凸集的并集未必 是凸集, 而凸集的和集是凸集. 例:D1={(x,0)T|x ∈ R}表示 x 轴上的点, D2={(0,y)T|y ∈R},表示 y 轴上的点. 则D1∪D2表示两个轴的所有点,它不是凸集; D1+D2=R2是凸集
27Leabharlann 可行域为凸集定理2.2.1线性规划问题 min cTx (LP) s.t. Ax=b x≥0 的可行域D为凸集.
对任意的a ∈ [0,1],设 z=ax+(1-a)y,则z≥0,且 Az=A(ax+(1-a)y) =aAx+(1-a)Ay =ab+(1-a)b =b 证明 任取x,y ∈ D,则有 因此z ∈ D Ax=b,x≥0, Ay=b,y≥0 D为凸集.
15
凸函数的性质
2
1
0
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 16
凸函数的判断
定理2.1.1 设f(x)定义在凸集D Rn上,x,y∈D. 令F (t)=f (tx+(1-t)y), t ∈ [0,1],则 (i) f(x)是凸集D上的凸函数的充要条件是对任 意的x,y∈ D,一元函数F (t)为[0,1]上的凸函 数. (ii) f(x)是凸集D上的严格凸函数的充要条件是 对任意的x,y ∈ D(x≠y),一元函数F (t)为[0,1] 上的严格凸函数. 该定理的几何意义是:凸函数上任意两点之间 的部分是一段向下凸的弧线.
5
凸集的性质
(i)有限个(可以改成无限)凸集的交集为凸集. 即:若Dj(j ∈ J)是凸集,则它们的交集 D={x|x ∈ Dj,j ∈ J } 是凸集. (ii)设D是凸集,b是一实数,则下面集合是凸集 b D={y | y =b x, x ∈ D}.
6
凸集的性质
(iii)设D1,D2是凸集,则D1与D2的和集 D1+D2={y|y=x+z,x ∈ D1,z ∈ D2}是凸集. 注:和集与并集有很大的区别,凸集的并集未必 是凸集, 而凸集的和集是凸集. 例:D1={(x,0)T|x ∈ R}表示 x 轴上的点, D2={(0,y)T|y ∈R},表示 y 轴上的点. 则D1∪D2表示两个轴的所有点,它不是凸集; D1+D2=R2是凸集
运筹学与最优化方法第2章
切线法（一维牛顿法） 设函数f(x)在(a,b)内有二阶连续导数
求解思路是：在初始探索点xk 处用泰勒展式作 f(x)的二次近似函 数g(x) ，再用 g(x) 的最小点作新的探索点。即
f ( x0 ) 令x0 a或b, x1 x0 为第1次探索点, , f ( x0 ) f ( xk ) xk 1 xk 为第k次探索点 f ( xk ) 则对给定的误差 ,当 f ( xk ) 时, 1 xk 1 xk f ( xk )
k
λk 1 2 3
ф′ (λk) 2 -3.5357 13.95
1／ф″(λk ) 1.1071 -1.2952 不收敛。 5 13.50
插值法： 用ф(λ)在2 或3 个点的函数值或导数值，构造2 次或 3次多项式作为ф(λ)的近似值，以这多项式的极小点 为新的迭代点。 3点2次，2点2次，4点3次，3点3次，2点3次等 以3点2次为例： 取λ 1，λ 2，λ3，求出ф(λ1)， ф(λ2)， ф(λ3)
x1 则把（2）代入上式得 若 x2
x1 a a (1 )(b a ) a (1 )(b a ) 2 (b a ) 5 1 2 2 (1 ) ,即 1 0 0.618 2
所以第 k 探索点的取法为
( x1 x2 ) g ( x3 ) ( x2 x3 ) g ( x1 ) ( x3 x1 ) g ( x2 ) ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
( x1 x2 ) g ( x3 ) ( x2 x3 ) g ( x1 ) ( x3 x1 ) g ( x2 ) ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
最优化方法 第二章线性规划的单纯形法
每周资源总量 160 15
定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。 数学模型为
m ax Z = 5 x 1 + 2 x 2
s.t. （subject to) (such that)
30x1 20x 2 160 5x1 x 2 15 x1 4 x 0, x 0 1 2
Z Z Z= ， 2 = （ 5 ，） x1 x 2
B( 2, 5) 5 5x1+2x2=5 ▽Z O 1 A 30x1+20x2=160
5
10
15
x1
图解法的几种可能结果
(1）有唯一最优解，如例1。 （2）有无穷多最优解 如例1中的目标函数设为 maxZ=10x1+2x2
工厂1 工厂2
500万m3
200万m3
12
决策变量：x1、x2——分别代表工厂1和工厂2处理 污水的数量(万m3)。
则目标函数：min z=1000x1+800x2 约束条件： 第一段河流（工厂1——工厂2之间）： (2－x1)/500 ≤0.2% 第二段河流：[ 0.8(2－x1) +(1.4－x2)]/700≤0.2% 此外有： x1≤2； x2≤1.4 化简有： min z=1000x1+800x2 x1 ≥1 0.8x1 + x2 ≥1.6 x1 ≤2 x2≤1.4 x1、x2≥0 称之为上述问题的数学模型。
3
佳林· 库普曼斯(1910年—1985年)，美国人 ，1910 年8月28日生于荷兰，1940年离开荷兰移居美国。1975 年，他和康托罗维奇同时获得诺贝尔经济学奖。线性规 划经济分析法的创立者。