数学公理化方法
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
公理化思想的例子初中
公理化思想的例子初中1、加法交换律：两数相加交换加数的位置,和不变.2、加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变.3、乘法交换律：两数相乘,交换因数的位置,积不变.4、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变.5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变.6、除法的性质：在除法里,被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数,商不变.O除以任何不是O的数都得O.简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾.7、么叫等式?等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式.等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数,等式仍然成立.8、什么叫方程式?答：含有未知数的等式叫方程式.9、分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数.10、分数的加减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减.11、分数大小的比较：同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小.异分母的分数相比较,先通分然后再比较；若分子相同,分母大的反而小.12、分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变.13、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母.14、分数除以整数（0除外）,等于分数乘以这个整数的倒数.15、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数.16、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1.17、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数.18、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外）,分数的大小不变.19、一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数.20、甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘以乙数的倒数.。
公理化方法
公理化方法
公理化方法简介如下：
公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
数学思想方法介绍
◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、
函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人
文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲
学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、×
带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22 +1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内 容
一.前言
二.中学数学中常用的数学方法
三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法
第七章 数学中的公理化方法
希尔伯特对元数学的研究，使公理 化方法进一步精确化：
• 把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑 规则排成演绎的体系，并使用数学符号和 逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全 部数学命题便变成了公式的集合，公理化 的数学理论便变成了演绎的形式系统。元 数学思想的提出，标志着数学的研究达到 了新的、更高的水平，数学的研究对象已 不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数 学结构。从而，公理化被推向一个新阶段 即纯形式化阶段。
• • • • • • • • • （1）各与同一个第三个量相等的量必相等。 （2）相等的量加上相等的量仍为相等的量。 （3）相等的量减去相等的量仍为相等的量。 （4）不等的量加上相等的量获不相等的量。 （5）相等的量的两倍仍为相等的量。 （6）相等的量的一半仍为相等的量。 （7）能互相重合的是一定是相等的量。 （8）整体大于部分。 （9）过任意两点只能引一条直线。
• 直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸 取了前人两千多年来在证明第五公设中的 失败教训，认识到第五公设与其他几何公 理是互相独立的，除掉第五公设成立的欧 氏几何外，还可以有第五公设不成立的新 几何系统存在。于是他在剔除第五公设而 保留欧氏几何其余公理的前提下，引进了 一个与第五公设相反的公理：“过平面上 一已知直线外的一点至少可引两条直线与 该已知直线平行”，由此构成了一个新的 几何系统与欧氏几何系统相并列。
1．相容性
• 公理的相容性也称无矛盾性或和谐性，是 指同一公理系统中的公理，不能自相矛盾； 由这些公理推出的一切结果，也不能有丝 毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立， 又能证明它的反面也成立的情况存在。
2．独立性
• 公理的独立性，是指一个公理系统中的所 有公理，不能互相推出。这就是要求该系 统中公理的数目减少到最低限度，不允许 公理集合中出现多余的公理，这也是对数 学的“简单美”的一种追求。
公理化
论公理化思想的发展历程、及学习数学史的感受13数学系625班41号刘晔摘要：公理化方法是近代数学公理化方法的一个典范, 它完善了欧氏几何, 使它建立在更加牢靠的基础上。
它使几何学的定理命题均按照逻辑演绎关系串联起来, 使用起来十分方便。
关键词：欧几里得几何,公理化，发展历程.公理化方法是自然科学, 特别是数学的重要逻辑演绎工具。
长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。
因此, 公理化方法研究总是充满生机的。
一、公理化思想的发展历史欧几里德于公元前300 年写了一本名著《几何原本》, 这是历史上第一次以公理化方法为工具的演绎数学。
由于受当时科学水平的限制, 他不可能把作为几何根基的基础整理得完美无缺, 因此在《原本》中的逻辑系统中显示出许多漏洞来。
欧几里德以后的许多数学家几乎都为改进欧氏公理体系做过努力。
另外, 人们对《原本》中的第五公设产生了如下二方面的怀疑：第五公设是否正确反映了空间性质？第五公设本身会是个定理吗？于是,人们又进行了三方面的探究：（1）用其他公设来推导第五公设（该条途径研究失败）；（2）换一个与第五公设等价而几何意义明显的命题作为公设；（3）换一个与第五公设相反的公设。
历史上的许多数学家企图从否定第五公设（包括等价命题）得出矛盾, 从而证明第五公设, 但经过长达二十个世纪的历代几何学家们的努力, 问题并未得到根本的解决,结果却导致了非欧几何的产生。
更令人欣喜的是, 十九世纪中叶, 人们在欧氏几何中找到非欧几何的模型, 这就是说, 欧氏几何无矛盾的话, 则非欧几何也无矛盾。
后来, 非欧几何被应用到天体物理和广义相对论中, 从而使非欧几何有了坚实的实践基础。
为了研究两种几何平行而不悖，以希尔伯特为代表的数学家们掀起了对几何逻辑基础的研究，希尔伯特在1899年发表了他的名著《几何基础》，第一次提出了简明、完整而严格的形式公理化方法而使《几何基础》成为现代公理化方法的里程碑。
几何学：第五公设——公理化方法
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
自然数的公理化
自然数的公理化
自然数的公理化是通过皮亚诺公理（Peano axioms）来定义的。
皮亚诺公理是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出的关于自然数的五条公理系统。
这些公理是数学中用于定义自然数的基础，它们描述了自然数的基本性质和运算规则。
皮亚诺公理包括：
0是一个自然数：这条规定了自然数的起点，即自然数系包含0。
每个自然数a都有一个后继数a'：这意味着每个自然数都有一个唯一的“下一个”数，即它的后继。
0不是任何自然数的后继数：这确保了0作为自然数系的起始点是唯一的。
不同自然数的后继数不相同：如果a和b是两个不同的自然数，那么它们的后继数a'和b'也不相同。
如果一个性质适用于0，并且假设它适用于一个自然数，那么它也适用于该自然数的后继数，则该性质适用于所有自然数：这是数学归纳法的基础，它是证明涉及自然数的性质时非常重要的工具。
值得一提的是，皮亚诺公理为自然数的算术运算（如加法、乘法）提供了基础，并且在逻辑上构建了整个自然数的理论体系。
通过这些公理，我们可以定义加法、乘法等运算，并证明它们的性质，如交换律、结合律和分配律。
此外，皮亚诺公理还可以用来定义减法和除法运算。
总的来说，皮亚诺公理是现代数学中对自然数进行公理化描述的基础，它不仅为自然数的性质提供了清晰的描述，而且还为更高层次的数学理论，如实数、微积分等，提供了坚实的基础。
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About Elements
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The Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time.
之一。 罗巴切夫斯基在尝试证明平行公理时发 现以前所有的证明都无法逃脱循环论证 的错误。 于是，他作出假定：过直线外一点，可 以作无数条直线与已知直线平行。 如果这假定被否定，则就证明了平行公 理。
然而，他不仅没有能否定这个命 题，而且用它同其他欧氏几何中与 平行公理无关的命题一起展开推论， 得到了一个逻辑合理的新的几何体 系—非欧几里得几何学，这就是后 来人们所说的罗氏几何。
传教士伟烈亚力合作续译的《几何 原本》后9卷正式刊行。
非欧几何
非欧几里得几何是一门大的数学分支，
一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义 这三个方面的不同含义。 所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不 同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗 氏几何来说的，至于通常意义的非欧几 何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种 几何。
罗氏几何的创立对几何学和整个数
学的发展起了巨大的作用，但一开 始并没有引起重视，直到罗巴切夫 斯基去世后12年才逐渐被广泛认同。
罗巴切夫斯基在数学分析和代数学
方面也有一定成就。
匈牙利数学家 鲍耶
以毕生时间试图证明欧几里德关于
平行线不相交的第五公设。 在格丁根大学学习时成了著名数学 家高斯的密友，保持通信直到1855 年高斯逝世。 他几乎与科学界完全隔绝，但仍然 不倦地研究平行线的公理。
它倡导的公理化方法，为数学家和
物理学家树立了如何建立科学理论 体系的光辉典范。
牛顿采用欧几里德的公理化方法，把
他之前的众多的物理学家（如哥白尼、 伽俐略、开普勒等）研究的力学知识 排列成逻辑的体系，组成一个有机的 整体。他的名著《自然哲学的数学原 理》从力学三大运动定律出发，按照 数学的逻辑推理把力学定理逐个必然 地引申出来。
“三角形的内角和等于两直角”。
“存在着相似三角形”等。 由于普雷菲尔公设形式最为简明，
因此受到普遍采用，现在的教科书 中也常用这一叙述形式来替代第五 公设。
其实，普雷菲尔公设由于包含了平
行线的存在性，其与其它欧几里得 公理、公设并不独立，更确切的等 价命题应为：“通过不在已知直线 上一点，至多可引一条与该已知直 线平行的直线”（它被希尔伯特公 理系统所采用，称为“平行公 理”）。
匈牙利数学家 鲍耶
1804年他把一种
证明寄给高斯，高 斯指出了其中的缺 陷，但他还继续研 究。
在罗氏几何创立28年以后，1854年
黎曼（Georg Riemann，1826— 1866）又建立了另外一种“过直线 外一点不能引出与该直线不相交的
于是，他在剔除第五公设而保 留欧氏几何其余公理、公设的前 提下，引进了一个相反于第五公 设的公理：“过平面上一已知直 线外的一点至少可以引两条直线 与该已知直线不相交”。
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这样，罗巴切夫斯基就构造出来
了一个新的几何系统即罗巴切夫 斯基几何系统，它与欧几里得几 何系统相并列。
后来，人们又证明了这两个部分
把它当作公设，只是因为他未能给 出这一命题的证明。
因而数学家们纷纷致力于证明第
五公设，据说在欧几里得以后的 两千多年时间里，几乎难以发现 一个没有试证过第五公设的大数 学家。
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ProclusDiadochus 普罗克洛斯 （411—485）, Greece
John Playfair（1748—1819）, Scotland
第四讲 构建数学理论的基本方法 ——公理化方法
本讲内容
数学公理化方法的历史演进过程—
—关于几何公理体系 实质公理化与形式公理化 数学公理化方法的逻辑特征
所谓公理化方法，就是指从尽可
能少的原始概念和不加证明的原 始命题（即公理、公设）出发， 按照逻辑规则推导出 其它命题， 建立起一个演绎系统的方法。
他的父亲——数学家鲍耶· 法尔卡
什认为研究第五公设是耗费精力 劳而无功的蠢事，劝他放弃这种 研究。 但鲍耶· 雅诺什坚持为发展新的几 何学而辛勤工作。终于在1832年， 在他的父亲的一本著作里，以附 录的形式发表了研究结果。
高斯也发现第五公设不能证明，并
且研究了非欧几何。 但是高斯害怕这种理论会遭到当时 教会力量的打击和迫害，不敢公开 发表自己的研究成果，只是在书信 中向自己的朋友表示了自己的看法， 也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯 基、鲍耶他们的新理论。
地互相矛盾的几何系统竟然是相 对相容的，亦即假定其中之一无 矛盾，则另一个必定无矛盾。 这样，罗氏几何的地位就得到了 确立。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几
何学的同时，匈牙利数学家鲍 耶· 雅诺什也发现了第五公设不可 证明和非欧几何学的存在。 鲍耶在研究非欧几何学的过程中 也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
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公理化方法的发展，大致经历了 这样三个阶段：实质（或实体）公 理化阶段、形式公理化阶段和纯形 式公理化阶段，用它们建构起来的 理论体系典范分别是《几何原本》、 《几何基础》和ZFC公理系统。
数学公理化方法的历史演进
——关于几何公理体系
欧几里德几何
历史上第一个用公理化方法去建构数 学理论体系的是欧几里德，他的工 作集中体现在他的《几何原本》中。 Quotations: "The laws of nature are but the mathematical thoughts of God." "There is no royal road to geometry."
Adrien-Marie Legendre （1752—1833），France
但是所有试证第五公设的努力均 归于失败，在这些失败之中唯一引 出的正面结果便是一串与第五公设 等价的命题被发现。
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普雷菲尔（John Playfair）公 设：“在平面上过直线外一点只能 作一条和这直线不相交的直线”。
Greek version(888)
Latin Version (1482)
English Version
“此书有四不必：不必疑、不必
揣、不必试、不必改．有四不可 得：欲脱之不可得，欲驳之不可 得，欲减之不可得，欲前后更置 之不可得。
有三至三能：似至晦，实至明，故
能以其明明他物之至晦；似至繁， 实至简，故能以其简简他物之至繁； 似至难，实至易，故能以其易易他 物之难。易生于简，简生于明，综 其妙在明而已”。 ——徐光启《几何原本杂议》
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It
is also the world's second most popular book, coming only behind the Holy Bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world.
自然规律不过是上帝的数学思维
罢了。 在几何里，没有专为国王铺设的 大道 (royal road 有平坦的路的意 思)。
欧几里得
几何原本》受到了毕达哥拉斯学 派和亚里士多德的影响 毕达哥拉斯学派开创了把几何学作 为证明的演绎学科来进行研究的方 向。 亚里士多德首创造公理化思想，提 出了逻辑学的“三段论公理体系”。
Founders of Non-Euclidean Geometry
NikolaiIvanovich Lobachevsky (1793-1856) Russia
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Germany
罗巴切夫斯基
俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人
《
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欧几里德首先指明了几何学的研究
对象，即点、线、面，在对这些对 象进行“定义”（其实只是说明） 以后，引进了关于这些对象的一些 明显的事实作为不加证明而采用的5 个公设，进而又引进了更为一般的5 个断言作为公理，他通过这些公理、 公设，逐步推演出465个命题。
《几何原本》的问世，在数学的发
展史上树立了一座不朽的丰碑，对 数学乃至科学的发展起了巨大的推 动作用。 它也成为公认的、历史上第一部巨 大的科学典籍。 它奠定了数学这门科学必须依照逻 辑要求论述其规律的基础。
它基本上完善了初等几何的体系，
这正如黑格尔所说：“初等几何 就欧几里得所遗留给我们的内容 而言，已经可以看作相当完备了， 不可能有更多的进展”。
他初次登台作了题为“论作为几何
基础的假设”的演讲，开创了黎曼 几何，并为爱因斯坦的广义相对论 提供了数学基础。 他在1857年升为格丁根大学的编外 教授，并在1859年狄利克雷去世后 成为正教授。
中文版
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1606年，由意大利传教士利玛 窦口译，明代进士、数学家徐光启 执笔，合作译完欧几里得《几何原 本》前6卷，1607年在北京雕版刊 行．徐光启亲自写了《刻几何原本 序》，手迹至今犹存。
徐光启和利玛窦译的《几何原本》
前6卷，乃是东方的最早译本(不 计阿拉伯文本)。 较俄译本(1739)、瑞典文本 (1744)、丹麦文本(1745)、波兰 文本(1817)都早。
1915年创立“广义相对论”后，已 得到了证实和应用。
黎曼
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“我对于把一切与物理规律结合
起来的数学研究非常入迷。” —— 黎曼
黎曼
德国数学家，对数学分析和微分几
何做出了重要贡献，其中一些为广 义相对论的发展铺平了道路。他的 名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分， 黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定 理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路 回环矩阵和黎曼曲面中。