2021年考研数学模拟卷二(数学三)
按新大纲编写2021届考研数学模拟题(数学三)
一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.(1)设)(x f 连续可导，且24)31(lim 20-=--→x x f x ，则（）.（A ）1=x 为)(x f 的极大值点.（B ）1=x 为)(x f 的极小值点.（C ）))1(,1(f 为)(x f y =的拐点.（D ）1=x 既不是)(x f 的极值点，))1(,1(f 也不是)(x f y =的拐点.(2)设)1)(1ln(-+nx e x 是)(x f 的一个原函数，dt t a x g x)11()(3sin 0-+=⎰，若0→x 时，)(x f 与)(x g 是等价无穷小，则（）.（A ）3,24==n a .（B ）4,40==n a .（C ）4,24==n a .（D ）3,40==n a .(3)设区域D 是由1=+y x 及坐标轴围城，由dxdy x I D⎰⎰=22，dxdy y x J D⎰⎰=22cos sin 2，dxdy eK Dyx ⎰⎰-=+)1(22，则（）.（A ）K J I <<.（B ）J K I <<.（C ）I K J <<.（D ）K I J <<.(4)级数∑∞=++-111)1(n nnn a n （）.（A ）发散.（B ）绝对收敛.（C ）条件收敛.（D ）敛散性与a 有关.(5)设可微函数),(y x f z =满足0,0<∂∂>∂∂yfx f ，则下列正确的是（）.（A ）当2121y y x x >>，时，),(),(2211y x f y x f >.（B ）当2121y y x x >>，时，),(),(2211y x f y x f <.（C ）当2121y y x x <>，时，),(),(2211y x f y x f >.（D ）当2121y y x x ><，时，),(),(2211y x f y x f >.(6)设)(x y 为微分方程x e qy py y 22'"-=++满足1)0(',0)0(==y y 的特解，且11-=λ为其中一个特征值，则该微分方程的通解为（）.（A ）x x x xe e C e C 2221---++.（B ）x x x xe e C e C 2221--++（C ）x x x e e C e C 2221---++.（D ）x x x e e C e C 2221--++.(7)设A 为三阶实对称矩阵，又B 为三阶不可逆矩阵，，020*=-≠B AB B ，，又3)(=A tr ，则=+E A 3*（）.（A ）7.（B ）4.（C ）7-.（D ）4-.(8)设A 为三阶矩阵，其特征值为2,1321=-==λλλ，其对应线性无关的特征向量为321ααα，，，令),,(33231ααααα+-=P ，则=+-P E A P )2(1（）.（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-133040004.（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-133040004.（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100040334.（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100040334.(9)设X 是一个随机变量，μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则对任意常数a ,必有（）.（A ）222)()(a X E a X E -=-.（B ）22)()(μ-=-X E a X E .（C ）22)()(μ-<-X E a X E .（D ）22)()(μ-≥-X E a X E .(10)设随机变量n X X X ,,21独立同分布，且方差02>σ，记∑==ni i X n X 11，则X X -1与X 的相关系数为（）.按新大纲编写2021届考研10月份月考测试（数学三）f (1+x )+（A ）1-.（B ）1.（C ）21.（D ）0.二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.(11))1ln(sin )]1sin[ln(lim 0x xe xx x x +--+→=_____________.(12)已知连续函数)(x f 满足2220)(1)()(x dudv v u x f dt t x f x f Dx=+----⎰⎰⎰π，其中{}0,),(222>≤+=x x v u v u D ，则)(x f =__________.(13)∑=∞→+ni n ni n i 122)cos 1(lim π=____________.(14)设),(y x f z =可微，且y x xy y x f -=+),(，则=)0,1(dz __________.(15)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=202211001A ，矩阵B 满足1*-+=A B B A ，则=+--11)(E B ___________.(16)设随机变量X 与Y 独立，且都在区间]3,1[上服从均与分布，若事件{}a X A ≤=，{}a Y B >=，已知97)(=⋃B A P ，则常数a =____________.三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本题满分10分)计算积分dx xxI ⎰-+=44sin 1ππ.(18)（本题满分10分)计算dxdy yx y x D⎰⎰++222，其中区域D 由1,1,122===+y x y x 围成.(19)（本题满分10分)求幂级数∑∞=04)!4(n nn x 的和函数.(20)（本题满分10分)设)(),(22y x f y x u +=在4:22≤+y x D 上有二阶连续偏导数，且满足⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∂∂-∂∂+∂∂,2cos 2)1,1(,0)0,0(,1222222u u y x u x ux y u xu 求函数u 的表达式及u 在D 上的最大值.(21)（本题满分15分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102011111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c b a B 200411，且X 为三阶矩阵，（Ⅰ）讨论常数c b a ,,为何值时，矩阵方程B XA =有解；（Ⅱ）当矩阵方程B XA =有解时，求矩阵X .(22)（本题满分15分)设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<=-其他,00,),(y x kxe y x f y ，（Ⅰ）求常数k ；（Ⅱ）求Y X ,的边缘概率密度，判断他们是否相互独立；（Ⅲ）求)(),(x y f y x f X Y Y X ；（Ⅳ）求{}{}2121=<<<Y X P Y X P ，；（Ⅴ）求),(Y X 的联合分布函数.。
2021考研数学三真题及答案解析(全)
(B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为 0.
(D)可导 lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续；
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0
1
lim
x0
【答案】D.
【解析】
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( A)
P( A) P(B) P(AB)
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( AB) P(A B)
P(B) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
(C)若 P( A | B) P( A | B) ，则 P(A | B) P(A) . (D)若 P( A | A B) P( A | A B) ，则 P( A) P(B) .
1 1 | E A | 1 2 1 ( 1)( 3)
1 1
令上式等于零，故特征值为 1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)设
A
(1,2 ,3,4 )
为
4
阶正交矩阵，若矩阵
B
=
1T 2T
，
1 1 ， k
表示任意常数，
T 3
1
则线性方程组 Bx 的通解 x
(B)等价无穷小.
2021年考研数学模拟卷二(数学一)解析
lim
n
n
ln
1
1 n(1 2a)
lim
n
n n(1 2a)
1 1 2a
.
（12） y ln x 的最大曲率为
.
【答案】 Kmax
23 9
.
5
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【解析】 y ln x ，则 y
1 x
,
y
1 x2
，故曲率为 K
y
3
(1 y2 )2
x
3
(1 x2 )2
,x 0.
dK 令 dx
1
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（2）设函数
F ( x)
f (x) x2
,
f (0),
x
0,
其中
f
(x)
在
x0
处二阶可导，
f (0) 0
，
x 0,
f (0) 0 ， f (0) 0 ，则 x 0 是 F (x) 的（ ）
（A）第一类间断点
（B）连续点
（C）第二类间断点
（D）连续点或间断点不能由此确定
1,2 ,3 线性表示， 2 (0,1, 2)T 不能由1,2 ,3 线性表示，则 a （ ）
（A） 1
【答案】（A）
（B） 3
（C） 0
（D）1
【解析】设 i xi11 xi22 xi33, (i 1, 2), A (1,2 ,3 ) ，对该非齐次线性方程
组的增广矩阵作初等行变换，有
服从 F
分布
【解析】本题未说明 X ,Y 相互独立，故选（C）.
二、填空题：11~16 小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
2021年考研数学数一数二数三强化检测模拟题
绝密★启用前2021年全国硕士研究生招生考试数学（一）检测试卷（一）（科目代码：301）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
（1）下列函数在其定义域内连续的是().(A)xx x f sin ln )(+=(B)⎩⎨⎧>≤=0,cos 0,sin )(x x x x x f (C)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=0,10,00,1)(x x x x x x f (D)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1)(x x xx f （2）已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且,2cos 1)(lim,0)0(==→xx f f 则在点0=x 处)(x f ().(A)（3）当x (A)-1（4）设(f (A)2x（5）函数(A)0（6(A)（7）设(f (A)(g (C)(f （8）当a (A)2（9）设函数)(x f 满足关系式x x f x f ='+''2)]([)(，且0)0(='f ，则().(A))0(f 是)(x f 的极大值.(B))0(f 是)(x f 的极小值.(C)点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点.(D))0(f 不是)(x f 的极值，点))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点.（10）行列式=dc d c b a b a000000().(A)2)(bc ad -(B)2)(bc ad --(C)2222cb d a -(D)2222da cb -二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分。
2021考研数学三真题试卷(Word版)
2021考研数学三真题试卷(Word版)2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）1) 当x趋近于无穷大时，∫x2(et-1)dt是x7的（）A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小2) 函数f(x)={ex-1.x≠0.x。
x=0}，在x=0处（）A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值 (C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零3) 设函数f(x)=ax-blngx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围（）A) (e。
+∞) (B) (0.e) (C) (0.1/e) (D) (-∞。
0)∪(1/e。
+∞)4) 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e)=x(x+1)，f(x,x)=2xlnx，则df(1,1)为()A) dx+dy (B) dx-dy (C) dy (D) -dy5) 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()A) 2,0 (B) 1,1 (C) 2,1 (D) 1,26) 设A=(α1,α2,α3,α4)的4阶正交矩阵，若矩阵B=[α2;1 α3]，β=1，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()A) α2+α3+α4+kα1 (B) α1+α3+α4+kα2 (C) α1+α2+α4+kα3 (D) α1+α2+α3+kα47) 已知矩阵A=[2 -1;1 1]，使得PAQ为对角矩阵，则下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，分别取()A) P=1，Q=[1 1;3 2] (B) P=2-1，Q=[1 1;3 2] (C) P=2-1，Q=[1 1;-3 1] (D) P=1，Q=[-3 1;1 1]8) 设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列为假命题的是()A) 若P(A|B)=P(A)，则P(A∩B)=P(A)P(B)B) 若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)C) 若P(A|B)>P(A)，则P(B|A)>P(B)D) 若P(A|B)<P(A)，则P(B|A)<P(B)一、改错题B) 若 $P(A|B)>P(A)$，则 $P(A|B)>P(A)$。
2021考研数学三真题及答案解析
2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当0x →，23(e 1)d x t t -⎰是7x 的A.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.【答案】C 【解析】()()2366755e 1d 2e12limlim lim 077x t x x x x t xx x x →→→--===⎰,故选C.2.函数e 1,0,()1,0x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处A.连续且取极大值.B.连续且取得最小值.C.可导且导数等于零.D.可导且导数不为零.【答案】D【解析】因为)0(11e lim 0f xxx ==-→，故连续；又因为211e 11e lim 220=--=--→x x x x x x x ，故可导，所以选D3.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有2个零点，则ba 的取值范围A.()e,+∞. B.()0,e .C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【答案】A【解析】()ln f x ax b x,=-若0<b ，不满足条件，舍去若0>b 令()=0bf x a x'=-，得b x a =.在()()000b b ,f x ,,f x .a a ⎛⎫⎛⎫''<∞> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()0x x lim f x ,lim f x +→+∞→=+∞=+∞，令=ln 1ln 0b b b f b b b ,a a a ⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ln 1b a >，即e b a >.故选A.4.设函数(),f x y 可微，且()222+1,e (1),(,)2ln ,xf x x x f x x xx =+=则()d 1,1f =A.d d x y +.B.d d x y -.C.d y .D.d y -.【答案】选C【解析】由于2(1,e )(1)x f x x x +=+两边同时对x 求导得212(1,e )(1,e )e (1)2(1)xxxf x f x x x x ''+++=+++令0x =得12(1,1)(1,1)10f f ''+=+222121(,)(,)24ln 2f x x f x x x x x x x''+=+⋅令1x =得12(1,1)2(1,1)02f f ''+=+因此1(1,1)0f '=；2(1,1)1f '=.所以d (1,1)d f y =，答案选C5.二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为A.02，B.11，C.12，D.21，【答案】B【解析】()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =+++--222222112222333131222x x x x x x x x x x x x =+++++-+-221223132222x x x x x x x =+++二次型对应矩阵为011121110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,11101||121=1211111E A λλλλλλλλ--+---=----------100(1)122111(1)((2)(1)2](1)(3)λλλλλλλλλ=+------=+---=+-则11p q ==.6.设1234(,,,)=A a a a a 的4阶正交矩阵，若矩阵T 1T 2T 31,11⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a B a a β，k 表示任意常数，则线性方程组=Bx β的通解=x A.2341.k +++a a a a B.1342.k +++a a a a C.1243.k +++a a a a D.1234.k +++a a a a 【答案】D【解析】()T 1T 21234T 3111k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ααααααα，不难验证A,B,C 均不是方程组的解.7.已知矩阵101211125-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则、P Q 分别取（）.100101100100.010,013.210,010001001321001100101100123.210,013.010,012321001131001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】通过代入验证100101100210013010.3210011012111250010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭-⎝选C8.设B A ,为随机事件，且()10<<B P ，下列为假命题的是A.若()()A P B A P =，则()()A P B A P =B.若()()A P B A P >，则()()A P B A P >C.若()()B A P B A P >，则()()A P B A P >D.若()()B A A P B A A P ⋃>⋃，则()()B P A P >【答案】选D【解析】A.条件失效，独立，显然成立B.()(|)()()()()()P AB P A B P A P AB P A P B P B =>⇒>()()1()()()(|()1()1()()()()1()1()()[()1]1()1()P AB P A P B P AB P A B P B P B P A P B P A P B P B P B P A P B P B P A P A --+==---+>--+-=-=-=故B 正确.C.显然()()()P AB P A P B >，()(|)()()P AB P A B P A P B =>故C 正确.D.[()]()()()()()()()()()P A A B P AB P B P AB P AA B P A B P A B P A P B P AB ⋃-⋃===⋃⋃+-∣，()()()P A P B P AB >-，不能说明()()P A P B >，错误.故选D.9.设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本，令121111=,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ==-===-∑∑ ,则A.()()2212,E D nσσθθθ+==.B.()()2212122,E D nσσρσσθθθ+-==.C.()()2212,E D nσσθθθ+≠=.D.()()2212122,E D nσσρσσθθθ+-≠=【答案】B【解析】11ˆ()E E X Y E X EY θμμ=-=-=-.221212ˆ()2Cov(,)2D D X Y D X DY X Y n n nσσσθρσ=-=+-=+-10.设总体X 的概率分布{}{}{}111,23,24P X P X P X θθ-+======利用来自总体X 的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得θ的最大似然估计值为A.1.4B.3.8C.1.2D.5.8【答案】A【解析】()351124L θθθ-+⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()4ln 51ln 52ln 313ln 415ln 213lnln -++--=++-=θθθθθL 令()01513d dln =++--=θθθθL 得1ˆ4θ=二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.若cos ey =则1d d x y x==.【答案】1sin e 2e-.【解析】可得y '=111sin e 2ex x y -=='==.12.5x =_______.【答案】6【解析】5353x x x=+⎰()()352231199622x x =--+-=⎰.13.设平面区域D由曲线y x π=(0≤x ≤1)与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积________.【答案】π4【解析】利用旋转体体积计算公式得()2120ππd πsin d 4baV yx x x x x π===⎰⎰14.差分方程t y t ∆=的通解t y =.【答案】()12t ty t C =-+.【解析】先解齐次差分方程10t t y y +-=，t y C=再设非齐次的解为()*01t y t A At =+，代入差分方程()()()01011t+1t A A t A A t ++-+⎡⎤⎣⎦整理得0112A A t A t++=对比系数后得011212A A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得通解()12t ty t C =-+15.多项式12121()211211xx x x f x xx-=-中的3x 项的系数为______.【答案】5-【解析】3x 项为()()1+2+213331415x x x -+-=-，因此3x 项系数为5-16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则,X Y 的相关系数为.【答案】15【解析】3111022EXY EX EY ===221()4DX EX EX =-=，221()4DY EY EY ==-111152220ρ==⋅三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知()101lim arctan 1x x a x x →⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在，求a 的值.【解析】()+101lim arctan 1e 2x x a x a x →π⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，()1011lim arctan 12e x x a x a x -→π⎡⎤+-=-+⎢⎥⎣⎦，由于()101lim arctan 1x x a x x →⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在，得1e=+22e a a ππ+-，得11=e e a ⎛⎫- ⎪π⎝⎭.18.（本题满分12分）求函数222(1)(,)2ln ||2x y f x y x x-+=+的极值.【解析】()()()()22222423212411221,04x x x x x y x y x f x y x xx x x ⎡⎤-⋅--+-+-⎣⎦'=+=+-=，()222,02y y yf x y x x'===，得0y =,代入()()()()22222233331211212+2121,0x x x x x x x x x x x x f x y x x x x x x--+-+---+-'=+-====，得1,12x x ==-.故得坐标()1,0,1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.()()()()()2322222236443221[1]32122233,;21,;,.xx xyyy x x x y x x x y f x y x x x x x x y f x y f x y x x-⋅--+⋅--+''=--+-=+''''=-=在点1,02⎛⎫⎪⎝⎭处，得224;0;4,960.0A B C AC B A ===-=>>,取极小值11,0ln 422f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；在点()1,0-处，得23;0;1,30.0A B C AC B A ===-=>>,取极小值()1,02f -=.19.（本题满分12分）设有界区域D 是圆221x y +=和直线y x =以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分()()222ed d .x y Dxy x y +-⎰⎰【解析】()()()()()222222222222211sin cos 223sin 2344011111sin 222sin 22224400000002ed d d ecos2d d e cos2d 11111d e d sin 2e d e e d e e 224841e 1.8x y r rr Dr r r r r r r rxy x y r r r rr r r r r r r θθθθθθθθθθππ+++ππ++-===+==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）设n 为正整数，()n y y x =是微分方程()10xy n y '-+=满足条件()()111n y n n =+的解.(1)求()n y x .(2)求级数()1nn y x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】(1)由微分方程()10xy n y '-+=得()1d 1en x n xny x C Cx ++⎰=⋅=代入()()111n y n n =+，得()11C n n =+,故()()111n ny x x n n +=+.（2）1lim1n n na a ρ+→∞==,11R ρ==，当1x =±时，()1n n y x ∞=∑收敛，故收敛域[]1,1-.()()()[]111,1,11n n n S x y x x x n n ∞+===∈-+∑,则有()1111n n S x x x∞-=''==-∑，得()()()()001d 0d 0ln 11xxS x S t t S t x t''''=+=+=---⎰⎰，()()()()()()0d 0ln 1d 01ln 1xxS x S t t S t t x x x '=+=--+=--+⎰⎰.21.设矩阵2101201a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 仅有两不同的特征值，若A 相似于对角矩阵，求,a b 的值，并求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.【解析】2210||120()[(2)1]1E b a bλλλλλλ---=--=------A ()2()43()(1)(3)0.b b λλλλλλ=--+=---=当1b =时，1a =，1233,1λλλ===，110110101⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P .当3b =时，1a =-，1233,1λλλ===，101101011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P .22.（本题满分12分）在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=.（1）求X 的概率密度；（2）求Z 的概率密度；（3）求X E Y⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意得，~(0,1)X U ,101,()0.x f x <<⎧=⎨⎩其他（2）221X Y X XZ X -===-;当1z <时，()0z F z =;当1z ≥时，()0z F z =221222{}(1)1d 2.11z P Z z P z P X x X z z +⎧⎫=≤=-=≥==-⎨⎬++⎩⎭⎰ 故22,1(1)()0,Z z z f z ⎧>⎪+=⎨⎪⎩，其他..（3）221112111d 2d (1)1(1)2ln 2 1.E E z z z z z z z X YZ +∞+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎰⎰.。
2021考研数学三测试卷解析
f (0) _____ .
【答案】0
【解析】由已知等式得 f (0) 0.
等式两边同时对 x 求导，得 2 f (x) 1 f ( x) 2(1 2x), （*）.令 x 0, 得 f (0) 4 .
由 f (0, 0) 0, 得 C 0, 故 f (x, y) x2 3x y 2 4 y.
由
z x
2x
3
0,
z y
2y
4
0,
得
x1
3 2
,
y1
2,
f
(3 2
, 2)
25 . 4
令 L(x, y, ) x2 y 2 3x 4 y (x2 y 2 25),
由
Lx Ly
L
因此 Y
X
2 1
X
2 2
X
2 3
X
2 4
2
X
2 3
X 42
~ F (2, 2). 因为 P{Y
y } , 即 y
F (2, 2), 又
2
1 1 P{Y
y} P{Y y} P{Y
y }
P{
1 Y
1 }, y
而
1 ~ F (2, 2), Y
所以
y1
1 y
, 所以（A）正确.
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
X
2 3
X 42
, 对给定的
(0 1), 数 y 满足 P{Y y } , 则有（ ）
（A） y y1 1.
2021考研数学真题及答案解析(数三)
【解答】联合分布率
(
X
,
Y
)
3 10
1 5
1 5
3 10
,
X
1
2
1
Y
1
2 2
1
2
cov( X ,Y )
1 20
， DX
1 , DY 4
1 4
,即 XY
1. 5
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本小题满分 10 分)
(9)设
(
X1
,
Y1
)
，(
X
2
,
Y2
)
，
，(
X
n
,
Yn
)
为来自总体
N
(
1,
2
;
2 1
,
2
2
;
)
的简单随机样本，令
1 2 ， X
1 n
n i 1
Xi
，Y
1 n
n
Yi
i 1
，ˆ
X
Y
则
(A)
E(ˆ)
，
D(ˆ)
2 1
2 2
.
n
(B) E(ˆ)
， D(ˆ)
2 1
22
21 2
.
n
(C)
E(ˆ)
e(x y)2 (x2 y2 )dxdy.
D
【答案】 1 e 2 1 e 1 . 8 48
e(x y)2 (x2 y2 )d 1
驻点 (1 , 0) 处，A=24，B=0，C=4， AC B2 3 0 ， A 0 2
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绝 密 ★ 启 用 前
2021年全国硕士研究生招生考试模拟二
数学（三）试题
（科目代码： 303 ）
考生注意事项
1.考生必须严格遵守各项考场规则。
（1）考生在考试开考15分钟后不得入场。
（2）交卷出场时间不得早于考试结束前30分钟。
（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。
2.答题前，应按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。
3.答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。
（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用2B 铅笔完成。
如要改动，必须用橡皮擦干净。
（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答。
字迹要清楚。
4.考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。
考生姓名考生编号
题型选择题填空题解答题分值50分
30分
70分
得分
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1
中公学员内部专用
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，下列3
个无穷小
α=，2
2
0(e 1)d x t t β=-⎰
，γ=-，按后一个
无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（）
（A ）,,αβγ.
（B ）,,γβα.
（C ）,,γαβ.
（D ）,,αγβ.
（2）设函数2()
,0,()(0),0,
f x x F x x f x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩其中()f x 在0x =处二阶可导，(0)0f ''≠，
(0)0f '=，(0)0f =，则0x =是()F x 的（ ）
（A ）第一类间断点
（B ）连续点
（C ）第二类间断点
（D ）连续点或间断点不能由此确定
（3）设3
2
()3f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为（ ） （A ）0（B ）1
（C ）2
（D ）3
（4）设
3()f x dx x C =+⎰，则23(1)x f x dx -=⎰（
）
（A ）333()x x C --+ （B ）333(1)x C -+ （C ）
33
1(1)3
x C --+ （D ）33
1
()3
x x C -+（5）微分方程2e x y y y '''-+=的特解形式为（ ）（A ）e (0)x y A A *=≠.（B ）()e (0)x y A Bx B *=+≠. （C ）2()e (0)x y A Bx Cx C *=++≠. （D ）23()e (0)x y A Bx Cx Dx D *=+++≠.（6）下列不等式中正确的是（）
（A ）
22
1
1()0x y x y d σ≤≤->⎰⎰
（B ）
2211
()0x y x y d σ≤≤-<⎰⎰
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2
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（C ）
11
(1)0
x y x d σ≤≤+≥⎰⎰ （D ）
22221
()0
x y x y d σ+≤-->⎰⎰
（7）已知123λλλ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
A ，则123()()()λλλ=---=
B A E A E A E （ ） （A ）O
（B ）E （C ）2E
（D ）-E
（8）设123(1,2,1),(2,3,),(1,2,2)T
T
T
a a ===+-ααα，若1(1,3,4)T
=β能由
123,,ααα线性表示，2(0,1,2)T =β不能由123,,ααα线性表示，则a =（ ）
（A ）1
-（B ）3 （C ）0 （D ）1
（9）随机事件,A B 满足1
()()2
P A P B ==，()1P A B = ，则有（ ） （A ）A B =Ω （B ）AB =∅
（C ）(1P A B = （D ）()0
P A B -=（10）设随机变量(0,1),(0,1)X N Y N ，则（ ）（A ）X Y +服从正态分布（B ）22X Y +服从2χ分布
（C ）2
X 和2
Y 服从2
χ分布
（D ）2
2X Y
服从F 分布
二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （11）设12a ≠，则21lim ln (12)n
n n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦
.
（12）设0x >时，可微函数()f x 及其反函数()g x 满足关系式3
()
20
1()(8)3
f x
g t dt x =-⎰
，
则()f x =
.
（13）设某产品的需求函数为1
()q d p e
=-，q 为需求量（即产量），p 为单价，d 为正的常数，则需求对价格的弹性为
.
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3
中公学员内部专用
（14）计算不定积分
2222tan sin cos x
dx a x b x =
+⎰ .（其中0ab ≠）
（15）已知向量(1,,1)T k =α是矩阵211121112⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A 的逆矩阵的特征向量，则
k =
.（其中0k >）
（16）已知事件,A B 满足()()P AB P AB =，记()P A p =，则()P B =
.
三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）计算不定积分2
2(1)()
dx
x x x ++⎰。
（18）（本题满分10分）设()f x 在区间[0,1]上可微，当01x ≤<时，恒有
0(1)()f f x <<，且()()f x f x '≠.证明：在(0,1)内存在唯一的点ξ，使得
()()f f t dt ξ
ξ=⎰.
（19）（本题满分10分）设直线y ax =与抛物线2y x =所围成的图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S ，并且1a <.试确定a 的值，使12S S S =+达到最小，并求出最小值.
（20）（本题满分11分）计算2
max{,}D
I y x x y d σ=-⎰⎰
，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤.
（21）（本题满分14分）设A 为3阶矩阵，123,,λλλ为A 的三个不同特征值，对应的特征向量为123,,ααα，令123=++βααα.
（1）证明：向量组122313(),(),()+++A A A αααααα线性无关的充要条件是A 为可逆矩阵；
（2）若3=A A ββ，求秩()r -A E 及行列式2+A E 。
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4
中公学员内部专用
（22）（本题满分15分）设总体X ，Y 相互独立，且X 的概率分布为
,
01,1(;),13,2
0,
.x f x x θθθ<<⎧⎪-⎪
=≤<⎨⎪⎪⎩其他Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，12,n
X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,n x x x 中小于1的个数。
（1）求Z X Y =+的分布函数；
（2）求X 的数学期望()E X 和方差()D X ；（3）求参数θ的矩估计量和最大似然估计值。