第七章 数学中的公理化方法

希尔伯特对元数学的研究，使公理 化方法进一步精确化：
• 把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑 规则排成演绎的体系，并使用数学符号和 逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全 部数学命题便变成了公式的集合，公理化 的数学理论便变成了演绎的形式系统。元 数学思想的提出，标志着数学的研究达到 了新的、更高的水平，数学的研究对象已 不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数 学结构。从而，公理化被推向一个新阶段 即纯形式化阶段。
• • • • • • • • • （1）各与同一个第三个量相等的量必相等。 （2）相等的量加上相等的量仍为相等的量。 （3）相等的量减去相等的量仍为相等的量。 （4）不等的量加上相等的量获不相等的量。 （5）相等的量的两倍仍为相等的量。 （6）相等的量的一半仍为相等的量。 （7）能互相重合的是一定是相等的量。 （8）整体大于部分。 （9）过任意两点只能引一条直线。
• 直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸 取了前人两千多年来在证明第五公设中的 失败教训，认识到第五公设与其他几何公 理是互相独立的，除掉第五公设成立的欧 氏几何外，还可以有第五公设不成立的新 几何系统存在。于是他在剔除第五公设而 保留欧氏几何其余公理的前提下，引进了 一个与第五公设相反的公理：“过平面上 一已知直线外的一点至少可引两条直线与 该已知直线平行”，由此构成了一个新的 几何系统与欧氏几何系统相并列。
1．相容性
• 公理的相容性也称无矛盾性或和谐性，是 指同一公理系统中的公理，不能自相矛盾； 由这些公理推出的一切结果，也不能有丝 毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立， 又能证明它的反面也成立的情况存在。
2．独立性
• 公理的独立性，是指一个公理系统中的所 有公理，不能互相推出。这就是要求该系 统中公理的数目减少到最低限度，不允许 公理集合中出现多余的公理，这也是对数 学的“简单美”的一种追求。
§2 欧几里得几何公理系统简介
• 欧几里得的《几何原本》是公理化方法的 雏形。它的主要内容包括以下几个方面。
一、23条定义
• • • • （1）点是没有部分的。 （2）线是有长度而没有宽度的。 （3）线的界是点。 （4）直线是这样的线，它对于它的任何点 来说，都是同样的放置着的。 • （5）面是只有长度和宽度的。
• 在欧氏《几何原本》的公理系统中，概念 直接反映着数学实体的性质，而且那些概 念、定义、公理的表述以及定理的论证往 往受到直觉观的束缚。因而，欧氏公理系 统的公理化可称为“实体公理化”。
然而在希氏《几何学基础》中，
• 不仅在公理的表述或定理的论证上已摆脱 了空间观念的直觉成分，而且还为几何对 象及其关系进行更高一级的抽象提供了基 础。
四、467条定理
• 欧几里得从上述公设和定理出发，运用演 绎方法，将当时所知的几何知识全部推导 出来，共有467条几何命题。
但是，欧几里得几何公理系统是不够完 善的，比如：
• （1）有些定义是不自足的。 • 在给某些概念下定义时，使用了一些未加 定义的概念。 • （2）有些定义是多余的。 • 缺少它们，并不影响后面的论证。 • （3）有些定理的证明是不严格的。
§1 公理化方法概述
• 数学公理化方法，是数学发展到一定阶段 的产物．它在近代数学发展中曾起过巨大 的作用，而且对于现代数学的发展也有着 极其深刻的影响．即使在数学教学中，公 理化方法也是一个十分重要的方法．
一、公理化方法的含义
• 公理化方法是从尽可能少的基本概念和基 本公理出发，应用严格的逻辑推理，使一 门数学建成为演绎系统的一种方法．在理 论形式上，这些基本概念和基本公理，是 逻辑推理的前提，是数学需要作为自己出 发点少数思想上的规定．
三、公理化方法的作用
• 数学公理化方法在整理数学知识，促使新 理论的创立，以及对整个科学理论的表述 都有着重要的作用。
1．公理化方法是整理分析、加工总结数学经 验资料，建立科学理论体系的基本工具。
• 利用公理化方法，可以把零散的数学知识， 用逻辑的链条串连起来，使之形成完整的 有机整体。这样，不但能使人们容易掌握， 而且也便于应用。
2．完整阶段——由罗巴切夫斯基的非欧几何 到希尔伯特《几何基础》的问世。 • 欧几里得几何公理系统的意义十分巨大， 影响极为深远，但它是不完善的，特别是 第五公设问题，当时大多数人认为它很像 一条定理，企图用《几何原本》中其余的 公设和公理加以证明，但在证明中所用的 论据，要么是不知不觉地利用一直观明显 性，要么是利用了一个与第五公设等价的 命题。因此，所有这些证明实质是无效的。
二、5条公设
• （1）从一点到另一点必可引直线。 • （2）任一直线均可无限地延长。 • （3）以任一点为中心，均可以任意长的半 径画圆周。 • （4）所有的直角都是相等的。 • （5）若两直线与第三条直线相交，其一侧 的两个内角之和小于两直角时，则把这两 条直线向该侧充分地延长后一定相交。
三、9条公理
由公理化方法把一个数学分支建成为演绎体 系，关键是引进基本概念，设置基本公理．
• 基本概念是一些不需定义的或隐约地受到公理制 约的原始概念，它们必须是真正基本的，无法用 更原始、更简单的概念去定义的概念，必须是对 数学实体的高度纯化的抽象。 • 基本公理是无条件的、相互制约的规定，是作为 对各个基本概念的相互关系和基本性质的阐述和 规定，是一些不证自明的命题。基本公理不是可 以随意选定的，一个良好的公理系统，所设置的 公理应当满足下列三项基本要求：
诚然，公理化方法具有重大作用，但也不能将它绝
对化，必须辩证地看到它的不足之处。
• 公理化方法如果不与实验方法相结合，则 可能陷入错误；如果不与认识论的科学方 法相结合，则也不会更好地发现问题；公 理系统的相容性、独立性和完备性的要求， 不仅在理论上难以全部满足，而且对于一 些新兴的数学分支或与生产实际关系密切 的科学的发展，反而是一种障碍。而且， 用公理化方法建立起来的理论体系，最终 还需受实践的检验，以判定其真伪。
• 因为一个公理系统如果违反了相容性的要求，那 么以这个系统中的公理作为逻辑推理的大前提， 所推出的结果必然矛盾百出，造成逻辑上的混乱， 因而这样的公理系统难以帮助人们认识现实世界 的空间形式和数量关系，是毫无实际价值的。独 立性和完备性是第二位的要求，对于一个严谨的 公理系统，这两个要求也应得到满足，但是许多 比较复杂的数学分支，要它的公理系统都能满足 上述三项基本要求，则往往比较困难。 • 公理化方法的意义和作用，与其自身的不断发展 密切相关。
• 非欧几何的创立，大大提高了公理化方法 的信誉，接着便有许多数学家致力于公理 化方法的研究。如德国数学家康托尔与戴 德金不约而同地拟成了连续性公理、德国 数学家巴许拟成了顺序公理。在这个基础 上，希尔伯特于1899年发表了《几何学基 础》一书，改造了欧氏几何系统，完善了 几何学的公理化方法。
3．形式化阶段——集合悖论出现后，希尔伯特在 其形式化研究方法，特别是元数学（证明论）中， 将公理化方法推向的一个新阶段。
在证明过程中，常常依赖于图形的直观。
• 例如《几何原本》中一个命题的证明：
• 命题 三角形的外角大于每一个不相邻的内 角。
2．公理化方法有利于比较数学各个分支的实 质性异同，促进数学探索与基础研究，推动 数学新理论的产生。 • 从前面所述，可以看出，非欧几何就是在 研究和使用公理化方法的过程中产生的。
3．数学公理化方法在科学方法论上， 对各门自然科学起着示范作用。
• 由于数学公理化方法表述数学理论的简洁 性、条理性和结构的和谐性，为其他科学 理论的表述起到了示范作用。于是其他科 学纷纷效仿数学公理化的模式，出现了各 种理论的公理化系统，如理论力学公理化、 相对论公理化及伦理学公理化等等。
于是，
• 只要满足公理系统中各个公理的要求，那 么所涉及的对象就可以是任何事物，并且 在公理中表述事物或对象间的关系时，其 具体意义也可以是任意的。所以，在《几 何学基础》问世以后，公理化方法不仅进 入了数学的其他各个分支，而且它本身也 被推向了形式化的阶段。
• 后来希尔伯特将将某种数学理论（如自然 数理论、几何理论等）作为一个整体加以 研究，提出了希尔伯特规则，即：证明古 典数学的每个分支都可以公理化；证明每 个这样的系统都是完备的； 证明每个这样 的系统都是相容的；证明每个这样的系统 所相应的模型都是同构的；寻找一种可以 在有限步骤内判定任一命题的可证明性的 方法。希尔伯特为具体实施这个规划而创 立了证明论即元数学理论。
• 希腊著名数学家欧几里得在泰勒斯、毕达哥拉斯、 柏拉图等学派工作的基础上，运用亚里士多德提 供的逻辑方法，写出了数学史上的重要著作《几 何原本》。这是古代数学公理化方法的一个光辉 成就。 • 《几何原本》的问世，标志着公理化方法的诞生， 《几何原本》的贡献倒不在于发现了几条新定理， 而主要在于它把原先零乱的、互不相关的几何知 识，按公理系统的方式进行妥切安排，使得反映 几何事实的公理和定理都能与论证联系起来，组 成一个有条不紊的有机整体。
• （6）面的界是线。 • （7）平面是这样的面，它对于它的任何直 线来说，都是同样的放置着的。 • 接着15条是关于角、平角、直角和垂线、 钝角、锐角；圆、圆周和中心、直径、半 圆、直线形、三角形、四边形、多边形、 等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、 直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、 正方形、菱形、梯形的定义。 • （23）平行线是在同一平面上而且向两侧 延长总不相交的直线。
二、公理化方法的产生和发展
• 综观公理化方法发展的历史，大致可以分 为三个阶段：
1．产生阶段——由亚里士多德的完全三段论 到欧几里得《几何原本》的问世。
• 公元前三世纪，希腊哲学家亚里士多德在 其逻辑著作《工具论》一书中，总结了古 代积累起来的逻辑知识，以数学及其他演 绎的学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出其他的三段论。因此，亚里士多 德是历史上第一个正式给出公理系统的作 者。
完备性
• 公理的完备性，是要求对一个公理系统中 所有基本概念的性质，都作出明确的规定， 使得这个系统中的全部命题都能毫无例外 地在本系统中被证明，而在推理证明过程 中，无需再用到直觉，因此，必要的公理 不能省略。否则，将有某些真实命题得不 到理论的证明或在证明过程中理由不充分。