第六讲 公理化思想及构成公理化体系的要求
公理化的基本思想
公理化的基本思想
题目：
公理化方法的基本思想及其优越性、局限性?
答案：
基本思想:从尽可能产的原始概念和原始命题出发,经过严格的逻辑推理,建立起理论体系的方法。
严格按照逻辑规律、逻辑原则运行,用尽可能少的原始命题、原始概念是这个方法的基本要求。
优越性:①具有逻辑简单性;②具有可检验性;②具有逻辑严谨性;可缩短学习的进程。
局限性:即公理化体系的不完备性。
①任何一个公理化体系不可能既是完备的,又是无矛盾的;②任何一个公理化体系,都是人类认识的一个阶段的总结,都是不可能是绝对严格、绝对完备的。
延伸：
公理化思想是指以某些命题为前提，只用它们，不用其他假设进行推理而建立数学理论的思想。
支撑近现代数学的基本思想。
早在公元前 3 世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》，这些少数命题被称为公理或公设。
从尽可能少的不定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的命题(公理)出发，经过精确定义和逻辑推理而得到其他的全部概念和定理的系统的方法。
公理化方法最早是由希腊数学家欧几里得系统运用的。
在其所著的《几何原本》里首先定义了基本概念，包括点、线、面、角、圆、三角形等，然后提出了5个公设和5个公理，之后由这些公设和公理通过演绎推理得到命题。
演绎推理中每个证明必须以公理，或者被证明了的定理为前提。
纵观中国史书，并没有任何一本可以与欧几里得几何可以相媲美的知识体系和思维的严密性，四书五经只能算是伦理学的规范，合理性也没有得到任何的证明，却充当了限制人灵魂的清规戒律。
公理化体系
公理化体系公理化体系今天，公理方法在数学研究中受到普遍重视，但在自然科学研究中却受到普遍怀疑和抑制。
这种情况是与科学发展的历史相关的。
众所周知，公理化体系最先是由欧几里得创立的。
所谓公理本意是指人们公认的、无需证明的道理。
正因为如此，欧几里得的几何学一度被认为是绝对真理。
但非欧几何的出现改变了人们关于公理的观念，特别是，面对以互为否定的命题为前提建立的不同公理体系，数学家们开始困惑了：数学能够揭示真理吗？这个问题又可分解为：数学是反映什么的？数学真理是什么真理？公理理论是纯数学的还是科学的共同理论？根据统一论对数学本质的揭示，数学是研究各种空间体系的科学理论。
不管是什么数学理论，它都有着固定的空间模式，几何学是这样，代数学也是这样。
当然，这个空间并不是我们生活在其中的空间，而是各种不同的数学模型。
我们所生活的空间是个现实的空间，而科学理论中的空间是一些抽象的空间，是由数学理论所界定的。
我们每一个人都生活在同一个现实空间中，但却生活在不同的理论空间中，而这正是构成不同的人文环境的原因。
不管是对自然界还是对社会的各个方面，比如对宇宙、对政治、对经济、对文化等领域，我们每个人都有不同的理解，而空间就是由这些理解构成的。
所以说，数学能够揭示真理，但它揭示的是一种主观真理。
科学真理包括主观真理和客观真理。
所谓客观真理当然是关于客体的，没有对客体的科学认识，就谈不上客观真理。
对客体的科学认识包括定性认识和定量认识，所谓定性认识是自然哲学的任务，而定量认识则是数学的任务。
所以说，自然科学就是自然哲学加数学。
牛顿把它的物理体系叫做"自然哲学的数学原理"，大概就是这个原因吧。
同样，社会科学就是社会哲学加数学。
从这点来看，今天我们称为社会科学的许多理论，它们并未应用数学或对数学的应用还很幼稚，这种理论实际上还没有进入科学阶段，还只能被叫做社会哲学。
前面说过，公理化理论由于非欧几何的出现而受到质疑。
数理逻辑的基本公理化和形式系统
数理逻辑的基本公理化和形式系统数理逻辑是研究推理和论证的科学，它通过建立形式系统和公理化推导来研究命题的真值和推理的规则。
本文将探讨数理逻辑的基本公理化和形式系统。
一、公理化方法的引入公理化方法是数理逻辑的核心思想之一。
公理化方法的基本思想是通过一组公理来描述命题的性质和推理的规则，从而建立一个形式系统。
这个形式系统由符号和推导规则组成，通过这些规则可以从公理推导出定理。
二、形式系统的构建形式系统是数理逻辑的基础，它由符号、公式和推导规则组成。
符号是形式系统中的基本元素，可以是命题符号、逻辑连接词和量词等。
公式是由符号按照一定规则组合而成的表达式，用来表示命题的真值。
推导规则则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
三、数理逻辑的基本公理数理逻辑的基本公理是构建形式系统的基础，它们是不需要证明的前提，用来描述命题的性质和推理的规则。
基本公理一般包括恒真式、恒假式和等价式等。
恒真式是指在任何情况下都为真的命题，如“P∨¬P”，表示“P或非P”。
恒假式是指在任何情况下都为假的命题，如“P∧¬P”，表示“P且非P”。
等价式是指两个命题在任何情况下都具有相同的真值，如“P→Q≡¬P∨Q”，表示“如果P成立，则Q成立”。
四、形式系统的推导规则形式系统的推导规则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
常见的推导规则包括假言推理、析取三段论和消解等。
假言推理是指从一个条件命题和它的前提出发，推导出结论的过程，如“如果P成立，则Q成立；P成立，因此Q成立”。
析取三段论是指从两个条件命题的析取式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“P∨Q；¬P，因此Q”。
消解是指从两个条件命题的否定式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“¬P∨¬Q；P，因此¬Q”。
五、数理逻辑的应用数理逻辑在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
公理化思想的内涵
公理化思想的内涵公理化思想的内涵、发展、作用及学习数学史的感受08数学教育2班颜运020********公理化方法是自然科学, 特别是数学的重要逻辑演绎工具。
长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。
因此, 公理化方法研究总是充满生机的。
一、数学公理化思想的内涵数学公理化的目的, 就是把一门数学表述为一个演绎系统, 这个系统的出发点则是一组基本概念和若干基本命题, 基本概念必须是对数学实体的高度纯化和抽象, 而基本命题则是对基本概念相互关系的制约和规定。
显然, 公理学也并非神学, 因为公理系统乃是数学家的自由创造, 是大量数学知识的理论概括, 是数学科学推理论证的出发点, 并非象神学那样极力排斥理性, 把一切依据统统归诸于《圣经》和神的意志对于公理学的结构, 可以分为三种, 即含内容的公理学、半形式化公理学和形式化公理学。
这三种形式结构, 也就是它形式化发展的三个阶段, 即产生阶段, 完善阶段、形式化阶段。
含内容的公理学的代表作《原本》, 它流传甚广, 以至于今天在“新数”运动的尾声中, 世界各国的中学课本中的多数仍然受着它的传统影响。
半形式化公理学的代表作是《几何学基础》, 正是因为如此, 才使得希尔伯特成为现代数学中的公理方法的奠基人”。
然而, 一个数学分支公理化的完成, 也并不意味着是它的最后终结, 而是促使这一分支进一步地向前发展, 自希尔伯特以后, 公理化方法己渗透到几乎所有的纯数学的领域。
形式化公理学的代表作是希尔伯特1 9 0 4 年在海德堡召开的第三届国际数学会议上所提交的一篇关于大致描画证明论的论文, 其基本思想就是采用符号语言把一个数学理论的全部命题变成公式的集合, 然后证明这个公式的集合是无矛盾的。
由于公理方法的进一步形式化, 不仅推动着数学基础的研究, 而且还推动着现代算法论的研究, 并为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。
公理化方法(精)
现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作
集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
《公理化体系》
公理化方法公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
简介恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。
公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．历史发展产生公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．发展公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC 公理系统。
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
公理化思想
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公理化思想
数学研究客观世界的数量关系和空间形式，我们只有通过证明才能说明一个数学结论的正确性，而不是像研究物理和化学一样通过实验来说明。
数学里的证明借助于逻辑推理，每步推理都是在一个大前提下进行的，当我们一步步往前推想时就会发现总要有一个不可定义的概念或公理存在。
也就是说要建立一门严格的理论体系，就要先给出某些不加定义的概念或公设、公理，在此基础上经过精确定义或逻辑推理建立该体系的其它定义或定理。
像这样从一组原始概念和一组公理出发，运用逻辑推理规则，将一门学科理论建立成演绎系统的思想方法就叫做公理化思想方法。
公理化思想是数学发展过程中一种具有深远影响的思想。
古希腊数学家欧几里得是开创这一思想方法的先驱，尽管在严格性上有所欠缺，但他的《几何原本》一书的确为人们树立了用公理化方法建立数学演绎系统的典范。
围绕其中的一些不足，主要是第五公设问题，后来的数学家展开了历时近两千年的讨论和研究，直到19世纪非欧几何的诞生。
1899年，大数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中对公理化思想进行了系统的阐述，他给出了一个简明、完整的形式化公理体系，并提出了有关公理系统的一系列原则，从而使得公理化思想得到了更大的发展，并被许多其它学科所采用。
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《几何原本》
❖ 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约公元前 330 公元前 275）
❖ 欧几里得的《几何原 本》是用公理方法建 立演绎数学体系的最 早典范。
公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明 了的、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是 非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量 加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。 公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。 在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到 相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条 理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新 系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞 跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平， 又表现为抽象程度更高的公理化体系。
勇敢的罗巴切夫斯基
❖ 1840年用德文出版的《平行理论的几何研究》引 起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根 科学协会会员。面对种种攻击，罗巴切夫斯基表 现得比高斯更有勇气。
❖ 一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时， 还口述发表了著作《泛几何学》，坚信自己新几 何学的正确性。
❖ 同一平面上的任何两条直线一定相交 三角形内角和小于180度
非欧几何的发展与确认
❖ 德国数学家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于 1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立 了一种更广泛的几何学----黎曼几何。 (同一平面上的任何两条直线一定相交) 三角形内角和小于180度
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、 德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先 后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模 型，从而揭示出非欧几何的现实意义。
对第五公设的证明
❖ 历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希 腊天文学家托勒密（约公元150），后来普 洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定 了过直线外一点只能作一条直线与已知直线 平行。
❖ 替代公设：过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行。
几何原理中的家丑
❖ 从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的 努力始终没有中断。但每一种“证明”要么 隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么 存在其它形式的错误。而且，这类工作中的 大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。 18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问 题称为“几何原理中的家丑”。
❖ 至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。
高斯建立非欧几何
❖ 最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以 用来描述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识 到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年 起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。 他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为 “非欧几里得几何”。但高斯没有发表过任何有关 非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及， 他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些 发现，‘黄蜂就会围着耳朵飞’，并会‘引起波哀 提亚人的叫嚣’”。
❖ 书中有部分的定义不清晰，阅读后反而 令人更迷惘。
❖ 在论证过程之中，欧几里得使用了一些 公理系统未有提及的假設。 • 对第 5 公设的怀疑。
第五公设（平行公设）
❖ 第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同 旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长， 它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
❖ 在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得 比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、 明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更 像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推 出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设 似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直 到卷Ⅰ命题29才不得不使用它。
❖ 萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑 锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的 结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外 一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里 认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾 而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是 与平行公设等价的。
❖ 1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel） 在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上 并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的 结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以 由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。
「点」、「线」、「面」、 「通过」、「在 … 之间」、「相等」
• 20 条公理分成 5 組：
– 关联公理（I. 18）、順序公理（II. 14）、 合同公理（III. 15）、平行公理（IV.）、 联系公理（V. 12）
• 希尔伯特同时提出选择公理体系的原則：
– 相容性、独立性、完备性
对《几何原本》的批评
勇敢的罗巴切夫斯基
❖ 在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基 最早、最系统地发表了自己的研究成果，并 且也最坚定地宣传和捍卫自己的新思想。
❖ 他于1826年在喀山大学发表了演讲“简要论 述平行线定理的一个严格证明”，而后又于 1829年发表了《论几何原理》的论文，这是 历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但 由于是用俄文发表在《喀山通讯》上的而未 引起数学界的重视。
公理体系
定义
定义
命題Hale Waihona Puke 定义命題命題
公设、公理 命題 命題
公理体系的完善
❖ 希尔伯特（David Hilbert; 1862 1943）
• 1899年发表著名的 《几何基础》一书。
• 引入了 20 条公理和 6 个不加解释的定义， 建立起新的几何公理 体系。
公理体系的完善
❖ 6 个不加解释的定义包括：