江苏扬州高邮市2020届高三上学期开学考试 数学(文) Word版含答案

2020届高三年级阶段性学情调研数学（文科）试题 2019.09考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上）1.已知集合A= {-1,0，1，3}，B = {R x x x ∈≥,0| },则=B A I ▲ .2.己知复数)1)(2(i i a ++的实部为0,其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ .3.函数1log 2-=x y 的定义域为 ▲ .4.已知直线012:1=-+-a y ax l 和05)2(3:2=+--y a x l 平行，则实数 a 的值为 ▲ .5.设命题4>:x p ;命题045:2≥+-x x q ,那么p 是q 的▲条件.（选填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 6.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 4,2,2π===A b a ,则B= .7.已知函数⎩⎨⎧≤-=0,220>,log )(2x x x x x f ,若21)(=a f ,则实数=a ▲.8.设曲线x ax x f ln )(-=的图象在点(1，)1(f )处的切线斜率为2,则实数a 的值为 ▲ 9.若“]2,21[∈∃x ，使得0<122+-x x λ成立”是假命题，则实数λ的取值范围是 ▲. 10.在平面直角坐标系xOy 中，将函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移)2<<0(πϕϕ个单位长度后,得到的图象经过坐标原点，则ϕ的值为 ▲. 11.已知2<<0,54)6cos(παπα=+，则)122sin(πα+的值为12.如图，在ABC ∆中，AB=BC,BC=2, EB AE DC AD 21,==，若21-=⋅AC BD ，则=⋅AB CE13.在平面直角坐标系xOy 中，己知直线mx y l =:1与曲线x x x f +=32)(从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2:2+=kx y l 上存在点P ，满足2||=+PC PA ,则实数k 的取值范围为14.已知函数，若⎩⎨⎧-≤-=0>,50,42)(x e x x x f x，若关于x 的方程05|)(|=--ax x f 恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分14分）己知βα,为钝角，且532cos ,53sin -==βα. (1)求βtan 的值： (2)求)cos(βα+的值. 16.(本题满分14分）已知43)2)(32(,3||,4||=--==. (1)求与的夹角θ； (2)求||+；(3)若)()(λ+⊥+,求实数λ的值. 17.(本题满分15分）在ABC ∆中，a,b,c 分别为角 A, B, C 所对边的长，)sin )(sin ()sin (sin C B b c B A a +-=+.(1)求角C 的值；(2)设函数43)3sin(cos )(-+⋅=πx x x f ，求)(A f 的取值范围. 18. (本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C: 04222=+-++F y x y x ，且圆C 被直线023=++-y x 截得的弦长为2.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求切线l 的方程；(3)若圆D: 2)1()(22=-+-y a x 上存在点P ，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，且满足PO PM 2=,求实数a 的取值范围.19.(本题满分16分）如图，在P 地正西方向16cm 的A 处和正东方向2km 的B 处各一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F.(1)若在P 处看E ，F 的视角045=∠EPF ,在B 处看E 测得045=∠ABE ,求AE ，BF ； (2)为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF,设α=∠EPF ，公路PF 的每千米建设成本为a 万元，公路PE 的每千米建设成本为8a 万元.为节省建设成本，试确定E,F 的位置，使公路的总建设成本最小.20.(本题满分16分）已知函数b e a x x f x+-=2)()(在0=x 处的切线方程为01=-+y x ,函数)1(ln )(--=x k x x g .(1)求函数)(x f 的解析式； (2)求函数)(x g 的极值；(3)设{}{}q p x g x f x F ,(m in )(),(m in )(=表示q p ,中的最小值)，若)(x F 在),0(+∞上恰有三个零点，求实数k 的取值范围.2020届高三年级阶段性学情调研（数学文科）参考答案一、填空题1.};3,1,0{2.;23.);,2[+∞4.;1-5.充分不必要；6.;6π 7.2或;438.;3 9.];22,(-∞ 10.;6π11.;50217 12.;34- 13.);,3[]3,(+∞--∞Y 14.}25,2,5ln 5,{--e 二、解答题15.解（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1，所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． …………………… 2分 因为β为钝角，所以cos β＝－55．从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255． …………………… 5分所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）因为α为钝角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(35)2＝－45． …………………… 10分从而cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝55253)55()54(⨯--⨯- ＝2552-． …… 14分16.解：由题意得[]分又）（63,021cos ,4327cos 643443384)2)(32(122ΛΛΛΛΛΘΘπθπθθθ=∴∈=∴=+-===+-=--分）（）（）（）（）（（）（分143101030-0--310372(22ΛΛΛΘΛΛΛ=∴=∴=--+=+⋅∴=+⋅∴+⊥===+λλλλλλλb b a b a a b a b a17.解：（1）在△ABC 中， 因为)sin )(sin ()sin (sin C B b c B A a +-=+，由正弦定理sin sin sin a b c ABC==，所以))(()(b c c b b a a -+=+． …… 3分即ab c b a -=-+222，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得21cos -=C ． …… 5分又因为0πC <<，所以32π=C ． …… 7分（2）因为43)3sin(cos )(-+⋅=πx x x f =43cos 23cos sin 212-+⋅x x x 43)12(cos 432sin 41-++=x x =)32sin(21π+x …… 10分)32sin(21)(π+=A A f由（1）可知32π=C ，且在△ABC 中，π=++C B A 所以30π<<A ，即πππ<+<323A …… 12分所以1)32sin(0≤+<πA ，即21)(0≤<A f所以(A)f 的取值范围为]21,0( …… 15分18. 解：（1）由题意得22222222240,(1)(2)5,5-1,251,21(1)1,3(1)(2)24C x y x y F x y F F r F d r F C x y ++-+=++-=-∴<=-=+-∴+=∴=++-=Q Q L L L 圆：即圆心坐标为（），，-1-2+3+2又圆心到直线的距离d=又弦长为圆的标准方程为分（2）因为直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，①若直线l 过原点，则假设直线l 的方程为0,=-=y kx kx y 即，因为直线l 与圆C 相切，分；或的方程为直线6)6-2()62(,62,024,21222ΛΛΛx y x y l k k k r k k d =+=∴±=∴=--∴==+--=∴②若直线l 不过原点，切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则假设直线l 的方程为,0,1=-+=+a y x aya x 即因为相切， 分；或的方程为直线或8010313,21,2112122ΛΛΛ=++=-+∴-==∴=-∴==+-+-=∴y x y x l a a a r ad 分或或或的方程为综上所述直线90103)6-2()62(ΛΛΛ=++=-+=+=y x y x x y x y l()分（（恒成立，（（（切，两圆有公共点且不能内上，又在圆（点又，即为切点，相切，且与圆直线，满足点点坐标为（假设15.42,9)1,239)129)1)12()1,23)12()1221)P 8)2()1-(,0342,2)2()1()(2,2PC 2,-PC PM M C ,2PM PO 2＝PM P ),.)3(222222222222222222222222ΛΛΛΛΘΘΘ≤≤-∴≤-∴≤+->+-=--+-≤--+-<∴∴=-+-=++=-+-+∴--++=+∴-=∴=∴=∴a a a a a a y a x y x y x y x y x y x PO r PM PO y x P19.解：(1) 在Rt ABE ∆中，由题意可知018,45AB ABE =∠=，则18AE =．……2分在Rt APE ∆中，189tan 168AE APE AP ∠===，在Rt BPF ∆中tan 2BF BFBPF BP ∠==4分因为,450=∠EPF 所以,1350=∠+∠BPF APE于是BPF APE BPFAPE BPF APE ∠⋅∠-∠+∠=∠+∠tan tan 1tan tan )tan(98219182BFBF+==--所以34BF =………6分答：18AE km =34BF km =……7分（2）由公路PE 的成本为公路PF 的成本的8倍,所以8PE PF +最小时公路的建设成本最小.在Rt △PAE 中，由题意可知APE α∠=，则16cos PE α=． 同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，则2sin PF α=． 令20,sin 2cos 1288)(παααα<<+=+=PF PE f ，………………………………9分则,cos sin cos sin 642sin cos 2cos sin 128)(223322'ααααααααα-=-=f …………………………11分 令()0f α'=，得1tan 4α=，记01tan 4α=，0π02α<<， 当0(0,)αα∈时，()0f α'<，()f α单调减；当0(,)2παα∈时，()0f α'>，()f α单调增．所以1tan 4α=时，()f α取得最小值， …………………………………13分 此时1tan 1644AE AP α=⋅=⨯=，8tan BPBF α==．…………………………15分 所以当AE 为4km ，且BF 为8km 时，成本最小． ……………………16分 20.解：（1）()()22'222xf x x a x a a e ⎡⎤=+-+-⎣⎦因为()f x 在0x =处的切线方程为10x y +-=所以()()22'02101f a a f a b ⎧=-=-⎪⎨=+=⎪⎩， ………………2分解得10a b =⎧⎨=⎩所以()()21x f x x e =-……………3分（2）()g x 的定义域为()0,+∞ ()'x kg x x-=①若0k ≤时，则()'0g x >在()0,+∞上恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，无极值 (5)分②若0k >时，则当0x k <<时，()'0g x <，()g x 在()0,k 上单调递减； 当x k >时，()'0g x >，()g x 在(),k +∞上单调递增；所以当x k =时，()g x 有极小值2ln k k k -，无极大值．……7分(3)因为()0f x =仅有一个零点1，且()0f x ≥恒成立，所以()g x 在()0,+∞上有仅两个不等于1的零点．……8分①当0k ≤时，由(2)知， ()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上至多一个零点，不合题意，舍去②当20k e <<时，()()()min 2ln 0g x g k k k ==->，()g x 在()0,+∞无零点 ③当2k e =时，()0g x ≥，当且仅当2x e =等号成立，()g x 在()0,+∞仅一个零点11分④当2k e >时，()()2ln 0g k k k =-<，()0g e e =>，所以()()0g k g e ⋅<， 又()g x 图象不间断，()g x 在()0,k 上单调递减 故存在()1,x e k ∈，使()10g x =…………13分又 )1ln 2()(2+-=k k k k g 下面证明，当2x e >时，01ln 2)(>+-=x x x h()2'x h x x-=>0， ()h x 在()2,e +∞上单调递增 ()()2250h x h e e >=->所以,0)()(2>=k kh k g ()()20g k g k ⋅<又()g x 图象在()0,+∞上不间断，()g x 在(),k +∞上单调递增， 故存在()22,x k k ∈，使()20g x = …………15分 综上可知，满足题意的k 的范围是()2,e +∞ ……16分(注：2x 取k e 亦可)。