整式的乘除——同底数幂的乘法
整式的乘除与因式分解知识点复习
整式的乘除与因式分解知识点复习乘除与因式分解是数学中非常重要的知识点，广泛应用于各个领域。
在高中阶段，学习乘除与因式分解是为了更好地理解并解决数学问题，为后续学习提供基础。
本文将对乘除与因式分解的相关知识进行复习，以期加深对这一知识点的理解。
1.整式的乘法整式是由常数项和各种变量及其指数的积或和的形式构成的代数式。
整式的乘法是指两个整式之间的乘法运算。
在整式的乘法中，需要注意以下几个知识点：(1)同底数幂的乘法：当两个幂的底数相同时，可以将底数保持不变，指数相加。
例如，5^2*5^3=5^(2+3)=5^5(2)不同底数幂的乘法：当两个幂的底数不同时，将两个底数乘在一起，指数保持不变。
例如，2^3*3^2=2^3*3^2=6^2(3)乘法分配律：乘法分配律是指整式乘法中，对于两个整式a、b和一个整式c，有(a+b)*c=a*c+b*c例如，(2x+3)(4x+5)=2x*4x+2x*5+3*4x+3*5=8x^2+10x+12x+15=8x^2+22x+152.整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的运算过程。
在整式的除法中，需要注意以下几个知识点：(1)除法算法：整式的除法运算过程与约分的思想类似。
首先找出被除式中最高次项和除式中最高次项的幂次差，然后将被除式中的每一项与除式的最高次项相乘得到临时商，再将临时商乘以除式，得到临时商与被除式的差，重复之前的步骤，直到无法再继续相除为止。
例如，(2x^3+3x^2-5x+7)/(x-2)=2x^2+7x+9余数为23(2)因式定理：如果整式f(x)除以(x-a)的余数为0，则x-a是f(x)的一个因式。
例如，f(x)=x^2-3x+2，将f(x)除以(x-2)，得到(x^2-3x+2)/(x-2)=x-1余数为0，所以x-2是f(x)的一个因式。
3.因式分解因式分解是将一个整式分解成几个乘积的形式，其中每个乘积因式都尽可能简单。
同底数幂的除法以及整式的乘法
同底数幂的除法一、同底数幂的除法同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a m ÷a n ==a m －n（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ） 正确理解法则的含义应注意的问题：1. 在运算公式n m n m a a a -=÷中，0≠a ，因为当a=0时，a 的非零次幂都为0，而0不能作除数，所以0≠a2. 底数相同，如23)5(6-÷-是除法运算，但不是同底数幂相除，不能运用这个法则 3. 相除运算，如23a a +是同底数幂，但不是相除运算，不能运用这个法则 4. 运算结果是底数不变，指数相减，而不是指数相除例1 计算 （1）22243647)4();())(3(;)())(2(;b bxy xy x x a a m ÷÷-÷-÷+二、 同底数幂的除法应用例2 计算：（1）8322158213)())(2(;a a a x x x ÷-÷-÷÷三、零指数与负整数指数的意义（1）零指数 )0(10≠=a a 即任何不等于0的数的0次幂都等于1 （2）负整数指数=-p a （p 是正整数 )0(≠a ）即任何不等于零的数的-p(p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
规律点拔：（1） 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即0≠a（2） 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质就可以推广到整数指数幂 四、用小数或分数表示绝对值较小的数 例3 （1）423106.1)3(;87)2(;10---⨯+【知能整合提升】一、选择题1、如果mnnm aA a =÷)(，那么A 的值为（ ）A 、m a ；B 、na ； C 、1； D 、mna 。
2、如果m mm n x=÷+2，那么x 的值为（ ）A 、n +3；B 、n +2；C 、n +1；D 、3－n .3、已知下列四个算式：①、－3.4×310-=－0.00034；②、313332=÷； ③、827)32(3-=-；④、0099988)100001(=-。
北师大七下数学第一单元整式的乘除(思维导图)
整式的乘除幂的运算
同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加a⋅a=
m n a m+n
幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘(a)=
m n a mn
积的乘方积的乘方等于每个因式乘方的积（ab）=
n a b n n
同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减a÷
m a=
n a（a=
m−n 0）零次幂任何非零数的零次幂都得1a=
01(a= 0)
负指数次幂
a=
−1(a=
a
1 0)
a=
−p（a=
a p
1 0）
科学计数法
表示大的数a×10n
表示小的数a×10−n
,n由小数点的移动决定
1≤a<10
整式的乘法
单项式×单项式
系数相乘
同底数幂相乘
其余字母连同它的指数不变，作为积的因式
单项式×多项式用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加
多项式×多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差（a+b）（a−b）=a−
2b2完全平方公式
完全平方和公式（a+b）=
2a+
22ab+b2
完全平方差公式（a−b）=
2a−
22ab+b2
整式的除法
单项式÷单项式
系数相除
同底数幂相除
只在被除式含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式
多项式÷单项式先把这个多项式的 每一项分别除以单项式，再把所得的商相加
负一次方就是求倒数
乘法分配律
口诀：前平方，后平方，积的两倍放中央。
(完整版)最新北师大版数学七年级下册第一章_整式的乘除知识点总结及练习题
☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】第一章 整式的乘除一、 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则: n m n ma a a +=⋅（m,n 都是正数）是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式;②指数是1时，不要误以为没有指数;③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n ma a a a ++=⋅⋅(其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：n m nm a a a⋅=+（m 、n 均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1。
幂的乘方法则：mnnm a a =)((m ，n 都是正数）是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.2. ),()()(都为正数n m a a a mn mn nm ==.3。
底数有负号时，运算时要注意，底数是a 与(-a ）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a ）3化成—a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4．底数有时形式不同,但可以化成相同。
5．要注意区别（ab ）n与（a+b)n意义是不同的,不要误以为（a+b ）n=a n+b n（a 、b 均不为零）.6．积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）。
7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
三. 同底数幂的除法1。
同底数幂的除法法则:同底数幂相除，底数不变,指数相减,即n m n ma a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m 〉n ）.2。
在应用时需要注意以下几点：①法则使用的前提条件是“同底数幂相除"而且0不能做除数，所以法则中a ≠0。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)
整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
2023年北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除第1课时同底数幂的乘法
·数学
·数学 6.【例3】(跨学科融合)(核心教材母题：北师7下P3、人教8 上P98)光在真空中的速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地 球上大约需要5×102 s.地球距离太阳大约有多远? 解：3×108×5×102 ＝15×1010 ＝1.5×1011(m). 地球距离太阳大约有1.5×1011 m.
A. x3＋x2
B. x3·x2
C. x·x3
D. x7－x2
(2)计算：a2·a5＋a·a3·a3.
解：原式＝a2＋5＋a1＋3＋3＝a7＋a7＝2a7.
·数学
4.【例1】不一定相等的一组是( D )
A.a＋b与b＋a
B.3a与a＋a＋a
C.a3与a·a·a
D.3(a＋b)与3a＋b
·数学
8.(1)化简(－a)2·a4的结果是( B )
A.－a6 B.a6
C.a8
D.－a8
(2)若am·a2＝a7，则m的值为 5 .
·数学
5.【例2】计算：
(1)a·a9；
(2)x3n·x2n－2；
解：(1)原式＝ a1+9 ＝a10.
(2)原式＝x3n＋2n－2＝x5n－2.
2
3
(3)
－
1 2
×
－
1 2
；
(4)(x－y)3(x－y)2.
2+3
5
解：7.9×103×2×102＝15.8×105＝1.58×106(m). 答：卫星绕地球运行2×102 s走过的路程是1.58×106 m.
·数学
7.【例4】(北师7下P4改编)已知ax＝4，ax＋y＝64，求ax＋ay 的值. 解：ax＋y＝ax·ay＝4ay＝64， 所以ay＝16.所以ax＋ay＝4＋16＝20.
整式的乘除——同底数幂的乘法
《12。
1。
1幂的运算—同底数幂的乘法》导学案班级: 组别： 姓名: 学号： 【学习目标】1、掌握同底数幂的乘法法则并应用它进行计算.2、逆向运用nm n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）解决问题。
【重点难点】同底数幂的乘法法则、同底数幂的乘法法则的逆用【学法指导】把乘方和乘法联系起来，找到解决同底数幂运算法则，注意从特殊到一般的方法归纳 【知识链接】1、na 表示 。
其中a 叫做 ，n 叫做 ，n a 叫做 。
2、乘方运算的符号法则:（1）正数的任何次方都为正数，负数的偶次方为 ，负数的奇次方为。
（2）互为相反数的两个数的偶次幂相等,奇次幂仍为相反数。
即：()n n a a 22=-，()=-+12n a ，()()n n x y y x 22-=-,()=-+12n y x ，()()n n y x y x 22+=--，()=--+12n y x 。
（其中n 为正整数）【学习过程】知识点一:同底数幂的乘法法则 问题1:法则(1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 ，指数 .表达式： .(2)同底数幂的乘法法则在使用时,底数或有负号，要先 ，再 . n m a a ⋅中的幂底数a 除了可以表示一个数,还可以表示 .例如： 。
（3)同底数幂的乘法只适合两个同底数的幂相乘吗？试计算： a m b n·a 2m b 3n问题2：运算（1)（2)（—3)2·(—3）3解:（1）原式=5233⨯= 。
（2）原式= = 。
（3） （4） 解:（3）原式= .（4）原式= · = =。
问题3：逆向运用n m n m a a a +=⋅(m 、n 例1:已知2=ma ,5=n a ，求n m a +的值。
()()32x y y x -⋅-()()23b a b a -⋅-539⨯例2、在等式⋅⋅23x x （ ）=11x 中，括号里代数式应为 。
【基础达标】1、直接写出答案(1)16283⨯⨯= (2) =(3) = （4）nm a a a a ⋅⋅⋅2 = (4) （5）()()()()5225p q q p p q q p -⋅-⋅-⋅-=2、若232x x xm m =⋅-,则m ＝ 。
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《幂的运算—同底数幂的乘法》导学案
班级： 组别： 姓名： 学号： 【学习目标】
1、掌握同底数幂的乘法法则并应用它进行计算.
2、逆向运用n
m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）解决问题.
【重点难点】
同底数幂的乘法法则、同底数幂的乘法法则的逆用
【学法指导】
把乘方和乘法联系起来，找到解决同底数幂运算法则，注意从特殊到一般的方法归纳 【知识链接】
1、n a 表示 .其中a 叫做 ，n 叫做 ，n a 叫做 。
2、乘方运算的符号法则：
（1）正数的任何次方都为正数，负数的偶次方为 ，负数的奇次方为。
（2）互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂仍为相反数。
即：
()n n a a 22=-，()=-+12n a ，
()()n n x y y x 22-=-，()=-+12n y x ，
()()n n y x y x 22+=--，()=--+12n y x 。
（其中n 为正整数）
【学习过程】
知识点一：同底数幂的乘法法则 问题1:法则
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 ,指数 。
表达式： .
（2）同底数幂的乘法法则在使用时，底数或有负号，要先 ，再 . n
m a a ⋅中的幂底数a 除了可以表示一个数，还可以表示 .例如： .
（3）同底数幂的乘法只适合两个同底数的幂相乘吗试计算： a m b n
·a 2m b 3n
问题2：运算
（1） (2)(-3)2·(-3)3
解：（1）原式=5
233⨯= 。
（2）原式= = 。
（3） （4） 解：（3）原式= .
（4）原式= · = =。
问题3:逆向运用n m n m a a a +=⋅（m 、n 例1：已知
2=m
a ，5=n a ，求n m a +的值。
()()32x y y x -⋅-()()
23b a b a -⋅-539⨯
例2、在等式⋅⋅23x x （
）=11x 中，括号里代数式应为 。
【基础达标】
1、直接写出答案(1)16283⨯⨯= (2) =
(3) = (4)n
m a a a a ⋅⋅⋅2 = (4) （5）()()()()5
2
2
5
p q q p p q q p -⋅-⋅-⋅-=
2、若232x x x m m =⋅-，则m ＝ 。
3、已知＝则n n
m m
a a a 22,270,27==+ 。
4、2
m x =+2
，用含有m 的代数式表示x 2= .
5、已知721
a a a
m n =⋅++，且12=-n m 。
则n m ＝ 。
【课堂小结】
【拓展提高】
1、（-x ）3·(-x)4= (-a)5·a 4
= (x+y)3·(x+y)2= (a-b)3·(b-a)2= (-x)m+1·(-x)m+2= (y-x)·(x-y)3·(y-x)5= 2、x ·x m+1·x m-1+(-x)m ·(-x)m+1= (x-y+z-l)(y-x+l-z)= x ·x 2·x 3……x 2018=
3、设1112x x x n m n =⋅+-，541y y y n m =⋅--，n m ,求的值。
4、7100-1的个位数字是 。
5、a=-3,b=25,则a 2019+b 2018个位数字是 。
提示：等式左右两边幂相等，则底数相同，指数也相同 提示：等式左右两边分别可以改写成什么样的算式
3
2
)2
1()2
1
(⋅-()43x
x x ⋅-⋅-。