公理化和形式化
20世纪数学的发展特色
20世纪数学的发展特色《20世纪数学的发展特色》20世纪是数学发展史上一个极其重要而独特的时期。
在此期间，数学经历了许多重大的变革和发展，为科学研究和现代技术的进步作出了巨大贡献。
本文将从几个重要方面介绍20世纪数学的发展特色。
首先，20世纪数学的一个显著特点是对公理化和形式化的追求。
早期数学的基础主要建立在几何学和代数学的基础之上，缺乏一致的公理化体系。
然而，20世纪以来，数学家们开始追求更加严谨的数学基础，并努力将各个分支联系起来。
这导致了公理化和形式化的发展，形成了现代数学的推理和证明规范。
其次，20世纪数学的另一个特色是对抽象代数、拓扑学和几何学等分支的建立和发展。
在这一时期，数学家们开始研究更为抽象和广泛的数学概念，如群论、环论和域论等。
同时，拓扑学和几何学等领域也得到了前所未有的深化和推广。
这些抽象的数学工具和概念不仅在数学本身中扮演着重要的角色，还对其他学科的发展产生了重要影响。
第三，20世纪数学的第三个重要特色是应用数学的广泛发展。
随着科学技术的进步，数学在解决现实世界的问题中起到了越来越重要的作用。
20世纪数学家们在物理学、工程学、经济学等领域中作出了诸多杰出贡献。
一些重要的数学方法和技术，如微分方程、概率论、优化理论等，被广泛应用于实际问题的建模和求解中。
最后，20世纪数学的发展特色之一是计算机技术的崛起与数学的交叉融合。
计算机的出现使得数学家们能够处理更大规模和更复杂的数学问题。
计算机代数系统、数值计算方法和计算几何等学科的发展进一步推动了数学的发展。
同时，数学也为计算机科学的发展提供了重要理论基础，二者相互促进，推动了科技革命的进程。
综上所述，《20世纪数学的发展特色》包括对公理化和形式化的追求、抽象代数、拓扑学和几何学的建立和发展、应用数学的广泛发展，以及与计算机技术的交叉融合。
这些特点使得20世纪成为数学发展史上一个具有里程碑意义的时期，为现代数学的繁荣和科学技术的进步奠定了坚实基础。
集合论的公理化
第三章集合论的公理化§1 几点通俗的说明将集合论公理化的直接目的是排除悖论，即希望按公理化建立的集合论是协调的，不产生逻辑矛盾．但在建立公理时，还要考虑将集合论中所有对数学有意义的内容得以保留．集合论公理系统由两部分组成，一部分是它的逻辑基础，包括展开理论的语言规范，逻辑公理和推理规则；另一部分是该理论自身的公理．公理化集合论有两种表现形式，一种为形式化公理系统，除了对语言规定的说明，它完全由符号和公式组成；一种是朴素的公理化集合论，它以我们的日常语言表述，它所要探讨的是那些在我们心目中认为对纯粹理论数学有意义的集合及其关系．在现代，人们也将这种朴素的公理化集合论称为朴素集合论，它是对康托集合论的限制和改进．对于不从事集合论研究的人来说，集合在他们眼中是一种“实在”的具体的对象．在这种情况下，人们感兴趣的是实质集合论．康托建立的集合论，最初给人的印象就是一种“实质集合论”．因为在人们眼中，所论的集合大多“客观”存在，尽管其存在不都是物理意义上的．但对于纯数学而言，其研究的内容是各种“形式关系”．比如，从数学角度研究3与9之间有何关系时，并不关心这个3与9是由“牛”还是“马”的集合抽象出来的；又由于康托集合论出现了悖论，所以有人想到：对纯数学而言，只需考虑一部分“实质”的集合，利用这些集合之间的关系可以将数学所要研究的形式关系充分表现出来就可以了．为了达到这一目的，就要改变过去那种几乎无限制地运用“集合”概念的状况．朴素的公理集合论所列的各条公理，在本质上是限定集合论（与主要数学分支）的论域，换句话说，也就是限定对“集合”作为纯数学概念的理解和使用．这种限制具有强烈的“人为”色彩，它不仅排除了已有的集合论悖论，也排除了大量在现实世界中被认为是“集合”的实在对象．但它保留了充分多的对纯数学研究有意义的集合．在此意义上，朴素的公理集合论可看成是一种狭义的“实质集合论”．其中的集合概念，已自然不同于日常生活中那个广义的“集合”概念了．注：也有人认为这种朴素的公理集合论不算是实质集论，因为其对象不先于公理“存在”，由于“存在”概念是哲学上最基本的不定义概念，人们对“存在”有着大相径庭的理解，所以对事物有不同看法也是正常的．对一个朴素的公理化理论（可认为是有实质意义的），用特定而严格的方式将这个公理系统符号化和公式化，就得到一个纯符号化的系统．在组成该系统时，明确规定这个系统中的各种符号如何合理组成公式，以及一些公式怎样合理变形成其它公式，并要求可以经过类似于机械化的手段，在有限步骤内确定其是否符合规则．这样的符号系统就称为形式系统．虽然一个形式系统通常是由有意义的理论转化而成的，但它形成之后，人们可以忘记它代表的意义．不考虑形式符号含义时，形式系统中的公式就成了毫无实际意义的符号串了．一个形式系统是一个没有指定任何内在含义的符号系统．看上去，集论的形式化系统是朴素的公理化集合论的符号表示，而朴素的公理化集合论是集论形式化系统的具体解释．在我们学习集合论时，通常也是这么理解的．但是假如我们将一段有意义的语言编成由一些数学符号和其它符号表示的密码时（就象将朴素公理集合论编制成一个形式系统），那些不了解我们意图的人若想知道这些符号的意义，就要破译密码．在密码破译时有三种可能：1、得到与我们原来意思相同的语言内容；2、得到一种与我们原意不相符的另一些语言内容，但也能“自圆其说”（对照密码组成中的联系方式）；3、破译不出任何有意义的语言内容．暂不说第三种情况．由于可能出现第二种情况，一个形式系统也许会有不只一种“合理”的解释，了解这一点很重要．建立形式系统的兴趣不在于它原来所要表示的内容，而只在于它内部的“形式关系”．如果人们不关心这种内部的形式关系，是根本用不着把实质化的理论搞成形式系统的．读者也许奇怪，好端端的有内容、有意义的理论为什么要搞成没意义的符号系统呢？为什么要关心内容的形式关系呢？对于其思想背景，我们将不作详细的说明，这里举些例子来说明形式系统对集合论研究的意义．我们知道，一个数学证明是从一些已知条件推导出某些结果，这些已知条件和结果都是以命题或公式给出的．而命题可以用适当规定的符号表示，比如说：“R 是不可数的”，可粗略表示为“]))[((ωωf r R r r R f f ∉∧∈∃→∈∀”．这样，命题就成了符号公式．而所谓推导，则是按一定的逻辑规则将公式逐步变形．正确的逻辑推导，只是在“形式”上符合规则要求，并不考查命题与概念的内容．所以推导中关心的只是概念、命题之间的“形式联系”．现在考虑一种情况．给定一个数学理论的公理系统T 和该理论中的一个命题A ．假设存在这样一个客观事实：A 不能由T 中的公理给以证明，也不能被否定，即A 与T 是互相独立的．那么我们怎么能确切地知道这一事实呢？显然，只在T 内考虑是没有出路的．即使一万年没有找到一个明确的证明，人们也不能说A 是不可以证明的．所以，如果A 与T 中的公理互相独立是客观的事实，人们就只能在T 之外认识这一事实．当从外面看待T 与A 的关系时，T 与A 一样都是被直接研究的对象．又由于我们的目的只是探讨T 中是否存在着证明A 的形式推导“程序”，所以就不必考虑T 中命题及A 的实际意义，而只考察各种公式之间的形式关系．此时，若不能将T 转化成形式系统，大量含混不清的语言含义便会使人在研究时感到无章可循．所以，将通常的实质理论转化成严格的形式系统，并研究它可能给出的形式证明，就是有重要意义的工作了．此外，在证明一个公理系统是否协调或相对协调时，也要以形式系统为研究对象．§2 集合论的ZFC 系统有几种不同的集合论公理系统，它们在实质上没有重大差别．主要的几个公理系统在展开集合论内容时，得到的结果基本上是一样的．而ZFC 系统最流行，也是在研究中被讨论得最多的公理系统．所以本书只介绍ZFC 系统．这个公理系统最初是由策莫罗（Zermelo,E ）提出，后经弗兰凯尔（Fraenkel.A.A ）等人改进而形成今天这种形式．之所以称为ZFC 系统，除了Z 与F 分别表示上述两人的名字之外，C 表示选择公理（Chioce ）．如果只写 ZF ，则表示去掉“选择公理”后的公理系统．下面以对照的方式介绍这个公理系统，在介绍其形式化的构成与表达方式的每一部分后面，是我们对这种形式系统给出的“通常”解释．经这种解释的公理，就是我们心目中的那个狭义的实质集合论的公理．我们之所以说“通常”解释，如§1所述，形式系统的解释一般可能不是唯一的，尤其用日常语言解释便更有多种选择．还应特别指出，虽然我们介绍了形式化ZFC 系统，但我们真正要讨论的却是那个经过解释的朴素的公理集合论．之所以介绍形式化 ZFC 系统，一是让读者对“形式化”有个初步印象，二是对朴素公理化集论与形式化集论之间的关系有一定的认识．严格说来，人们提到 ZF 系统时，指的应是ZF 形式系统．然而，现代集论在数学其它分支中的应用，都是以 ZFC 的解释（即朴素的公理集论）为其基础，所以许多人也将ZFC 系统的朴素解释称为ZFC 公理集论．为了避免混乱，本书将以ZF 形式系统和 ZF 公理集论来区别形式化的公理系统和朴素的公理系统．ZFC 公理系统一、 语言与逻辑1、语言的构成（规则）ⅰ)符号表变元符号：,...,,...,,,,,1010y y x x z y x ,...,10z z谓词符号：∈,=逻辑符号：∀∃↔→∨∧⌝,,,,,,技术性括号：（，），[ ，]．[解释] 这些变元符号表示我们心目中的集合．所有的集合构成集合论的论域．变元的变域就是这个论域．在讨论时，为了简明，我们在本书中也会引入一些别的字母符号表示指定的集合（但无论如何我们能使用的符号至多有可列个）．“∈”表示属于关系，“=”表示相等关系． 在第一章里我们已介绍了上述的逻辑符号．括号是为了分清语言的层次和顺序．ⅱ)公式的形成规则①基本公式：y x y x =∈,②若A 与B 是公式，则 ))((),(),(,B A B A B A B A A ↔→∨∧⌝是公式． ③若A(x)是公式，且x 在A(x)中自由出现，则 )(),(x xA x xA ∃∀ 都是公式．在)(x xA ∀与)(x xA ∃中的x 称为约束变元，即不是自由出现的变元．[解释] 基本公式是集论中最基本的“句子”，由“∈”、“=”的解释可知其含义． 较复杂的公式是由基本公式加括号或合理运用逻辑连接词递归地构造的．其它一些逻辑常识，请读者参阅第一章第一节．注：在组成公式时，只要规定好逻辑联结词的结合“顺序”．有些括号是可以省略的．2．逻辑公理与推演规则ⅰ)逻辑公理①)(ϕψϕ→→②))((ηψϕ→→))()((ηϕψϕ→→→→③)()(ϕψψϕ→→⌝→⌝④))()((x x ψϕ→∀))()((x x ψϕ∀→→，其中在ϕ中的自由变元没有x ． ⑤)()(t x x ϕϕ→∀，其中)(t ϕ中的t 自由代换)(x ϕ中的x ．[解释] ①–⑤是逻辑的公理模式，它们被看成是永真的．比如公式①逻辑等价于)()(ψϕ⌝∨⌝ϕ∨．①、②、③涉及命题运算，④与⑤涉及谓词演算．其中的⑤还涉及“项”的定义，比较抽象和啰嗦．在直观上可以这样粗略地理解⑤的含义：如果对每个x ，()x ϕ成立，那么对于具体的t 而言，()t ϕ是成立的．上述公理属于一阶谓词演算的公理．ZFC 的逻辑基础就是一阶谓词演算．这里只是十分简要的介绍了集论展开过程中，被直接用到一阶谓词逻辑中的部分内容．关于一阶谓词演算的详细介绍，可参见某些数理逻辑的教材．ⅱ)推演（或证明）规则：设Γ是由一些公式组成的集，ϕ是某一公式，以ϕ⇒Γ表示ϕ可由Γ形式证明，即存在由有限个公式组成的序列n ϕϕϕ,...,,21，使得n ϕ就是ϕ．而且这个公式序列是按如下规则得到的：①若序列中已有i ϕ,则可以写出公式i x ϕ∀；②若序列中已有i ϕ及)(j i ϕϕ→，则后面可以写出j ϕ；③Γ中任一公式可以在序列中任何位置写出；④前述逻辑公理中的5条公式中的任一条可以写在序列中的任何位置上； ⑤如下与等词“=”有关的公式可以写在序列的任何位置上．();x x =x y y x =→=；z x z y y x =→=∧=)(；))()((y x y x ϕϕ→→=；其中)(y ϕ是将)(x ϕ中的x 替换成y 之后得到的公式，而且y x ,在ϕ中都是自由出现的．[解释] 我们通常说的证明都是在一定的前提之下，用有限个句子完成的．在证明过程中的每个句子都要有根据，这些句子或是已给定的条件命题，或是由已知命题按形式逻辑的推理规则得到的新的命题．上边的推演规则就是将我们平时证明中的各种合理推证步骤抽象出来而形成的．比如其中第②条可解释为：若句子i ϕ成立且“如果i ϕ则j ϕ”成立，那么j ϕ成立．第⑤条是对等号（等词）的规定，它十分严格地限制了对等词的解释，也称为等词公理．其余各条规则都很容易给出通常意义的解释．注：在我们展开集合论内容的讨论时，还会引入大量新的关系符号（谓词符号）以及定义一些常元符号．比如表示包含关系的符号“⊂”，以及特定集合符号“ω”等．引入新符号的目的是为了使表述更为简洁．所以引入这些新符号就必须符合一定的要求，必要时，可以将这些新的符号还原成原系统的公式，即要求引入新符号的系统与原系统在逻辑上是等价的．在下面介绍集论公理时，解释的语言将沿用前几章曾定义过的各种表示方法及其意义．为了解释上的方便，我们将{)(:x x ϕ}看成为一个类，其中)(x ϕ是仅以x 为自由变元的公式．按这种约定，类中“元”必是集合．但一个类本身是否为一个集合，则视集论公理的规定．在后面我们还会谈到这一问题．二、 集论公理0. )(x x x =∃1．外延公理 ))((y x y z x z z y x =→∈↔∈∀∀∀2．基础公理 →∈∃∀)([x y y x )]((y z x z z x y y ∈∧∈⌝∃∧∈∃3．概括公理模式 ϕ是任意一个公式，且除去x 之外没有别的自由变元． )(ϕ∧∈↔∈∀∃∀z x y x x y z4．无序偶公理 )(z y z x z y x ∈∧∈∃∀∀5．并公理 ))((000x z x x x y z z y x ∈∧∈∃↔∈∀∃∀注意，若定义并“∪”：↔∈z x )(y x z y y ∈∧∈∃ ，则公理5可以表示为：)(x y y x =∃∀6. 置换公理 ϕ是一个公式，除y x ,之外，没有别的自由变元． 00(!())z x z y y x z y y ϕϕ∀∀∈∃→∃∀∈∃∈注1，!y ϕ∃ 表示： (()(()))y y z z z y ϕϕ∃∧∀→=注2：由前述公理出发可定义一些特定的符号．下面就给出几个新定义的符号．（1）空集0：)(0x x x =⌝↔∈（2）包含关系 ⊂：)(y z x z z y x ∈→∈∀↔⊂（3）集合的后继：{}{}{}x x x x x S ==,)(（4）集合的差：y x \：)(\y z x z y x z ∈⌝∧∈↔∈7．无穷公理 )))((0(x y S x y y x x ∈→∈∀∧∈∃8．幂集公理 )(y z x z z y x ∈↔⊂∀∃∀注：利用前面的公理可以象第一章中用集合论的语言定义序偶、映射、及x 到y 的所有映射构成的集合y x ，并且定义“1”：)01(=↔∈∀x x x ．9．选择公理 )((1\x z z x x ∈∃∀))),((00x y z y x ∈→∈∧．[解释] 公理0‘.这是说存在一个集合．特别注意，“集合”没有定义，但变元符号表示的都是集合，集合论中讨论的都是集合，所以集合的元素也是集合．但变元符号本身却不表示特定的具体集合．公理 1‘.公理1规定，对任意集合x 与y ，只要x 与y 元素相同，x 与y 就是相等的．注：定义∉：)(y x y x ∈⌝↔∉； ≠：)(y x y x =⌝↔≠公理2‘ 这条公理的直接解释是：任意一个非空集合x ，都存在x 的一个元素y y ,中没有任何元素是x 的元素了． 公理3‘ 也称为子集公理．它不是单个公理，而是无穷条公理，即给定一个公式ϕ，就有一条公理．所以称为公理模式．它的含义是，若z 是集，ϕ是公式，则:{z x ∈)}(x ϕ也是一个集合．注：这里的)(x ϕ中没有别的自由变元．公理4‘ 给定两个集合，存在一个以这两个集合为元素的集合．公理5‘ 注意到集合x 中的元素也是集合，所以x 可以看成是一个集合族．这个公理说的是：将x 中元素作为集合，取其并，得到的类也是一个集合． 公理6‘ 这个公理也是公理模式，其解释为：若ϕ确定了一种二元“关系”，当z 是集，对z 中每个元x ，由ϕ可唯一确定一个y （与x 对应），则由这些y 可组成一个集合．换句话说，若将ϕ看成z 上的一个“映射”，它的像也是一个集．∃！解释为“存在唯一的”．0表示空集；⊂表示被包含关系；y x ⊂即表示x 是y 的子集；S(x)表示集合x 的后继}{x x ．公理7‘ 存在至少一个x , x 有可数无穷多个元．公理8‘ 任何一个集合x 的所有子集合组成的类也是一个集合．这个由x 的子集所组成的集合称为x 的幂集合，记为)(x P ．公理9‘ 对每个集合x ，存在由}0{\x 到x 的一个映射f ，使得z z f ∈)(． 关于这个公理系统，再给出几点说明．1．上述集论公理并不是互相独立的，比如，有了无穷公理，就不必要集存在公理；再比如置换公理比概括公理要强些．但是，只要它们不产生逻辑矛盾，多列几条公理，对理论的展开会方便些．所以，读者可能会看到一些其它书中叙述的ZFC 公理与本书所列的内容不完全一样，但在逻辑上，它们是等价的，所能展开的内容也是完全相同的．2．对于形式系统中的变元到底代表什么，纯形式化系统没有必要给出任何解释，我们给它的解释是集合．在ZFC 公理集论中，“集合”是不定义概念．除了集合这个概念，“∈”与“=”也没有定义，但逻辑中的等词公理在本质上是对等词的一种“限定”．所以对集合论而言，没有定义的只有“集”与“∈”．集论中其它的概念与关系便完全由“集”与“∈”（和等词）来定义．这样便不难理解在公理集论中，所有讨论对象都被定义为某种类型的集合．3．在形式系统中并没有关于具体集合的表示方法．当给定一个集合z 和一个具体公式)(x Φ时，我们可以定义集合)(:x z x a x a Φ∧∈↔∈，这时a 就是一个“常元”．为了明确起见，我们可以将a 表示为{)(:x z x Φ∈}．这样便得到我们通常的描述方法，并且也可以引入一些具体的常元符号．4．我们用)}(:{x x Φ表示类，而集合论并不以一般的类为直接的讨论对象．但我们所说的类在本质上不过是对应于一个含一个自由变元的公式)(x Φ，所以在展开集论内容时，我们也时常用类的符号．比如，用一公式表达x 是一序数，往往是很繁琐的．假设表达“x 是一序数”的公式是)(x ψ，我们引入类符号On ，并定义)(x On x ψ↔∈．这样On x ∈就是)(x ψ的一个简化表达．显然Cn 的引入也有同样意义．在任何情况下，ZFC 集论中讨论类与类之间的关系时，本质上是在讨论公式与公式（即命题函项与命题函项）之间的关系．5、读者可能已看到我们表示类的方式与表示集合的方式很相似．显然，一个集合肯定是一个类，但一个类却不一定是集合．不是集合的类称为“真类”．那么什么是真类呢？现在考察产生罗素悖论的类：)}x⌝．一方面，如果认为它是集合，x∈{x:(就能引出逻辑矛盾；另一方面，考察集论公理，会发现没有任何一条公理能够判定它是一个集合．这样，它就是一个真类．用类似的方法我们可以知道On与Cn 都是真类．另外，严格的语言规定，使得象“不能用少于100个字符定义的自然数”这样的句子无法用形式语言表达．于是，那些产生悖论的“集合”，在公理化集论中成为“非法”．它们或是被甩到真类中去，或是不能在集论中表达出来，从而使集合论摆脱了悖论的困扰．事实上，集合论的公理在本质上是对集合这一概念以及“∈”关系的一种“定义”（尽管可能是一种不完全的定义）．§3对若干公理的简单分析本节以后的正文内容，我们虽然基本上使用日常语言描述，但主要理论内容的表达可以转译成形式语言．前一节列出的第0条公理，即集存在公理，不是必要的，它完全可以由形式系统中的逻辑部分直接推出来．余下的9条公理可以分为四组．第一组：公理1（外延公理）第二组：公理3，4，5，6，8（即：概括、无序偶、并、置换、幂公理）第三组：公理7、9（无穷公理与选择公理）第四组：公理2（基础公理）将公理这样分类，依据的是它们的作用．其中第三组公理是预设某类集合的存在性；第四组公理是对论域的限制，即对集合的限制．我们将在下一章中较详细的讨论这两组公理，这里先分析一下前两组公理的意义．第一组中的外延公理是对不定义关系词“∈”的一种限定．我们知道，属于关系“∈”并没有被定义，人们自然可能对它给出各种不同的解释．我们借用保罗.哈尔莫斯（Holmos）举过的一个生动的例子说明这个公理的作用．假设有人将yx∈理解成x是y的晚辈，由于“∈”没有定义，这样理解似乎不是不可以的．但是我们知道，两兄弟有相同的晚辈，但两兄弟不是同一个人，即他们不相等．所以由外延公理，可知如上的理解是站不住脚的．虽然集论的论域不涉及人，但这个例子表明了外延公理对“∈”的限定．外延公理说明了在集论中．属于关系“∈”与相等关系“=”之间的密切联系，也显示了“∈”在集合论中的基本重要性：属于关系“∈”决定了集合的所有性质．另一方面，这也表明在集合论中，人们不会讨论现实世界中各种丰富多彩的自然性质．仔细考察第二组公理，我们发现它们有一共同特点，即都是给出一种或一类利用已知集合构造新集合的方法．所以，它们也可以称为“构造性”公理．我们知道，悖论是在无限制的利用各种性质定义集合时产生的．第二组公理则十分谨慎地选择了一些看上去十分安全的构造方法作为产生集合的手段．由前一部分的介绍我们知道，那些产生悖论的集合已经从集合论中被消除掉了．当然人们会问，在集合论中消除悖论的同时，会不会也失去许多东西呢？这就要探讨公理集合论能够为数学提供一些什么？为此，我们来分析第二组公理的作用．一、空集的产生方法虽然公理0说存在一个集，但这个集是什么样的，谁也不知道．不过利用集存在与概括公理，我们对那个存在的集x，定义“0”：∧⌝z≠∈↔∈．zz()x0z这个0，其实就是我们通常所说的空集，它也时常用φ来表示．这是我们由公理可以构造的，并且可明确辩识的第一个具体集合，也是一个个体常元．二、有限集的产生方法利用无序偶公理及概括原理，我们可以定义1={0}．由无序偶公理保证有一集合以0为其元素，记此集为z，定义1=}0:zx．{=∈x再由无序偶公理，我们可以得到集合2={0，1}，{2}以及{2，{2}}．接着利用并公理，得∪{2，{2}}={0，1，2}．定义：3={0，1，2}，我们得到了三元集3．利用上述方法，归纳定义，我们得到了其元素个数是有限的集合．这时，第二章中关于有限集的讨论就能够进行了．读者不难看出，利用上述公理，也可以给出序数的定义并构造出每一个自然数（参见第二章第二节）．三、关于映射的定义在第一章中，我们曾介绍了利用集合定义映射的方法．按其定义映射的方式，需要序偶及两个集合的笛卡尔乘积的概念．由序偶的定义方式：}},{},{{),(y x x y x =，可以看出，这里只用到了无序偶公理．要定义x 与y 的笛卡尔乘积，可以利用幂集公理、并公理和概括公理．如果y y x x ∈∈00,容易验证)(},{},{000y x P y x x ⋃∈，))((}},{},{{),(00000y x P P y x x y x ∈=由此，并利用概括公理知：}:))((),{(0000y y x x y x P P y x y x ∈∧∈∈=⨯是一个集合．再利用概括公理，便可与第一章中一模一样的定义“关系”、“定义域”、“值域”、“映射”等等．四、其它一些概念的定义有了映射和关系这样的概念，我们就可以定义：偏序、全序、良序、基数、序数，序数的后继，自然数，等势，序数的加法和乘法，集合的选择函数，集合x 到y 的所有映射的集合y x ，等等．这里我们仅以y x 为例来说明其定义过程，其余留作练习．由于每个从x 到y 的映射f 是y x ⨯的子集，由幂集公理，)(y x P ⨯是集合，所以)(y x P f ⨯∈．现在记),,(y x f Fn 表示：))(),(),)((,(),(101011001100y y x x f y x f y x y x y x y x f =→=∧∈∧∈∀∀∧⨯⊂)Domf x ∧=即)fxFn表示语句“f是x到y的映射”的公式．由概括公理，定义集合,,(yFnxyffy x⨯P:),)}x,({y(=．∈事实上，绝大部分的数学概念都是利用关系与映射定义的．所以有了这两个概念，其它大多数概念就都可以利用公式及相应的集论公理来定义了．读者仔细回顾前三章各种基本概念定义，可以看出这些定义基本上都是利用集合给出的，只是没有提到集论公理而已．因此，在下面两章的讨论中，我们便可沿用第二章和第三章中用集合定义的各种数学概念．事实上，重新定义只是强调一下用了哪些公理，其定义方式与前边也是一样的．作为练习，读者只须检查一下这些概念的定义中用了哪些公理．读者可能已看到，尽管大多数数学概念的定义只需要第一组与第二组中的公理，但我们还是无法只用这些公理给出任何一个无穷集合．§4关于用集论语言定义数学概念的一点说明在学习高等数学的许多课程时，我们常见到用集论语言给出的映射定义，其定义方式与本书第一章中的说法一样．但在初中与高中教材中，映射（函数）却不是这样定义的．比如有用因变量与自变量定义的函数，用集合之间的对应法则定义的映射．学习了本章内容之后，读者不难看出用纯集论语言定义映射的思想来源．初、高中教材中是利用现实直观给出映射概念的描述性定义．这种定义方式有很大优点，就是让人比较容易理解和接受，并具有一定的启发性．它使人们对数学概念产生一种“实在”的现实感．但由它的定义方式而派生出两个问题：一，由于运用日常语言，它在逻辑上不够严格．比如，什么是变量，什么是变，什么是对应法则，等等，追究起来没完没了．当然，如果我们不过于苛求逻辑上的严格化，只要求意会，这个问题也就不成为什么问题了．二，由于将映射赋予了现实意义，在对其进行某些运算操作时就很不方便．比如，我们很难十分严格说清将两个对应法则或两对变量之间的“随之变化”怎样合并成一个对应法则或一个“随之变化”．平时我们这样做时，还是免不了借助集合语言．如果以公理集论的公理出发，用十分严格的语言一步步将映射定义为一种特定的集合时，我们就消除了上述问题．这不仅在逻辑上很严格，映射的运。
第七章 数学中的公理化方法
希尔伯特对元数学的研究，使公理 化方法进一步精确化：
• 把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑 规则排成演绎的体系，并使用数学符号和 逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全 部数学命题便变成了公式的集合，公理化 的数学理论便变成了演绎的形式系统。元 数学思想的提出，标志着数学的研究达到 了新的、更高的水平，数学的研究对象已 不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数 学结构。从而，公理化被推向一个新阶段 即纯形式化阶段。
• • • • • • • • • （1）各与同一个第三个量相等的量必相等。 （2）相等的量加上相等的量仍为相等的量。 （3）相等的量减去相等的量仍为相等的量。 （4）不等的量加上相等的量获不相等的量。 （5）相等的量的两倍仍为相等的量。 （6）相等的量的一半仍为相等的量。 （7）能互相重合的是一定是相等的量。 （8）整体大于部分。 （9）过任意两点只能引一条直线。
• 直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸 取了前人两千多年来在证明第五公设中的 失败教训，认识到第五公设与其他几何公 理是互相独立的，除掉第五公设成立的欧 氏几何外，还可以有第五公设不成立的新 几何系统存在。于是他在剔除第五公设而 保留欧氏几何其余公理的前提下，引进了 一个与第五公设相反的公理：“过平面上 一已知直线外的一点至少可引两条直线与 该已知直线平行”，由此构成了一个新的 几何系统与欧氏几何系统相并列。
1．相容性
• 公理的相容性也称无矛盾性或和谐性，是 指同一公理系统中的公理，不能自相矛盾； 由这些公理推出的一切结果，也不能有丝 毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立， 又能证明它的反面也成立的情况存在。
2．独立性
• 公理的独立性，是指一个公理系统中的所 有公理，不能互相推出。这就是要求该系 统中公理的数目减少到最低限度，不允许 公理集合中出现多余的公理，这也是对数 学的“简单美”的一种追求。
形式化方法 名词解释
形式化方法名词解释摘要：一、形式化方法的定义二、形式化方法的应用领域三、形式化方法的优势与局限性四、我国在形式化方法的研究与发展五、形式化方法在未来的发展趋势正文：一、形式化方法的定义形式化方法，简单来说，是一种通过数学模型和逻辑推理来描述、分析和解决问题的方法。
它借助于符号、公式和逻辑推理，使得问题阐述更加严谨、精确，便于研究者之间的交流与理解。
形式化方法的应用领域十分广泛，包括数学、计算机科学、物理学、经济学、生物学等诸多学科。
二、形式化方法的应用领域在数学领域，形式化方法为数学的公理化、严谨化提供了有力支撑。
如皮亚诺公理体系的建立，为自然数的理论研究奠定了基础。
在计算机科学领域，形式化方法在程序设计、软件开发和系统分析中发挥着重要作用。
如算法复杂度分析、程序正确性证明等都离不开形式化方法。
三、形式化方法的优势与局限性形式化方法的优势在于其严谨性和精确性。
它有助于揭示问题的本质，为理论研究提供严密的框架。
然而，形式化方法也存在一定的局限性。
首先，它要求研究者具备较高的数学素养和逻辑思维能力。
其次，形式化方法在应用过程中，可能会过于复杂，导致不易理解。
最后，形式化方法有时并不能解决实际问题，需要与其他方法相结合。
四、我国在形式化方法的研究与发展我国在形式化方法的研究取得了举世瞩目的成果。
如在数学领域，华罗庚、陈省身等著名数学家为形式化方法的发展作出了巨大贡献。
在计算机科学领域，我国学者在程序设计、软件工程、人工智能等方面取得了丰硕的成果。
五、形式化方法在未来的发展趋势随着科技的不断发展，形式化方法在各个领域的应用将更加广泛。
在未来，形式化方法将继续向以下几个方向发展：1.形式化方法与其他方法的融合，如与实证方法、模拟方法等相结合，以提高解决问题的效率；2.形式化方法在交叉学科中的应用，如数学物理、生物信息学等领域；3.形式化方法在工程技术中的应用，如控制系统、通信系统等；4.形式化方法在人工智能、大数据等领域的创新应用。
公理系统和推演规则的形式化定义
公理系统和推演规则的形式化定义公理系统和推演规则是数学中的基本概念，用于推导出数学定理和推理过程的规则。
它们的形式化定义对于数学的发展和逻辑推理的深入理解至关重要。
一、公理系统的形式化定义公理系统是由一组基本公理和一些推理规则组成的形式系统。
基本公理是不需要证明的前提条件，它们被认为是真实的或者是被接受的。
推理规则是用来从已知的命题中推导出新的命题的规则。
在公理系统中，我们可以通过一系列的逻辑推理步骤来推导出定理。
这些推理步骤必须遵循公理系统中的推理规则，以确保推导的正确性。
例如，在欧几里得几何中，我们可以定义一组基本公理，如点、直线和平面的概念，以及点与直线的关系等。
然后，我们可以使用推理规则，如共线性、垂直性等，来推导出定理，如直角三角形的性质等。
二、推演规则的形式化定义推演规则是用于推导出新的命题的规则。
它们是通过逻辑推理和推理规则来实现的。
在形式化逻辑中，有一些常见的推演规则，如假言推理、析取演绎、假设引入等。
这些推演规则允许我们从已知的命题中推导出新的命题。
例如，假设我们已知命题A为真，而命题A蕴含命题B。
根据假言推理规则，我们可以推导出命题B为真。
这是因为根据假言推理规则，如果命题A为真且蕴含命题B，那么命题B也为真。
推演规则的形式化定义是为了确保推导的正确性和可靠性。
它们提供了一种形式化的方法来进行逻辑推理，使我们能够在数学和逻辑领域中进行严密的推导和证明。
三、公理系统和推演规则的重要性公理系统和推演规则在数学和逻辑中起着重要的作用。
它们提供了一种形式化的方法来进行推理和证明，使数学能够成为一门严密的学科。
通过公理系统和推演规则，我们能够推导出数学定理，从而扩展数学的知识体系。
它们使我们能够进行逻辑推理，发现新的数学规律和性质。
同时，公理系统和推演规则也是数学基础的重要组成部分。
它们为数学建立了一个坚实的逻辑基础，使数学成为一门可靠和准确的学科。
总结起来，公理系统和推演规则的形式化定义对于数学和逻辑推理的发展至关重要。
公理化方法(精)
现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作
集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
公理化方法
公理化方法的产生阶段----几何原本
《几何原本》共13卷，467个命题。其中有5个公设，5 个公理。 公设：1.从一点到任一点作直线可能； 2.有限直线可 以延长；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆； 4.所有直角彼此相等；5.若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后 相交于该侧的一点。 公理：1.与一件东西相等的一些东西，它们彼此也是 相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量， 余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大 于部分。
实数
定义1:十进小数 叫做实数。 10 10 10 定义2:如果有理闭区间序列{ [ a n , b n ] }满足 （1）[ a n 1 , b n 1 ] [ a n , b n ] 即 a a b b ( n 1, 2 ,3 ) （2）对于任意的 0 ，存在自然数N，当n>N时，恒 有 b a ,那么称这个序列为退缩有理闭区间序列， 简称为有理闭区间套。 在集合R上定义运算：实数a对应有理闭区间套 {[a , a ]}，实数b对应有理闭区间套{[ b , b ]}，那 么a+b对应有理闭区间套{[ a b , a b ]}，ab对应有 理闭区间套{[ a b , a b ]}。 a a0
有理数
设E={（a，b）∣a，b∈Z,b≠0} 在该集合上定义关系：（a，b）∽（c，d）当且仅当 ad=bc 上述关系是等价关系，它将集合E划分成若干等价类， 把每一等价类叫做一个有理数，一切有理数所组成的集 合叫做有理数集，记为Q。 在集合Q上定义加法：（a，b）+（c，d）=（ad+bc， bd） (b≠0，d≠0) 在集合Q上定义乘法：（a，b）（c，d）=（ac，bd） (b≠0，d≠0)
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公理化和形式化axiomatization and formalization
研究演绎科学理论和构造演绎系统的两种方法。
它们被广泛应用于现代逻辑和数学研究中。
公理化
把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。
每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：①从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念；②从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。
应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。
由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。
其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。
公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。
公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。
最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。
第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。
他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。
古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的，概念是对象的反映，公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。
古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这对象域的真命题。
从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预先想到的解释。
但是，系统自身并不给初始概念予直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定，对初始概念和公理可以给予不同的解释，可以刻划多个不同的对象域，即有多个不同的对象域都可以使得一个公理系统的公理和定理为真，它们在不同的解释下成为不同对象域的真命题。
公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性、完全性和范畴性，以及公理的独立性。
其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的。
形式化
公理系统的进一步形式化不仅可以有不同的解释，而且需要应用专门设计的人工符号语言，使一个理论更为精确化和严格化，也就是运用人工的表意符号语言陈述所要形式化的理论。
这种人工语言称为形式语言。
把一个理论形式化就是把理论中的概念转换为形式语言中的符号，命题转换为符号公式，定理的推演转换成符号公式的变形，并把一个证明转换成符号公式的有穷序列。
形式语言的符号和它们所表示的概念之间的对应是确定的，符号公式的结构反映它们的意见。
把一个理论形式化后，就可以暂时完全撇开原来理论中的概念、命题的意义，而只从语言符号、公式结构（符号组合的形状）方面研究。
意义是抽象的，往往不容易精确理解和掌握。
而符号和公式是有穷的具体的对象，能够对其作更精确、更严格的研究，从而通过对具体对象的研究把握抽象的东西。
形式系统
把一个理论形式化的结果是建立形式系统。
形式系统是形式化了的公理系统，它包括以下3个部分：①形式语言。
规定一个形式语言，首先要列出各种初始符号，它们是形式语言的字母，其中一部分是初始概念，包括逻辑概念；然后再列出一组形成规则，形成规则规定怎样由初始符号组合起来的符号序列是系统中的合式公式，只有合式公式才是有意义的命题，而不合式的符号序列则是无意义的。
②形式系统的公理。
公理是挑选出来作为出发点的一组合式公式，它们经解释后可以是真的命题。
③一组变形规则，也称为推导规则。
变形规则规
定怎样从一个或几个合式公式经过符号变换而推导出另一合式公式。
形式系统的证明是合式公式的有穷序列，其中每一公式或是一公理，或者是从在前的公式根据变形规则推导出来的。
一个证明也称作它的最后一个公式的证明，一个合式公式也是系统中的定理，当且仅当存在它的一个证明。
严格的形式化和形式系统的概念，与精确的机械的程序概念和能行可判定概念分不开。
所谓机械的程序，每一步都是由事先给定的规则明确规定了的，规则规定了第一步如何做，在完成某一步之后下一步如何做，并且在有穷步后能够结束。
所谓能行可判定，是指对一类问题有一机械的程序，对任给该类中的问题，能在有穷步内确定它是否有某个性质，或者任给一对象能在有穷步确定它是否属于该类。
对于形式系统的一个最重要的要求，就是有机械的程序并可能行地判定：①任给一符号是不是系统中的初始符号；②任给一符号的有穷序列是不是系统中的合式公式；③任给一合式公式是不是公理；④任给一合式公式是不是从给定的合式公式根据变形规则得到的；⑤任给一合式公式的有穷序列是不是一个证明。
根据这些要求，虽然一般地说，在形式系统中给定一公式时，并没有一个机械程序找出它的证明，但只要任给一有穷的公式序列，就能机械地判明它是否确实是本系统中的一个正确的证明。
这样就可以对于一个形式化的公理系统的许多逻辑性质进行科学的研究。
明确的形式化和形式系统的概念是希尔伯特在20世纪20年代初提出的。
形式化的明确提出和形式系统的建立，在公理学发展史上有着十分重大的意义。
它标志着以形式系统为研究对象的元逻辑或元数学的诞生，对现代逻辑科学的发展起了重大的作用。