快速傅里叶变换
快速傅里叶变换FFT
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
数字信号处理课件第4章快速傅里叶变换FF
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
快速傅里叶变换浅析
快速傅里叶变换浅析快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号在时域和频域之间转换的高效算法。
它广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理以及其他各种领域。
本文将简要介绍FFT的原理、应用及其优缺点。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种快速算法。
FT是将一个信号分解成不同频率的正弦波组成的频谱。
而FFT则通过将信号分解成更小的子问题并利用许多对称性质来大大减少计算量。
在FFT中，信号被表示为一组复数形式的采样点。
通过对这些采样点进行分解和重组，可得到信号的频谱。
FFT算法的核心思想是将信号分解成大小相等的子问题，并通过迭代的方式快速计算出频谱。
不同大小的子问题需要使用不同的算法，其中最常用的是基2快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）。
二、快速傅里叶变换的应用1. 信号处理领域FFT在信号处理领域得到了广泛应用，例如音频和图像处理。
在音频处理中，FFT可以将时域的音频信号转换为频域，从而实现音频的分析、滤波、压缩等操作。
在图像处理中，FFT可以将图像转换为频域表达，从而实现图像增强、滤波、纹理分析等操作。
2. 通信领域FFT在通信领域也有着重要的应用。
例如，在调制解调器中，FFT被用于将时域的信号转换为频域，以进行调制解调操作。
另外，FFT还可以用于信号的编码、解码和信道估计等方面，提高通信系统的性能。
3. 数值计算领域FFT在数值计算领域也扮演着重要的角色。
例如，在大规模线性方程组的求解中，FFT被用于加速计算过程。
FFT还可以应用于信号滤波、噪声消除、信号重建和频谱分析等方面。
三、快速傅里叶变换的优缺点1. 优点（1）高效性：相比于传统的傅里叶变换算法，FFT具有更高的计算效率，能够在较短的时间内完成复杂的频谱计算。
（2）节省空间：FFT所需的内存空间较少，可以适用于有限的计算资源。
通信中的快速傅里叶变换技术简介
通信中的快速傅里叶变换技术简介快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在信号处理、图像处理、数据分析等领域广泛使用的技术。
FFT可以将时间域信号（时域信号）转换为频域信号，也可以将频域信号转换为时域信号，从而实现对信号的分析和处理。
一、傅里叶变换在介绍FFT之前，我们需要先了解傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的概念。
傅里叶变换是一种将一个函数表示为多个正弦函数和余弦函数的和的技术，它将时域信号（时间上变化的信号）转换为频域信号（以频率为变量的信号）。
通过对信号在时域和频域的分析，可以得到信号的各种特性，例如频率、振幅、相位等。
傅里叶变换的计算可以使用积分式进行，但是这种方式的计算复杂度很高，特别是对于长度比较长的信号。
因此，为了优化计算速度，就出现了FFT技术。
二、FFT技术FFT技术是一种基于DFT（Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换）的计算快速算法。
DFT是傅里叶变换的离散化处理，将连续信号离散化为时域上的N个采样点，然后进行傅里叶变换。
FFT技术的优点在于其计算复杂度为O(N*logN)，比DFT的计算复杂度O(N^2)要低得多。
FFT可以分为多个子问题，每个子问题都是规模较小的DFT问题，因此可以使用递归方式解决，提高了计算效率。
对于长度为N的信号，FFT需要进行log2(N)次迭代计算，每次迭代计算的时间复杂度是O(N)，因此FFT的总复杂度为O(N*logN)。
三、应用领域FFT技术在信号处理、图像处理、数据分析等领域广泛使用。
以下是一些应用领域的例子：1.音频信号处理：FFT可以将音频信号转换为频谱信号，根据频率成分实现语音识别、噪声抑制等功能。
2.图像处理：FFT可以将图像转换为频域信号，从而实现高通滤波、低通滤波、频域特征提取等功能。
3.机器学习：FFT可以对信号进行预处理，提取有用的频域特征，用于分类和回归等机器学习任务。
快速傅里叶变换特点
快速傅里叶变换特点快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）算法。
也就是说FFT是用来在计算机中计算DFT的。
FFT有很多优点，它比普通傅里叶变换更快，是计算和处理信号的重要工具。
FFT是一种数学算法，它将时间域或空间域的信号转换为频域信号。
信号可以是图像、声音或任何类型的数字信号。
转换后的频域信号可以更好地分析和处理。
下面是FFT的几个特点：1. 高效性FFT是一种高效的算法，能够快速地处理大量的数据。
正常的傅里叶变换需要O(n^2)的时间复杂度，而FFT则只需要O(nlogn)的时间复杂度，因此在处理大量数据时，FFT算法的速度是非常显著的。
2. 精度高FFT的精度非常高，它可以将信号的频率和振幅转换为数字。
这意味着FFT可以捕捉到信号中的微小变化，即使在低信噪比和复杂的环境中也能够获得最准确的结果。
3. 稳定性FFT是一种非常稳定的算法，即使在处理噪声和干扰等复杂信号时，也能够稳定运行。
FFT能够准确地处理不同频率和振幅的信号，使得我们能够获得准确的信号分析和处理结果。
4. 可逆性FFT是一种可逆的算法，因此能够进行反变换。
反变换可以将频域信号转换回时间域或空间域信号，这允许我们进一步对信号进行处理和分析。
5. 灵活性FFT是一种非常灵活的算法，可以用于处理不同类型的信号。
无论是图像、声音、电子信号还是其他数据类型，FFT都能够进行处理和分析。
总的来说，FFT是一种非常重要的算法，它在数字信号处理、通信、图像处理、地球物理学等领域都有着广泛的应用。
通过FFT，我们能够更好地理解和分析信号，并为信号处理提供更准确、快速、稳定和高效的解决方案。
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
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x1(r)WNkr/ 2 WNk
x2 (r)WNkr/ 2 X1(k ) WNk X 2 (k )
r 0
r 0
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即
N / 21
X1(k) x1(r)WNkr/2 DFT[x1(r)] r0
N / 21
X 2 (k) x2 (r)WNkr/2 DFT[x2 (r)] r0
1)
,
l
0,1, ,
N 4
1
那么，X1(k)又可表示为
N / 41
N / 41
X1(k)
x1(2l)WN2/k2l
x1 (2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l0
l0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk/ 2
x4 (l)WNkl/ 4
l0
l0
X3 (k) WNk/2 X 4 (k), k 0,1,N / 2 1
WN 2
WNk
X1(k)
A
X1(k)+ WNK X2(k)
A＋ BC
X2(k)
B
C WNK
X1(k)- WNK X2(k)
A－ BC
图4.2.1 蝶形运算符号
经过一次分解后，计算复数乘和复数加的次数：
复数乘： 复数加：
2 （ N ）2 N N (N 1) N 2
22
2
2
2 [ N ( N -1)]+2 N N 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 分裂基FFT算法 4.5 离散哈特莱变换(DHT)
4.1 引言
DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因 直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平 方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在 快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用 DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切 实 际 的 。 直 到 1965 年 Cooley 和 Tukey 发 现 了 DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本 的变化。
X(5 )
x(5 )
DFT
X2(2 )
W
2 N
x(7 )
X2(3 )
W
3 N
X(6 ) X(7 )
图4.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长 的子序列x3(l)和x4(l)，即
x3 (l ) x4 (l)
x1(2l) x1(2l
(4.2.5) (4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
kN
WN 2
WNk
，所以X(k)又可表示为
X (k) X1(k) WNk X 2(k)
k 0,1, N 1 2
X
(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X 2 (k )
k 0,1, N 1 2
(4.2.7) (4.2.8)
kN
N / 21
N / 21
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
r0
由于 所以
N / 21
N / 21
x1(r)WN2kr WNk
x2 (r)WN2kr
r0
r0
W 2kr N
j 2 2kr
e N
j 2 kr N
e 2
W kr N/
2
N / 21
N / 21
X (k)
WNm
Nk
WN2
(1)k
可约性表现在：
WNnk WmmNnk WNnk WNnkmm
WNn(N k ) WN( N n)k WNnk WNN 2 1 WN(k N 2) WNk
4.2.2 时域抽取法基2 FFT基本原理
FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法 FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频 域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称 DIF-FFT)。下面介绍DIT-FFT算法。
显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次 数大大减少。另外，旋转因子WmN具有明显的周期性、 对称性和可约性。其周期性表现为
W mlN N
j 2 (mlN )
e N
j 2 m
e N
WNm
(4.2.2)
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ] WNm
m N
WN 2
设序列x(n)的长度为N，且满足
N 2M , M 为自然数
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r),
r 0,1, N 1 2
x2(r) x(2r 1),
r 0,1, N 1 2
则x(n)的DFT为
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
(4.2.9)
式中
N / 41
X3(k)
x3 (l)WNkl/4 DFT[x3 (l)]
l0
N / 41
X4 (k)
x4 (l)WNkl/4 DFT[x4 (l)]
l0
同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WNm2 的对称
性 W kN 4 N2
WNk 2
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
N 1
X (k) x(n)WNkn, k 0,1,, N 1
n0
(4.2.1)
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接 按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复 数加法。 因此，N点DFT的复乘次数等于N2,加法次数N(后，运算量减少近一半，故可以对N/2点 DFT再作进一步分解。
x(0 )
X1(0 )
X(0 )
x(2 )
N/2点 X1(1 )
X(1 )
x(4 )
X1(2 )
X(2 )
DFT
x(6 )
X1(3 )
X(3 )
x(1 )
X2(0 )
W
0 N
X(4 )
x(3 )
N/2点
X2(1 )
W
1 N
当N>>1时，N 2 N(N 1) ，即N点DFT的乘法和加法运 算次数均与N2成正比，当N较大时，运算量相等可观。
注意：
通常将算术乘法和算术加法的次数作为计算复杂性的度 量，因为这种方法使用起来很简单。如果在计算机上用 软件实现这些算法，则乘法和加法的次数就直接与计算 速度有关。
但是，在常用的VLSI实现时，芯片的面积和功率要求 往往是最重要的考虑因素，而它们有可能与算法的运算 次数没有直接的关系。