《高等数学》各章知识点总结——第章
高数部分知识点总结
高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。
(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学第一章的总结
例.
01
解:
02
原式
03
例. 求
04
例
解
解法讨论
典型例题
例：
例：
函数连续的等价形式
有
函数间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第二类间断点
可去间断点
无穷间断点
振荡间断点
三、连续与间断
小结：
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
3.间断点的分类与判别;
2.区间上的连续函数;
第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.
例. 证明
例：
01
求极限
02
解：
03
原式
04
求极限
05
提示：
06
原式
07
左边
08
= 右边
09
故极限存在，
设
, 且
求
则由递推公式有
解：
设
∴数列单调递减有下界，
故
利用极限存在准则
例：
思考与练习
, 求 时, 设 不对! 此处
1.如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
2.已知
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 下述作法是否正确? 说明理由. 由递推式两边取极限得
右极限存在,
不存在.
补充结论：
D
C
A
B
思考题解答
小结:
例
商的法则不能用
解
由无穷小与无穷大的关系,得
解
例
(消去零因子法)
例
解
(无穷小因子分出法)
结论:
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
(完整版)高等数学上册知识点
高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
高等数学第一章函数部分的知识点及例题
−
2 −1
（6）lim 2
→1 2 −−1
3
2 +1
− 1 > 0
（8） = ቐ 2 +2+1
3 +1
1
→∞ 2
（9） lim
+
2
2
≤0
+⋯
2
，求在0处的极限
五、两个重要极限
sin
lim
→0
一般形式：当 →
=1
sin
0时
，求k=
−3
→3
2 +1
（6） lim
→∞ +1
− + = 0，求a，b。
七、无穷小的比较
设和都是同一过程的无穷小
→0
= 0，则是的高阶无穷小 = 0
若 lim
→0
= ≠ 0，则是的同阶无穷小
若 lim
→0
= 1，则是的等价无穷小~
重点：利用函数连续性求极限
若（）为初等函数且在有定义
则 lim = 0
→0
若（）是连续的
则 lim
→0
= lim
→0
例题、求下列函数的极限
（1）lim ln
x→0
（4）
sin x
x
2x+3 x+1
lim
x→∞ 2x+1
（2）x→0
lim 1 + 2x
结论：
除0以外，无穷小于无穷大互为导数
无穷小与常数的乘积为无穷小
无穷小与有界函数的乘积为无穷小
例题、求下列函数的极限
新版高等数学(同济第七版)上册-知识点总结-新版-精选.pdf
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
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第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
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...
公式。 常用公式( 前8个)
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五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
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1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
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（２)函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当 )有定义,如果存在常数A对于任意给定的正数(不论它多么小）总存在正数（或存在X）使得当ｘ满足不等式0<｜xx０|时（或当 时）恒有｜f（x)A|
那么常数A就叫做函数ｆ（x）当 （或 ）时的极限记为
或f(x)A(当ｘx0)(或 )
类似的有:如果存在常数A对 当 ( )时，恒有 ,则称 为 当 时的左极限（或右极限)记作
显然有
如果存在常数A对 当 时,恒有 ，则称 为 当 (或当 ）时的极限
记作
显然有
２、极限的性质
（1)唯一性
若 , ,则
若 ，则
（2)有界性
（ ）若 ,则 使得对 恒有
（ ）若 ,则 当 时,有
若函数 在 内每点都连续，且 , ，则称函数 在 上连续,记作
（2）函数的间断点
设 在点 的某去心邻域 内有定义
若函数 :
(ｉ）在点 处没有定义
（ ）虽然在 有定义但 f(x)不存在
(３）虽然在 有定义且 f（x)存在但 f(x)ｆ( )
则函数ｆ(x)在点 为不连续而点 称为函数f(x)的不连续点或间断点。
设点 为 的间断点,
(1) ，则称点 为 的可去间断点,若(2) ,则称点 为 的跳跃间断点,
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点
(3) 则称点 为 的无穷型间断点,
(4)若 不存在且都不是无穷大,则称点 为 的振荡型间断点,
无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点
1１、连续函数的运算
（1）连续函数的四则运算
(1)
（2)
(3）
（4) 当 (或 ）时有 ,则
(5) 当 （或 ）时有 ,则
（6) 则
8、无穷小量的比较
若（1) ,则称当 时， 与 是同阶无穷小。
(2） ,则称当 时， 与 是等价无穷小,记作 （ )。
(3） ，则称当 时, 是 是高阶无穷小,记作 （ )。
（4) （或 ),有 ，则记 （ ）
（５） ，则称当 时, 是 是k阶无穷小，
４、极限的运算法则
（1）若 ,
则(i）
(iｉ)
（iii) （ )
(2）设( ) （ ）当 时
（ )
则
5、两个重要极限
(1）
, ，
（2)
6、无穷小量与无穷大量的概念
（1）若 ，即对 当 （或 ）时有 ，则称当 无穷小量
（2）若 即对 当 (或 ）时有 则称当 无穷大量
7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则
9、常用的等价无穷小
当 时，有(1)
（２) （３） （4）
1０、函数连续的概念
（1）函数连续的定义
设 在点 及其邻域 内有定义，若
（ )
或( )
或(iii） 当 时，有
则称函数 在点 处连续
设 在点 内有定义,若 ，则称函数 在点 处左连续，
设 在点 内有定义,若 ，则称函数《高等数学》-各章知识点总结——第章
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第1章函数与极限总结
1、极限的概念
（1)数列极限的定义
给定数列{xn},若存在常数ａ，对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数N使得对于n＞N时的一切n恒有
( ）若 ，则 当 时,有
（３)局部保号性
（ ）若 且 则 ,当 时，恒有
（ )若 ,且 ，则 当 时，有
3、极限存在的准则
（ ）夹逼准则
给定数列
若① 当 时有
，
则
给定函数 ,
若 当 (或 ）时,有
,
则
( ）单调有界准则
给定数列 ，若 对 有 使对 有 则 存在
若 在点 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则 (或 ）存在
若函数 在点 处连续
则 在点 处也连续
（2）反函数的连续性，
若函数 在区间 上单调增加（或单调减少)且连续，则其反函数 在其对应的区间 上也单调增加（或单调减少)且连续。
（3）复合函数的连续性
设函数 由函数 复合而成, ,
若(1）
(２） 则
（或 ）
（4）初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的
（5）闭区间上连续函数的性质
（i)有界性若 ,则 在 上有界
( ）最大值、最小值定理，若 ,则 在 上一定有最大值和最小值
( ）零点性若 ，且 则至少存在一点 使得
( )介值性若 ,且 , 是介于 之间的任一值，则至少存在一点 使得