现代公理化方法的奠基人——希尔伯特
戴维希尔伯特
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1943年2月14日，希尔伯特在孤独中逝世。
主要成就
学术论著
科学研究
希尔伯特问题
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，他领导了著名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时 世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。 希尔伯特照片
希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序， 他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的 研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。
1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，希尔伯特提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学 问题，被认为是20世纪数学的至高点。对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的 影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”， 他是天才中的天才。
人物经历
希尔伯特在哥廷根的故居 大卫·希尔伯特于1862年1月23日出生于东普鲁士柯尼斯堡（苏联加里宁格勒）附 近的韦劳， 中学时代他就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地 掌握以至能应用老师讲课的内容。他与17岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基（爱因斯坦的老师）结为好 友，共同走进了哥尼斯堡大学，最终超越了他。
论公理化方法在物理体系中的应用
论公理化方法在物理体系中的应用作者：杨波来源：《陕西教育·高教版》2008年第02期公理化方法是数学中的一个很重要的方法，准确地认识公理化方法，不仅对于数学这门学科的发展有很重要的影响，而且还对其他自然科学学科的建设起重要作用。
本文将从公理化方法的发展历史展开阐述，对其特征进行说明，并简单论述公理化方法在物理体系中的应用。
公理化方法的发展及其特征著名数学家欧多克斯处理不可公度比时，建立了以公理为依据的演绎法。
亚里斯多德集前人之大成，把其中的几何术语扬弃,保留下单纯的逻辑关系。
在他的《分析篇》中，总结、概括了逻辑学的丰富资料，在历史上第一次对公理化方法作了论述。
欧几里德以亚里斯多德的公理化方法为工具,在希波克拉茨、欧多克斯、列昂、费奇等许多著名科学家已做过的系统化、演绎化整理工作的基础上，总结了人类长期以来积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》。
《几何原本》的诞生，标志着真正的实质性公理化方法的创定，从而为数学的发展树立了一座不朽的丰碑。
瑞士几何学家兰贝尔特没有象萨开利那样囿于平行公理的真实性的顽固想法,而是大胆地对平行公理的可证明性提出了怀疑,这是观念上的一个重要突破。
马得堡的须外卡尔特和托里努斯也通过独立的研究提出了这样的看法,并且达到了非欧几何的一些粗略的观念。
一直到十九世纪,高斯、罗巴切夫斯基、仓耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作,发现锐角假设没有导出矛盾,于是采用锐角假设的加罗巴切夫斯基几何系统就产生了。
接着到了1954年又发现了钝角假设也成立的黎曼几何。
非欧几何的建立标志着实质公理学向形式公理学过渡，表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间。
希尔伯特在此基础上,把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摈弃,着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理,第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化方法发展史上的一个里程碑，从此开创了现代公理法思想的新阶段。
Hilbert个人简介
Hilbert个人简介大卫•希尔伯特（David Hilbert，1862年1月23日—1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。
他于代数不变量、代数数论、几何基础、变分法、Hilbert 空间等方面都有了不起的贡献，堪称他那时代最伟大的数学家。
他提倡数学公理化，还有提出「Hilbert 问题」，对于二十世纪的数学发展影响甚大。
1862年Hilbert 生于哥尼斯堡1880年进入当地大学1884年得博士学位1886年起在该大学教书1892年成为教授并成婚1895年成为大学教授，一直到过世为止。
Hilbert 做数学的特色是每一时期只专注于一个领域，把主要问题解决后，就转往另一领域。
1884至1892年，Hilbert 专注于代数不变量，证明代数式之任一变换群的不变量，都有一组有限的基底，而且可以实际建构出来。
1892至1898年则专注于代数数论，奠定了类体论的基础。
1898年开始专注于平面几何公理化的问题，结果在次年完成《几何的基础》一书，为平面几何建立了完整的公理化系统。
1899到1901年则是Hilbert 的变分法时期，以严格的证明，确立了Dirichlet原理：在边界曲线及边界值有稍许限制下，有既定边界值且有连续偏导的所有可能的函数中，会有某一个函数的双重积分值会达到最小值。
1902年，Hilbert 转向积分方程，由此导出无穷维线性空间（Hilbert 空间），为随后的量子物理学储备了犀利的数学工具。
除了在各领域有杰出的成就外，Hilbert 将几何严格公理化的想法很快普及到数学的各领域，而Hilbert 自己也认真学习物理，想把物理的各分支公理化；不过他在物理学公理化方面的成就有限。
1922年，Hilbert 转到研究公理化本身，希望证明一般的公理化系统在独立性、一致性及完备性都不成问题。
但1930年代，Gödel的几篇论文却使这样的希望未能完全实现。
如果你早知道哥德尔定理，那么很多事情，你就不再困惑！
如果你早知道哥德尔定理，那么很多事情，你就不再困惑！哥德尔是奥地利裔美国著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。
这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。
该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。
哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
第一定理任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二定理如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）。
值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是经过了彻底的形式化。
他们存在于一门叫做元数学的分支中。
元数学与一般数学理论的关系有点像计算机中应用程序和普通文件的关系。
希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。
正当一切都越来越明朗之际，突然一声晴天霹雳。
1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。
哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。
也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。
他告诉我们，真与可证是两个概念。
数学家介绍
罗素悖论
• 逻辑代数的创始人弗雷格（1848－ 1925）抱怨说：“当大厦即将竣工之 时，基础却崩溃了。”
• 1908年，罗素指出“我们不能任意地 制造一个集合。”
• 不承认B={A| AA}是一个集合，禁谈 一个集合是自己的元素。
公理集合论
• 1908年，法国数学家策墨罗等人提出 集合论公理，彻底排除了罗素悖论。
• “一位乡村理发师，宣称他不给村子 里任何自己刮脸的人刮脸，但给所有 不自己刮脸的人刮脸。”
• 理发师给自己刮脸吗？
罗素悖论
• 康托集合会发生集合不是自己元素， 又会发生集合是自己元素的情况。
• 如B＝{1,2,3,4},则BB • 集合B是以10个以上的元素的集合为
元素组成的集合。 BB • 罗素构造这样的集合：
庞加莱（1854－1912）
• 20世纪最伟大的数学家之一 • 具备成功者的一切素质： • 从小诚实、正直、公平待人； • 记忆迅速持久，富有想象力和直觉的
能力； • 思考问题时，注意力绝对集中。
庞加莱（1854－1912）
• 33岁当选法国科学院院士。 • 在34年的科学生涯中，发表500多篇
• 这个时代所能夸耀的最巨大的工作。 （罗素）
康托尔（1845－1918）
• 集合论的创立是数学史上的重大事件。 • 提出集合的概念与运算 • 指出无穷集合的特征：部分＝整体 • 可数集与不可数集的概念（康托公理） • 康托三分集：测度为零的不可数集 • 超限数理论：势、基数
集合论与第三次数学危机
希尔伯特（1862－1943）
• 1899年，名著《几何基础》出版，给 出了5组21条公理，是现代公理化方 法的样本
数学家希尔伯特
大卫·希尔伯特大卫·希尔伯特（David Hilbert ，1862年1月23日－1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。
希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世。
他因为发明和发展了大量的思想观念（如不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家。
希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献。
他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一。
他热忱地支持康托的集合论与无限数。
他在数学上的领导地位充分体现于：1900年,在巴黎的国际数学家大会提出的一系列问题（希尔伯特的23个问题）为20世纪的许多数学研究指出方向。
早年希尔伯特的出生地哥尼斯堡是拓扑学的发祥地，也是哲学家康德的故乡。
每年4月22日，康德的墓穴都会对公众开放。
此时，年幼的希尔伯特总会被母亲带去，向这位伟大的哲学家致敬。
希尔伯特八岁时入学，比当时一般孩子晚两年。
他所就读的冯检基书院（Friedrichskolleg ），正是当年康德的母校。
希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等。
1928年他与威廉·阿克曼合写《理论逻辑原理》（Grundzuge der Theoretischen Logik ）。
以下列出希尔伯特的23个问题：主旨进展 说明第十题 不定方程可解性已解决 1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第三题两四面体有相同体积之证明法已解决希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的。
第十六题 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决第十一题 代数系数之二次形式已解决有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
第十三题 以二元函数解任意七次方程 已解决 1957年柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺德证明其不可能性。
希尔伯特
希尔伯特(David Hilbert）（1862～1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。
中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。
1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。
1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。
1893年被任命为正教授,1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于是1930年退休。
在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。
1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。
希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。
战争期间，他敢于公开发表文章悼念"敌人的数学家"达布。
希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。
由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。
他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。
希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。
按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、"希尔伯特空间"等。
在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。
希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。
他指出："只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。
公理化方法的发展及其对数学教育的启示
公理化方法的发展及其对数学教育的启示【摘要】数学问题解决的方法由来已久，公元前三世纪古希腊的《几何原本》在几何问题解决中形成了对数学体系建立影响巨大的公理化方法。
文章深入考察公理化方法产生和发展的历史脉络并指出公理化方法在数学教育中的作用和应遵循的原则。
【关键词】公理化方法；数学教育；启示一、公理化方法的发展公理化方法是从数学（主要是几何学）和逻辑学的发展中产生的，其历史发展可分为如下几个阶段。
（一）欧几里得《几何原本》与公理化方法古希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德是历史上“第一个伟大的公理化方法理论家”。
但他没有实际用过公理化方法推出定理，构造一个理论化知识体系。
在数学发展史上，第一个成功地应用了公理化方法，并改造了亚里士多德创立的公理化方法的是古希腊数学家欧几里得，这充分体现在他那13卷的鸿篇巨著——《几何原本》里。
该书把亚里士多德创立的公理化方法应用于数学，特别是几何学，从5条公设、5条公理和23个定义出发，推出了467条定理，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，其内容和形式对于几何学本身以及数学逻辑基础的发展产生了巨大影响。
欧几里得的《几何原本》具有封闭的几何理论演绎体系、抽象化的数学内容等特点，是实质性公理化阶段形成的重要标志。
（二）非欧几何及其对公理化的发展自《几何原本》问世后，历代数学家都企图消除“平行公设”这个“几何原理中的家丑”（达朗贝尔语）。
从希腊时代到1800年间，他们的研究途径大致有两条：一是用更为自明的命题来代替平行公设，二是试图从欧氏几何的其他几条公设和公理推出平行公设。
如果能办到这一点，平行公设将成为定理，它也，就无可怀疑了。
循着第一条途径走的数学家们曾提出或隐含地假定作为欧氏几何的平行公设的替代公设有很多，但并不比欧氏几何中的平行公设好接受，因为它们或者同样复杂，或者假定了绝不是“自明的”几何性质。
沿着第二条途径走的数学家们，试图从其他几条公设和公理推出欧氏几何中平行公设，都无一例外地失败了。
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现代公理化方法的奠基人——希尔伯特
1900年8月6日，第二届国际数学家代表大会在法国巴黎召开。
一位38岁的德国数学家神采奕奕地走上了讲台，他向与会者，也向国际数学界提出了横跨数学领域的尚待解决的23个数学问题，预示了20世纪数学的发展进程，他就是20世纪世界最伟大的数学家之一——希尔伯特。
希尔伯特于1862年1月23日生于哥尼斯堡，1943年2月14日在哥廷根逝世。
他于1880年入哥尼斯堡大学，1885年获博士学位。
希尔伯特的数学贡献是巨大的，他典型的研究方式就是直攻数学中的重大问题，开拓新的研究领域，并从中寻找普遍性的方法。
1899年希尔伯特在汲取前人工作的基础上，完成了他著名的《几何基础》一书，第一次给出了完备的欧几里德几何公理体系——希尔伯特公理体体系，从而彻底结束了两千多年来，人们对欧几里德《几何原本》的补充、整理工作。
在《几何基础》中，希尔伯特仍使用欧几里德的传统语言和叙述方法，首先补充了欧氏体系中缺少的公理，建立起欧几里德几何的完备公理集，从这个公理集可以无缺陷地推出欧氏几何中的所有定理，并精确地提出了公理系统的相容性、独立性和完备性，因而希尔伯特被誉为现代公理化方法的奠基人。
希尔伯特的数学贡献也是多方面的，他所研究的领域遍及代数学，几何学、分析学、数学基础及物理学许多方面，并取得了举世公认的伟大成就。
他眼光深邃，精力充沛，富于创造、献身科学事业的信念使他深深地埋头科学研究，以致几乎考察了数学领域的每一个王国，超凡的才、学、识使他能以卓越的远见和洞察力提出了新世纪数学所面临的难题，从而推动了半个多世纪以来众多数学分支的发展。
据统计，从1936——1974年，被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖者中，至少有12人的工作与希尔伯特的问题有关。
希尔伯特的成功固然有其特定的社会因素，但也是与他本人的勤奋努力、顽强拼搏分不开的，在他的回忆录中，他承认自己小时候并非天才，而是一个愚钝的孩子，他的亲友也没人提到过希尔伯特的能力曾受到人们的注意，但他顽强的精神，却给周围人留下极深刻的印象：不论面对多么繁重的计算，他都具有计算到底的毅力，有一股不达目的绝不罢休的劲头。