数学中的公理化方法(下)
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
公理化方法
公理化方法
公理化方法简介如下：
公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
《数学史》网上考试题库
7、在古希腊的文明进程中，形成了占文化传统主导地位的宗教体系。 答案：错
8、特殊的民族文字帮助古希腊比较容易地形成了数学神秘主义。 答案：对
9、在古代文化中，数学在不同民族文化中的地位差异，会把数学对民族文化的 作用明显地表现出来。 答案：对
A.帕特洛克罗斯
B.赫克托
C.阿基里斯
D.亚伯拉罕
E.利沙
答案：选 ABC
5、在原始数学发展中，数字符号以及数字符号运算的发展过程可分为下列哪几 个表现层次（ ）？
A.表象层 B.行动层 C.思维层 D.想象层 E.精神层 答案：选 ACE
6、按照数学家的研究活动总是在一定的传统之中进行的事实，数学传统一般包
（A）杨辉 答：C
（B）朱世杰 （C）沈括（D）贾宪
二、多项选择题 1、数学走向结构特征体系化道路的一种类型是数学与神秘性解释功能相分离， 数学只保留极少个别数字的原始神秘性，下列属于这一类型的国家有（ ）。
A.中国 B.古巴比伦 C.印度 D.埃及 E.美索不达米亚 答案：选 ACDE
2、数学作为一种文化，通常是指由（ ）。
2、下列哪些数学神秘性对数学后来在不同民族中的发展都产生了巨大的影响 （ ）？
A.个别数字神秘性。 B.群体数字神秘性。 C.巫术式神秘性。 D.宗教式神秘性。
E.神学式神秘性。 答案：选 ACD
3、在原始数学发展中，数字符号以及数字符号运算的发展过程可分为下列哪几 个表现层次（ ）。
A.表象层 B.行动层 C.思维层 D.想象层 E.精神层 答案：选 ACE
A.数学的概念、方法、理论
B.数学家群体
C.民族文化中的观念、行为、精神 D.数学思想方法
几何学：第五公设——公理化方法
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
自然数的公理化
自然数的公理化
自然数的公理化是通过皮亚诺公理（Peano axioms）来定义的。
皮亚诺公理是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出的关于自然数的五条公理系统。
这些公理是数学中用于定义自然数的基础，它们描述了自然数的基本性质和运算规则。
皮亚诺公理包括：
0是一个自然数：这条规定了自然数的起点，即自然数系包含0。
每个自然数a都有一个后继数a'：这意味着每个自然数都有一个唯一的“下一个”数，即它的后继。
0不是任何自然数的后继数：这确保了0作为自然数系的起始点是唯一的。
不同自然数的后继数不相同：如果a和b是两个不同的自然数，那么它们的后继数a'和b'也不相同。
如果一个性质适用于0，并且假设它适用于一个自然数，那么它也适用于该自然数的后继数，则该性质适用于所有自然数：这是数学归纳法的基础，它是证明涉及自然数的性质时非常重要的工具。
值得一提的是，皮亚诺公理为自然数的算术运算（如加法、乘法）提供了基础，并且在逻辑上构建了整个自然数的理论体系。
通过这些公理，我们可以定义加法、乘法等运算，并证明它们的性质，如交换律、结合律和分配律。
此外，皮亚诺公理还可以用来定义减法和除法运算。
总的来说，皮亚诺公理是现代数学中对自然数进行公理化描述的基础，它不仅为自然数的性质提供了清晰的描述，而且还为更高层次的数学理论，如实数、微积分等，提供了坚实的基础。
公理化方法
公理化方法的产生阶段----几何原本
《几何原本》共13卷，467个命题。其中有5个公设，5 个公理。 公设：1.从一点到任一点作直线可能； 2.有限直线可 以延长；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆； 4.所有直角彼此相等；5.若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后 相交于该侧的一点。 公理：1.与一件东西相等的一些东西，它们彼此也是 相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量， 余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大 于部分。
实数
定义1:十进小数 叫做实数。 10 10 10 定义2:如果有理闭区间序列{ [ a n , b n ] }满足 （1）[ a n 1 , b n 1 ] [ a n , b n ] 即 a a b b ( n 1, 2 ,3 ) （2）对于任意的 0 ，存在自然数N，当n>N时，恒 有 b a ,那么称这个序列为退缩有理闭区间序列， 简称为有理闭区间套。 在集合R上定义运算：实数a对应有理闭区间套 {[a , a ]}，实数b对应有理闭区间套{[ b , b ]}，那 么a+b对应有理闭区间套{[ a b , a b ]}，ab对应有 理闭区间套{[ a b , a b ]}。 a a0
有理数
设E={（a，b）∣a，b∈Z,b≠0} 在该集合上定义关系：（a，b）∽（c，d）当且仅当 ad=bc 上述关系是等价关系，它将集合E划分成若干等价类， 把每一等价类叫做一个有理数，一切有理数所组成的集 合叫做有理数集，记为Q。 在集合Q上定义加法：（a，b）+（c，d）=（ad+bc， bd） (b≠0，d≠0) 在集合Q上定义乘法：（a，b）（c，d）=（ac，bd） (b≠0，d≠0)
公理法
公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。
国家开放大学2020年春季学期电大《数学思想与方法》形成性考核及解析
一、填空题（每空格3分，共30分）
题目1
未回答
满分3.00
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题干
1．（）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，
提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
答案：
反馈
正确答案是：数学思想方法
题目2
未回答
满分9.00
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题干
2．三段论是演绎推理的主要形式，它由（）、（）、（）三部分组成。
答案：
反馈
正确答案是：大前提、小前提、结论
题目3
未回答
满分6.00
标记题目
题干
3．传统数学教学只注重（）的传授，而忽略对知识发生过程中（）的挖掘。
答案：
反馈
正确答案是：形式化数学知识，数学思想方法
题目4
未回答
满分3.00
标记题目
题干
4．特殊化方法是指在研究问题中，（）的思想方法。
答案：
反馈
正确答案是：从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合题目5
未回答
满分9.00
标记题目
题干。
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數學中的公理化方法(下)吳開朗四、數學公理系統的美學標準美國數學家F.S.梅里特在其所著《工程中的現代數學方法》一書中曾經說過:“每一模型都是由一組公理定義的,···公理自身必須無矛盾且相互獨立”[11]。
所謂一組公理,即是一個公理系統。
關於公理系統的無矛盾性,是指借助於演算不可能在一個公理系統中推出兩個相互否定的命題。
關於公理系統的獨立性,是指在該系統中任何一條公理都不可能作為其餘各公理的邏輯推論。
如果一個公理系統具備無矛盾性(即相容性)和獨立性,那麼,這個公理系統(或者說這個理論體系)就是優美的。
因此,相容性和獨立性也就是公理系統的美學標準。
獨聯體維林金等編著的《中學數學現代基礎》一書中曾指出:“可以由給定的公理系統導出的全部不同的命題,一般說來有無窮多個。
因此,為了證明給定的公理系統的相容性,要想由這一公理系統作出全部可能的推論,並且指出其中沒有相互矛盾的命題,這是不可能的。
為了解決這個難題,曾經創造一種特殊的方法,它的名稱叫做模型法”。
[12]所謂模型法,即是欲證明某一新數學理論的無矛盾性(一致性),或者欲證明某一新數學理論與某一已知的(舊)數學理論的相容性(相對一致性),可以設法為它在古典數學中構造一個模型,並且進而證明這個新數學理論的公理系統在該模型中都能夠得以實現,這樣,即可以把這個新理論的相容性,化歸為新理論與建造它的模型(新理論的模型)時所需要的古典數學理論的相容性(相對一致性)。
因此,這種模型法,又可稱之為化歸法。
例如,我們利用龐卡萊(Poincar´e)模型和球面模型,可以把非歐幾何的相容性,化歸為歐氏幾何的相容性,再利用算術模型,又可進一步把歐氏幾何的相容性,化歸為算術理論的相容性。
[13]然而,對於一個新理論而言,並不需要如此逐步化歸,一般地說,只要是在古典數學中,能夠為其構造一個數學模型已足,因為古典數學已經過億萬群眾長期的科學實踐檢驗。
維林金在《中學數學現代基礎》一書中指出:“利用模型法也可以解決所給公理系統的獨立性問題。
如果理論T中的公理A,由其它公理既不能證明,也不能否定,則稱公理A是與其它公理相獨立的。
要證明所給公理A的獨立性,應該建立一個新的公理系統,在其中將公理A換成它的否定,而T中其它公理則保持不變。
如果所給的公理系統以12數學傳播十七卷二期民82年6月及用上述方法由它所得到的新公理系統都是相容的,那麼,則稱公理A與該理論體系T中的其它公理是相獨立的”。
[14]假設Σ為一個公理系統,並且已證得它是相容的。
令Σ={A1,A2,A3,···,A n},欲證其中某一條公理A i(i=1,2,···,n)對於Σ中其餘各條公理是獨立的,可以先構造一個與A i相矛盾的命題A i}具備相容性(其中Σ′={A1,A2,···,A i−1,A i+1,···,A n}),由此即可推得A i對於Σ中其餘各條公理具有獨立性。
現在我們來證明歐氏幾何希爾伯特公理系統中平行公理的獨立性:該公理系統共有二十條,按照希爾伯特著《幾何學基礎》一書中所排列的順序,平行公理可記為p18,而整個公理系統可記為:={p1,p2,p3,···,p20}。
欲證p18對於Σ′={p1,p2···p17,p19,p20}是獨立的,可以另構造一個公理系統{Σ′+p18={設a為任一直線,A為a外的任一點,在a和A所決定的平面上,至少有兩條直線通過A,但不和a相交。
},此為羅氏幾何的平行公理。
p18};對於黎氏幾何的公理系統,可以表示為{Σ+p18}和{Σ′+數學中的公理化方法(下)3盾性問題。
然而,關於集合論的無矛盾性問題又將如何解決呢?在第三次數學危機[15]的沖擊下,數學家們積極開展集合論公理化的研究,設法把集合概念限制為康托在1899年所提出的相容的集合。
[16]數學家E.策墨略(Zermelo,1871-1953)在1908年提出了一個集合論公理系統,後來,數學家弗倫克林(Fraenkel)和斯考萊姆(Skolem)又加以改進,從此便形成舉世公認的ZF公理系統。
引起數學家們爭論的另一個問題,就是選擇公理。
這條公理說:從一族非空集合中各取一個元素,可以構成一個新的集合。
在一個相當長的時間內,有些數學家希望用ZF 系統來否定選擇公理,可是,1940年哥德爾(G¨o del)卻出人意料地證明了ZF系統與選擇公理彼此相容。
於是,到本世紀40-50年代,數學家們又普遍傾向於接受選擇公理。
因而,在數學大廈裡,現在實際上存在著兩種集合論,即不包含選擇公理的集合論(簡稱ZF 系統)和包含選擇公理的集合論(簡稱ZFC 系統)。
[17]由於承認選擇公理與不承認選擇公理,都可能會引出一些悖論[18],因而,我們必須清楚地看到:今天數學大廈的基礎仍然存在一道裂縫,數學的理論體系尚未達到最終的完善與和諧!那麼,究竟應該以何種態度來對待數學理論中的悖論問題呢?布爾巴基學派的態度是“泰然自若”,他們曾經這樣說過:“就像以往曾多次出現過的一樣,將來有朝一日悖論可能會產生,在悖論突然出現的迅猛打擊下,數學一定會保存下來,其巍巍大廈的主體部分決不會傾毀。
為了重新建立無矛盾的體系,人們將繼續通過對數學的概念和方法進行調整來克服這些困難,而系統地採用公理方法,像在《數學原本》中所做的那樣,必然會大大有助於縮短追索悖論產生根源的過程。
廿五個世紀以來,數學家們曾一再糾正他們的錯誤,眼看著他們的科學並不因為產生過悖論而變得荒蕪貧瘠,反而日益繁榮昌盛。
追思往昔,默念未來,我們完全有權利感到心寧神怡,泰然自若。
”五、建立數學公理系統的一般思維方法有人把數學公理系統的建立說得神秘莫測,甚至加以歪曲,把公理系統的建立說成是神的意志。
很顯然,公理學並非神學,公理系統乃是對於大量數學知識的抽象概括,是數學推理論證的出發點,並非像神學那樣極力排斥理性,把一切根據統統歸諸於聖經。
法國數學家R.笛卡爾(Descartes, 1596-1650)是近代唯理論哲學的傑出代表,他提出:演繹法以公理為前提,公理是不需要任何論證的,只要純粹的直覺就能理解。
在笛卡爾看來,直覺是一種理智活動,不只是感性直觀活動。
他認為通過直覺就能發現作為推理起點的、無可懷疑而清晰明白的概念,也就是說,直覺是發現公理的過程或活動。
美籍華人數學家王浩教授在《對哥德爾的反思》的學術報告中曾經提出:戴德金得到匹阿諾自然數公理系統,是來自於對自然數列的分析。
分析顯然是以一種數學直觀為4數學傳播十七卷二期民82年6月基礎。
王浩教授認為這個事實對於說明哥德爾的公理化理論,乃是一個最合適的例子,而哥德爾的公理化理論的主要內容,則是由分析概念而確定公理。
[19]當然,這種由分析概念而確定公理條文的思維方法,也並非一朝一夕之功效。
往往要經由幾代數學家的艱苦的思維勞動,甚或經過曲折迂迴的歷史發展過程。
以自然數的公理系統而論,十七世紀,德國著名數學家J. W.萊布尼茲(Leibniz,1646-1716),曾經利用演繹法一絲不苟地證明了2+2=4。
2+2=2+(1+1)=(2+1)+1=3+1=4他在這個證明中使用了加法的結合律以及2=1+1,3=2+1,4=3+1等自然數的定義。
到十九世紀中葉,德國著名數學家格拉斯曼又挑選出一個定義加法和乘法的公理系統。
1888年,J.W.R.戴德金在其論文《數是什麼?數應該是什麼?》中提出了關於自然數的性質應該接受的六條事實,並以此作為公理。
1891年G.匹阿諾(Peano,1850-1932)正式在自己的論文中提出了自然數公理系統,此系統後來被稱為匹阿諾自然數公理系統。
[20]德國著名數學家 D.希爾伯特在名著《幾何學基礎》一書中,曾經提出:“建立幾何的公理和探究它們之間的聯繫,是一個歷史悠久的問題,關於這個問題的討論,從歐幾里得以來的數學文獻中,有過難以數計的傑作,這個問題實際上就是把我們的空間直觀,加以邏輯的分析”。
[21]由此可見,對於空間直觀的邏輯分析乃是建立幾何公理系統的一般思維方法。
從數學理論的邏輯結構上來看,不外乎是通過一些元素和關係,來定義和推演另外的一些元素和關係。
然而,要想對於其中的所有元素和關係都下定義,並且對於這些元素和關係之間的一切性質都加以證明,那是根本不可能的。
追本求源,必然會存在有不可定義的元素和關係,而這些元素和關係,分別稱為基本元素和基本關係,二者統一稱為基本概念。
再者,對於它們的含意和性質,還必須加以規定,亦即是對於它們在數學推理和演算中的作用,還必須加以說明和限制。
這種說明和限制的條文,就叫做基本命題,或者稱之為公理。
因此,在任何公理系統中都必須包含有基本概念和基本命題這兩個組成部分,並且其中的基本命題乃是對於基本概念的定義。
由於這種定義並非十分顯然,有時又稱之為隱定義。
以中國象棋而論,“馬走‘日’字,象走‘田’,車走直路,砲翻山”,這是下棋規則,也是下棋的公理,這些公理亦即是對“馬”、“象”、“車”、“砲”的隱定義。
1900年,希爾伯特在巴黎國際數學家代表大會上的講演中,曾經明確提出:“在研究一門科學的基礎時,我們必須建立一套公理系統,它包含著對於這門科學基本概念之間所存在的關係的確切而完備的描述。
如此所建立起來的公理,同時也是這些基本概念的定義”。
任何一個數學公理系統的建立,都是在該分支的理論發展到比較成熟的階段才開始醞釀的。
數學家從實際問題加工提煉成數學知識,這是第一次抽象,而後由已經積累的數學知識,加工改造成為具有內部邏輯脈絡的理論系統,則需要進一步再抽象。
這種再抽象,即是該數學分支的公理化過程。
在這個過數學中的公理化方法(下)5程中,要經由邏輯分析,把有關形成概念和理論的最根本的要素抽取出來,而把那些無關宏旨的東西加以揚棄,這裡往往需要分析與綜合、演繹與歸納、實驗與抽象等科學方法的並舉兼施。
按照著名數學家阿蒂亞(M.F. Atiyah)的描述,建立公理系統的思維過程是:“專心致志地考慮問題的各個方面,把它們變成公理,然後研究它們的推論。
像物理的情形一樣,認識到形形色色的問題中那些共有的特徵,應該抽出來加以公理化,這是一個經驗和判斷的問題。
最終的嚴格考驗,就是對原來的數學問題是否有新的認識”。
[22]在建立公理系統時,由於對基本概念和基本命題的不同選擇,使得同一個數學分支,在不同的時間和地點,經過不同數學家的抽象思維活動,也可以建立起形式迥異的公理系統。
例如,就群論來說,它的很多性質都可以用來作為自己的定義。
荷蘭數學家H.A.羅倫茲(Lorentz,1853-1928)曾舉出四十多種關於群的定義。