公理化方法(精)

现代公理法的意义与作用



公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作



集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流


历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数


在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
整数




设D={（m，n）∣m，n∈N}， 在该集合上定义关系：（m，n）∽（p，q）当且仅当 m+q=n+p 上述关系是等价关系,它将集合D划分成若干等价类，把 每一等价类叫做一个整数,一切整数所组成的集合叫做 整数集，记为Z。 在集合Z上定义加法：（m，n）+（p，q）=（m+p，n+q） 在集合Z上定义乘法：（m，n）（p，q）=（mp+nq， mq+np）
公理化方法的完善阶段----非欧几何

非欧几何的诞生是公理化方法完善的标志。
罗氏几何模型
黎蔓几何模型
公理化方法的形式化阶段----几何基础


希尔伯特的<几何基础 >把公理化方法本身推向 了形式化阶段。； <几何基础 >中 基本元素：点、直线、平面 基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系 基本公理：结合公理（8条）、顺序公理（4 条）、合同公理（5条）、连续公理（2条） 、 平行公理（1条）
公理化方法的产生阶段----几何原本



《几何原本》共13卷，467个命题。其中有5个公设，5 个公理。 公设：1.从一点到任一点作直线可能； 2.有限直线可 以延长；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆； 4.所有直角彼此相等；5.若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后 相交于该侧的一点。 公理：1.与一件东西相等的一些东西，它们彼此也是 相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量， 余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大 于部分。
公理化方法的概念



从尽可能少的、不加定义的基本概念和一组不加证明的 初始命题（基本公理）出发，应用严格的逻辑推理，使 某一数学分支成为演绎系统的方法，称为公理化方法。 应用公理化方法建立演绎体系的关键是引进基本概念， 设置一组公理，用它们定义新的概念，推导新的命题， 所有这些基本概念、公理、定义、定理则组成了公理化 方法的主要内容。 公理体系需要满足三个条件：独立性、相容性和完备性。
公理化方法举例

数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮 亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理 数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之 上，复数集建立在实数集之上。
自然数

皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做 自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后 继元； （3）对N中任意元素n， n ≠1； n m （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ， 那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M 时， n ∈M，那么M=N。
实数


定义1:十进小数 叫做实数。 定义2:如果有理闭区间序列{ [an , bn ] }满足 （1）[an1 , bn1 ] [an , bn ] 即 an an1 bn1 bn (n 1,2,3) （2）对于任意的 0 ，存在自然数N，当n>N时，恒 有 bn an ,那么称这个序列为退缩有理闭区间序列， 简称为有理闭区间套。 在集合 R上定义运算：实数a对应有理闭区间套 {[an , an ]}，实数b对应有理闭区间套{[ bn , bn ]}，那 么a+b对应有理闭区间套{[ a b , a b ]}，ab对应有 理闭区间套{[ an bn , an bn ]}。有理数 Nhomakorabea
设E={（a，b）∣a，b∈Z,b≠0} 在该集合上定义关系：（a，b）∽（c，d）当且仅当 ad=bc 上述关系是等价关系，它将集合E划分成若干等价类， 把每一等价类叫做一个有理数，一切有理数所组成的集 合叫做有理数集，记为Q。 在集合Q上定义加法：（a，b）+（c，d）=（ad+bc， bd） (b≠0，d≠0) 在集合Q上定义乘法：（a，b）（c，d）=（ac，bd） (b≠0，d≠0)
a a0
n n n n
a a1 a2 2 nn 10 10 10
复数


定义1:设C={（a，b）∣a，b∈R} 定义2:设C= {a+bi∣a，b∈R, i 2 =-1} 在集合C上定义加法： （a，b）+（c，d）=（a+c，b+d) 在集合C上定义乘法： （a，b）（c，d）=（ac-bd，ad+bc）