数学公理化方法
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
公理化思想的例子初中
公理化思想的例子初中1、加法交换律：两数相加交换加数的位置,和不变.2、加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变.3、乘法交换律：两数相乘,交换因数的位置,积不变.4、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变.5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变.6、除法的性质：在除法里,被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数,商不变.O除以任何不是O的数都得O.简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾.7、么叫等式?等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式.等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数,等式仍然成立.8、什么叫方程式?答：含有未知数的等式叫方程式.9、分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数.10、分数的加减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减.11、分数大小的比较：同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小.异分母的分数相比较,先通分然后再比较；若分子相同,分母大的反而小.12、分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变.13、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母.14、分数除以整数（0除外）,等于分数乘以这个整数的倒数.15、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数.16、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1.17、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数.18、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外）,分数的大小不变.19、一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数.20、甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘以乙数的倒数.。
第七章 数学中的公理化方法
希尔伯特对元数学的研究，使公理 化方法进一步精确化：
• 把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑 规则排成演绎的体系，并使用数学符号和 逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全 部数学命题便变成了公式的集合，公理化 的数学理论便变成了演绎的形式系统。元 数学思想的提出，标志着数学的研究达到 了新的、更高的水平，数学的研究对象已 不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数 学结构。从而，公理化被推向一个新阶段 即纯形式化阶段。
• • • • • • • • • （1）各与同一个第三个量相等的量必相等。 （2）相等的量加上相等的量仍为相等的量。 （3）相等的量减去相等的量仍为相等的量。 （4）不等的量加上相等的量获不相等的量。 （5）相等的量的两倍仍为相等的量。 （6）相等的量的一半仍为相等的量。 （7）能互相重合的是一定是相等的量。 （8）整体大于部分。 （9）过任意两点只能引一条直线。
• 直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸 取了前人两千多年来在证明第五公设中的 失败教训，认识到第五公设与其他几何公 理是互相独立的，除掉第五公设成立的欧 氏几何外，还可以有第五公设不成立的新 几何系统存在。于是他在剔除第五公设而 保留欧氏几何其余公理的前提下，引进了 一个与第五公设相反的公理：“过平面上 一已知直线外的一点至少可引两条直线与 该已知直线平行”，由此构成了一个新的 几何系统与欧氏几何系统相并列。
1．相容性
• 公理的相容性也称无矛盾性或和谐性，是 指同一公理系统中的公理，不能自相矛盾； 由这些公理推出的一切结果，也不能有丝 毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立， 又能证明它的反面也成立的情况存在。
2．独立性
• 公理的独立性，是指一个公理系统中的所 有公理，不能互相推出。这就是要求该系 统中公理的数目减少到最低限度，不允许 公理集合中出现多余的公理，这也是对数 学的“简单美”的一种追求。
公理化方法(精)
现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作
集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
数学逻辑中的模型论和公理化方法
数学逻辑是数学的一个重要分支，研究的是数学表达和推理的形式系统。
在数学逻辑中，模型论和公理化方法是两个重要的研究方向。
模型论是一种研究数学语言和数学结构之间关系的方法。
它关注的是数学语句的真假性，通过定义一种解释来给数学语句赋予具体的意义。
这种解释通常被称为模型。
模型论的目标是对形式系统的语义进行研究，从而使其能够用来推导出关于数学结构的陈述。
在模型论中，一个模型由两个部分组成：领域和解释。
领域是一组元素的集合，解释是把语言中的符号与领域中的元素进行对应的函数。
通过这种对应关系，我们可以判断给定的语句是否在模型中为真。
模型论的一个重要结果是声称：如果一个数学系统是一致的（即不存在矛盾的语句），那么必然存在一个模型，使得该系统中的所有语句都在该模型中为真。
公理化方法是一种通过公理系统来构建数学理论的方法。
公理是一组被认为是真实的或被接受的命题。
通过使用公理，我们可以推导出其他的命题，并且构建出一个完整的数学理论。
公理化方法强调了逻辑推理的严谨性和正确性，使得数学理论能够在逻辑上自洽和一致。
在公理化方法中，公理系统是一个包含一组公理的形式系统。
这些公理可以是被接受的基本事实，也可以是通过推导和证明得到的结果。
通过对公理系统进行严密演绎的推理，我们可以得出其他的定理。
这种推理过程遵循逻辑的规则和原则，确保了数学理论的正确性和可靠性。
模型论和公理化方法在数学逻辑中起着重要的作用。
模型论通过给数学语句赋予具体的意义，使得我们可以判断其真假性，并且可以用来证明一致性和完备性等重要结果。
公理化方法则通过严格的逻辑推理，构建出了一套严密的数学理论，为数学研究提供了坚实的基础。
总的来说，数学逻辑中的模型论和公理化方法是两个重要的研究方向。
它们都致力于研究数学语句和数学结构之间的关系，通过不同的方法和手段，推动了数学的发展和进步。
在实践中，模型论和公理化方法经常是相辅相成的，相互补充的。
通过它们的研究，我们能够更深入地理解数学的本质和数学的应用，使得数学成为一门真正的科学。
公理化方法和中学几何公理体系
公理化方法和中学几何公理体系12数学陈婷12220620摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。
而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。
本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。
关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示正文：一、几何学发展简史几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一）欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。
但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点：1、在欧式几何中用了重合法来证明全等：在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。
数学公理化方法在研究数学中的重要作用-2019年精选教育文档
数学公理化方法在研究数学中的重要作用1数学公理化方法概述1.1数学公理化方法的内涵纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。
一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。
同时，作为一个符号化的形式系统，可以用来提供简洁精确的形式化语言；提供数量分析及计算的方法；提供逻辑推理的工具。
公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
1.2公理化方法的基本思想数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。
其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。
因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。
2数学公理化方法的逻辑特征2.1协调性无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。
如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。
2.2独立性独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。
几何学：第五公设——公理化方法
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
内容：
巴比伦 古埃及
4°若 ABC=ABD+BDC,则( ABC)¯=( ABD)¯+( BDC)¯. 5°若 ABC = AB`C`+B`C`CB，则( AB`C`)¯( ABC)¯． 6°若 Rt ABC , Rt A`B`C `, 满足AB A`B`, AC A`C`,
且 (RtABC)= ，则 (RtA`B`C `)= ．
由Pasch公理，b不过A`Bn，必过BBn，即b与a交于AB右侧。
例4．Saccheri（1667~1733）
Lambert（1728~1777）
结论：1）Sa /2 2）Sa = /2 第5公设 3）Sa /2 ()
4）若 Sa□使Sa /2 则 Sa□有Sa /2
La /2 La = /2 第5公设
不平行：
作AB=BB1， AB1=，AB2=B2B3，．．．．．．．．．
ABn-1=Bn-1Bn ， ( ) = ， BB1A= /4,， B1B2A=(1/2)² /2， B2B3A=(1/2)³ /2
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数学公理化方法
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。
它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。
公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。
毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。
爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。
伯拉图阐明了许多逻辑原则。
亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。
公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。
由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。
在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。
19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。
这是公理化方法的进一步发展。
1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。
为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。
几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。
相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。
同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。