命题逻辑的推理理论,证明方法
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习
第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的方法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明4. ①自然推理系统P的定义②自然推理系统P的推理规则：前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会用附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重言式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
命题逻辑推理理论
9
4.2.2 自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则：将结论作为后继证明前提 (3) 置换规则：子公式用与之等值的公式置换
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归结证明法(续)
在自然推理系统P中只需下述推理规则（P70-71）: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 化简规则
(5) 合取引入规则
(6) 归结规则
27
归结证明法的基本步骤
1. 将每一个前提化成等值的合取范式, 设所有合取范式的 全部简单析取式为A1, A2,…, At 2. 将结论化成等值的合取范式B1B2…Bs, 其中每个Bj 是简单析取式 3. 以A1,A2,…,At为前提, 使用归结规则推出每一个Bj, 1js
r:我有课， 前提: (pq)r, s:我备课
r s,
s 结论: pq
15
实例(续)
前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 ① r s 前提引入 ② s 前提引入 ③ r ①②拒取式 ④ (pq)r 前提引入 ⑤ (pq) ③④拒取式 ⑥ pq ⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三
23
实例
例5 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p
结论: q 证明 用归缪法
①q 结论否定引入 ② r s 前提引入 ③ s 前提引入 ④ r ②③拒取式 ⑤ (pq)r 前提引入 ⑥ (pq) ④⑤析取三段论 ⑦ pq ⑥置换 ⑧ p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑩ pp ⑧⑨合取 推理正确, q是有效结论
演绎推理的证明理论逻辑学教案
演绎推理的证明理论逻辑学教案引言：逻辑学是研究思维和推理规律的一门学科，其中证明理论是逻辑学的重要分支之一。
本教案旨在介绍演绎推理的证明理论，让学生了解并掌握相关概念和方法，从而提高他们的逻辑思维和论证能力。
一、演绎推理的基本概念演绎推理是一种基于前提和规则，通过推理步骤得出结论的形式化推理方法。
在演绎推理中，我们根据逻辑规则对已有的事实或前提进行逻辑连接，以获得新的结论。
二、命题逻辑的证明理论1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是逻辑学中的一种形式化逻辑，它通过对整个推理过程进行符号化表示，研究命题之间的逻辑关系。
2. 归结法归结法是命题逻辑中一种重要的证明方法，它通过迭代应用归结规则，不断简化待证明命题，直到得到不可再简化的命题。
3. 反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设待证明命题的否定成立，然后推导得出一个矛盾结论，以此证明原命题成立。
三、一阶逻辑的证明理论1. 一阶逻辑的基本概念一阶逻辑是命题逻辑的拓展，它不仅考虑命题之间的逻辑关系，还引入了个体常量、谓词、量词等符号，以便对具体对象和关系进行表达和分析。
2. 归结演算归结演算是一阶逻辑中一种基于归结规则的推理方法，通过对子句集合进行变换和化简，来实现证明过程。
3. 自然演绎系统自然演绎系统是一阶逻辑中一种自然语言形式的推理系统，它通过引入推导规则和谓词逻辑公式，来进行推理和证明。
四、演绎推理的应用演绎推理是逻辑学的核心概念之一，在数学、哲学、计算机科学等领域均有广泛应用。
1. 数学证明在数学中，演绎推理是证明定理和推导结论的主要方法，通过逻辑严谨的推理过程，来确保数学理论的准确性和可靠性。
2. 计算机编程在计算机科学中，演绎推理被广泛应用于人工智能、自动推理系统等领域，通过形式化的逻辑方法，实现计算机的智能推理和决策能力。
结语：演绎推理的证明理论是逻辑学中的重要内容，掌握相关概念和方法对于提高学生的逻辑思维和论证能力至关重要。
通过本教案的学习，相信学生们能够深入理解演绎推理的基本原理，并能够灵活运用于实际问题的解决和论证过程中。
命题逻辑的推理理论,证明方法演示课件
(2) P 1 (P2 P 1) (3) (P 1 P2) (P 1 P 1)
L1 MP规L2则
L1 (1)、(2)，MP L1 (3)、(4)，MP
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例10 证明 ├L AA
[证] (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA))
(2) A((AA)A) (3) (A(AA))(AA) (4) A(AA) (5) AA
• 课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
33
应用实例2 将下列条件作为前提，验证所得结论是 否有效：
(a) 明天或是天晴，或是下雨； (b) 如果是天晴，我去公园； (c) 如果我去公园，我就不看书。 结论：如果我在看书，则天下雨。
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3、演绎定理
例11 证明 A ,B (A C )├L (BC)
[证] (1) B (A C)
假设
(2) (B (A C)) ((B A) (B C)) L2
(3) (B A) (B C)
(1)、(2)，MP
(4) A (B A) (5) A (6) (B A) (7) (B C)
30
例8 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p ；结论: q
证明：用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
3 命题逻辑的推理理论
（7）拒取式规则
AB B A
（8） 假言三段论规则
AB BC AC
（9）析取三段论规则
AB B A
（10）构造性二难推理规则
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则
AB CD BD AC
（12） 合取引入规则
A B AB
证明方法： ◦ 直接证明法 ◦ 附加前提法 ◦ 归谬法（或称反证法）
（2） 联结词符号： ┐， ， ， ， （3） 括号与逗号：( )，， 2. 合式公式（同合取联接词定义）
3. 推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公
1、用不同的方法验证下面推理是否正确。对于正确的推理还 要在P系统中给出证明。 （1） 前提：pq, q
结论：p （2） 前提：qr, pr
结论：qp
（1）不正确。 验证答案，只需证明(pq)qp不是重言式。 方法一 等值演算
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知10是成假赋值，故(pq)qp不是重言式，所以推理不正确。
数理逻辑
命题逻辑 一阶逻辑
命题和联结 词
命题变项
复合命题 公式
真值表 等值式与等
值演算 公式类型
范式
实际应用
析取范式 合取范式
主析取范式 主合取范式
根据下列真语句，请判断是谁谋害了张先生？ (1)A、B、C三人中至少有一人。 (2)如果张先生生前未饮过麻醉剂，那不是C。 (3)如果张先生曾饮过麻醉剂，那不是A。 (4)如果是A谋害的，那么B也参加了。 (5)如果作案在落雨前，则是A谋害的。 (6)如果作案不在落雨前，张先生临死前搏斗过。 (7)张先生临死前搏斗过，就不是B谋害的。 (8)经过法医解剖化验，张先生死前曾饮过麻醉剂。
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
第三章推理的形式结构
充分性: 若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则对于任何赋 值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假 的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中 推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,Ak 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。
以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得 到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公 式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到 公式序列中的又一个公式。
（4） 假言推理规则
（5） 附加规则：
（6） 化简规则：
（7） 拒取式规则：
（8） 假言三段论规则：
A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，
或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为 真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推 理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 其中，前提是一个有限的公式集合，记为Г。 将由Г推B的推理记为Г├ B。 若推理是正确的，则记为Г B，否则记为Г B。
（9） 析取三段论规则：
（10） 构造性二难推理：
（11） 破坏性二难推理规则：
（12） 合取引入规则：
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P 中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) 证明： ① p→s ② ┐s 前提引入
结论的否定 前提引入 前提引入 ②③析取三段 前提引人 ④⑤拒取式 ⑥置换 前提引入 ⑦⑧析取三段
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
命题逻辑推理理论
三、归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
4
实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
思考：格式中应包含哪些？ 1) 步骤号 2) 给定前提或得出的结论 3) 推理时所用规则 4) 此结论是从哪几步得到 的及所用公式
14
实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 9. (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 10. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8
实例(续)
(6)某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方调查确证， 凶手必为王某或陈某，但后又查证，作案之晚王某在 工厂值夜班，没有外出，根据上述案情可得 前提： 1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论：陈某是凶手。 Q 则可描述为： (P→R)┐R┐P (拒取式) (P∨Q)┐PQ (析取三段论)
推理证明方法的例子
推理证明方法的例子
推理证明方法是指根据已知的事实和逻辑推理，得出一个结论
的过程。
这种方法在数学、哲学、科学等领域都有广泛的应用。
下
面我将从数学和科学领域给出一些例子来说明推理证明方法。
在数学中，一个常见的推理证明方法是数学归纳法。
数学归纳
法用于证明一个命题对于所有自然数都成立。
它的基本思想是，首
先证明当n=1时命题成立；然后假设当n=k时命题成立，再证明当
n=k+1时命题也成立。
通过这种方法可以推断出命题对所有自然数
都成立。
例如，要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2，可以使用数学归
纳法来证明。
首先当n=1时，1=1(1+1)/2成立；然后假设当n=k时
成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2，再证明当n=k+1时也成立，即
1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
通过数学归纳法可以得出结
论1+2+3+...+n = n(n+1)/2对所有自然数n成立。
在科学领域，推理证明方法也有很多应用。
例如，在物理学中，科学家通过观察现象、提出假设、设计实验来验证假设，最终得出
一个科学定律或理论。
比如，牛顿通过观察苹果落地的现象，提出
了万有引力定律，然后通过实验验证最终得出了这个定律。
这就是
科学推理的过程，从观察现象到提出假设，再通过实验验证最终得
出结论。
总之，推理证明方法在数学和科学领域都有着重要的应用，它通过逻辑推理和实证验证的过程得出结论，是一种严谨而有效的证明方法。
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(3) 若A和B是合式公式,则(A B)是合式公式;
(4) 只有通过有限次使用(1): (3)得到的符号串才是合式公式。
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36
3、公理集：
(L1) ( A (B A)) (L2 ) (( A (B C)) (( A B) ( A C)) (L3) (((A) (B)) (B A)
m0 m2 m3
这不是一个永真式，01是该公式成假的赋值，
所以推理不正确。
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7
三、推理规则
1、推理规则的定义
A1, A2 , , An 是一个推理规则，当且仅当 B
A1 A2 An B，其中, A1, A2, … , An 称 为推理规则的前提，B 称为推理规则的结论。
推理的形式结构为 ( p q) p q
证明 用等值演算法
( p q) p q ((p q) p) q (( p q) p) q (( p q) p) q ( p p) (q p) q q p q T
所以，原推理正确。
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4、推理规则：假言推理规则（MP规则）。
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例9 证明
├L (P1 P2 ) (P1 P1)
L2
L1
[证] (1) (P1 (P2 P1)) ((P1 P2 ) (P1 P1()1))、L2(2)，MP
(2) P1 (P2 P1) (3) (P1 P2 ) (P1 P1)
定义2.20 称（A1 A2 … Ak ） B为由前提 A1, A2, … , Ak推结论 B 的推理的形式结构。
推理的形式结构一般有以下三种：
形式(1) A1 A2 … Ak B 形式(2) 前提: A1, A2, … , Ak
结论: B 形式(3) A1， A2 ， … ， Ak B
2.4 命题逻辑推理理论
2.4.1 推理的形式结构 推理及其形式结构 推理定律
2.4.2 自然推理系统P 自然推理系统的定义 证明方法
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1
2.4.1 推理的形式结构
一、什么是推理
定义2.19 设A1，A2 ， … ，Ak ，B都是命题公式，若对于 每组赋值, A1A2 … Ak为假, 或者当A1 A2 … Ak 为真时，B也为真, 则称由前提A1，A2，…, Ak推B的推 理有效或推理正确, 并称B是有效的结论。
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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⑤置换
结论有效, 即明天不是星期一和星期三.
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附加前提证明法举例
欲证明
前提: A1, A2, …, Ak 结论: CB
等价地证明
前提: A1, A2, …, Ak, C 结论: B
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例7 构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, rs 结论: ps
22
例4 证明 (P Q), (Q R), (R S) P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[证]①
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
(P) P P Q Q Q R R R S R R R
假设前提 ①，E1 前提 ②、③，假言推理 前提 ④、⑤，析取三段论 前提 ⑦，化简 ⑥、⑧，合取引入
⑨ 是一个永假式，因此，原推理正确。
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附加前提证明法的说明：
欲证明
前提: A1, A2, …, Ak 结论: CB
等价地证明
前提: A1, A2, …, Ak, C 结论: B
理由: (A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
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(6)q r
前提
(7)r
(5)、(6)假言推理
(8)r ( p q) (7)、(4)合取
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例6 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午 没备课. 所以, 明天不是星期一和星期三.
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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证明： ① p
附加前提引入
② pq
前提引入
③q
①②析取三段论
④ qr
前提引入
⑤r
③④析取三段论
⑥ rs
前提引入
⑦s
⑤⑥假言推理
推理正确, ps是有效结论
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归谬法(反证法)举例
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
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一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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例8 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p ；结论: q
证明：用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r 前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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AC
7）合取引入
A, B A B
8）构造性二难 A B,C D, A C
B D
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注意：
（1）推理规则中出现的A、B、C 等是元语言符号； （2）直接引用而不需证明，只要说明所引用规则的名称； （3）24个永真公式每个都可以等效为2个推理规则。
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定理2.8 由前提A1, A2, …, Ak 推出B 的推理正确当且仅当 A1 A2 … Ak B为重言式.
如果把（A1 A2 … Ak ） B为永真式记为：
A1 A2 L Ak B
上式的含义？？？
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二、推理的形式结构
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2.4.2 自然推理系统P
一、自然推理系统P的定义
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表
(1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式
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解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
r:我有课，
s:我备课
前提: (pq)r, rs, s
结论: pq
pqr
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前提: (pq)r, rs, s
结论: pq
证明：
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r
前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
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直接证明法举例
例5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
前提: p q, q r, p s, s 结论: r ( p q)
证明： (1) p s 前提
(2)s
前提
(3)p
(1)、(2)拒取式
(4) p q 前提
(5)q
(3)、(4)析取三段论
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例1 (2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号。
解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号
推理的形式结构为 ( p q) q p
证明 用主析取范式法
( p q) q p ((p q) q) p