数学公理化方法的意义和作用
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
公理化方法对培养学生数学核心素养的意义及启示
公理化方法对培养学生数学核心素养的意义及启示。
自20世纪80年代以来，公理化方法一直是教育界重要的教学理论之一，但由于它严谨、深刻、有趣的特点，它也成为广大数学教师引入和实施的一种常用方法。
此外，它对培养学生数学核心素养具有十分重要的意义和启示。
首先，公理化方法极大地提升了学生的数学能力和素养水平。
课堂上学生不仅可以学习有关数学知识的基本概念，而且养成了思考、分析、归纳的能力，从而提高了学生的数学能力。
其次，公理化方法还有助于提升学生的学习热情。
公理化方法注重把数学当作一种“娱乐”来进行，无论是探究性学习还是分析技巧，都是教师以有趣的形式教授，学生们更容易接受，从而调动起学习的热情。
此外，公理化的教学方式还有助于学生提高综合能力。
由于公理化教学注重学生的实践能力和综合能力，充分激发了学生的学习兴趣，增强了他们的表达能力和自学能力，并培养了学生的团队合作精神和创新意识。
同时，对学生进行有节奏的练习也有利于改善基础知识，为未来学习打下坚实的基础。
总而言之，公理化方法有助于提高学生的数学能力，增强学习热情和创新意识，也将有助于培养学生的数学核心素养，更好地应用到日常的学习和生活当中。
因此，数学教师应当在实践中发挥公理化教学的准确性和丰富性，以提高学生的数学素养和能力。
公理化思想
k+ 1
( k +1) x
2
+1
- ( k +1) xk +1(x > 0) ，则 hk ( x) k (k 1) x k k k 1 x k 1 k k 1 x k 1 (x 1)
( x) 0 , hk ( x) 在 (0,1) 上递减； 当 x > 1 , hk ( x) 0 , hk ( x) 在 (1, ) 所以当 0 < x < 1 , hk
是等差数列，设其公差为 d 。
所以数列 {an } 是等差数列.
评析：证明 {an } 为等差数列的方法：(1)用定义证明： an1 an d (d 为常数） ； (2)用等差中项证明： 2an1 an an2 ；( 3)通项法： an 为 n 的一次函数； (4)前 n 项和法： Sn An2 Bn
f ( x) 有三个不同零点的充分条件。因此 a 2 3b 0 是 f ( x) 有三个不同零点的必要而不充分条件。
评析：1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值． 3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
2 得 3x 8 x 4 0 ，解得 x 2 或 x
2 2 ．于是 , 2 时， f ( x) 递增， 2, 时， 3 3
2 32 2 , f ( x) 递减， f ( x ) 时， 递增。 当 存在 x1 4, 2 ， f ( 2) c 0, f ( ) c 0 时， 3 27 3
《几何学》辅导纲要总结
《几何学》辅导纲要第一章 公理化方法与非欧几何主要内容：1．几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义 2．希尔伯特公理体系的结构3．公理系统的相容性、独立性和完备性 4．罗氏几何和黎曼几何的数学模型 重点掌握：1．公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。
2.公理法的结构是原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明. 3．三角形内角和等于180度与欧氏平行公理等价。
4．欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。
5．公理系统的完备性: 如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。
6．几何公理: 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定。
在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。
因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。
7．公理系统的相容性: 一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。
8．欧几里得的第五公设：在一平面上如果直线l 与另外两条直线b a ,相交，有一侧的两个同侧内角βα,的和小于两直角，则直线a 与b 在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。
baαβl9．公理法的基本思想：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。
全部元素的集合构成了这种几何的空间。
在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
10．公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。
如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
公理化方法的发展及其对数学教育的启示
公理化方法的发展及其对数学教育的启示公理化方法是现代数学发展的重要方法，它的出现使得数学能够更加清晰、系统、严谨地表达出来。
公理化方法不仅改变了数学的面貌，也对数学教育产生了深远影响。
本文主要从公理化方法的发展和它对数学教育的启示两个方面来探讨公理化方法的意义。
一、公理化方法的发展公理化方法的起源可以追溯到希腊数学家欧几里德。
他在《几何原本》中的公理化方法对现代数学的发展造成了深远的影响。
欧几里德的公理化方法是以一些自然显然的个人经验作为基础，进行逻辑推理，从而证明定理的正确性。
后来在十九世纪末，希尔伯特提出了公理化方法的新理念：从极端简单的、自明的判断开始，利用逻辑细节的证明过程建立起大量的数学理论。
公理化方法的本质是从基本事实着手，通过推演、证明和求解来得出定理和结论。
由于基本事实不会被证明或推导出来，其默认为真，需要从中推导所有其它是定理或推论。
由此，公理化方法不仅仅是逻辑方法，而且是一种需要语言和符号体系去完备表达的方法。
公理化方法要求对不同领域的知识进行分解、分类、梳理和整合，从而形成一个清晰、明确、有序的知识结构。
1. 培养系统化思维公理化方法鼓励学生系统化的思考方式。
在向学生介绍一个概念时，要从概念的定义入手，充分了解概念的意义和运用场景，引导学生弄清概念的基本性质或公理，然后尝试建立该概念与其它概念之间的联系，形成更加系统化的思维方式。
2. 增强创造思维公理化方法提倡对问题产生好奇心、提出假设并实现想法。
在数学教育中，教师应该更多地引导学生在学习过程中积极提问，用自己的思考去探索问题的本质，鼓励学生通过观察、实践、思考等多种方式交流沟通，并引导学生探索问题的深层原因和内在联系，最终做出合理的结论。
3. 增强良好的学习习惯公理化方法讲究严谨的逻辑和语言表达能力。
这使得学生不能掉以轻心，在学习中遵循逻辑严谨的思维方式，加强语言表达的训练，提高学习技巧和策略。
并在学习过程中树立“勤奋、挑战自我、创新、严谨”的良好学习习惯，更多地获得自信和成功。
公理化方法对培养学生数学核心素养的意义及启示
其次,公理 化 方 法 可 以 让 学 生 理 解 数 学 抽
在数学学科 核 心 素 养 中,逻 辑 推 理 素 养 是 学 生
象的意义与 方 法 .公 理 化 方 法 的 逻 辑 起 点 是 一
发展的重要数学素养之一,它是得到数学结论,
是培养学生 数 学 核 心 素 养 的 重 要 素 材 .通 过 数
的数学核心素养已成为高中数学课程的重要目
学课堂观察 发 现,教 师 对 公 理 化 方 法 在 发 展 学
标 .如何在数学教育教学中培养学生数学抽象、
生数学核心 素 养 上 的 意 义 认 识 不 是 很 明 确,有
逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据
部分学生对 公 理 化 方 法 没 有 完 全 理 解,致 使 学
分析六大数 学 核 心 素 养,是 每 位 数 学 教 师 都 要
生在逻 辑 推 理 和 数 学 证 明 中 出 现 不 该 有 的 错
面对和思考的问题 .在实际数学教生 数 学 核 心 素 养 上 的
较多优势 .
方法主要分布在初中“图形与几何”学习领域和
首先,公理 化 方 法 是 学 生 学 习 图 形 与 图 形
高中立体几 何 部 分,由 于 公 理 化 方 法 包 含 很 多
关系抽象的 重 要 内 容 .数 学 抽 象 是 指 通 过 对 数
收稿日期:
2019
09
18
基金项目:国家社会科学基金“十三五”规划 2018 年度教育学西部项目“西北民族地区高中生理科学科核 心 素 养 培 育 路 径 研
运用逻辑推理规则,建立科学体系的方法 .公理
抽象的资源,来 培 养 和 发 展 学 生 的 数 学 抽 象 素
公理法
公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
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数学公理化方法的意义和作用2008-9-27 16:06:49——摘自《徐利治谈数学哲学》公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，可以说，它对各门现代数学都有极其深刻的影响．即使在数学教学中，公理化方法也是一个十分重要的方法．所谓公理化方法(或公理方法)，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学理论构造成为演绎系统的一种方法．所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系而并非人们自由意志的随意创造．众所周知，Hilbert l899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作．该书在问世后的二三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大．Hilbert的几何公理系统实际上是在前人的一一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改．直到1930年出第七版时，还作了最后修改．这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程是可以包含着一些发展阶段的．谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下四点：(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用．凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便．(2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创(3)数学公理化方法在科学方法论上有示范作用．这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如，20世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化，而物理学家亦把相对论表述为公理化形式……(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例数学公理化方法2007-09-19 23:30§2 数学公理化方法公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，它对于各门现代数学都有极其深刻的影响．公理化方法是数学研究的一种基本方法，即使在数学教学中，也是一个十分重要的方法．一、公理化方法的意义和作用所谓公理化方法，就是由尽可能少的不加定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发，运用逻辑规则推导出其余命题或定理，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法．公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．1．数学公理化方法具有分析、总结数学知识的作用．当一门科学积累了相当丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识的时候，公理化方法便是一种有效的手段．如近代数学中的群论，便经历了一个公理化的过程．当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理．2．公理化方法作为数学研究的一个基本方法，不但对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用．例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创立．因此，公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方法．3．公理化方法本身又成为科学研究的对象．介乎于逻辑学和数学之间的边缘学科——数理逻辑，用数学方法研究思维过程中的逻辑规律，也系统地研究数学中的逻辑方法．因此，数学中的公理方法是数理逻辑所研究的一个重要内容．由于数理逻辑是用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式，特别是逻辑推理形式加以公理化，符号化．这种研究使数学工作者增进了使用逻辑方法的自觉性．4．数学公理化方法在科学方法论上具有示范作用．任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系．公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》巨著中，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的巴拿赫完成了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系．狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理．爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”．这些就是爱因斯坦运用公理化方法，创立的狭义相对论完整理论体系的精髓．二、公理化方法的产生和发展公理化方法主要是从数学(主要是几何学)和逻辑学的发展中产生的．一般认为公理化方法的历史发展大致可划分为产生、完善和形式化三个阶段．1．公理化方法的产生．公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．2．公理化方法的发展．《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展．第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明．因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑．从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里( Saccheri，1667—1733)和兰勃特( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败．然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系可能产生．19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧氏几何之外，还可能有第五公设不成立的新几何系统存在．于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列．后来人们又证明了这两个部分地相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关．现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何．非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的认识发生了飞跃，从直观空间上升到抽象空间．在建立非欧几何的过程中，公理化方法得到了进一步的发展和完善．3．公理化方法的形式化．德国数学家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通过对射影几何公理化基础的纯逻辑的探讨，第一次从理论上提出了形式公理学的思想．他认为，几何学如果要成为一门真正的演绎科学，最根本的是推导的进行必须完全独立于几何概念的涵义，同样地也必须不以图形为依据，而所考虑的只能是被命题或定义所确定的几何概念之间的关系．就是说，一个公理系统必然要有本系统里不定义的概念，通过这些概念就可以给其它概念下定义，而不定义概念的全部特征必须由公理表达出来．公理可以说是不定义概念的隐定义．有些公理虽然是由经验提出来的，但当选出一组公理之后，必须不再涉及经验及物理意义．公理决不是自明的真理，而是用以产生任一特殊几何的假定．帕斯的这些思想已经表达了形式公理系统的特征．随着数学的深入研究和射影几何公理系统的建立，形式公理学的概念已经成熟．1899年希尔伯特《几何学基础》一书的发表，不仅给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而且解决了公理化方法的一系列逻辑理论问题．这本著作成为形式公理学的奠基著作．希尔伯特几何公理系统，除了有几何模型外，还可以有其它模型(如算术模型)，所以它是一个形式公理系统，可以把其初始概念和公理看成是没有数学内容的，数学内容是通过解释赋予它们的，初始概念和公理完全可以用形式语言来陈述．因此，自从《几何学基础》问世以后，不仅公理化方法进入了数学的其它各个分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的阶段．三、公理化方法的内容和公理系统的构造公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且是合理的．因此，一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：1．相容性(或称无矛盾性、协调性)．这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理．反之，如果能从该公理系统中导出命题A 和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的．因此，公理系统的无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求．2．独立性．这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度．3．完备性．这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由．从理论上讲，一个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的．至于某个所讨论的公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求的公理系统确实存在等，则是另外一回事了．应该指出的是，对于一个较复杂的公理体系来说，要逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现．根据上述三条要求，如何来构造公理系统呢？也就是说，如何运用公理化方法将一门数学整理组织成一个演绎系统呢？一般来说，有三个步骤：1．要积累大量的经验、数据和资料，对这些经验资料进行分析归纳，使之系统化，最后上升为理论．因为公理系统的建立是以大量的事实为基础，以丰富的经验和已有的科学知识为前提的，设此无彼．2．数学公理化的目的是要把一门数学整理成为一个演绎系统，而这一系统的出发点就是一组基本概念和公理．因此，要建立一门数学的演绎系统，就要在第一步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择一些基本概念和确定一组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题．选取的基本概念是不定义概念，必须是无法用更原始、更简单的概念去确定其涵义的，也就是说，它是高度纯化的抽象，是最原始最简单的思想规定．3．在确定了基本概念和公理之后，就要由此出发，经过演绎推理，将一门数学展开成一个严格的理论系统．也就是说，对系统中的每一概念予以定义，而每一个定义中引用的概念必须是基本概念或已定义过的概念；对其它每一命题都给予证明，而在证明中作为论据的命题必须是公理或者已经证明为真实的定理．因此，一门数学的演绎系统就是这门数学的基本概念、公理和定理所构成的逻辑的链条．在上述过程中，从认识论的角度来看，任何公理系统的原始概念和公理的选取必须反映现实对象的本质和关系．就是说，应该有它真实的直观背景而不是凭空臆造．其次，从逻辑的角度看，则不能认为一些概念和公理的任意罗列就能构成一个合理的公理系统，而一个有意义的公理系统必须是一个逻辑相容的体系．四、公理系统的相容性证明一个公理系统的相容性是至关重要的，因为一个理论体系不能矛盾百出．而独立性和完备性的要求则是次要的．因为在一个理论体系中，如果有多余的公理，对于理论的展开没什么妨碍；如果独立的公理不够用，数学史上常常补充一些公理，逐步使之完备．下面仅就公理系统的相容性证明作一介绍．1．问题的产生及历史发展背景．关于相容性征明这一概念的产生和历史发展的背景是这样的：自从罗巴切夫斯基几何诞生后，由于罗氏平行公理(过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与该已知直线平行)如此地为常识所不容，这才真正激起了人们对于数学系统的无矛盾性证明的兴趣和重视．后来，庞卡莱(Poincare｀，1854-1912)在欧氏半平面上构造了罗氏几何的模型，把罗氏系统的相容性证明通过一个模型化归为欧氏系统的相容性证明，但却由此导致了人们对欧氏系统相容性的重重疑虑．幸亏那时已经有了解析几何，这就等于在实数系统中构造了一个欧氏几何的模型．这就把欧氏几何的无矛盾性归结到了实数论的相容性．那么实数论的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把实数定义为有理数的分划，也即有理数的无穷集合，因而把这个无矛盾性归结到了自然数系统的无矛盾性．又由于弗雷格( Frege，1848-1925)的自然数的概念是借助集合的概念加以定义的，因此，归来归去还是把矛盾集中到集合论那里去了．那么集合论的相容性如何？事实上，集合论的相容性正处于严重的“危机”之中，以致这种相容性的证明至今还未解决．2．庞卡莱模型和相对相容性证明．庞卡莱为证明罗氏几何的相容性，在欧氏系统中构造了一个罗氏几何的模型．即在欧氏平面上划一条直线a将其分成上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任一长为半径的半圆周作为罗氏几何的直线，然后对如此规定的罗氏几何元素一一验证罗氏平行公理是成立的．如图4—3所示，过罗氏平面上任一罗氏直线l外的一点P，确实可以作出两条罗氏直线与l平行．因为欧氏直线a上的点不是罗氏几何系统的元素，所以两个半圆相交于直线a上某一点则应看作相交于无穷远点，从而在有穷范围内永不相交．这样以来，如果罗氏系统在今后的展开中出现了正、反两个互相矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素间的对应关系进行翻译，立即成为互相矛盾的两个欧氏几何定理．从而欧氏系统就矛盾了．因此，只要承认欧氏系统是无矛盾的，那么罗氏系统一定也是相容的．这就把罗氏系统的相容性证明通过上述庞卡莱模型化归为欧氏系统的相容性证明．这种把一个公理系统的相容性证明化归为另一个看上去比较可靠的公理系统的相容性证明，或者说依靠一个数学系统的无矛盾性来保证另一个数学系统的协调性叫做数学系统的相对相容性证明．3．相容性证明对数学发展的影响．由于相对相容性的出现，使人们对欧氏系统的相容性也忧心重重．而更糟的是，在罗氏系统的展开中人们又发现，罗氏几何空间的极限球面上也可构造欧氏模型，即欧氏几何的全部公理能在罗氏的极限球上实现，于是欧氏几何的相容性又可由罗氏几何的相容性来保证！这说明欧氏与罗氏的公理系统虽然不同，但却是互为相容的．人们当然不满足于两者互相之间的相对相容性证明，因为看上去较为合理的欧氏系统的无矛盾性竟要由看上去很不合理的罗氏系统来保证，这是难以令人满意的．于是人们开始寻求直接的相容性证明，本世纪初数学基础论就诞生了．由于在这一工作中所持的基本观点不同，在数学基础论的研究中形成了诸如逻辑主义派、直觉主义派和形式公理学派三大流派．这些流派虽然并未最后解决相容性证明问题，但在方法论上却各有贡献，他们的方法论、思想方法对于数学的研究与发展都具有重要的意义，有些还值得进一步分析、探讨、继承和发数学公理的前提适用范围采用公理化建立数学，为什么不采用自然化而更加符合真实事实？换而言之，没有公理化就没有数学体系，公理化是数学理论基础的来源。