公理化思想的渗透(翟刚)
形式系统中的公理化过程
形式系统中的公理化过程形式系统是一种数学工具，用于推理、证明和定义数学理论。
在形式系统中，公理化过程是一种重要的方法，用于建立系统的基本原理和规则。
公理化过程通过引入公理和定义来确立形式系统的基础，从而使得推理和证明过程更加严谨和可靠。
公理是形式系统中的基本命题或假设，它们被认为是不需要证明的真理。
公理的选择对于形式系统的性质和能力具有重要影响。
在公理化过程中，选择恰当的公理是关键的一步。
公理应该具有简洁性、独立性和自洽性。
简洁性意味着公理应该尽可能简单明了，不引入不必要的复杂性。
独立性则要求公理之间应该相互独立，没有一个公理可以由其他公理推导出来。
自洽性要求公理之间不应该产生矛盾或冲突。
在公理化过程中，定义的引入也是一个重要的步骤。
定义可以将一个概念或符号与其他已知的概念或符号建立联系，从而使得形式系统的表达更加清晰和准确。
定义的选择应该具有唯一性和一致性。
唯一性要求定义应该明确地确定一个概念或符号的含义，避免歧义和模糊性。
一致性要求定义之间不应该产生冲突或矛盾。
公理化过程的一个重要应用是数学推理和证明。
在形式系统中，通过应用公理和定义，可以推导出新的命题和结论。
推导过程遵循一定的规则和推理规则，如假言推理、析取引入、否定引入等。
这些推理规则是形式系统中的基本推理手段，通过它们可以将已知的命题和结论扩展到更广泛的领域。
公理化过程还可以用于定义和描述数学理论。
通过引入公理和定义，可以建立数学理论的基础和框架。
例如，欧几里得几何学通过引入一些基本公理，如点、直线和平面的定义，建立了几何学的公理化体系。
在这个体系中，通过推导和证明可以得到各种几何定理和结论。
除了数学领域，公理化过程还在其他科学领域中得到广泛应用。
在物理学中，公理化过程被用于建立物理定律和理论的基础。
在计算机科学中，公理化过程被用于定义和描述计算机语言和算法。
在逻辑学中，公理化过程被用于推理和证明的形式化描述。
总之，公理化过程是形式系统中的重要方法，用于建立系统的基本原理和规则。
数理逻辑的基本公理化和形式系统
数理逻辑的基本公理化和形式系统数理逻辑是研究推理和论证的科学，它通过建立形式系统和公理化推导来研究命题的真值和推理的规则。
本文将探讨数理逻辑的基本公理化和形式系统。
一、公理化方法的引入公理化方法是数理逻辑的核心思想之一。
公理化方法的基本思想是通过一组公理来描述命题的性质和推理的规则，从而建立一个形式系统。
这个形式系统由符号和推导规则组成，通过这些规则可以从公理推导出定理。
二、形式系统的构建形式系统是数理逻辑的基础，它由符号、公式和推导规则组成。
符号是形式系统中的基本元素，可以是命题符号、逻辑连接词和量词等。
公式是由符号按照一定规则组合而成的表达式，用来表示命题的真值。
推导规则则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
三、数理逻辑的基本公理数理逻辑的基本公理是构建形式系统的基础，它们是不需要证明的前提，用来描述命题的性质和推理的规则。
基本公理一般包括恒真式、恒假式和等价式等。
恒真式是指在任何情况下都为真的命题，如“P∨¬P”，表示“P或非P”。
恒假式是指在任何情况下都为假的命题，如“P∧¬P”，表示“P且非P”。
等价式是指两个命题在任何情况下都具有相同的真值，如“P→Q≡¬P∨Q”，表示“如果P成立，则Q成立”。
四、形式系统的推导规则形式系统的推导规则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
常见的推导规则包括假言推理、析取三段论和消解等。
假言推理是指从一个条件命题和它的前提出发，推导出结论的过程，如“如果P成立，则Q成立；P成立，因此Q成立”。
析取三段论是指从两个条件命题的析取式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“P∨Q；¬P，因此Q”。
消解是指从两个条件命题的否定式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“¬P∨¬Q；P，因此¬Q”。
五、数理逻辑的应用数理逻辑在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
挖掘本质，建立化学学科思维
课程教育研究
Course Education Research
2018 年第 22 期
挖掘本质袁建立化学学科思维
邵小静
渊河南省许昌高级中学 河南 许昌 461000冤
揖摘要铱以中学化学习题实例袁概括总结一线教师对中学生化学思维培养以及思维进阶的提高方法遥
揖关键词铱本质 化学思维 学习进阶
揖基金项目铱2016 年度河南省基础教育教学研究项目 JCJYB16071003叶促进高一新生化学思维进阶的教学策略研究曳遥
个重要任务遥 一尧野守恒冶建立化学思维 守恒思想贯穿整个高中化学学习袁电荷守恒尧物料守恒及
质子守恒的应用也是学生学习的难题袁写不出来往往是没有抓 住核心知识不会充分利用守恒思想遥
例 1院NaHCO3 溶液中质子守恒的书写遥 揖传统思路铱先写出电荷守恒 C(H+)+C(Na+)=C(HCO3-)+ 2C(CO32-)+C(OH-) 物料守恒渊原子守恒冤C(Na+)=C(HCO3-)+C(CO32-)+C(H2CO3) 两式相减得 C(H+)+C(H2CO3)=C(CO32-)+C(OH-)质子守 恒遥 揖守恒思路铱质子守恒的本质是溶液中水电离的 H+和 OH相等遥 即 C渊H+冤水=C渊OH-冤水 对 于 NaHCO3袁 加 入 水 中 后 影 响 水 的 电 离 平 衡 的 是
H2S 榆HS-+OH-要要要>S2-+H2O袁H2O 释放一个 OH-并被 HS-
结合成为 S2-
则 C渊OH-冤水=[OH-]+2/3[S2-]袁C渊H+冤水=1/3[HS-]+2/3[H2S] +2/3[H2S]+[H+]
电大数学思想方法考试题库(全)
《数学思想与方法》——————————填空题————————1古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得（《几何原本》）3、《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分）6、（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是（在一定条件下，看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）10、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
11、强抽象就是指通过（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征（一组邻边相等）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比是指（由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法）常称这种方法为类比法，也称类比推理、15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）16、猜想具有两个显著特点：（具有一定的科学性、具有一定的推测性）17、三段论是演绎推理的主要形式，三段论由（大前提、小前提、结论）三部份组成。
18、化归方法是指（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题的答的一种方法）19、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）20、在计算机时代，（计算方法）已经成为与理论方法，实验方法并列的第三种科学方法。
翟刚讲义(二)
我们就综合题问题中的与几何有关，并且又与代数的知识结合的问题，谈一些看法．我们在讲综合问题的分类时就发现综合问题都与几何图形相关，原因是由于几何变换造成的，从另一个角度讲代数知识的减少对综合问题的形成也带来了很的影响．但是，从考试的角度看，有一些代数问题还需要我们关注一些． 已知方程 ． ① （1）k 取何值时，方程①有实数根； （2）当方程①有两个相等的实数根时， 求 的整数根．（a 为正整数） 首先要理解的是，代数问题研究中要解决好代数知识应用时，应该关注代数知识使用的前提条件．例如，方程的知识在应用中都有明确的“专属名词”，即根据代数方程满足的条件有明确的名称．在本例中只说“方程”以及“有实根”，说明其不确定性，因此，要根据“一次”或“二次”的条件．分别求解．因此，通过此例说明对题目的分析应抓住：条件、关键词、对应知识、可能的方法．对于第二个问题，即方程整数根问题，需要知道解决问题的基本方法． 把k 值代入第二个方程，可以得到例如，正方形ABCD 的边长为2，以点C 为圆心，以2为半径作弧BD ，点E 是 上的一个动点，过点E 的切线PG 交AB 、AD 于点P 、G ，求PG 的最小值．分析：在本题中，要求的切线长是未知量，同时，PA 、AG 也都是未知量，所以问题的求解就存在很大的困难． 这时就需要考虑用什么知识求解．从图形中我们不难发现，未知线段在一个直角三角形中，而这个三角形可以利用勾股定理，同时， PA 、AG 所在的三角形有可以提供新的关系，即都与正方形的边有关．AB CDEPG032)1(2=+++-k kx x k 0)4(2=+-+a y k a y 24(6)30y a y k --++=222(6)40.(6)4.a a a m a --=--= BD我们假设PG=x ,则由△APG 的周长可知, AP+AG+x =4. 即 消去AG,得前面举的两个例子说明了，综合问题从其定义讲应该是本学科或跨学科的知识由可以沟通关系的知识作为媒介形成数学问题．第一讲中的几何变换知识应用而形成综合问题，就是利用了几何变换与特殊四边形或三角形之间的关系沟通关系的．代数综合问题，可以理解为跨分类知识而形成的问题，例如方程与代数式、方程与函数、函数与代数式等．代数与几何综合问题就明确了，即以几何元素为未知量或者以代数知识形成几何关系，进而形成综合问题．本类问题的解决问题的基本方向就是认定背景、认定知识、确定方法．例如， 在梯形 ABCD 中，BC ∥AD ，∠A= 90° ，AB=2 ，BC=3 ，AD=4 ，E 为AD 的中点，F 为CD 的中点，P 为BC 上的动点( 不与 B 、C 重合〕 设 BP=x ，四边形PEFC 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．本题是一个以几何形式给出的函数问题．我们知道，几何研究的是不变量问题，而代数问题研究的是不变的关系问题，同处在一道题中，因此要明确怎么形成联系的．在本题中几何图形提供了一个由两个三角形构成的四边形，其中一个△EFC 的面积不变,另一个△PEC 的面积变化．所以只要确定了这两个三角形面积的大小或如何表示问题就可以解决了，只是还需要关注自变量的取值．在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ． （1）求证：；（2）一点从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时一点从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点也随之停止运动．如图2， 平分 ，交BD 于点，过 作 ，垂足为 ，请猜想， 与 、AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；222AP AG x+=22(4)840.8160.0.AP x AP x x x x +-+-=∆=+-≥>12EF AC AB+=11BA C ∠11A F 1F 1111F E A C ⊥1E 11EF 1112A C（3）在（2）的条件下，当 ， 时，求BD 的长．可证再例如，已知如图，矩形OABC 的长OA=，宽OC=1 ，将△ACO 沿AC 翻折得△APC ，（1）填空：∠PCB=（ ），P 点坐标为（ ）； （2）若P ，A 两点在抛物线 上，求其解析式，并说明点C 是否在抛物线上 ．（3）设（2）中的抛物线上，在CP 这段的抛物线（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在求出这个最大值及此时M 点的坐标； 若不存在，请说明理由。
论公理化体系
论公理化体系公理化思想就是任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果。
随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的，18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地提出数学的公理化方法。
恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。
公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用。
公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展。
第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明。
因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑。
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
反华势力对中国进行网络舆情渗透的主要形式刘纲
反华势力对中国进行网络舆情渗透的主要形式刘纲发布时间：2021-09-07T08:36:49.639Z 来源：《中国科技人才》2021年第17期作者：刘纲[导读] 进入新世纪以来，随着媒体环境的不断变化和新兴社交媒体的出现，反华势力利用各种媒体进行网络舆情渗透的现象经常发生。
乌鲁木齐市公安局沙依巴克区分局新疆 830000摘要：进入新世纪以来，随着媒体环境的不断变化和新兴社交媒体的出现，反华势力利用各种媒体进行网络舆情渗透的现象经常发生。
反华势力进行网络舆情渗透的主要途径有：“培养异见分子”，利用自媒体渗透；利用流媒体渗透；利用手机 APP 应用传播负面信息；开发破解防火墙软件，诱使国内网民接受相关信息。
反华势力进行网络舆情渗透的主要形式有：借个别群体性事件和部分腐败案件进行反华炒作；借突发事件造谣生事，破坏稳定；歪曲事实真相，攻击国家领导人；在言论上“形左实右”，居心不良；在意识形态上借“公民社会”的理念攻击中国“民主”“人权”。
必须严格管控反华势力的公众账号，注重重大舆情和敏感舆情的信息公开工作，针锋相对地揭露其意识形态渗透的真相，构建当代我国主流意识形态的新理念。
关键词：反华势力；意识形态；舆情渗透引言西方反华舆论是西方发达国家以企图达到对我国进行“西化”“分化”、抹煞社会主义建设成就为目的而制定、主导、散布、传播的各种对中国不利和不实的言论。
主要手段包括：传播虚假信息，对国内社会热点和敏感新闻进行炒作；攻击我国政治制度，歪曲我国领导人形象；不遗余力地美化、渲染西方文明和制度，对我国人民进行舆论渗透和文化入侵；在意识形态、思想文化领域制造事端等。
西方反华舆论在新中国成立后一直存在，并随着中国的发展进步愈演愈烈。
1、网络舆论风暴公式新媒体的发展大大提高了信息的传播效率和交换速度，网友的态度和意见以文字、图片、视频、语音等各种形式通过各类新媒体网络平台进行呈现。
当某一焦点议题或新闻事件触动了网友的普遍性感知时，极容易形成群体性情绪，在短时间内线上评论、转发、点赞等与线下行为互动形成舆论风暴。
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公理化思想的渗透、学习与落实
我们说学习数学知识的目的是让学生掌握基础的社会知识，以及客观的认识事物的本质外，还有更主要的目的，那就是培养学生的公理化思想。
一提公理化思想最容易想到就是几何知识的学习的目的，其实我们说培养公理化思想是学习数学知识的整体要求及目的。
客观事物的存在都具有其各自的存在条件和规律，生物是如此，事物也是如此，例如，我们所学习的数学知识在没学习之前本身就已经存在了，并且还有很多的问题没有解决，换句话说就是数学知识本身的规律性以及知识之间的逻辑关系是客观存在的，我们只是在学习相应的知识时把它揭示出来而已。
那么这种知识的存在性的认识，实际上就是我们提出的学习公理化思想的根本原因。
在代数中体会公理化思想一直都是很困难的，原因不外乎大家认为代数有自身的规律，不像几何那样逻辑关系清晰、明确，而代数知识只是概念、法则、公式、运算律等等，所以不需要渗透公理化思想。
其实不然，我们举一个最简单的例子说明学习公理化思想的重要性。
我们知识代数中离不开算，数要算，式要算、方程与函数也离不开算，那么就这个问题我们研究和思考：“怎么算”的问题，就会发现公理化思想的影子在其中的重要作用。
例如，7与11；5
7-6
11
；22
23497
x x x x
-++-；
2
2123
2(2)
x x
x x x x x
+
+--
--
；
问题，提出几个问题：它们能算吗？为什么能算？根据什么算？对这几个问题的理解就可以折射出公理化思想的意义。
从最简单的问题入手想就更容易一些，例如，7与11。
要考虑这个问题就需要回到问题的起点，即7和11是什么，它们之间有什么关系看问题。
首先7与11都是自然数，或者说它们是同类数，并且它们共同的存在都是1作为单位量而形成的，那么算的问题之所以可以实现就是因为它们具有相同的单位量，那么单位量实际上就是数系的基本条件。
如果我们从公理化的角度看问题，那么这种单位量的存在和应用实际就是体现公理化思想的起点，也就是说由于存在了这种基本量的现象才可能确立这个数系，因此我们说这就是公理化应用的起点的范例。
类似的代数式中之所以能算，是因为它们有“同类项或者公因式”，那么实际上这种同类项和公因式不就是单位量吗？
单位量的存在恰好印证了公理化思想的存在和意义。
客观事物的存在都是因为其存在着由一生二，由二生三，进而生成事物的全部，或者说生成万物，那么一就是事物的起点和事物演变的起点，同样的数学也反映了这种基本规律，这是因为数学是反映客观事物本质的轨规律的基本形式，因此数学也就具有了客观事物的基本规律。
这种规律实际上就是我们所说的公理化思想的体现。
现在我们再回过头来看几何问题，就可以发现与我们提及的代数问题具有基本类似的问题。
任何几何问题的存在其实都是因为首先存在着一个最基本的图形而产生的，最初一个点，当存在两个点时就形成了相对位置问题，同时形成了直线，又由此产生了两条直线的相对
位置问题以及它们可形成什么问题的情况，进而产生了所谓的几何知识以及几何问题，而在这个过程中形成了公理、定理及公理体系。
如果我们从这个角度看几何与代数知识中的公理化思想，就可以得到它们都存在着公理体系。
简言之，它们共同存在着：一个概念的确定以及需要研究它的范围、两个量之间的关系与联系、运算等基本问题。
正因为存在着相似的现象，可以说它们具有基本一致的本质属性，即公理化现象，所以我们在教学中要渗透这种思想，并在解决数学问题中运用这种思想，帮助学生确立这种思想。
现在由于我们时常把“思想”挂在嘴上，用在对一些不十分明白的问题上，因此忽视了对其本意的理解和认识。
思想就其本意是指：意念，或者说“构思”。
我们在这里所说的公理化思想，实际上是一种成体系的意念，或者说构思。
对于任何一个数学知识而言，它的存在都是有条件的，都是有使用范围的，都处在整个体系中的某个位置上的，所以它能解决的问题就有所限制。
当我们使用这个数学知识时就需要考虑是否在使用的范围之内，是否符合使用的条件，更为重要的是在选择解决问题的方法时，要判断能否适应这个知识的使用。
当确定可以说会用这个知识后，就需要考虑使用这个知识的基本程序或者说过程，先用什么，再用什么，最后用什么等，而使用的每一步都需要满足在知识体系内的内在的逻辑关系，当问题解决了，还需要判断结果的正确性。
在这个整体过程中所反映出得过程、步奏，其实就是一种构思的过程和使用这个构思的过程，也就是我们所说的公理化思想应用的过程。
对于教师而言实际上需要在每节课上都需要考虑怎么体现这种公理化思想以及如何落实这种思想。
而对于这种思想的认识和理解而言，不是把它挂在嘴上老说的，是需要教师运用这种思想设计我们的教学过程，把这种认识渗透到学生的认知结构中去。
从一个知识的引入开始，要让学生体会学习这个知识的必要性；在研究这个知识的过程中要体会这个知识成立的条件以及适用的范围；更为重要的是要体会研究这个知识的方法是什么，是怎么研究的；通过对知识的描述的理解，体会这个知识能解决什么问题，是怎样解决的；最后还需要体会怎么判断使用这个知识是否正确。
完成了这个所有的过程实际上就实现了体会公理化思想的过程。