高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.3向量的数乘运算及其几何意义
当 (2)λa(a≠0)的方向 当
λ>0 时，与a方向相同 λ<0 时，与a方向相反 ；
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝ (λμ)a . (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa . (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb .
本 课 时 栏 目 开 关
果 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在一个实数 λ，使 b＝λa. 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问 题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组) 求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在． 例如，已知 e1，e2 是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－ 8e2，则 a 与 b 是否共线？
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
答
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
如果 λ＝0 或 μ＝0 或 a＝0，则①式显然成立； 如果 λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
本 |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， 课 时 栏 |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 目 开 故|λ(μa)|＝|(λμ)a|. 关
证明 → → 若 A、B、C 三点共线，则存在 λ∈R，使AC＝λAB.
→ → → → ∴OC－OA＝λ(OB－OA)， → → → ∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.
2.2.3
2.2.3
【学习要求】
向量数乘运算及其几何意义
本 1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 课 时 栏 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向 目 量运算． 开 关
3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用 这些知识处理有关共线向量问题．
2.2.3
所以 a 与 b 不共线．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
探究点四
三点共线的判定
→ 由共线向量定理可得， A， B， C 三点共线⇔存在 λ∈R， 使AC → ＝λAB.请你根据该结论证明下列常用推论：
本 课 时 栏 目 开 关
推论 1：已知 O 为平面 ABC 内任一点，若 A、B、C 三点共 → → → 线，则存在 α、β∈R，使OC＝αOA＋βOB，其中 α＋β＝1.
本 课 时 栏 目 开 关
Hale Waihona Puke 特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ； λ(a－b)＝ λa－λb . 3．共线向量定理 向量 a (a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa . ______ 4．向量的线性运算 向量的 加 、 减 、 数乘 运算统称为向量的线性运算，对于 任意向量 a、b，以及任意实数 λ、μ1、μ2，恒有 λμ2b λ(μ1a± μ2b)＝ λμ1a± .
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
(3)已知非零向量 a， 你能说明实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 的几何 意义吗？
本 答 λa 仍然是一个向量． 课 时 栏 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同； 目 开 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 关
当 λ＝0 时，λa＝0，方向任意． |λa|＝|λ|· |a|.
运算，如 λ＋a，λ－a 都是无意义的．还必须明确 λa 是一个向
的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共 线”问题.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
1．向量数乘运算
本 课 时 栏 目 开 关
实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ， 这种运算叫做向量的 数乘 ， 记作 λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ |λ||a| .
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
解
若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，使 a＝λb，
即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
本 课 所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0， 时 栏 目 3－6λ＝0， 开 因为 e1 与 e2 不共线，所以 所以 λ 不存在， 关 4＋8λ＝0，
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 向量数乘的运算律
2.2.3
根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设 λ， μ∈R，则有
本 课 时 栏 目 开 关
①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边 的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的 第①条运算律吗？
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
向量数乘运算的物理背景
(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量 v，那么 在同方向上 3 秒钟的位移对应的向量用 3v 表示，试在直线 l 上画出 3v 向量，看看向量 3v 与 v 的关系如何？
答
→ → → → 3v＝OC＝OA＋AB＋BC＝v＋v＋v.
如果 λ、μ 同号，则①式两边向量的方向都与 a 同向；如果 λ、 μ 异号，则①式两边向量的方向都与 a 反向．
因此，向量 λ(μa)与(λμ)a 有相等的模和相同的方向，所以 λ(μa) ＝(λμ)a.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 共线向量定理及应用
2.2.3
由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如
∴3v 与 v 的方向相同，|3v|＝3|v|.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
(2)已知非零向量 a，作出 a＋a＋a 和(－a)＋(－a)＋(－a)，你 能说明它们与向量 a 之间的关系吗？
本 答 课 时 栏 目 开 → → → → 关 OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a＝3a；
→ → → → O′C′＝O′A′＋A′B′＋B′C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
【学法指导】 1．实数 λ 与向量 a 可作数乘，但实数 λ 不能与向量 a 进行加、减
本 课 量，λ 的符号与 λa 的方向相关，|λ|的大小与 λa 的模长有关． 时 栏 目 2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及 开 关 性质定理， 一定要注意， 向量的共线(平行)与直线共线(或平行)
λ>0 时，与a方向相同 λ<0 时，与a方向相反 ；
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝ (λμ)a . (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa . (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb .
本 课 时 栏 目 开 关
果 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在一个实数 λ，使 b＝λa. 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问 题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组) 求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在． 例如，已知 e1，e2 是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－ 8e2，则 a 与 b 是否共线？
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2.2.3
答
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
如果 λ＝0 或 μ＝0 或 a＝0，则①式显然成立； 如果 λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
本 |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， 课 时 栏 |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 目 开 故|λ(μa)|＝|(λμ)a|. 关
证明 → → 若 A、B、C 三点共线，则存在 λ∈R，使AC＝λAB.
→ → → → ∴OC－OA＝λ(OB－OA)， → → → ∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.
2.2.3
2.2.3
【学习要求】
向量数乘运算及其几何意义
本 1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 课 时 栏 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向 目 量运算． 开 关
3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用 这些知识处理有关共线向量问题．
2.2.3
所以 a 与 b 不共线．
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2.2.3
探究点四
三点共线的判定
→ 由共线向量定理可得， A， B， C 三点共线⇔存在 λ∈R， 使AC → ＝λAB.请你根据该结论证明下列常用推论：
本 课 时 栏 目 开 关
推论 1：已知 O 为平面 ABC 内任一点，若 A、B、C 三点共 → → → 线，则存在 α、β∈R，使OC＝αOA＋βOB，其中 α＋β＝1.
本 课 时 栏 目 开 关
Hale Waihona Puke 特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ； λ(a－b)＝ λa－λb . 3．共线向量定理 向量 a (a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa . ______ 4．向量的线性运算 向量的 加 、 减 、 数乘 运算统称为向量的线性运算，对于 任意向量 a、b，以及任意实数 λ、μ1、μ2，恒有 λμ2b λ(μ1a± μ2b)＝ λμ1a± .
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2.2.3
(3)已知非零向量 a， 你能说明实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 的几何 意义吗？
本 答 λa 仍然是一个向量． 课 时 栏 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同； 目 开 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 关
当 λ＝0 时，λa＝0，方向任意． |λa|＝|λ|· |a|.
运算，如 λ＋a，λ－a 都是无意义的．还必须明确 λa 是一个向
的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共 线”问题.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
1．向量数乘运算
本 课 时 栏 目 开 关
实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ， 这种运算叫做向量的 数乘 ， 记作 λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ |λ||a| .
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2.2.3
解
若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，使 a＝λb，
即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
本 课 所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0， 时 栏 目 3－6λ＝0， 开 因为 e1 与 e2 不共线，所以 所以 λ 不存在， 关 4＋8λ＝0，
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探究点二 向量数乘的运算律
2.2.3
根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设 λ， μ∈R，则有
本 课 时 栏 目 开 关
①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边 的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的 第①条运算律吗？
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2.2.3
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
向量数乘运算的物理背景
(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量 v，那么 在同方向上 3 秒钟的位移对应的向量用 3v 表示，试在直线 l 上画出 3v 向量，看看向量 3v 与 v 的关系如何？
答
→ → → → 3v＝OC＝OA＋AB＋BC＝v＋v＋v.
如果 λ、μ 同号，则①式两边向量的方向都与 a 同向；如果 λ、 μ 异号，则①式两边向量的方向都与 a 反向．
因此，向量 λ(μa)与(λμ)a 有相等的模和相同的方向，所以 λ(μa) ＝(λμ)a.
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探究点三 共线向量定理及应用
2.2.3
由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如
∴3v 与 v 的方向相同，|3v|＝3|v|.
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2.2.3
(2)已知非零向量 a，作出 a＋a＋a 和(－a)＋(－a)＋(－a)，你 能说明它们与向量 a 之间的关系吗？
本 答 课 时 栏 目 开 → → → → 关 OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a＝3a；
→ → → → O′C′＝O′A′＋A′B′＋B′C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
【学法指导】 1．实数 λ 与向量 a 可作数乘，但实数 λ 不能与向量 a 进行加、减
本 课 量，λ 的符号与 λa 的方向相关，|λ|的大小与 λa 的模长有关． 时 栏 目 2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及 开 关 性质定理， 一定要注意， 向量的共线(平行)与直线共线(或平行)
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【原创】人教A版必修4：第二章 2.2 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
预习课本P87～90，思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？
结束
(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？
(3)向量共线定理是怎样表述的？
(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？
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[新知初探]
结束
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫 做向量的数乘，记作： λa ，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ； 当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 .
(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ (λμ)a ； ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb ；
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3.如图所示，正三角形 ABC 的边长为 15，―A→P ＝
1 ―→ 3 AB
＋52―A→C ，―B→Q ＝51―A→B ＋25―A→C .
求证：四边形 APQB 为梯形． 证明：因为―PQ→＝―PA→＋―A→B ＋―B→Q ＝－13―A→B －52―A→C ＋―A→B ＋ 15―A→B ＋52―A→C ＝1135―A→B ，所以―PQ→∥―A→B . 又|―A→B |＝15，所以|―PQ→|＝13，故|―PQ→|≠|―A→B |，于是四边形 APQB 为梯形．
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结束
解：由三角形中位线定理，知DE綊12BC，故―D→E ＝12―B→C ， 即―D→E ＝12a. ―C→E ＝―C→B ＋―B→D ＋―D→E ＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. ―M→N ＝―M→D ＋―D→B ＋―B→N ＝12―E→D ＋―D→B ＋12―B→C
预习课本P87～90，思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？
结束
(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？
(3)向量共线定理是怎样表述的？
(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？
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[新知初探]
结束
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫 做向量的数乘，记作： λa ，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ； 当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 .
(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ (λμ)a ； ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb ；
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3.如图所示，正三角形 ABC 的边长为 15，―A→P ＝
1 ―→ 3 AB
＋52―A→C ，―B→Q ＝51―A→B ＋25―A→C .
求证：四边形 APQB 为梯形． 证明：因为―PQ→＝―PA→＋―A→B ＋―B→Q ＝－13―A→B －52―A→C ＋―A→B ＋ 15―A→B ＋52―A→C ＝1135―A→B ，所以―PQ→∥―A→B . 又|―A→B |＝15，所以|―PQ→|＝13，故|―PQ→|≠|―A→B |，于是四边形 APQB 为梯形．
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解：由三角形中位线定理，知DE綊12BC，故―D→E ＝12―B→C ， 即―D→E ＝12a. ―C→E ＝―C→B ＋―B→D ＋―D→E ＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. ―M→N ＝―M→D ＋―D→B ＋―B→N ＝12―E→D ＋―D→B ＋12―B→C
人教A版高中数学高一必修4第二章向量数乘运算及其几何意义
数 使 b = λa 那么，由向量数乘的定义知，a 与 b 共线.
（2）已知 a 与 b 共线，a 0 ，且向量 b 的长
度是向量 a 的 λ 倍，即 b = λ a ，那么
当 a与b 同向时，有 b = λa ；当 a与b 反向时，有 b = -λa.
综上，如果 （ a a 0) 与 b 共线，那么有且只有
２、已知 e1, e2 是不共线向量, a e1 e2
b
数
2e1
e12 则
a
与
b
共线的充要条件是实
2
3、给出下列命题：
(1) a//b 存在唯一的实数λ ，使 a = λb；
(2) a//b 存在不全为零的实数 λ, μ使 λa + μb = 0； (3) a,b不共线 若存在实数 λ, μ使 λa + μb = 0，则λ = μ = 0. (3) a,b不共线 不存在实数 λ, μ 使 λa + μb = 0.
教学重点：
向量数乘运算的意义及运算律，向 量共线的条件。
教学难点：
向量共线的条件。
思考：已知非零向量 a，作出 a + a + a
和 (-a )+ (-a )+ (-a ) ，你能说明它们的几
何意义吗？
a
aaa
O
A
B
C
-a -a -a
N
M
Q
P
3a -3a
向量的数乘的定义：
实数 与向量 a 的积是一个向量，
2、若 λa = 0 ，则可能有λ=0，也可能有 a=0 .
3、向量的数乘运算律，不是规定，而是可以 证明的结论。向量共线定理是平面几何中证 明三点共线，直线平行，线段数量关系的理 论依据。
（2）已知 a 与 b 共线，a 0 ，且向量 b 的长
度是向量 a 的 λ 倍，即 b = λ a ，那么
当 a与b 同向时，有 b = λa ；当 a与b 反向时，有 b = -λa.
综上，如果 （ a a 0) 与 b 共线，那么有且只有
２、已知 e1, e2 是不共线向量, a e1 e2
b
数
2e1
e12 则
a
与
b
共线的充要条件是实
2
3、给出下列命题：
(1) a//b 存在唯一的实数λ ，使 a = λb；
(2) a//b 存在不全为零的实数 λ, μ使 λa + μb = 0； (3) a,b不共线 若存在实数 λ, μ使 λa + μb = 0，则λ = μ = 0. (3) a,b不共线 不存在实数 λ, μ 使 λa + μb = 0.
教学重点：
向量数乘运算的意义及运算律，向 量共线的条件。
教学难点：
向量共线的条件。
思考：已知非零向量 a，作出 a + a + a
和 (-a )+ (-a )+ (-a ) ，你能说明它们的几
何意义吗？
a
aaa
O
A
B
C
-a -a -a
N
M
Q
P
3a -3a
向量的数乘的定义：
实数 与向量 a 的积是一个向量，
2、若 λa = 0 ，则可能有λ=0，也可能有 a=0 .
3、向量的数乘运算律，不是规定，而是可以 证明的结论。向量共线定理是平面几何中证 明三点共线，直线平行，线段数量关系的理 论依据。
高中数学人教A必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1 2
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
2021版高中数学人教A必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-22-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航 UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
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D典例透析 IANLI TOUXI
-6-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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1234
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D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2】 3(2a-4b)等于( )
A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b 解析:原式=3×2a-3×4b=6a-12b. 答案:D
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题型一 题型二 题型三 题型四
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2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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-23-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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D典例透析 IANLI TOUXI
【例3】 已知向量a,b,如图,求作向量2a-3b. 分析:分别作出有相同起点的向量2a与3b,利用三角形法则作出 向量2a-3b.
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
人教A版高中数学必修四2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件
AB与CD不在同一直线上
直线AB
//
直线CD
(3)证明三点共线的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
例6:
已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：作图如右
依图猜想:A、B、C三点共 线
AB OB OA
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与a 的方向相反； 当 0 时，a 0 .
问题：你能说明它的几何意义吗？
注意：
实数与向量a，可以作积，
但不可以作加减法，即＋a， －a是 无意义 的．
实数与向量的积的运算律：思考：（3 2a）与6a之间的联系
E C
解： AE AD DE
3AB 3BC
A B
D
变式二：求证：BC // DE
3( AB BC) 3AC ， AC 与AE 共线
DE 3BC
BC 与DE 共线且BC与DE不在同一直线上 BC // DE
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD
思考
a与a有何关系？(a
0)
结 论：
a,
a共线向量.
思考
如果a
与b是共线向量，那么b
a？
结 论： 那 如么 果ba， b是a .共线向量，
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
直线AB
//
直线CD
(3)证明三点共线的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
例6:
已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：作图如右
依图猜想:A、B、C三点共 线
AB OB OA
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与a 的方向相反； 当 0 时，a 0 .
问题：你能说明它的几何意义吗？
注意：
实数与向量a，可以作积，
但不可以作加减法，即＋a， －a是 无意义 的．
实数与向量的积的运算律：思考：（3 2a）与6a之间的联系
E C
解： AE AD DE
3AB 3BC
A B
D
变式二：求证：BC // DE
3( AB BC) 3AC ， AC 与AE 共线
DE 3BC
BC 与DE 共线且BC与DE不在同一直线上 BC // DE
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD
思考
a与a有何关系？(a
0)
结 论：
a,
a共线向量.
思考
如果a
与b是共线向量，那么b
a？
结 论： 那 如么 果ba， b是a .共线向量，
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(二)课件 新人教a版必修4
E C A B D
讲授新课
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
AB BC ( BC 0) A、B、C三点共线.
讲授新课
2. 证明三点共线的问题
a 、b, 例 3. 如图, 已知任意两个非零向量 试作OA a b, OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之间的位置关系 吗？为什么？
讲授新课
定理的应用
1. 有关向量共线问题
讲授新课
1. 有关向量共线问题
例 1. 已知向量a 、b满足
a 3b a b 1 （3a 2b） , 5 2 5 求证：向量a 和 b共线.
讲授新课
1. 有关向量共线问题
例 2. 已知AD 3 AB ，DE 3 BC ，
试判断AC与 AE是否共线？
复习回顾
2. 实数与向量的积的运算律： 设a , b 为任意向量， 、为任意 实数，则有： (1) ( a ) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b ) a b
向量b 与非零向量a共线,当且仅当 有唯一一个实数 ，使得b a .
练习. 教材P.90练习第6题.
课堂小结
1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题 3. 证明两直线平行的问题
课后作业
1. 阅读教材P.87-P.90； 2.《学案》P.60双基训练.
课后思考
1. 如图, 在任意四边形 ABCD中, E、F 分别是AD、BC的中点. 求证：AB DC 2 EF .
2.2.3向量数乘运算 及其几何意义
复习回顾
1. 实数与向量的积的定义：
人教A版高中数学必修4课件2.2向量数乘运算及其几何意义课件
讲授新课
注意：
实数与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
2a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
结那论么：如b 果aa，. b是共线向量，
讲授新课
结 论：
向
量b与
非零向
量a共
线,当且
仅当
有唯
一一个
实数，使
得b
a
.
讲授新课
例
3.
向量a
e1
e2
,
b
2e1
2e2
是否共线？
试用m, n表示DE, EF , FD.
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请作出a
a
a和(a
)
人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学课件
进行比较。
a
3(2a)和
6a(
a为非零向量)，并
问题二：求作向量 (2 3)a和 2a 3a，并进行比较。
a
问题三：已知向量 a、b，求作向量 2(a b) 和
2a 2b ，并进行比较。
a
b
实根数据与定向义量，积求的作运向算量律 3(2a )和
6a
(
a为非零向
量)，并进行比较。
a
和 MD 吗？
D
C
解：在 ABCD中，
AC AB AD a b
M
b
DB AB AD a b
A
a
B
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
Байду номын сангаас22
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
的长度和方向规定如下：
（1）大小： a a
相同
相反
实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数 与向量不能相加、相减.
思考：你能说明向量数乘的几何意义吗？
a
数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或反
方向放大或缩短 倍.
思考：类比数的乘法运算律，你能说出向量数乘的 运算律吗？
问题一：求作向量
结合律: λ(μa)=(λμ)a 分配律: (λ+μ)a =λa +μa 分配律: λ(a + b)=λa +λb
特别地
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
(3) 4a
例1 计算（牛刀小试）
（1）
（2） 3(a+b)-2(a b) a （3） (2a+3b-c) (3a-2b c)