运筹学与最优化方法(吴祈宗)第1章

四、运筹学模型的构造思路及评价 直接分析法 2. 类 比 方 法 3. 模 拟 方 法 4. 数 据 分 析 法 5. 试 验 分 析 法 6. 构 想 法 模型评价: 模型评价
1.
易于理解、易于探查错误、 易于理解、易于探查错误、易于计算等
优化模型的一般形式 Opt. f ( xi, yj, ξk ) s.t. gh ( xi, yj, ξk ) ≤ ( =, ≥ ) 0 h = 1,2, … ,m 其中： 为决策变量（可控制） 其中： xi 为决策变量（可控制） yj 为已知参数
f (x) = f (x*)+ ［∇f (x*+λ(x-x*))]T(x-x*)
Lagrange余项：对x,∃ µ ∈ (0,1) 记xµ=x*+ µ(x-x*) 余项： (0,1), 余项
f (x) = f (x*)+ ∇f T(x*)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T ∇2f (xµ )(x-x*)
2、多元函数及其导数
元函数的Taylor展开式及中值公式： Taylor展开式及中值公式 (4)n元函数的Taylor展开式及中值公式：
n
n 二阶可导。 设 f (x): R → R ，二阶可导。在x* 的邻域内 ):
T
一阶Taylor展开式： 一阶Taylor展开式： Taylor展开式
f (x) = f (x*)+ ∇f (x*)(x-x*) + o‖x-x*‖ ‖ ‖
规定： 规定：x , y ∈ R ，x ≤ y ⇔ xi ≤ yi ，∀i 类 似规定 x ≥ y，x = y，x < y , x > y . 一个有用的定理 n n 的线性子空间， ∈ 设 x∈R ，α∈R，L为R 的线性子空间， Ty ≤ α , ∀ y∈Rn 且 y ≥ 0， (1)若 (1)若 x ∈ ， 则 x ≤ 0，α ≥ 0 . ， Ty ≤ α , ∀ y ∈ L ⊆ R n ， (2)若 (2)若 x ⊥ n 特别, =0) 则 x ∈ L ，α ≥ 0 .(特别 L＝R 时,x =0 特别 定理的其他形式： 定理的其他形式：
二阶Taylor展开式： 二阶Taylor展开式： Taylor展开式
f (x) = f (x*)+ ∇f T(x*)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T ∇2f (x*)(x-x*) + o‖x-x*‖2 ‖ ‖
一阶中值公式： , (0,1), 一阶中值公式：对x,∃ λ ∈ (0,1) 使
二、运筹学的应用原则(6个) 运筹学的应用原则(6个
1) 2) 3) 4)
5)
合伙原则： 合伙原则：应善于同各有关人员合作 催化原则： 催化原则：善于引导人们改变一些常规看 法 互相渗透原则： 互相渗透原则：多部门彼此渗透地考虑 独立原则：不应受某些特殊情况所左右 独立原则：
宽容原则：思路宽、方法多， 宽容原则：思路宽、方法多，不局限在某一特定 方法上
1、向量和子空间投影定理
(3) 子空间：设 d 子空间： 记 L( d
(1)
(1)
,d
(2)
,…,d
(m) m
∈ R n, d
(j)
n
(k)
≠0
,d
(2)
,…,d
(m)
)={ j Σ )= x = =1 αj d
αj∈R }
为由向量d , d , … , d 生成的子空间，简记为L。 生成的子空间， 为由向量 n 正交子空间： 子空间， 正交子空间：设 L 为R 的子空间，其正交子空间为 L⊥＝{ x ∈ Rn xTy=0 , ∀ y ∈L } n n 子空间投影定理： 子空间。那么∀ 子空间投影定理：设 L 为R 的子空间。那么∀ z ∈R ， ⊥ ∃ 唯一 x ∈L , y ∈L , 使 z=x+y , 且 x 为问题 min ‖z - u‖ ‖ s.t. u ∈ L 的唯一解，最优值为‖ ‖ 的唯一解，最优值为‖y‖。 n ⊥ 特别， 特别， L ＝R 时，正交子空间 L ＝{ 0 }（零空间） （零空间）
ξk 为随机因素
f , gh 为（一般或广义）函数 一般或广义） 建模举例（ 建模举例（略）—— 自看
五、基本概念和符号
1、向量和子空间投影定理
维欧氏空间： n (1) n维欧氏空间：R n T 向量） (x 点（向量）：x ∈ R , x = ( 1 ,x2 ,…,xn) , 实数集) 分量 xi ∈ R (实数集) n 方向（自由向量） 方向（自由向量）：d ∈ R , d ≠ 0 d =( 1 ,d2 ,…,dn)T 表示从0指向 的方向 =(d 表示从0指向d , 实用中， 表示从x 点出发沿d 实用中，常用 x + λd 表示从 点出发沿 方向 移动λd 长度得到的点
一、什么是运筹学 为决策机构在对其控制下的业务活动进 行决策时， 行决策时，提供一门量化为基础的科学 方法。 方法。 或是一门应用科学， 或是一门应用科学，它广泛应用现有的 科学技术知识和数学方法，解决实际中 科学技术知识和数学方法， 提出的专门问题， 提出的专门问题，为决策者选择最优决 策提供定量依据。 策提供定量依据。 运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话，问题的结果会更坏。 否则的话，问题的结果会更坏。
第一章 运筹学思想与运筹学建模
运筹学—简称 运筹学 简称 OR （美）Operation`s Research （英）Operational Research “运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” 运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” 运筹于帷幄之中 三个来源：军事、管理、 三个来源：军事、管理、经济 三个组成部分： 三个组成部分： 运用分析理论、竞争理论、 运用分析理论、竞争理论、随机服务理论
第一章 其它基础知识 复习下列知识： 复习下列知识：
线性代数的有关概念： 线性代数的有关概念：向量与矩 阵的运算、 阵的运算、向量的线性相关和线 性无关，矩阵的秩，正定、 性无关，矩阵的秩，正定、半正 定矩阵，线性空间等； 定矩阵，线性空间等； 集合的有关概念：开集、闭集， 集合的有关概念：开集、闭集， 集合运算，内点、边界点等。 集合运算，内点、边界点等。
五、基本概念和符号（续） 基本概念和符号（
2、多元函数及其导数
二阶偏导数矩阵）： (3) Hesse 阵（二阶偏导数矩阵）： ∇ f (x)= )=
2
∂ 2f /∂x1 2 ∂ 2f /∂x1 ∂x2
… ∂ 2f /∂x1 ∂xn
∂ 2f /∂x2 ∂x1 … ∂ 2f /∂xn ∂x1 ∂ 2f /∂x22
n
五、基本概念和符号（续） 基本概念和符号（
2、多元函数及其导数
元函数： (1) n元函数：f (x): R → R ): 线性函数： 线性函数：f (x) = cTx + b = Σ ci xi + b 二次函数： 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b = (1/2)Σi Σj aij xi xj + Σ ci xi + b m 向量值线性函数： 向量值线性函数：F(x) = Ax + d ∈ R 矩阵， 为 维向量 其中 A为 m×n矩阵，d为m维向量 为 矩阵 T F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) ) 的第i行向量 记 aiT为A的第 行向量，fi(x) = aiTx+di 的第 行向量，
6)
平衡原则：考虑各种矛盾的平衡、 平衡原则：考虑各种矛盾的平衡、关系的 平衡
三、运筹学解决问题的工作步骤(7步) 运筹学解决问题的工作步骤(7步
提出问题：目标、约束、决策变量、 1 ）提出问题：目标、约束、决策变量、参数 建立模型：变量、参数、 2 ）建立模型：变量、参数、目标之间的关系 表示 模型求解： 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 解的检验：制定检验准则、 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与现实的 一致性 灵敏性分析： 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 解的实施： 6 ）解的实施：回到实践中 后评估： 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
(1)
(2)
(m)
五、基本概念和符号（续） 基本概念和符号（
“若 xTy ≤ α , ∀ y∈Rn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0，α ≥ 0 .” ∈ ， ， “若 xTy ≥ α , ∀ y∈Rn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0，α ≤ 0 .” 若 ∈ ， ， “若 xTy ≥ α , ∀ y∈Rn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0，α ≤ 0 .” 若 ∈ ， ， “若 xTy ≥ α , ∀ y ∈ L ⊆ Rn ， 则 x ∈ L⊥，α ≤ 0 .” 若
n
五、基本概念和符号（续） 基本概念和符号（
2、多元函数及其导数
梯度（一阶偏导数向量）： (2) 梯度（一阶偏导数向量）： T n ∇f (x)＝(∂ f /∂ x1 , ∂ f /∂ x2 , … , ∂ f /∂ xn ) ∈R . ) 线性函数： 线性函数：f (x) = cTx + b , ∇f (x) = c 二次函数： 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b ∇ f (x) = Qx + c m 向量值线性函数： 向量值线性函数：F(x) = Ax + d ∈ R ∂ F / ∂ x = AT
x y x+y
n n
n n 点列的收敛：设点列｛ 点列的收敛：设点列｛x(k)｝⊂ R , x ∈R 点列｛x(k)｝收敛到 x ，记 点列｛ lim x(k) = x ⇔k→∞ ‖x(k)- x‖ = 0 ⇔→∞ xi(k) = xi ,∀i lim‖ lim ‖ k→∞ k→∞ →∞ →∞
五、基本概念和符号（续） 基本概念和符号（