第一讲逻辑与公理化系统
第一讲逻辑与公理化系统
第一讲逻辑与公理化系统第一讲数理逻辑与公理化系统逻辑是人们通过概念、判断、推理和论证来理解和区分客观事物的思维过程。
逻辑思维是人们在认知过程中借助概念、判断、推理等思维形式积极反映客观现实的理性认知过程，也称理论思维。
它是作为对认知思维、认知思维的结构和行为规律的分析而产生和发展的。
只有通过逻辑思维，人们才能把握具体对象的本质规定，进而理解客观对象。
是人类认知的高级阶段，也就是理性认知的阶段。
概念是反映事物及其分子本质属性的一种思维形式。
它是一个抽象和普遍的想法或实体，作为一个类别或类来指示实体、事件或关系。
其特点是概念的内涵(内容)和外延(概念中包含的事物)；判断的特征是对事物有所断定且有真假；演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理）定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。
定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。
定义的规则:一、被定义概念的外延与被定义概念的外延相同；第二，定义不能是否定的；第三，定义不能是隐喻的；第四，不能循环定义。
划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。
划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。
除了以上特点，数学中的逻辑更重要的是对客观事物的定量描述。
在这个过程中，集合是一个基本概念，通过集合中的一些关系来量化事物。
具有某些特征的事物的总和称为集合。
在数学中，量词用于逻辑量子化的过程。
逻辑奇点+公理化方法
逻辑奇点公理化方法逻辑奇点+公理化方法=第一性原理，也就是说找到一个系统的本质原理，按这个本质原理决策和行动。
第一性原理的思考方式是一层层拨开事物表象，看到里面的本质，再从本质一层层往上走。
思考顺序是：定义核心问题—发现问题本质—找到本质解—解决问题。
而另外一种常见的思维是直线型思维：从问题直接到解决。
强调的是How、怎么办？而第一性原理思维强调发现挖掘找到本质，也就是说从How 到Why和What的转变。
任何行业、品类、部门，任何事物、问题都有它的第一性原理。
在生活中，我们经常看到很多家长为了提高孩子的学习成绩，想了各种各样的办法，上补习班、亲自辅导、请名师一对一教学、刷题…以上直线型思维的做法大部分效果都不好。
如果运用第一性原理思维，个人认为提高孩子学习成绩的本质兴趣和方法。
在工作中，我们经常听到，招不到好的人才怎么办？销售人员不专业怎么办？最近客户很少怎么办？工程项目储备不多怎么办？不良库存越来越多怎么拍卖？系统问题很多怎么办？一个客户多次上门送货安装怎么办？经常少送配件到客户家怎么办、下次哪个部门负责补送？……以上基本都属于直线型思维，从问题直接到解决。
有时我们为了解决这些问题增加了部门、人员和费用，但实际上问题并没有彻底解决。
如果运用第一性原理思维，我们的思考方式应该是：为什么会出现这些问题？这些问题的本质是什么？最后才是怎么解决。
个人认为：店面零售的本质是客户的体验感，即客户从售前、售中到售后的体验，从工作人员、产品、店面氛围到安装及维护过程的体验。
工程业务的本质是关系，即从厂家关系到客户关系，从授权、合同条款到收款都是关系主导……其他部门就不一一赘述。
以上只是抛砖引玉，我说的可能都是错的！。
数理逻辑的基本公理化和形式系统
数理逻辑的基本公理化和形式系统数理逻辑是研究推理和论证的科学，它通过建立形式系统和公理化推导来研究命题的真值和推理的规则。
本文将探讨数理逻辑的基本公理化和形式系统。
一、公理化方法的引入公理化方法是数理逻辑的核心思想之一。
公理化方法的基本思想是通过一组公理来描述命题的性质和推理的规则，从而建立一个形式系统。
这个形式系统由符号和推导规则组成，通过这些规则可以从公理推导出定理。
二、形式系统的构建形式系统是数理逻辑的基础，它由符号、公式和推导规则组成。
符号是形式系统中的基本元素，可以是命题符号、逻辑连接词和量词等。
公式是由符号按照一定规则组合而成的表达式，用来表示命题的真值。
推导规则则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
三、数理逻辑的基本公理数理逻辑的基本公理是构建形式系统的基础，它们是不需要证明的前提，用来描述命题的性质和推理的规则。
基本公理一般包括恒真式、恒假式和等价式等。
恒真式是指在任何情况下都为真的命题，如“P∨¬P”，表示“P或非P”。
恒假式是指在任何情况下都为假的命题，如“P∧¬P”，表示“P且非P”。
等价式是指两个命题在任何情况下都具有相同的真值，如“P→Q≡¬P∨Q”，表示“如果P成立，则Q成立”。
四、形式系统的推导规则形式系统的推导规则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
常见的推导规则包括假言推理、析取三段论和消解等。
假言推理是指从一个条件命题和它的前提出发，推导出结论的过程，如“如果P成立，则Q成立；P成立，因此Q成立”。
析取三段论是指从两个条件命题的析取式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“P∨Q；¬P，因此Q”。
消解是指从两个条件命题的否定式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“¬P∨¬Q；P，因此¬Q”。
五、数理逻辑的应用数理逻辑在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
数理逻辑中的集合论与公理系统
数理逻辑中的集合论与公理系统数理逻辑作为一门研究形式推理和理性思维的学科，集合论与公理系统是其重要的组成部分。
集合论是描述和研究集合的数学分支，而公理系统则是逻辑推理的基础和规范。
本文将深入探讨数理逻辑中的集合论与公理系统，并分析其在现实世界中的应用。
一、集合论的基本概念集合是具有某种特定性质的对象的整体，可以是有限个或无限个元素的集合。
集合论主要研究集合的性质、关系和运算。
其中，集合的成员包含在集合中，记作$x\in A$；不是集合的成员则记作$x\notin A$。
集合之间可以有交集、并集和差集等运算。
集合论的基本概念还包括空集、全集、子集和补集。
空集是没有元素的集合，记作$\emptyset$；全集则是指被讨论的所有元素的集合。
若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作$A\subseteq B$；若两个集合既是对方的子集，则它们是相等的，记作$A=B$。
对于一个给定的全集X，与集合A不相交的元素组成的集合称为A的补集，记作$\overline{A}$。
二、公理系统的基本原理公理系统是逻辑推理的基础，通过确定一系列公理和规则来构建逻辑推理体系。
公理是被认为是真实和不可证明的命题，公理系统则是通过这些公理进行逻辑演绎和证明其他命题。
在集合论中，最基础的公理系统是Zermelo-Fraenkel公理系统，它由一系列公理组成，例如空集公理、外延公理、配对公理、并集公理和无穷公理等。
这些公理约束了集合的性质和运算规则，提供了一个一致且完备的集合论的基础。
三、集合论在数理逻辑中的应用集合论在数理逻辑中有广泛的应用。
首先，集合论为其他数学分支提供了基础和语言工具。
在数学的各个领域，集合论都是描述和研究对象的重要工具，例如在数值分析中，集合论可以用来定义数值集合和数值计算方法。
其次，集合论在推理和证明中起到关键的作用。
逻辑推理需要通过建立命题之间的关系和运算，而集合论提供了这种关系和运算的基础。
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
公理系统
感谢观看
第一种情况定义了经典的演绎方法。第二种采用了博学点，一般化这个口号;它和概念可以和应该用某种内在 的自然的广泛性来表达的假设是一致的。第三种在20世纪数学中有显著的位置，特别是欧几里得公理 利用这些公理可以得到欧几里得几何学。修改第五条公理可以得到非欧几何学。 皮亚诺公理 1.0是自然数； 2.每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后 面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等）； 3.0不是任何自然数的后继数； 4.如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c； 5.任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'也 真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性） 根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 柯尔莫果洛夫公理
性质
一个公理系统称为自洽（或称相容、一致性），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及 其否定的能力。
在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称 为独立的，若它的每个公理都是独立的。
虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。一个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导 出或其否定可以导出。
模型
公理系统的数学模型是一个定义严谨的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统 中所定义的关系一致的方式。具体模型的存在性能证明系统的自洽。
模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。通过构造除去一个特定公理的子系统的正确模型，我们表 明该省去的公理是独立的，若它的正确性不可以从子系统得出。
数理逻辑的公理化理论
04 数理逻辑的公理化理论的 应用
数学基础研究
1 2 3
数学证明
数理逻辑的公理化理论为数学证明提供了形式化 的基础，使得数学定理的证明过程更加清晰、准 确和易于理解。
数学体系构建
通过数理逻辑的公理化理论，可以构建各种数学 体系，如集合论、实数理论等，为数学学科的发 展提供坚实的逻辑基础。
数学哲学思考
数理逻辑的重要性
数理逻辑是数学的基础，它为数学提供了严格的逻辑基础，确保数学理论的正确 性和一致性。
数理逻辑在计算机科学中也有广泛应用，它是设计和分析计算机程序、算法和数 据结构的重要工具。
数理逻辑的公理化理论简介
公理化理论是数理逻辑中的一个重要概念，它通过一组基本 的、不证自明的公理来定义数学概念和推理规则。
公理化理论的目标是建立一个一致、完备和自洽的数学体系 ，以确保数学推理的有效性和正确性。
02 数理逻辑的公理化理论概 述
公理化方法的起源与发展
公理化方法的起源
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》 中首次采用公理化方法，通过五条公 理和五条公设构建了平面几何的理论 基础。
公理化方法的发展
随着数学和科学的不断进步，公理化 方法逐渐扩展到各个领域，成为现代 科学理论的重要构建方式。
详细描述
集合论公理体系由一系列基本公理和推理规则组 成，用于推导和证明集合之间的逻辑关系。这些 公理和推理规则基于集合论的直观，具有很高的 可靠性和完备性。
详细描述
集合论公理体系包括并集公理、交集公理、差集 公理等，这些公理用于描述集合的基本性质和关 系。此外，该体系还包括一些常用的推理规则， 如分离规则、重写规则等。
数理逻辑的公理化理论
目录
• 引言 • 数理逻辑的公理化理论概述 • 数理逻辑的公理体系 • 数理逻辑的公理化理论的应用 • 数理逻辑的公理化理论的未来发展
公理化方法的逻辑
公理化方法的逻辑公理化方法是一种基于公理系统的推理方法，通过一系列公理和推理规则来构建一个逻辑系统。
在这个系统中，公理是不需要证明的前提条件，而推理规则则是用来推导出新的命题的。
公理化方法的逻辑严谨性和清晰性使其在数学、哲学和计算机科学等领域得到广泛应用。
一、公理的作用公理是公理化方法的基础，它是逻辑推理的起点。
公理是基于直觉和经验得出的，它是无需证明的真实命题。
在逻辑推理中，公理被用来推导出更多的命题，形成一个完整的逻辑系统。
例如，在几何学中，平行公理是基本公理之一，它规定了平行线的性质，进而推导出其他几何定理。
二、推理规则的作用推理规则是公理化方法的核心，它用来推导出新的命题。
推理规则是基于逻辑原理和推理规律得出的，它是经过证明的，因此可以保证逻辑推理的正确性。
常见的推理规则有假言推理、析取引入、析取消去、波尔规则等。
通过运用这些推理规则，可以从已知的命题中推导出新的命题，进而扩展知识的范围。
三、公理化方法的逻辑严谨性公理化方法的一个重要特点是逻辑严谨性。
在公理化方法中，每一步推理都是基于已有命题和推理规则的合理运用，因此可以保证推导出的新命题的正确性。
公理化方法遵循严格的逻辑规则，能够避免逻辑错误和谬误的出现。
这使得公理化方法在数学证明、逻辑推理和哲学思考等领域具有重要的应用价值。
四、公理化方法的应用公理化方法在数学领域得到了广泛应用。
通过建立一套公理系统，可以推导出一系列数学定理，进而扩展数学的知识体系。
例如，欧几里德几何学就是通过公理化方法建立的，从而推导出了许多几何定理。
公理化方法也在计算机科学中得到了应用，例如形式化验证和程序验证等领域。
通过将计算机程序的规范化描述为公理系统，可以通过推理规则验证程序的正确性。
五、公理化方法的优势和局限性公理化方法具有逻辑严谨性和推理规则的清晰性等优点，使其在数学和逻辑领域得到广泛应用。
公理化方法可以将复杂的问题简化为一系列公理和推理规则的运用，从而便于推理和证明。
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第一讲数理逻辑与公理化系统逻辑是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观事物的思维过程，逻辑思维，人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。
它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。
只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观对象。
它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。
概念是反映事物内的本质属性及其分子的的思维形式，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。
其特征是概念的内涵（内容）和外延（包含在概念中的事物）；判断的特征是对事物有所断定且有真假；演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理）定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。
定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。
定义的规则：一是定义概念与被定义概念的外延相同；二是定义不能用否定形式；三是定义不能用比喻；四是不能循环定义。
划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。
划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。
数学中的逻辑除了上述特点之外，更重要的是定量的刻画客观事物，在这一过程中，集合是一个基本的概念，它通过集合中的一些关系将事物量化。
将具有某种确定的特性的事物的全体称为一个集合。
在数学中，在逻辑量化过程中，会用到量词。
量词是命题中表示数量的词，分为全称量词和存在量词。
全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“一切”、“所有”、“凡”等；存在量词断定存在（即至少有一个，但不一定是每一个）个体具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“有的”、“有”、“至少有一个”、“找得到一个”等。
符号表示为∀（任一）表示全称量词，∃（存在）表示存在量词，在数学中主要有以下几种形式：xF∀表示任一x具有性质F；,x)(x∃表示存在x具有性质F（满足条件F）；F,x()yx∀∀表示任一x和任一y具有关系G（满足条件G）；G(,),yxx,具有关系G（满足条件G）；yx∃∀表示对任一x，存在y，使得yG,)(,yxx,具有关系G（满足条件G）；yx∀G∃表示存在x，对任一y，使得y(),,yx),(,y x G y x ∃∃ 表示 存在x ，存在 y ，使得y x ,具有关系G （满足条件G ）； 复杂的命题或定理、定义是由这几种形式的组合，其一般形式为：n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。
其中),,2,1(n i p i =为逻辑符号∀或∃；)1,,,2,1(+=n n i q i 为数学表达式。
例1 设R b a ∈,.证明：若对任何正数ε有ε+<b a ，则b a ≤.证明（反证） 若结论不成立，则根据实数的有序性，必有b a >.令b a -=ε，则0>ε且ε+=b a ，这与题设ε+<b a 矛盾，从而b a ≤.数学的定义都是用逻辑的量化形式给出来的，例如极限的定义数列极限定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的实数（R a ∈∃），+∈∃>∀N N ,0ε，当N n >时（N n >∀），有ε<-a a n ，则称a 是数列{}n a 的极限，此时也称数列{}n a 收敛于a 。
定义中，数列{}n a 在条件： a 是一个确定的实数（R a ∈∃），+∈∃>∀N N ,0ε，当N n >时（N n >∀）下的性质是ε<-a a n 。
为了更好地理解定义，从反面看一个数列不收敛，这需要对偶法则。
公理系统：从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，这样形成的演绎系统叫做公理系统。
欧氏几何学是一个古典的公理系统；现代公理系统的特征：一是严格性；二是选定公理所依据的标准（不是自明的）。
形式系统是一个完全形式化了的公理系统，系统包括各种初始符号、形式规则、公理、变形规则。
公理4个：第一公理：重言律).)((p p p →∨第二公理：∨引入律)).((q p p ∨→第三公理：析取交换律).()((p q q p ∨→∨第四公理：)).()(()((r p q p r q ∨→∨→→变形规则：一、代入规则；二、分离规则；三、置换规则推演规则（8条），重点介绍求否定规则与对偶规则求否定规则：设E 为一公式，其中→和↔不出现，其否定式-E 可用以下方法直接得到（1） ∨被代以.∧（2） ∧被代以.∨（3） 不出现于部分公式π⌝中的π被代以π⌝（4） π⌝被代以π.对偶规则：设B A ,为两个公式，在其中→和↔不出现，*A 和*B 是B A ,中把∨和∧互换的结果，有（1） 从├B A →，可得├.**A B →（2） 从├B A ↔，可得├.**A B ↔注意：求否定规则实质上是数学中的求否命题，对偶规则的本质是命题与其逆否命题等价；由此可以给出对偶法则：设命题P 为“n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。
”，则为了得到P 的否命题的正面叙述，只要将“n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。
”中的逻辑符号),,2,1(n i p i =从)(∃∀改为)(∀∃，并将1+n q 改为它的否定形式即可。
例2定义数列{}n a 发散：N n N a >∃∀∃∀,,,0ε，使得.0ε≥-a a n例3数集A 无上界。
先看数集A 有上界：A x M ∈∀∃,，有.M x ≤则由对偶法则，数集A 无上界：A x M ∈∃∀,，有.M x >公理系统的作用在于，从一些公理或推演规则出发，把某一范围内的真命题推演出来。
因此公理系统要求有两个重要性质，一是完全性（完备性），即从公理出发，能推出多少，是否完全；二是一致性（无矛盾性），即有没有逻辑矛盾，是否一致。
一致性定义有几种，一般介绍以下三种：一、古典定义：一公理系统是一致的，当且仅当，不存在任何公式A ，A 和非A 都在这个系统里可证。
二、语义定义：一公理系统是一致的，当且仅当，一切在这系统里可证的公式都是真的。
三、语法定义：一公理系统是一致的，当且仅当，并非任一合式公式都在这系统里可证。
完全性定义有以下三种：一、语义定义：一公理系统是完全的，当且仅当，一切属于某一特定范围内的真命题都是在这个系统里可证的。
二、语法定义：一公理系统是完全的，当且仅当，如果把一个推演不出的公式作为公理，其结果，所得的系统就不一致。
三、古典定义：一公理系统是完全的，当且仅当，对于任一合式公式A ，或者A 是可证的，或者非A 是可证的。
独立性定义：一公式集合M 是独立的，如果M 中任一公式A 都不能根据给定的推演规则从M 中其它公式推演出来。
不同命题的逻辑：（1） 古典逻辑（二值逻辑：真或假，具有排中律）；（2） 多值逻辑（变项和公式的值不止一项）；（3） 模态逻辑；（4） 构造性逻辑（真假概念是与构造的可实现性相联系的，排中律失效）附录：数理逻辑发展简史数理逻辑的五个特征：第一，数理逻辑是边缘性的学科，在它的范围内，逻辑内容和数学的内容常常交织在一起；第二，从逻辑角度考虑，数理逻辑是研究演绎方法的科学。
演绎方法包括演绎推理和以演绎为基础的证明和公理方法。
第三，在方法方面，数理逻辑使用了特制的符号语言并且在不同部分引用了不同程度的数学方法，随着数理逻辑的进展，还出现了一些新方法，如形式化方法、算术化方法、递归论和模型论方法等。
第四，数理逻辑的很大部分内容已经成长为数学的分支。
第五，数理逻辑的逻辑方面是现代的形式逻辑。
狭义的数理逻辑：用数学方研究数学中的演绎思维和数学基础的学科；广义的数理逻辑：包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论，有时也称为符号逻辑（1881年英国逻辑学家J.Venn提出）。
数理逻辑的发展阶段从17世纪末莱布尼茨起至今有三百年历史。
第一阶段，开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期，初始阶段。
在本阶段里，用数学方法研究思维规律的想法开始被提出。
从17世纪70年代的莱布尼茨到19世纪末布尔（英国）、德摩根（英国）、施罗德（德国）约200年，其成果是逻辑代数和关系逻辑。
莱布尼茨是数理逻辑的创始人，他相信逻辑，更推崇数学方法。
他认为，数学之所以能如此迅速的发展，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特制的符号语言，这种符号为表达思想提供了优良的条件。
他在数理逻辑方面的贡献：一是成功地将命题形式表达为符号公式；二是构成了一个关于两个概念相结合的演算。
布尔是一个自学成才的数学家，1844年发表论文《关于分析中的一个普遍方法》1849年被聘为爱尔兰考克城皇后学院的教授。
他的逻辑著作《逻辑的数学分析》（1847）和《思维规律的考察》（1854），布尔的目的是构造一个演绎思维演算，他的指导思想是逻辑关系和某些数学运算甚为类似，代数系统有不同的解释，把解释推广到逻辑领域，就可以构成一思维的演算。
1833年G.Peacock（1791—1858）提出了所谓的“形式永久性原则”，他们把代数学看作为一种关于符号及其组合规律的科学，代数定理只依据于符号所遵守的组合规律，而与符号所涉及的内容无关。
布尔在《思维规律的考察》中说，思维的运算和代数的运算，他们的“规律必须独立地确定是否成立；它们之间的任何形式的相符只能通过比较然后才能建立起来。
”根据以上思想，布尔构成了一个抽象代数系统，对于这个系统，他给出了四种解释：一种是类的演算，两种是命题的演算，一种是概率的演算。
19世纪后期德国数学家施罗德将布尔代数构成一个演绎系统。
英国数学家德摩根是第一个提出关系逻辑理论的人，他提出了域论的概念，德摩根定理是逻辑学上的一个重要定理。
第二阶段，19世纪中叶数学科学的发展提出了研究数学思想和数学基础的必要性。
数理逻辑适应数学的需要，联系数学实际，在60年的时间内奠定了它的理论基础，创立了特有的新方法，取得了飞跃的发展，成为一门新科学，主要包含以下四个方面：（1）集合论的创立。
在19世纪70年代，德国数学家G.Cantor由于数学理论的需要，创立了集合论，奠定了以后发展的基础。
集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论；数学里遇到的无穷有：无穷过程、无穷小、无穷大。
中国古代和西方希腊时期，数学家们已经接触到无穷过程和无穷小，可是还不能掌握其规律，对他们没有本质的认识。
17世纪微积分出现以后，用到了无穷小增量，引起了对无穷小的讨论及唯心主义的攻击（英国哲学家、牧师G .Berkeley 在《分析学家》中写到：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”）19世纪20年代，A.L.Cauchy 明确了诸如收敛性、极限等许多概念，建立了极限理论，使得人们对无穷过程才有了本质的认识。