命题逻辑公理系统
(¬Q→¬R) →(R →Q)
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5
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缩写公式
Q∨R=(¬Q→R) Q∧R=¬ (Q→¬R) Q↔R=(Q→R) ∧(R→Q) Q⊕R=¬ (Q↔R)
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公式复杂度
公式Q的复杂度表示为FC(Q)
• 命题变元复杂度为0，如果 是命题变元，则FC (Q)=0。 命题变元复杂度为0 如果Q是命题变元 是命题变元， • 如果公式 ¬R，则FC (Q)=FC(R)+1。 如果公式Q=¬ ， 。 • 如果公式Q=R1→R2，则FC (Q)=max{FC(R1), FC(R2)}+1。 如果公式 。
定义了所有合式公式
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命题逻辑的公理系统
有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式 有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式 P,Q,R
• 公理模式T1 公理模式T • 公理模式T2 公理模式T
–(P→ (Q→R)) →((P→Q) →(P→R)) (P –Q→ (R→Q) Q
定义3.2 是合式公式集, 定义3.2 设Γ是合式公式集, Q是 合式公式， 合式公式，有推理步骤A1,A2,…An， 公式序列α1, α2,… αn ，其中 公式序列α
• • • •
Γ称为推演的前提集， 称为推演的前提集， 前提集 称α为结论
A1=α1 A2=α2 An=αn
….
推理序列
(αn =Q) =Q)
• 命题变元p1,p2,…pn • 联结词符号¬，→; • 括号(,) 括号(,)
合式公式
• 命题变元是合式公式； 命题变元是合式公式； • 若Q是公式，则(¬Q)是合式公式； 是公式， 是合式公式； 是合式公式 计算机学院 • 若Q,R是公式，则(Q→R)是合式公式。 是合式公式。 Q,R是公式， 是公式 R)是合式公式
• 如果 如果Q 计算机学院 Q是公理或 Q ∈Γ，则Γ├ Q
则称它为Q 的一个推演 推演( 则称它为Q的从Γ的一个推演(演 Q。 绎),记为Γ├ Q。 计算机学院 9
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证明与定理
如果存在从Γ推演出 ，则记为Γ├Q 。 如果存在从 推演出Q，则记为 推演出 {Q1,Q2,…Qn}├Q简记为 简记为 如果Γ为空集 则记为├Q。 如果 为空集∅ ，则记为 。 如果Γ├Q，并且有推理步骤A1,A2,…An， ，并且有推理步骤 如果 称为的一个证明 证明。 则A1,A2,…An称为的一个证明。 计算机学院 如果├Q ，则Q称为定理。 称为定理 如果 称为定理。
每个αk满足以下条件之一， 每个α 满足以下条件之一，
• (1) α是公理； α是公理 是公理； • (2) α k∈Γ； • (3) 有i,j<k αk= αi→ αj由αi, αj用MP规则 MP规则 推出。 推出。
推论： 推论：
• 如果推理步骤序列 是A1,A2,…An，则推 理序列长度n 理序列长度n。
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A2 A1
A1=A2→A3 A1 A3=A4→A5
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├¬¬Q→Q
• • • • • • A1=¬¬ → (¬¬¬¬ →¬¬ ¬¬Q→ ¬¬¬¬ →¬¬Q) ¬¬¬¬Q→¬¬ ¬¬ A1 A2= (¬¬¬¬ →¬¬ → (¬Q→¬¬¬ ¬¬¬¬Q→¬¬ →¬¬¬Q) ¬¬¬¬ →¬¬Q) ¬ →¬¬¬ A3 A3=(¬Q→¬¬¬ → (¬¬ →Q) →¬¬¬Q) ¬¬Q→ ¬ →¬¬¬ ¬¬ A3 A4= ¬¬ → (¬¬ →Q) ¬¬Q→ ¬¬ ¬¬Q→ A1, A2, A3├ A4 A5=(¬¬ → (¬¬ →Q)) ¬¬Q→ ¬¬Q→ ¬¬ ¬¬ ¬¬Q→ ¬¬Q)→ ¬¬ ¬¬Q→ → ((¬¬ → ¬¬ → (¬¬ → Q)) ¬¬ A2
主要内容
概述 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 公理系统性质 理论与模型 判定问题 总结
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1
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逻辑公理系统
公理系统
• 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理， 公理出发 演绎法 定理 系叫作公理系统 公理系统。 系叫作公理系统。
A2 计算机学院 5 = A4→A6 A
A6 = A3→A7
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例：├(Q→R) →(Q→Q) → → A1=Q→ (R→Q) A3= (Q→R) →(Q→Q) A1 A2=A1→A3 A2= (Q→ (R→Q)) →((Q→R) →(Q→Q)) A2
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重要定律
├ (P→(Q→R)) →(Q→(P→R)) → → → →
A3=((P → Q)→((Q→R)→(P→R))) 计算机学院 A1→ A3 A2= → → → →
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├Q→Q
A1=(Q→ ((Q→Q)→Q))→((Q→(Q→Q)→(Q→Q) A2=Q→ ((Q→Q) →Q)) A3=(Q→ (Q→Q)) →(Q→Q) A4=Q→ (Q→Q) A5=Q→Q
–表达了肯定的所有命题。 表达了肯定的所有命题。 表达了肯定的所有命题
–推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则； 推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则； 推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则
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2
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命题逻辑的公理系统
定义3.1 命题逻辑的公理系统定义: 定义3.1 命题逻辑的公理系统定义: 符号
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三段论
Q, Q→R ├R
A1= Q→R A2= Q A3= R A1∈ Γ A2∈ Γ A1=A2 → A3
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传递律
P→Q,Q→R├P→R →
A1=(Q→R) →(P→ (Q→R)) A2=Q→R A3=P→ (Q→R) A4=(P→ (Q→R)) →((P→Q) →(P→R)) A5=(P→Q) →(P→R) A6=(P→Q) A7=(P→R) 计算机学院 A1 A2∈ Γ A1=A2 → A3 A2 A4=A3 → A5 A6∈ Γ A5=A6→A7
• 公理模式T3 公理模式T
–(¬Q →¬R) →(R→Q) (
推理规则(分离规则,MP规则) 推理规则(分离规则,MP规则) ,MP规则
• 从Q和Q→R推出R 推出R
–Q和Q→R称为前提 Q –R称为结论 R
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公理系统
罗素公理系统 Q ∨ Q →Q Q →Q ∨ R Q ∨ R → R∨ Q (P→Q)→(P∨ (P→Q)→(P∨R→Q∨R) 弗雷格公理系统 Q→(R→Q) (P→(Q→R)) →((P→Q) →(P→R)) (P→(Q→R)) →(Q→(P→R)) (Q→R) →(¬R→¬Q) ¬¬Q→Q 卢卡西维茨公理系统 Q→(R→Q) (P→(Q→R)) →((P→Q) →(P→R)) Q→¬¬Q 计算机学院
三段论： 三段论：Q, Q→R ├R 传递律： 传递律：P→Q,Q→R├P→R 反证律：如果 反证律：如果Γ, ¬Q├ R, Γ, ¬Q├¬R,则Γ├ Q ¬ 则 归谬律：如果 归谬律：如果Γ, Q├ R, Γ, Q├ ¬R，则Γ├ ¬Q ，
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重要定理
├ (P→(Q→R)) →(Q→(P→R)) → → → → ├(Q → R)→((P→Q)→(P→R)) → → → → ├(P→ Q)→((Q→R)→(P→R)) → → → → → ├Q→Q → ├¬¬ →Q ¬¬Q→ ¬¬ ├ Q→¬¬ →¬¬Q →¬¬ ├ (Q→R)→(¬¬ →¬¬ ¬¬Q→¬¬ → → ¬¬ →¬¬R) ├Q→((Q→R)→ R) → → → ├(Q→R)→(¬R→¬ → → ¬ →¬ →¬Q) ├(¬Q→R)→(¬R→Q) ¬ → →¬ → ├(Q →¬ )→(R→¬ →¬R → →¬ →¬Q) ├ ¬Q→(Q→ R) → → ├(¬Q→Q)→(R→Q) ¬ → → → ├(¬Q→Q)→Q ¬ → → 计算机学院
公理系统的组成： 公理系统的组成：
• 符号集； 符号集； • 公式集
–公式是用于表达命题的符号串； 公式是用于表达命题的符号串； 公式是用于表达命题的符号串
• 公理集
–公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题； 公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题； 公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题
• 推理规则集 • 定理集
• Q1,Q2,…Qn ├Q
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P, Q→(P→R)├Q→R A 1= P A2=P→ (Q→P) A3=Q→P A4= Q→(P→R) A5= (Q→(P→R))→((Q→P)→(Q→R)) A6= (Q→P)→(Q→R) A7= (Q→R) A1∈Γ
A1
A2 = A1 →A3 A4 ∈Γ
=(Q Q)→ Q→ (Q→ A3=(Q→(( P →Q)→(P →R))) →(( Q→( P →Q)) →(Q→(P →R)))
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A1 A1 A8=A7→ A9 A6=A9→ A10
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├(Q → R)→((P →Q) →(P→R)) → →
A1= (Q → R) →(P →(Q →R)) A2= (P→(Q →R)) → ((P →Q) →(P →R)) → A3= (Q → R)→((P →Q)→(P →R)) → →
A1 A2
A1, A2├ A3
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├(P→Q)→((Q→R)→(P→R)) → → → → →
2022年同等学力申硕计算机科学考试全套复习资料
2022年同等学力申硕计算机科学考试全套复习资料2022年同等学力申硕《计算机科学与技术学科综合水平考试》全套资料【考点手册＋真题精选＋题库】内容简介【全套产品】•2022年同等学力申硕《计算机科学与技术学科综合水平考试》考点手册•2022年同等学力申硕《计算机科学与技术学科综合水平考试》题库【真题精选＋专题题库】•试看部分内容第1章离散数学与组合数学【考点1】命题逻辑的等值演算与推理演算1命题逻辑的基本概念、命题逻辑联结词与真值表，重言式（1）命题逻辑的基本概念命题是一个非真即假的陈述句，与事实相符的陈述句为真语句，记为T；与事实不符的陈述句为假语句，记为F。
命题逻辑为二值逻辑。
只由一个主语和一个谓语构成的最简单的陈述句，称为简单命题或原子命题或原始命题。
若干个简单命题通过联结词联结而成的更为复杂的新命题称为复合命题或分子命题。
（2）常用的逻辑联结词常用的逻辑联结词如表1-1所示。
表1-1 常用的逻辑联结词（3）真值表把命题公式A在一切可能的赋值下取得的值列成表，该表称为A的真值表。
（4）重言式（也叫永真式）若命题公式A在任何一个赋值下的值都是真，则A称为重言式或永真式。
（5）矛盾式（也叫永假式）若命题公式A在任何一个赋值下的值都是假，则A称为矛盾式或永假式。
（6）可满足式若命题公式A在至少一个赋值下的值是真，则A称为可满足式。
即当A不是矛盾式时，A为可满足式。
2简单命题的形式化命题逻辑的自然语言形式化的基本过程分为三步：（1）确定子命题，用命题形式p，q，……表示；（2）确定联结词；（3）按照自然语言语义构成复合命题。
3等值定理、基本等值公式以及等值演算（1）等值定义设A和B是命题公式，若A↔B是重言式，则称A和B等值或逻辑等价，记作AóB，Aó称为等值式或逻辑等价式。
（2）基本等值公式一些基本等值式如表1-2所示。
表1-2 基本等值式4命题公式与真值表的关系、联结词的完备集（1）命题公式与真值表的关系含n个变元的命题公式可以视为一个n元真值函数F：{0，1}n→{0，1}。
《逻辑学》完整版笔记整理
第一章绪言第一节“逻辑”的含义一、逻辑的词源1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos，复数形式是logoi).·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。
·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。
言语是这一语词的原创义，然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义.2。
逻各斯演变为“逻辑”一词·最先是由斯多葛学派使用；看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。
·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词.·其后，逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。
3。
逻辑一词传入中国·严复开始，“按逻辑此翻名学。
其名义始于希腊,为逻各斯一根之转”.·严复翻译的时间大约在19世纪末;·再过十多年后,由章士钊正式在汉语中定名，作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问4. 为什么logic要翻译为逻辑？逻辑学是有点特殊的学科。
特殊在什么地方？学科名的特殊和学科内容的特殊。
中国历史上和逻辑对应的学科?逻辑究竟研究什么?二、什么是逻辑？1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。
她探索和研究的是我们进行推理（reasoning，inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。
逻辑是一门讲道理的学科. 逻辑总是和语言相关.逻辑总是和论证证明推理相关。
p2 2。
三个方向的推理追寻历史:一个事件出现了，我们寻求其产生的原因，案件、历史、文物等，向后的推导.确定目标：未来可能出现的事件,这是向前的推理。
演绎推理:没有时空条件的推理，数学和逻辑。
几何证明和数学计算。
第二节逻辑历史简述一、古典逻辑1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父.2。
亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著，这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》,这些篇章后来合编为《工具论》一书。
命题逻辑的推理理论,证明方法
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
.
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32
课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
.
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
.
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12
一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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16
（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
.
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第三章 形式的命题逻辑系统
(3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形2： B是的一个成员。那么下列是从 到 AB的一个推演： (1) B 的成员 (2) B (AB) A1 (3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形3：B就是A。那么下列是从到AB的 一个推演： (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA)) A2 (2) A( (AA)A) A1 (3) (A (AA) ) (AA) (1)(2)MP (4) A (AA) A1 (5) (AA) (3)(4)MP
• 未知的 已知的 我们要的
但是，我们从YZ和公理(YZ)(X(YZ))
很容易得到 (X(YZ))
3.3.2 PC中的证明
• 思路贯通了： (X(YZ))也是已知的了。只要利用两 次MP规则，我们就可以从(X(YZ)) ((XY)(XZ)) ，利用XY和YZ，得到 (XZ)， 从而完成这个三段论推理的证明。 • （4）在作业和考卷中正式地写出证明（刚开始还不熟 练，就先写在演草纸上，然后誊写过去）。 • 这种模式的证明步骤是这样的： （1） YZ 已知的公理或定理 （2） (YZ)(X(YZ)) A1 （3） X(YZ) (1)(2)MP （4） (X(YZ)) ((XY)(XZ)) A2
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
②我们在没有括号的时候，逻辑常项结合的
优先秩序是先再；在同一优先秩 序上，遵从向右结合的原则。因此， A表 示(A) ；ABA表示A (BA)；(ABC)(AB)(AC)表示 (A(BC))((AB)(AC))。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
3.2.5 推理规则 在命题演算系统PC中只有一条推理规 则——MP规则，又叫做分离规则。 PC中的MP规则指的是：从“├PC(AB)”
逻辑与科学方法论基础第二章命题逻辑基本知识
排中律（Law of Excluded Middle ）：在同一个思维过程中，不能
同时否定两个相互反对的命题。 形式： A或非A p∨﹁p
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
1. 析取定义律： (p∨q ) ↔ ﹁(﹁ p∧﹁ q ) 2. 合取定义律： (p∧q ) ↔ ﹁(﹁ p∨﹁ q ) 3. 德摩根律： ﹁ (p∧q ) ↔ (﹁ p∨﹁ q ) ﹁ (p∨ q ) ↔ (﹁ p∧ ﹁ q ) 4. 蕴涵定义律： (p →q ) ↔ (﹁p∨q) 5. 否定蕴涵律： ﹁ (p →q ) ↔ (p∧﹁q) 6. 逆蕴涵定义律： (p ←q ) ↔ (p∨﹁q) 7. 否定逆蕴涵律： ﹁ (p ←q ) ↔ (﹁p∧q) 8. 蕴涵逆蕴涵交换律： (p →q ) ↔ (q ← p ) (p ←q ) ↔ (﹁ p → ﹁ q ) 9. 等值定义律： (p ↔q ) ↔ ((p∧q )∨(﹁p∧﹁q)) (p ↔q ) ↔ ( p →q )∧(p ←q) 10. 否定等值律： ﹁ (p ↔q ) ↔ ((p∧﹁ q )∨(﹁p∧q))
无效式
联言推理
组合式： p，q├ p∧q
选言推理
否定肯定式： p∨q , ﹁p├ q p ∨ q ∨ r, ﹁ q ├ p ∨ r
附加律：p├ p∨q p∨ q├ p∨ q∨ r
肯定否定式
普通逻辑学基本知识
复合命题推理的有效式
类 型
充分条件假言推理
有效式
肯定前件式： p→q , p├ q 否定后件式： p→q , ﹁q├ ﹁p
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
检验： 4. 蕴涵定义律：
5. 否定蕴涵律：
(p →q ) ↔ (﹁p∨q)
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
命题逻辑的推理理论,证明方法演示课件
(2) P 1 (P2 P 1) (3) (P 1 P2) (P 1 P 1)
L1 MP规L2则
L1 (1)、(2)，MP L1 (3)、(4)，MP
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例10 证明 ├L AA
[证] (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA))
(2) A((AA)A) (3) (A(AA))(AA) (4) A(AA) (5) AA
• 课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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应用实例2 将下列条件作为前提，验证所得结论是 否有效：
(a) 明天或是天晴，或是下雨； (b) 如果是天晴，我去公园； (c) 如果我去公园，我就不看书。 结论：如果我在看书，则天下雨。
39
3、演绎定理
例11 证明 A ,B (A C )├L (BC)
[证] (1) B (A C)
假设
(2) (B (A C)) ((B A) (B C)) L2
(3) (B A) (B C)
(1)、(2)，MP
(4) A (B A) (5) A (6) (B A) (7) (B C)
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例8 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p ；结论: q
证明：用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
第二讲 命题逻辑基本知识
• 两可说 • 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故。一儿曰：“ 我以日始出时去人近，而日中时远也。”一儿以 日初出远，而日中时近也。一儿曰：“日初出大 如车盖，及日中，则如盘盂，此不为远者小而 近者大乎？”一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其 日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”孔子 不能决也。两小儿笑曰：“孰为汝多知乎！” （《列子·汤问》） “太阳在早晨离我们近”、“太阳中午离我们 近”？
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命题逻辑公理系统
（1）初始符号：p，q，…… （2）命题连接词： ﹁ ， → ， （3）定义：A ∨ B= ﹁ A → B A ∧ B= ﹁ （A → ﹁ B） A ←→ B= ﹁ （（A → B） → ﹁ （B → A）） （4）形成规则：（a）命题变元是合式公式；（b）如果A、B是 合式公式， ﹁ A，A ∧ B，A ∨ B，A → B，A ←→ B也 是合式 公式；（c）只有按照以上两点组成的符号才是合式公式。 （5）公理： AX1: A → （B → A） AX2: (( A → （B → C）） → （（A → B） → （A → C）） AX3:（ ﹁ A → ﹁ B） → （B → A） （6）推导规则：分离规则：由|-A和|- A → B，|- B；替换规则： A/B。
• 上帝存在的证明（安瑟伦）: 前提1：“可以设想的无与伦比的伟大东西”和 “不可设想的无与伦比的伟大东西”是相同的， 而“不可设想的无与伦比的伟大东西”是“既存 在于心中，也存在于现实中”； 前提2：上帝即是“可以设想的无与伦比的伟大东 西”； 结论：上帝是真实“存在”的。 • 上帝能否制造一个他不能举起的石头；上帝能否 制造一个他不能毁灭的东西。
• 命题联结词： 五个命题联结词： 否定﹁ 、合取∧、析取∨、蕴涵→、等值←→ ﹁ 合式公式: ﹁p, p∧q, p ∨ q, p → q, p←→q ﹁p ∧(p → r ∨ q) • 真值表
第3章2命题逻辑推理系统
真值形式最外层的括号根据五个 联结词的结合力可以省略，结合 力按照下列顺序递减： 、∧、∨、→、←→ (p∧q)→r) ←→(p∨s) 可以省略为： p∧q→r ←→p∨s
复合命题真假与其支命题真假之间的 关系与数学中的函数类似。在数学中， 函数是用下面的公式表示的： y=f（x） 其中，x是自变元，y是函数的值，f是 函数关系。例如：y=x2
p三命题逻辑的自然推理系统自然推理系统没有公理只有一组推理规则它从假设前提出发进行推演在推理过程中随时引入假设并根据规则消去假设最后获得被求证公式
第三节 命题演算 一、重言式及其判定 （一）真值联结词、真值形式 复合命题形式在数理逻辑中叫真值 形式。表示关系的联结词叫真值联 结词。 真值联结词是日常语言联结词在真 假关系上的一种抽象。
（A） B
B
∴ A
12、否定消除规则（－）：在给定 前提下，由引入假设的A，推出B和 B，那么由此可推出A；
（ A）
B
B
∴ A
（三）自然推理系统定理的证明
定理1：p→（p∨q）
证明：
1、p 2、p∨q 3、p→（p∨q） （P） （1∨＋） （1，2→＋）
（二）真值函项的种类及其判定方法 （1）真值函项的种类 按真值函项的取值，真值函项分为： 常真的。 常假的。 可满足的。 真值形式也分为三类： 重言式。如：p∨p、p→p等。 矛盾式。如：p∧p、p←→p。 可满足式。如：p∨q、p→q。
命题逻辑中有效的推理在形式 上都是重言式。要判定一个复 合命题推理是否有效，其实质 也就是判定反映该推理的公式 是否为重言式。 介绍两种判定重言式的方法： 真值表法 归谬赋值法。
真值形式的数目是无穷的，但是 在命题变项的数目给定之后，真 值函项的数目也就确定了。 n个命题变项的真假组合会有多少 个真值函项？