陕西省咸阳市三原县南郊中学2020届高三摸底考试数学(理)试题 Word版含答案
三原南郊中学2020届摸底考试数学（理）试题命题人： 审题人：一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B U （ ） A ．()2,12 B ．()1,3- C ．()1,12- D ．()2,32．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ）A ．5BC ．D ．2 3．设,a b r r 是非零向量， “=||||a b a b ⋅⋅r r r r ”是“a b r r P ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定积分12)0x x e dx +⎰（的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1 C.e D.e －15．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ）A ．72B ．60C ．48D ．366．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．下列说法错误的是（ ）A ．垂直于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直C ．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D ．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直8．设0a >，0b >是3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．83 C ．3D ．49．2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ）A ．144种B ．24种C ．12种D ．6种 10．已知命题2:233p x x a ++≥恒成立，命题():21x q y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．1223a <≤B ．102a <<C ．121a <<D ．23a £ 11．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第64行从左到右的第2个数字是（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．）13．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．14．过点（1，0）且与直线220x y --=垂直的直线方程为______15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”这段文字写成公式，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b a c a c S ．△ABC 满足 )sin (sin )sin (sin B A B A +⋅-C C A 2sin sin sin -=，且222==BC AB ，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为 ．16. 已知函数,(0()2,(0)x e a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩），若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ,3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==．（1）证明：ED ⊥平面PCD ；（2）求二面角A PD C --的余弦值．PED C B A19．（本小题满分12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”．为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名．（1）求频数分布表中x ，y 的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%．若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望．注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息．20.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点F （1，0），O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 过点（8，0），求证：直线OA ，OB 的斜率之积为定值．请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求OAB △的面积．合计 120023．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知()11f x x ax a =++-+．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．数学（理）参考答案C A A C BD B D D A D. C 13．514.220x y +-=15.316.(0,1]17解析(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32………………………2分 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x…………………….3分 ＝34sin 2x －14cos 2x……………………………………….4分 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6………………………………………..5分所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π………………….6分(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，………..8分且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，………………………………………..10分所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12…………………………..12分18.（1）证明：因为PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PC DE ⊥.…………1分由2,CE CD DE ===CDE ∆为等腰直角三角形，故CD DE ⊥．………………2分 又PC CD C =I ，且PC ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，……3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分）故DE ⊥平面PCD ．……………4分（2）解：如图所示，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF FC FE ===，又1EB =，故2FB =． 由2ACB π∠=，得//DF AC ，23DF FB AC BC ==， 故3322AC DF ==．………………………………5分 以点C 为坐标原点，分别以CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，P E D CB A建立如图空间直角坐标系C xyz -， ……………………………6分(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3(,0,0)2A ，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ， 1(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)2ED DP DA =-=--=-u u u r u u u r u u u r ………………………………7分 设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则10n DP ⋅=u r u u u r ， 即1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，……………………………………8分 令12x =，则111,1y z ==，故可取1(2,1,1)n =u r ．…………9分（注：与1n u r 共线的非零向量都可给分）由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n u u r 可取为ED u u u r ，即2=(1,1,0)n -u u r ……………………………………………………………….10分则121212cos ,||n n n n n n ⋅===u r u u r u r u u r u r u u r ，………….11分 （注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分）又二面角A PD C --为锐二面角，所以二面角A PD C --的余弦值为6．………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分） 19【解析】（1）据题意，得160120080x y x y -=⎧⎨+=-⎩，所以640480x y =⎧⎨=⎩………………….4分 （2）据640:4804:3=，得 这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人．10000元使用“余额宝”的利息为10000 2.8%280⨯=（元）．10000元使用“财富通”的利息为10000 4.2%420⨯=（元）．X 所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）．2043272(560)7C C P X C ===，1143274(700)7C C C P X ===，2034271(840)7C C C P X ===． X 的分布列为X 560 700 840 P27 47 17 所以()241560700840680777E X =⨯+⨯+⨯=（元）．…………………………12分 20解析（1）当时，1()ln f x x x =-所以211'()f x x x =+． 所以(1)1f =-，，所以切线方程为230x y --=．……………………..4分(2)f ′(x )＝x ＋ax 2， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1，－a )上单调递减，当－a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－e ，综上a ＝－e ………………..12分21【解析】（1）抛物线的焦点坐标为()1,0，12p ∴=， 即抛物线的方程为．……………………………………………….4分（2）证明：①当直线的斜率不存在时，即， 可得直线与抛物线交点坐标为， 42421882OA OB k k ⎛⎫∴⋅=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭； ②当直线的斜率存在时，设方程为，， 联立方程组()248y x y k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，消去得， 则22416A B k x x k ++=，，()()()2286488A B A B A B A B OA OB A B A B A Bk x x x x k x x y y k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦∴⋅=== 222416648641642k k k ⎛⎫+-⨯+ ⎪⎝⎭==-， 综合①②可知，直线，的斜率之积为定值12-．………………………………12分 22．解：（1）消去参数可得1C 的普通方程为30x y +-=，…………1分由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，………………………………2分又因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分）所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．……………………4分（2）解法1：2C 标准方程为22(2)4x y -+=， 表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆．………5分2C 到直线30x y +-=的距离222d =，………………………………………………6分 故222214AB r d =-=……………………………………………………………7分原点O 到直线30x y +-=的距离2d =，…………………………………………8分 所以113714222OAB S AB d ===△ …………………………………9分 综上，OAB △的面积为372 ……………………………………10分 解法2：联立方程组223(2)4y x x y =-+⎧⎨-+=⎩得221090x x -+=，…………………5分 ∴121295,2x x x x +==，……………………………………………………………6分 ∴222121212||1|1()414AB k x x k x x x x =+-=++-=……………7分原点O 到直线30x y +-=的距离d =，……………………………………8分所以11222OAB S AB d ===△…………………………………9分 综上，OAB △的面积为2 ……………………………………10分 23．解：（1）解法1：当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥．………1分 当1x <-时，13x x ---≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-；………………………2分 当10x -≤<时，13,13x x +-≥≥，无解；………………………………………3分当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．………………………………4分综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞U ．………5分（注：解集必须是集合或区间形式）解法2：当1a =时，21(1)()11(10)21(0)x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++=-≤<⎨⎪+≤⎩………1分 当1x <-时，213x --≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-； ………………2分当10x -≤<时，13≥，无解； …………………………………………3分当0x ≥时，213x +≥，解得1x ≥，所以1x ≥． ……………………4分综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞U ． ………………5分（2）解法1：当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥．……………6分 令()(1)1g x a x =-+，则()g x 的图像为过定点(1,1)斜率为a 的一族直线， ………7分 数形结合可知，当0a ≥时，11ax a -+≥在[)1,+∞上恒成立………………………9分 所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．………10分（注：最终结果可以是集合、区间或不等式）解法2：当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥．……………6分 由不等式的性质得11ax a -+≤-或11ax a -+≥，即(1)2a x -≤-或(1)0a x -≥．……………………………………………………7分天幕数学第 11 页 共 11 页天幕数学 当x ≥1时，a R ∀∈，不等式(1)2a x -≤-不恒成立；…………………………8分为使不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．………………………9分综上，所求a 的取值范围为[0,)+∞．……………………………………………10分。
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试数学(理)试卷
数学（理科）注意事项：1．本试卷共4页满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>-，则()UA B ⋂=（）． A ．(1,0]-B ．(1,1)-C ．(1,)-+∞D ．[0,1) 2．已知复数41z i=+（为虚数单位），则的虚部为（）． A ．2B ．2i C ．2-D ．2i -3．已知向量(1,3)a =，(3,2)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（）．A ．91010B ．9C ．3-D ．913134．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（）．A ．66B ．55C ．45D ．385．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（）．A ．该组数据的极差为12B ．该组数据的中位数为21C ．该组数据的平均数为21D ．该组数据的方差为11 6．已知01a b <<<，则下列不等式不成立的是（）．A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln ln a b >C ．11a b >D ．11ln ln a b >7．已知，b 是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，且a β，b αβ⋂=，则“a α∥”是“a b ∥”的（）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．3(21)(2)x x -+的展开式中2x 项的系数为（）． A ．24B ．18C ．12D ．4 9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）． A ．18B ．38C ．12D ．7810．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（）． A ．403B ．52C ．203D 8711．将函数cos(2)22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移38π个单位长度后得函数()f x 图像，若()f x 为偶函数，则（）．A ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知函数323132,5()3log (4),5x x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则函数(())f f x 的零点个数为（）．A ．6B ．7C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数，满足不等式组2033030x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知定义在上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________．15．在ABC 中内角，，C 所对的边分别为，b ，，若1a =，b =，2sin sin cos sin A B C C =，则ABC 的面积为________．16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足23a =，4720a a +=，其前项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （Ⅱ）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且AB CD ∥，22CD AB AD ==，AD CD ⊥．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号 1 2 3 4 5 6 数学i x 89 87 79 81 78 90 物理i y797577737274（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．参考公式：ˆˆy bxa =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i n ni ii i x x yy x ynx y b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数()1axf x eax =--（a R ∈且0a ≠）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）对任意12,[1,1]x x ∈-，()()2123f x f x e =≤-恒成立，求的取值范围． （二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线22212:C x y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)6πθρ=≥与1C 相交于异于极点的交点为，与2C 的交点为，求||AB ．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，记实数的最大值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）正数，b ，满足2a b c M ++=，求证111a b b c+≥++． 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．C3．D4．B5．D6．B7．A8．B9．D10．A11．D12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．614．315．1216．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1132920a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，2d =（4分）∴21n a n =-，2n S n =，（6分）（Ⅱ）（错位相减法）23135212222n nn T -=++++…，① ①式两边同时乘12，得234111352122222n n n T +-=+++…，②-①②可得，23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…，（8分） 2311111112122222222n n n n T +-⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭…， 111121212222n n n n T +-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，（10分） 2332n nn T +=-．（12分） 18．解：（Ⅰ）证明：取CD 的中点，连接AE ，BE ，BD ．∵2CD AB =，∴AB DE =．又∵AB AD =，AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，AE平面ABCD ，∴PD AE ⊥．∵PD BD D ⋂=，∴PE ⊥平面PBD ．（4分） ∵AB EC =，AB EC ∥，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴BC AE ∥，∴BC ⊥平面PBD ． 又BC平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．（6分）（Ⅱ）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角， 即45PBD ∠=︒，则PD BD =．设1AD =，则1AB =，2CD =，2PD BD ==．以点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A，P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ． ∵DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =．（8分） 设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =，∵(1,1,PB =，(1,1,0)BC =-，则00PB m x y BC m x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,2)m =．（10分） 设二面角D PC B --的平面角为θ， ∴||1cos 2||||2m DA m DA θ⋅===⋅．由图可知二面角D PC B --为锐角，故二面角D PC B --的余弦值为12．（12分） 19．解：（Ⅰ）由题意得X 的可能取值为0，1，2， 6个学生中理科小能手有2人，24262(0)5C P x C ===，1124268(1)15C C P x C ===，（4分） 22261(2)15C P x C ===．（4分） ∴X 的分布列为()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．（6分） （Ⅱ）1(898779817890)846x =⨯+++++=，1(797577737274)756y =⨯+++++=，（8分）()()()11222111ˆ5nniii ii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---===--∑∑∑∑（9分） 1291ˆˆ758455ay bx =-=-⨯= ∴回归方程为：129155y x =+．（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴221914a b +=，又∵12c a =（2分） 解之得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=（4分） （Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -． ∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=， ∴20127x =． ∴O 到直线MN的距离为0d x ==22127x y +=．（6分） 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+．（8分） ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=∴()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=．∴()22222224128103434m k m k m k k-+⋅-+=++，即()227121m k =+．（10分）∴O 到直线MN 的距离为7d ===， 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切．（12分） 21．解：（Ⅰ）由()()1ax ax f x ae a a e '=-=-．（1分） 当0a <时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2分） 当0a >时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0 f x '>，()f x 单调递增．（3分） 综上所述，()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增．（4分） （Ⅱ）由题意知对任意12,[1,1]x x -，()()2123f x f x e -≤-恒成立，2max min ()()3f x f x e ⇔-≤-又由（Ⅰ）知，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以只需：222222(1)(0)31320.(1)(1)(0)31320.(2)a a a a f f e e a e e a e f f e e a e e a e --⎧⎧⎧-≤---≤---+≤⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨--≤-+-≤-+-+≤⎪⎩⎪⎩⎩（8分） 设2()2a h a e a e =--+．∵()1ah a e '=-，∴()h a 在区间(0,)+∞上单调递增；在区间(,0)-∞上单调递减． 注意到(2)0h =，所以，当02a ≤≤不等式（1）成立；当2a >时不等式（1）不成立． 又2222(2)2240h ee e e ---=+-+=+-<，∴当20a -≤<不等式（1）也成立，所以，22a -≤≤时不等式（1）成立．此时22a -≤≤，不等式（2）也成立，而当2a <-时，2a ->，由函数()h a 的性质知，不等式（2）不成立．综上所述，不等式组的解为22a -≤≤．（11分）又∵0a ≠，∴实数的取值范围为[2,0)(0,2]-⋃．（12分）（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．解：（Ⅰ）曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=，（2分）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，（3分）曲线2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=．（5分）（Ⅱ）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点的极径为12cos6πρ==（6分）射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26πρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得25ρ=，（8分）∴12||5AB ρρ=-=-．（10分） 23．解：（Ⅰ）|2||3||(2)(3)|5x x x x --+≤--+=，（2分） 若不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，则满足|1|5m +≤，（3分） 解得64m -≤≤．∴4M =．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数，b ，满足24a b c ++=， ∴11111[()()]4a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，（7分）112(2144b c a b a b b c ++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭．（9分） 当且仅当a c =，2a b +=时，取等号．（10分）。
陕西省咸阳市三原县南郊中学2020届高三数学上学期摸底考试试题理
陕西省咸阳市三原县南郊中学2020届高三数学上学期摸底考试试题理一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B U （ ）A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,32．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ）A ．5B C ．D ．23．设,a b r r 是非零向量， “=||||a b a b ⋅⋅r r r r ”是“a b r rP ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.定积分12)0xx e dx +⎰（的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －15．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72B ．60C ．48D ．366．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．下列说法错误的是（ ） A ．垂直于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直C ．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D ．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直8．设0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．2B ．83C ．3D ．49．2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ） A ．144种B ．24种C ．12种D ．6种10．已知命题2:233p x x a ++≥恒成立，命题():21xq y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ） A ．1223a <≤ B ．102a <<C ．121a << D ．23a £11．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 12．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第64行从左到右的第2个数字是（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．）13．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______． 14．过点（1，0）且与直线220x y --=垂直的直线方程为______ 15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”这段文字写成公式，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=222222241b a c a c S ．△ABC 满足 )sin (sin )sin (sin B A B A +⋅-C C A 2sin sin sin -=，且222==BC AB ，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为 ．16. 已知函数,(0()2,(0)x e a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩），若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ,3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==．（1）证明：ED ⊥平面PCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值． 19．（本小题满分12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”．为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名． （1）求频数分布表中x ，y 的值；PEDCBA（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%．若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望．注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息．20.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值． 21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点F （1，0），O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 过点（8，0），求证：直线OA ，OB 的斜率之积为定值．请考生在第22、23题中任选一题作答。
陕西省咸阳市2020届高考模拟考试试题理科数学(含答案)
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合{M x y ==，{}1,0,1,2N =-，则M N =A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{1,1}-D.{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i + B ．13i -+ C ．13i -D ．13i --3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于 A.64B.32C.2D.45.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 0x =B. 0y ±=C. 0y ±=D.0x =8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D 9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅= A.2- B. 4- C. 3 D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,,侧棱长为则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13.若向量(1,2)a x =-与向量(2,1)b =垂直，则x =_____ . 14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a bc cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为 (I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++。
2020届陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测数学(理)试题(带答案解析)
17．已知等差数列 满足 ， ，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面 ，且 ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
2．C
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.
【详解】
由题意得: ，
的虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
求出 以及 的值,即可求出向量 在向量 上的投影.
【详解】
解:由题意知, ,
则
故选:D.
【点睛】
本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量 在另一个向量 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即 ;另外还可以由向量数量积的运算可知, .
（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 （ 且 ）.
（1）讨论 的单调性；
（2）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程；
【详解】
依题意 ，由于 为定义域上的减函数，故 ，故A选项不等式成立.由于 为定义域上的增函数，故 ，则 ，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于 ，故 ，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.
【点睛】
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题 含答案
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题注意事项:1.本试卷共4页满分150分时间120分钟;2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号并认真核准条形码上的姓名、准考证号;3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰;4.考试结束,监考员将试题卷答题卡一并收回第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={1,2,3,4,5},集合{|04},B x x <=<则图中阴影部分表示 A.{1.2,3,4}B.{1，2，3}C.{4，5}D.{1，4}2.已知等比数列{a n }的前n 项和为143,2,1,n S a a a ==则4S = A.31 B.15 C.8 D.73.某医院抽调甲、乙、丙三名医生,抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战，其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作,则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为 A.112 B.16 C.15 D.194.已知非零向量a,b 满足||,a b =且−⊥(a b)b 则与a b 的夹角为A.π6B.π4C.π3D.π25.设复数=满足|1i |1z −+=,z 在复平面内对应的点为(),,P x y 则点P 的轨迹方程为()2222.1 1 .(1)1A x y B x y ++=−+= ()()2222.(1) 1 .111C x y D x y +−=−++=6.“22ππα−<<”是“方程2212cos x y α−=表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体。
陕西省咸阳市三原县南郊中学2019-2020学年高考适应性考试数学试卷含解析《加15套高考模拟卷》
陕西省咸阳市三原县南郊中学2019-2020学年高考适应性考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C左支上一点， 0A （，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A．B．C．D．-2．已知双曲线1C ：22142x y -=，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为（ ） AB ．2CD ．13．已知直线l 过点()2,0-且倾斜角为α，若l 与圆()22320x y -+=相切，则3πsin(2)2α-（ ） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45-4．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11b = ,324355462,,2b b b a a b a a =+=+=+，则20199+=a b （ ） A ．2025B ．2529C ．2026D ．22755．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知实数x ，y 满足113x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则41x y z x ++=+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．114D ．457．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．若x ，y 满足约束条件102240x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y z x -=（ ）A ．有最小值32-，有最大值110-B ．有最小值32-，有最大值2 C ．有最小值110-，有最大值2 D ．无最大值，也无最小值9．若存在正实数x ，y 使得x 2+y 2（lny-lnx ）-axy=0（a ∈R ）成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．()0,+∞ D ．(]0,110．已知点()3,0A ，()0,3B ，()cos ,sin ααC ，若1AC BC ⋅=-u u u v u u u v，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23 B．2 C．3 D ．1211．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若点()0,2P b ，12,F F 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A．y =B．y x = C．3y x=± D．y x = 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省咸阳市三原县南郊中学2020届高三数学上学期摸底考试试题文
陕西省咸阳市三原县南郊中学2020届高三数学上学期摸底考试试题文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．复数iz -=12，则复数=z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22 3下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A 12y x =B y =2x -C12log y x =D 1y x=4．已知(,3)a x =r , (3,1)b =r , 且//a b r r, 则x 等于( )A ．－1B ．－9C ．9D ．15．设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知tan α ＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为（ ） A ．3 B.-3 C.5 D.-57.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =a ( ) A. 2 B.26C. 25D. 19．当0a >且1a ≠ 时，函数()x f x a =和()g x ax a =+在同一坐标系中的图象可能是（ ）10.若直线04)4(=+++y b ax 与直线03)4(=--+y b ax 互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A.0B.2C.4D.8 11．几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A．82-π D12.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-2第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c ，若60A ︒=b =4=2a 则ABC∆的面积等于___ __.14设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．15．若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值是 .16.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷.卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，若输入40n =，则输出的结果为__________．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． (i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A 发生的概率．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC C B A -111中，⊥AC BC ,1==AC BC12=CC ,点M 是11A B 的中点.（1）求证：1B C //平面1AC M ； （2）求三棱锥11-A AMC 的体积.20．（本小题满分12分）已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动点P 到点F的距离等于它到A 1B 1A B直线l 的距离.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）直线m 过(4,2)N 交C 于A 、B 两点，若∆AON 与∆BON 的面积相等（其中O 为坐标原点），求直线m 的方程.21．（本小题满分12分）已知a 是实数,函数()()2f x xx a =-（1）若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （2）若0>a ，求()f x 在区间[]0,2上的最小值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22．（本小题10分）选修44-：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=. （1）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程； （2）设曲线C 和曲线P 的交点A 、B ，求AB .23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2-=x x f ．（1）求不等式()042>-+x x f 的解集；（2）设()m x x g 37++-=，若关于x 的不等式()()x g x f <的解集非空，求实数m 的取值范围．。
2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测理科数学试题(附参考答案)
咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题一、选择题1．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31B ．15C ．8D ．73．2020年春节突如其来的XGFY 在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ） A ．112B ．16C ．15D ．194．已知非零向量,a b 满足a =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 5．设复数z 满足11z i -+=，z 在复平面内对应的点为(),P x y ，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()()22111x y -++=6．“22ππα-<<”是“方程2212cos x y α-=表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,a dD ．,b d8．若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：1202027a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（ ）A ．eB ．2eC ．1e -D ．9e9．函数21sin 21x xy x -=⋅+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知实数,x y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数3z x y =-的最大值为180，则实数m的值为（ ） A ．60B ．70C ．80D ．9011．已知抛物线2:8C y x =，点,P Q 是抛物线上任意两点，M 是PQ 的中点，且10PQ =，则M 到y轴距离的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．4D ．312．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题 13．若1tan 3α=，()1tan 2αβ+=，则tan β=______. 14．已知在三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，且1AB =，3AC =，22AD =，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______.15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个村长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______.16．给出以下四个命题：①数列{}n a 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数； ②在面积为S 的ABC △的边AB 上任取一点P ，则PBC △的面积大于4S的概率为34.③将多项式56510...n a x a x a x a ++++分解因式得()()522x x -+，则58a =.④若()0b af x dx <⎰，那么由()y f x =，x a =，x b =以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.其中正确命题的序号为______.（把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题17．设,,a b c 分别为锐角ABC △内角,,A B C ()cot cot 2sin A A B C +=，4b =. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求ABC △面积的最大值.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 分别是其左、右焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B两点，且椭圆C 的离心率为12，2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若247AB =时，求直线l 的方程. 19．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意.（Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（Ⅱ）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC △是边长为2的正三角形，ADC △是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，AB BD =.（Ⅰ）证明：平面ADC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）点E 在BD 上，若平面ACE 把三棱锥A BCD -分成体积相等的两部分，求二面角A CE D --的余弦值.21．已知函数()()21212ln 2f x ax a x x =-++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a =时，证明：()24xf x e x <--（其中e 为自然对数的底数）.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 过,A B 两点，且这两点的极坐标分别为()A，2B π⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若M 为曲线C 上一动点，求点M 到直线l 的最小距离. 23．已知0a >，0b >，且2a b +=. （Ⅰ）若1421x a b+≥-恒成立，求x 的取值范围； （Ⅱ）证明：()22114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．A 7．A 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．1714．15．38a16．②③ 三、解答题17．解：()cot cot 2sin A A B C +cos cos 2sin sin sin A B A C A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin cos cos sin 2sin sin sin B A B A A C A B +⎛⎫=⎪⎝⎭()sin 2sin sin sin A B A C A B +⨯=，所以有sin 2B =，又因B 为锐角，则3B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3B π=，且有4b =，由余弦定理可得：222cos b c ac B +-，则22162a c ac ac ac ac =+-≥-=，11sin 16222ABC S ac B =≤⨯⨯=△18．解：（Ⅰ）由题可得，12c e a ==， 2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△，易得2AF B △的周长为8，即48a =而222a b c =+，解得2a =，b =1c =，则椭圆C 的方程为：22143x y +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（Ⅰ）可得()11,0F -， 当直线l 的斜率不存在时3AB =，不符合题意， 当直线l 的斜率存在时，可设():1l y k x =+，联立直线l 与椭圆C 可得：()22224384120k x k x k +++-=，2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+，()2212124437k AB k +===+，解得1k =±， 所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=. 19．解：（Ⅰ）()2212030152550 6.713 6.63555658040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯这说明有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（Ⅱ）依题意，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5人，抽取男生的人数ξ的取值为0,1,2,3.则()3305385028C C P C ξ===，()12353815128C C P C ξ===， ()21353815256C C P C ξ===，()3035381356C C P C ξ===. 则ξ的分布列为：所以()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 即ξ的期望值为98.20．解：（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OD OB ，由题设可知，ACD △是等腰直角三角形，且90ADC ∠=︒，从而AD DC =. 所以OD AC ⊥，又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=，又AB BD =，而OD AO =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=︒，所以平面ADC ⊥平面ABC . （Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴正方向，OA 、OB 、OD 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,0,0A ，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1D . 由题设知，三棱锥A BCE -的体积为三棱锥A BCD -的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面AC 的距离的12，即E 为DB的中点，得10,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故()1,0,1CD =u u u r ，()2,0,0CA =u u u r，11,22CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设(),,n x y z =是平面ACE 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即20,102x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩可取(0,1,n =.设m 是平面DCE的法向量，同理可取1,1m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.则cos ,7m n n m n m ⋅==.所以二面角A CE D --.21．解：（Ⅰ）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()()()2212122210ax a x ax x f x ax a x x x x-++--'=-++==>， 当0a =时，()()20xf x x x-'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<； 当0a <时，()()()120a x x a f x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<； 当102a <<时，()002f x x '>⇒<<或1x a >；()102f x x a'<⇒<<； 当12a =时，()()00f x f x ''≥⇒≥； 当12a >时，()100f x x a '>⇒><或2x >；()102f x x a'<⇒<<.综上讨论知：当0a ≤时，()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当102a <<时，()f x 在()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 当12a =时，()f x 在()0,+∞上单调递增； 当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）当0a =时，由()24xf x e x <--，只需证明ln 2xe x >+.令()()ln 20xg x e x x =-->，()1xg x e x'=-，设()00g x '=，则()000101xe x x =<<.当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当0x x =时，()g x 取得唯一的极小值，也是最小值，()g x 的最小值是()0000000111ln 2ln 220x x g x e x x x e x =--=--=+->成立.故()24x f x e x <--成立.22．解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为0x y +-=.曲线C 的普通方程为22143x y +=.（Ⅱ）设点()2cos M θθ，则点M 到直线l 的距离为2d==≥=. 所以点M 到直线l . 23．解：（Ⅰ）由2a b +=，得()112a b +=.故()14114141914142222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 所以9212x ≥-. 解得，71144x -≤≤.（Ⅱ）()3311a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 3322b a a b a b =+++ ()3322b a a b ab a b =+++-()()2224a b ab a b ≥++=+=.。
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷1 (含答案解析)
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|x ≤1}，B ={x|−1⩽1−x ⩽2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,0，1}C. [−1,1]D. {1} 2. 已知复数z 满足z ⋅i =3−4i(i 为虚数单位)，则z =( )A. 3−4iB. 4+3iC. −3+4iD. −4−3i 3. 若向量m ⃗⃗⃗ =(0,−2)，n ⃗ =(√3,1)，则与2m⃗⃗⃗ +n ⃗ 共线的向量可以是( ) A. (√3,−1)B. (−1,√3)C. (−√3,−1)D. (−1,−√3)4. 已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3 04050m60根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +17.5，则表中m 的值为( )A. 50B. 60C. 70D.805. 根据如图程序框图，当输入5时，输出的是( )A. 6B. 4.6C. 1.9D. −3.96. 已知x ，y 满足不等式组{x ≥1x +y ≤4x −y −2≤0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( ) A. 5B. 6C. 7D. 87. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，则异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值为( ) A. 15B. √105C. 2√55D. √10108.我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)()A. 29尺B. 24尺C. 26尺D. 30尺9.已知函数，若f(a)=0，则a=()A. 0B. eC. 1D. e e10.已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cosC>b，则△ABC的形状是()aA. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形11.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足P F1⃗⃗⃗ ·P F2⃗⃗⃗⃗ =0，则e12+e22的值为()(e1e2)2B. 1C. 2D. 不确定A. 12)x−x2，若f(x0)=m，x1∈(0,x0)，x2∈(x0,+∞)，则()12.已知函数f(x)=(13A. f(x1)<m，f(x2)<mB. f(x1)<m，f(x2)>mC. f(x1)>m，f(x2)<mD. f(x1)>m，f(x2)>m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα−3cosα=0，则sin2α=______．14.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说：“是丙或丁打碎的.”乙说：“是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎，请问打碎玻璃的是___________．15.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，若f(5)=2，则f(−1)等于______．16.已知抛物线y2=8x的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|+4|FB|的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是公差为1的等差数列，a1，a5，a25成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3a n+a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制，若某校学生选择物理学科的人数为800人，高二期中测试后，由学生的物理成绩，调研选课走班制学生的学习情况及效果，为此决定从这800人中抽取n人，其频率分布情况如下：分数频数频率[50,60)80.08[60,70)180.18[70,80)200.2[80,90)a0.24[90,100)15b[100,110)100.10[110,120)50.05合计n1(1)计算表格中n，a，b的值；(2)为了了解成绩在[70,80)，[100,110)分数段学生的情况，先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行面谈，求2人来自不同分数段的概率．19.如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FA⊥AC，EF//AC，AB=√2，EF=FA=1．(1)求证：CE//平面BDF；(2)求证：BE⊥平面DEF．20.已知点A(1,0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．(Ⅰ)求动点B的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2,0)，Q(2,−1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．21.已知．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为{x=1−√2ty=2+√2t(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(2)设点Q(1,2)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|⋅|QB|的值．23.设函数f(x)=|x+1|+3|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)⩽2x+3；(2)若关于x的不等式f(x)<4+2|x−a|有解，求实数的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】考查集合交集运算，根据条件直接计算即可，属于基础题．【解答】解：∵B={x|−1≤1−x≤2}，∴B={x|−1⩽x⩽2}，∵A={x∈N|x≤1}，∴A∩B={0,1}，故选A.2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案，是基础题．【解答】=−4−3i．解：由i⋅z=3−4i，得z=3−4ii故选D．3.答案：B解析：【分析】可求出2m⃗⃗⃗ +n⃗=−√3(−1,√3)，从而得出向量2m⃗⃗⃗ +n⃗与(−1,√3)共线．考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量基本定理．【解答】解：2m⃗⃗⃗ +n⃗=(√3,−3)=−√3(−1,√3)；∴2m⃗⃗⃗ +n⃗与(−1,√3)共线．故选：B．解析： 【分析】本题考查回归直线方程的应用，属于基础题．由表中数据计算x 、y ，根据回归直线方程过样本中心点，求出m 的值． 【解答】 解：由表可知 x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+50+m+605=180+m 5，因为回归直线会经过平均数样本中心点， 代入180+m 5=6.5×5+17.5，解得m =70， 所以选C ．5.答案：A解析：解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是计算y ={1.2x x ≤71.9x −4.9x >7的值．∵当输入5<7，满足条件x ≤7， ∴y =1.2×5=6． 故选：A ．当输入5<7，满足条件x ≤7，执行y =1.2x 运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．6.答案：C解析：解：作出约束条件{x ≥1x +y ≤4x −y −2≤0的可行域如图，目标函数z =2x +y 在{x +y =4x −y −2=0的交点M(3,1)处取最大值为z =2×3+1=7． 故选：C ．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．解析： 【分析】本题考查用空间向量求异面直线所成角的余弦值，考查运算求解能力，是基础题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值． 【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1(2,0，2)，E(2,2，1)，A(2,0，0)，C(0,2，0)， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)， 设异面直线A 1E 与AC 所成角为θ， 则cosθ=|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√8=√105． ∴异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值为√105．故选：B ．8.答案：C解析：解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，因此葛藤长√242+102=26(尺)． 故选：C ．由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，利用勾股定理，可得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．9.答案：B解析： 【分析】本题考查函数求值问题.令解出x 值，将x 值代入可得结果．【解答】 解：由题意，令，得x =1， 则，则a =e ．故选B ．10.答案：D解析： 【分析】本题考查三角形的形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦公式的应用，属于中档题．利用正弦定理可得sinAcosC >sinB ，再利用两角和的正弦公式计算可得cosA <0，从而可得答案． 【解答】解：△ABC 中，∵cosC >ba ，∴由正弦定理得：cosC >sinB sinA ，又sinA >0，∴sinAcosC >sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∴cosAsinC <0，又sinC >0， ∴cosA <0，A 为钝角， 故选：D ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查考查椭圆与双曲线的简单几何性质及向量的数量积，设椭圆和双曲线的方程为：x 2m+y 2n=1(m >n >0)和x 2a −y 2b=1(a >0,b >0)，由题设条件可知|PF 1|+|PF 2|=2√m ，|PF 1|−|PF 2|=2√a ，结合PF 1→⋅PF 2→=0，由此可以求出e 12+e 22(e 1e 2)2的值．【解答】 解： 如图所示，设椭圆和双曲线的方程为：x 2m+y 2n=1(m >n >0)和x 2a−y 2b=1(a >0,b >0)，∵|PF 1|+|PF 2|=2√m ，|PF 1|−|PF 2|=2√a ， ∴|PF 1|=√m +√a ，|PF 2|=√m −√a ， ∵满足PF 1→⋅PF 2→=0， ∴△PF 1F 2是直角三角形， ∴|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， 即m +a =2c 2 ， 则e 12+e 22(e 1e2)2=1e 12+1e 22=m c 2+a c 2=m+a c 2=2．故选C ．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，然后根据x 1<x 0<x 2即可得到函数值之间的关系． 【解答】解：∵函数f(x)=(13)x −x 2 ，y =(13)x是减函数，y =x 2在(0,+∞)上单调递增，∴函数f(x)=(13)x −x 2 在(0,+∞)上单调递减， 若f(x 0)=m ，x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，∴x 1<x 0<x 2则f(x 1)>m ，f(x 2)<m ， 故选：C ．13.答案：35解析：解：由sinα−3cosα=0，得tanα=3，则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×332+1=35．故答案为：35．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：丁解析：【分析】本题主要考查演绎推理，属于中档题．分别对甲乙丙丁四人作出假设，然后进行分析．【解答】解：若甲说谎，则甲或乙打碎，又只有一人说谎，与乙所说矛盾；若乙说谎，则甲或丙或乙打碎，根据甲所说是丙或丁打碎，而丙和丁均说自己没有打碎，则与甲没说谎矛盾；若丙说谎，则丙打碎，与乙所说矛盾；若丁说谎，则丁打碎，与甲乙丙所说均符合．故答案为丁．15.答案：−2解析：解：根据题意，y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则f(1)=f(5)=2，又由函数f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−f(5)=−2；故答案为：−2．根据题意，由函数的图象关于直线x=3对称，可得f(1)=f(5)，结合函数为奇函数可得f(−1)=−f(1)，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象，属于基础题．16.答案：18解析：解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|FA|+4|FB|=x1+2+4(x2+2)=x1+4x2+10，当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|=2+4×2+10=20，当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x−2)，代入y2=8x得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，∴x1x2=4，∴|FA|+4|FB|=4x1+4x2+10≥2√4x1×4x1+10=18，当且仅当x1=1时取等号．|FA|+4|FB|的最小值是18．故答案为：18．联立方程组消元，由根与系数的关系得出A，B横坐标互为倒数，利用抛物线的性质得出|FA|+4|FB|=4x1+4x1+10，根据基本不等式得出最值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．17.答案：解：(1)由a1，a5，a25成等比数列，可得a52=a1a25，则(a1+4d)2=a1(a1+24d)，由d=1，代入上式即为(a1+4)2=a1(a1+24)，解得a1=1，则a n=a1+(n−1)d=1+n−1=n；(2)b n=3 a n+a n=3n+n，前n项和T n=(3+32+⋯+3n)+(1+2+3+⋯+n)=3(1−3n)1−3+n(n+1)2=3n+1−32+n(n+1)2．解析：(1)运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，可得数列{a n}的通项公式；(2)求得b n=3 a n+a n=3n+n，由数列的求和方法：分组求和，结合等差(比)数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的性质和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)n=80.08=100,a=100×0.24=24,b=15100=0.15,(2)[70,80)，[100,110)分数段学生的分别为20人，10人，用分层抽样的方法抽取6人，则[70,80)分数段抽取学生为4人，记为A1，A2，A3，，A4；[100,110)分数段抽取学生为2人，记为B1，B2 ，从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,A4}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A4,B1}，{A4,B2}，{B1,B2}.又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，即{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A4,B1}，{A4,B2}，故所求的概率为8．15解析：本题考查频率分布表的认识、分层抽样以及古典概型概率的求解．(1)根据频率分布表的特点求解即可；(2)根据[70,80)，[100,110)分数段学生的人数采用分层抽样得到各自的人数，采用列举法结合古典概型求解解．19.答案：证明：(1)设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，连接FO．由题知EF=OC=1，因为EF//AC，所以四边形CEFO为平行四边形，所以CE//OF．又CE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE//平面BDF．(2)因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，FA⊥AC，FA⊂平面ACEF，故FA⊥平面ABCD．连接EO，易知四边形AOEF为边长为1的正方形，所以EO⊥平面ABCD，则EO⊥BD．所以△BDE为等腰三角形，BD=2BO=2OC=2，BE=DE=√BO2+EO2=√2．因为BD2=BE2+DE2，所以BE⊥DE．同理在△BEF中，BE⊥EF，因为DE∩EF=E，所以BE⊥平面DEF．解析：本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质和线面垂直的判定．(1)证明CE//OF，即可证明CE//平面BDF；(2)证明BE垂直平面DEF内的两条相交直线：DE、EF，即可证明求BE⊥平面DEF．20.答案：(Ⅰ)解：如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(−1,0)，依题意，圆C内切于圆O.设切点为D，则O，C，D三点共线．∵O为AA′的中点，C为AB中点，∴A′B=2OC，∴|BA′|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4>|AA′|=2．依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a=4，|AA′|=2c=2，∴a=2，c=1，∴b2=a2−c2=3，∴动点B的轨迹方程为x24+y23=1；(Ⅱ)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=2，此时直线l与椭圆x24+y23=1相切，与题意不符，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x−2)，由{y+1=k(x−2)x24+y23=1得(4k2+3)x2−(16k2+8k)x+16k2+16k−8=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则{x1+x2=16k2+8k4k2+3 x1x2=16k2+16k−84k2+3Δ>0⇒k<12,∴k PM+k PN=y1x1−2+y2x2−2=k(x1−2)−1x1−2+k(x2−2)−1x1−2=2k−(1x1−2+1x2−2)，=2k−x1+x2−4(x1−2)(x2−2)=2k−x1+x2−4x1x2−2(x1+x2)+4，=2k−16k2+8k4k2+3−416k2+16k−84k2+3−2(16k2+8k4k2+3)+4=2k+3−2k=3．解析：本题考查动点轨迹方程的求法和直线与椭圆的位置关系，属难题．(Ⅰ)利用椭圆的定义求出动点B的轨迹方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求解．21.答案：解：(1)由，则f′(x)=e x+1x，f′(1)=e+1．f(1)=e，则切点为(1,e)，所求切线方程为y−e=(e+1)(x−1)，即(e+1)x−y−1=0．(2)原不等式等价于e x>m(x−1),(x>1),所以m<e xx−1,令g(x)=e xx−1,g′(x)=e x(x−2)(x−1)2,当g′(x)<0,解得1<x<2；当g′(x)>0,解得x>2，所以x=2时g(x)取极小值，也是最小值，即g(x)min=g(2)=e2.所以m<e2.故m<e2.解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．(2)由f(x)=e x+lnx，原不等式即为e x>m(x−1),(x>1),分离参数，记g(x)=e xx−1,通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，转化求解m的范围即可．22.答案：解：(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，∴ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即(x−3)2+(y−1)2=10．∵直线l的参数方程为{x=1−√2ty=2+√2t(t为参数)，∴x+y=3.即直线l的普通方程为x+y=3．(2)直线l 的标准参数方程为{x =1−√22ty =2+√22t，代入曲线C 的普通方程得t 2+3√2t −5=0．∴|QA|⋅|QB|=|t 1t 2|=5．解析：(1)对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C 的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；(2)求出直线l 的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题．23.答案：解：(1)a =1，时，f(x)=|x +1|+3|x −1|，不等式f(x)≤|2x +3|可转化为{x ≥14x −2≤2x +3或{−1<x <1−2x +4≤2x +3或{x ≤−1−4x +2≤2x +3， 解得1≤x ≤52或14≤x <1或无解． ∴不等式的解集为[14,52]；(2)∵f(x)<4+2|x −a|，即|x +1|+3|x −a|<4+2|x −a|， 等价于|x +1|+|x −a|<4有解， 即(|x +1|+|x −a|)min <4，又|x +1|+|x −a|≥|x +1−x +a|=|a +1|， 当(x +1)(x −a)≤0时取等号． ∴|a +1|<4，解得−5<a <3， ∴实数a 的取值范围是(−5,3).解析：本题考查绝对值不等式的解法及绝对值的三角不等式． (1)利用零点分区间法去绝对值转化为不等式组求解；(2)将问题转化为(|x +1|+|x −a|)min <4，然后利用绝对值不等式的三角不等式求解即可．。