椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
双曲线线知识点总结
双曲线线知识点总结一、定义双曲线是一种平面曲线，它跟椭圆和抛物线一样，是平面上一点到两定点的距离之差为常数的轨迹。
具体来说，如果一个点到两定点A和B的距离之差等于常数2a（a>0），则该点的轨迹就是双曲线。
双曲线有两个分支，分别是由两定点A和B生成的。
两个定点之间的直线称为双曲线的主轴，它与两个定点的中垂线相交于双曲线的中点O。
主轴上离O点距离为a的两点F和F'称为双曲线的焦点，且有|OF-OF'|=2a。
主轴长度为2a，所以焦点到中点O的距离是a。
二、性质1. 双曲线的几何形状双曲线的形状可以分为两种：一种是长轴水平，另一种是长轴垂直。
水平双曲线的方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1，垂直双曲线的方程为(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1。
当a>b时，双曲线开口方向是水平的，当a<b时，双曲线开口方向是垂直的。
2. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，对称轴分别为x=0和y=0。
3. 双曲线的渐近线当a>b时，双曲线的两条分支分别与直线y=±(b/a)x相切，这两条直线称为双曲线的渐近线。
4. 双曲线的参数方程水平双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ；垂直双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ。
5. 双曲线的焦点双曲线的焦点到中心的距离等于a。
6. 双曲线的离心率双曲线的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为半径。
7. 双曲线的面积双曲线的面积为S=πab。
8. 双曲线的切线和法线双曲线上一点处的切线和法线的方程可以通过对双曲线的方程进行求导得到。
9. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线即为水平双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x；垂直双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
10. 双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程为r^2=a^2sec^2θ-b^2。
三、应用双曲线在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
参数方程与极坐标(精华版)
P0 的有向距离， 在 P0两侧 t 的符号相反， 直线的参数方程 t 的几何意义为有向距离）
x x0 t cos y y0 t sin
（ t 为参数，
说明：① t 的符号相对于点 ②｜P 0P｜=｜ t ｜
P ，正负在 P
0
0
点两侧
直线参数方程的变式：
x
x0
at
，但此时 t 的几何意义不是有向距离，只有当
参数方程与极坐标
参数方程知识回顾：
一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x、 y 都是某个参数 t 的函数，
x f (t)
即
y f (t) ，其中， t 为参数，并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点
M（ x ，
y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系
x、y 之间关系的变数 t
坐标与参数间的关系。 Eg1：已知点 P（ x， y）是圆 x 2+y2-6x-4y+12=0 上的动点，求： （ 1） x2+y2 的最值；（2） x+y 的最值；（3）点 P 到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程
（ 1） x=2+3cos y=3sin
（2） x=sin y=cos
叫做参变数，简称参数． 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：
中心在（ x0， y0），半径等于 r 的圆：
x x0 r cos y y0 r sin
（ 为参数， 的几何意义为圆心角） ，
特殊地，当圆心是原点时，
x r cos y r sin
注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。
2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。
注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。
3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。
二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。
2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。
3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。
三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。
2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--； 综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。
5. 二次曲线
§ 5 二次曲线一、圆[圆的切线]圆x2 + y2 = R2上一点M(x0, y0)的切线方程为x0x + y0y = R2圆x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0[两个圆的交角、圆束与根轴]式中含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M'与它对应.使得满足下列两个条件：（i）O, M, M'共线，（ii ）OM ⋅OM ' = r ，这种点M '称为点M 关于定圆C 的反演点，C 称为反演圆，O 称为反演中心，r 称为反演半径.由于M 和M '的关系是对称的，所以M 也是M '的反演点.因r 2 > 0，所以M 和M '都在O 的同侧.M 和M '之间的对应称为关于定圆C 的反演.取O 为原点，则一切反演点M (x , y )和M '(x ',y ')的对应方程为222222,yx yr y y x x r x +='+=' 反演具有性质：1︒ 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆. 2︒ 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.3︒ 通过反演中心的一条直线变为它自己.4︒ 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆. 5︒ 反演圆变为它自己.6︒ 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.7︒ 如果两条曲线C 1，C 2交于一点M ，则经过反演后的曲线C 1', C 2'必交于M 的反演点M '.8︒ 如果两条曲线C 1, C 2在一点M 相切，则经过反演后的曲线C 1', C 2'必在M 的反演点M '相切.9︒ 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.二、 椭圆1．椭圆的基本元素 主轴(对称轴))0(22>>⎩⎨⎧==b a b CD aAB 轴短轴长 顶 点 A , B , C , D 椭圆中心 G 焦 点 F 1, F 2 焦 距 2221,2b a c c F F -==离 心 率 1<=ac e压缩系数 2221,e a b -==μμ焦点参数 ab p 2=(等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F 1H )焦点半径 r 1, r 2(椭圆上一点(x , y )到焦点的距离) r 1 = a - ex ， r 2 = a + ex 直 径PQ (通过椭圆中心的弦)图7.1图 7.2共轭直径 二直径斜率为k k ',，且满足22a b kk -='准 线L 1和L 2(平行于短轴，到短轴的距离为ea )1︒ 椭圆是到两定点(即焦点)的距离之和为常数(即长轴)的动点M 的轨迹 (r 1 + r 2 = 2a ). 2︒ 椭圆也是到一定点(即焦点之一)的距离与到一定直线(即一准线L )的距离之比为小于1的常数(即离心率)的动点M 的轨迹(MF 1/ME 1 = MF 2/ME 2 = e ).3︒ 椭圆是将半径为a 的圆沿y 轴方向按比ab=μ(即压缩系数)压缩而得到.4︒ 椭圆上一点M (x 0, y 0)的切线(MT )方程为12020=+byy a xx 切线把点M 的两焦点半径间的外角(即∠F 1MH )平分(即α=β,02tan tan cy b ==βα),M 点的法线MN 把内角(即∠F 1MF 2)平分(图7.3).如果椭圆的切线(MT )的斜率为k ,则其方程为 222b a k kx y +±=式中正负号表示直径两端点的两切线.图 7.35︒椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的弦平分(图7.4) 如果两共轭直径的长分别为2a 1和2b1, 两直径与长轴的夹角(锐角)分别为α和β, 则a 1b 1sin(α + β) = aba 12 +b 12 = a 2 + b 26︒ 椭圆上任一点M 的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方. 7︒ 设MM ', NN '为椭圆的两共轭直径, 通过M , M '分别作直线平行于NN '; 又通过N , N '分别作直线平行于MM ', 则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab (图7.5). 4.椭圆各量计算公式12222=+by a xa b=⎰⎰-=-222arccos22d sin 1d cos 1πx a x t t e a t t e a图 7.4三、 双曲线1．双曲线的基本元素 主轴(对称轴)⎩⎨⎧>=>=)0(2)0(2b b CD a a AB轴虚轴实 顶 点 A , B 中 心 G 焦 点 F 1, F 2焦 距 F 1F 2 = 2c , 22b a c +=离 心 率 1>=ace 焦点参数 a bp 2= (等于过焦点且垂直于实轴的弦长之 半,即F 1H ) 焦点半径 r 1, r 2 (双曲线上一点(x , y )到焦点的距离, 即MF 1, MF 2)r 1 = ± (ex - a ), r 2 = ± (ex + a )直 径 PQ (通过中心的弦)图 7.6共轭直径 二直径斜率为k , k ',且满足22ab k k ='准 线L 1和L 2 (垂直于实轴, 到中心的距离为ea )b+1︒ 双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a )的动点M 的轨迹(使a r r 221=-的各点属于双曲线的一支，而使a r r 221=-的各点属于其另一支).2︒ 双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L 1)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M 的轨迹(e ME MF ME MF ==2211//).3︒ 双曲线上一点M ),(00y x 的切线(MT )的方程为12020=-byy a x x它把M 点两焦点半径间的内角(即21MF F ∠)平分(即2tan tan ,cy b ===βαβα)，而M 点的法线MN 把外角(即MH F 1∠)平分(图7.7).如果双曲线的切线的斜率为k ，则其切线的方程为 222b a k kx y -±=式中正负号表示在直径两端点的两切线.4︒ 两条渐近线x aby ±=之间的切线线段TT 1被切点M 平分(TM = MT 1)，且∆OTT 1的面积ab S OTT =1，平行四边形OJMI 的面积(图7.8的阴影部分)2abS OJMI =5︒ 双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(图7.9)如果两共轭直径的长分别为2a 1,2b 1, 两直径与实轴夹角(锐角)分别为α和β(α<β)，则22212111)sin(ba b a abb a -=-=-αβ 6︒ 双曲线上任一点M 的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.7︒ 设MM ', NN '为双曲线的两共轭直径，通过M , M '分别作直线平行于NN '；又通过N , N '分别作直线平行于MM '，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab (图7.10).4．双曲线各量计算公式12222=-by a x图 7.8图 7.9图 7.10=四、 抛物线1．抛物线的基本元素 抛物线的主轴 AB 顶 点 A 焦 点 F 焦点参数 p (等于过焦点且垂直于轴的 弦CD 之长的一半) 焦点半径 MF (抛物线上一点到焦点的 距离) 直 径 EMH (平行于抛物线的轴的直 线) 准 线 L (与抛物线的轴垂直，到顶点A 的距离等于2p，到焦点F 的距离等于p)2．抛物线的方程、顶点、焦点与准线图 7.11)0 1︒ 抛物线是到一定点F (焦点)的距离与到一定直线L (准线)的距离相等的动点M 的轨迹(MF '=ME )(图7.12)2︒ 抛物线上一点),(00y x M 的切线MT 的方程为)(00x x y py +=它把M 点的焦点半径与直径的夹角(∠FMG )平分(∠FMT =∠TMG )，并且一切与切线MT 平行的弦被过M 点的直径平分(PI =IQ ).如果抛物线的切线的斜率为k ，则其切线的方程为kp kx y 2+= 3︒ 抛物线的任两切线的夹角等于两切点的焦点半径的夹角的一半.4︒ 从焦点F 作抛物线在点M 的切线的垂线，则垂足的轨迹为在顶点的切线. 4．抛物线各量计算公式 pxy 22=图 7.12=pxp p x x 2Arsh22+⎪⎭⎫ ⎝⎛+五、 一般二次曲线1．二次曲线的一般性质上面所列举的椭圆、双曲线、抛物线等,它们的方程关于x,y 都是二次的,关于x,y 的一般二次方程的形式是ax bxy cy dx ey f 222220+++++=它所表示的曲线称为一般二次曲线.这里列举它们的一些共同性质.[直线与二次曲线的交点] 一直线与一个二次曲线交于两点(实的,虚的,重合的).[二次曲线的直径与中心] 一个二次曲线的平行于已知方向的弦的中点在一直线上,称它为二次曲线的直径,它平分某一组弦.设已知方向的方向数为α,β,则直径的方程为()()a b x b c y d e αβαβαβ+++++=0或改写为()()ax by d bx cy e +++++=αβ0由此可见,二次曲线的直径组成一个直线束.束内任一直径通过下列两直线交点:ax by d bx cy e ++=++=00,1︒ a b bc≠,即ac b -≠20.这时二次曲线的一切直径通过同一点,称为中心,这种曲线称为有心二次曲线,中心的坐标为x be cd ac b y ae bdac b 0202=--=--, 2︒a b bc=,即ac b -=20 (i) a b b c de =≠,这时曲线无中心;(ii) a b b c de==,这时曲线有无限个中心,即中心在同一直线上(中心直线).这两种曲线称为无心二次曲线.[二次曲线的主轴(或对称轴)] 如果直径垂直于被它所平分的弦,则称它为二次曲线的主轴(对称轴), 无心二次曲线有一条实的主轴;有心二次曲线有两条实的主轴,它们是互相垂直的,交点就是中心.[二次曲线的切线与法线]二次曲线上的一点()M x y 00,的切线方程为()()()ax x cy y b x y y x d x x e y y f 0000000++++++++=在点M 与二次曲线的切线垂直的直线称为在点M 的法线,它的方程为x x ax by d y y bx cy e-++=-++000000 2．二次曲线的不变量 由一般二次曲线的方程ax bxy cy dx ey f 222220+++++= (1)的系数所组成的下列三个函数:D a b d bc e defa b b cac b S a c ===-=+,,δ2称为二次曲线的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式D 称为二次方程(1)的判别式.3．二次曲线的标准方程与形状4二次曲线都是用平面切割正圆锥面的截线.因此二次曲线也称为圆锥截线（图7.13）用一平面P 切割正圆锥时,若P 不通过锥顶,且不平行于任一母线,则截线为椭圆;若P 不通过锥顶,而平行于一条母线时,截线为抛物线;若P 不通过锥顶而平行于两条母线时,截线为双曲线;若P 垂直于锥轴,截线为圆.若P 通过锥顶,则椭圆变为一点,双曲线变为一对相交直线,抛物线变为P 与圆锥相切的一直线.。
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析极坐标方程与参数方程是圆锥曲线的两种常用表示形式。
在研究圆锥曲线时，利用这两种方程形式可以更加直观地描述曲线的特征与性质。
本文将详细介绍圆锥曲线的极坐标方程和参数方程的解析过程，并通过具体的例子来进一步说明。
一、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程可以用极坐标系中的极径r和极角θ来表示。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程的一般形式如下：r = f(θ)其中，函数f(θ)代表了曲线的性质与形状，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而异。
以下是几种常见的圆锥曲线的极坐标方程及其解析过程：（一）圆的极坐标方程圆是一种特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a其中，a代表圆的半径。
（二）椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程形式如下：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的半长轴长度，ε代表椭圆的离心率。
（三）双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以写为：r = a(1 + εcosθ) / (1 - εcosθ)其中，a代表双曲线的焦距，ε代表双曲线的离心率。
（四）抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为：r = a / (1 + cosθ)其中，a代表抛物线的焦点到准线的距离。
通过以上例子可以看出，圆锥曲线的极坐标方程形式多样，每一种形式代表了不同的曲线类型和特征。
研究圆锥曲线时，可以根据需要选择不同的极坐标方程进行分析。
二、圆锥曲线的参数方程除了极坐标方程外，参数方程也是描述圆锥曲线常用的一种形式。
在参数方程中，圆锥曲线的坐标可以通过参数t的取值得到。
一般来说，圆锥曲线的参数方程具有以下形式：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)分别表示曲线的x坐标与y坐标，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而定。
以下是几种常见圆锥曲线的参数方程及其解析过程：（一）圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = asin(t)其中，a代表圆的半径，t取值范围通常为0到2π。
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线的二级结论主要包括以下几个内容：
1. 曲线相关定理：包括焦点、准线、直角等定理。
例如，椭圆的焦点定理指出，椭圆上任意一点到焦点的距离之和是一个定值。
2. 极坐标方程：用极坐标方程表示圆锥曲线。
例如，椭圆的极坐标方程为$r = \frac{p}{1-e\cdot\cos\theta}$，其中$r$为极径，$p$为半焦距，$e$为离心率。
3. 集中思路：圆锥曲线的性质与方程的意义。
例如，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为横轴
半径，$b$为纵轴半径。
根据这个方程可以得到双曲线的离心
率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，并且根据离心率可以确定双
曲线的形状。
4. 曲线的性质：包括切线、法线、渐近线、对称性等。
例如，椭圆的切线与法线切点形成的角度为直角；双曲线的两支曲线的渐近线方程为$y=\frac{\pm b}{a}x$。
5. 常见问题：周长、面积、焦距、离心率等计算问题。
例如，椭圆的面积为$S=\pi a b$，焦距为$f=\sqrt{a^2-b^2}$。
总的来说，数学圆锥曲线二级结论是指对圆锥曲线的进一步研究，包括基本定理的推导、曲线的性质和相关问题的解答等。
这些二级结论可以帮助我们更深入地理解和运用圆锥曲线。
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当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex；
3、若F是抛物线的焦点，PFx
p. 2坐标曲线题
题型研究
题型一坐标曲线题
热点题型精讲
坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
类型一溶解类
解读：一定温度下，向一定量A物质的饱和溶液中加入A物质。A不再溶解，溶质质量分数不变。
解读：一定温度下，向一定量A物质的接近饱和的溶液中加入A物质。A溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数先增大，后不变。
类型二pH曲线
1.溶液稀释时pH的变化
解读：稀释碱性溶液时，开始时溶液的pH﹥7，随着加水量的增加，pH不断减小，但不会小于7。
ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos
其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PFe，∴PFe(PFcosp)，其中pFH，〈x轴，FP〉∴焦半径PFep．1ecos
解读：同一反应，催化剂只影响化学反应速率，不影响生成物的质量。若横坐标为反应时间，由图像的斜率可以看出加入催化剂后化学反应速率明显加快，但生成物质量不变。化学反应前后物质总质量不变。
3.催化剂质量曲线
解读：化学反应前后，催化剂的质量不变。
4.溶液质量曲线
解读：固体物质与溶液反应时，消耗的固体物质比溶液中析出固体物质的质量大时，随着反应的进行，溶液质量增大，反应结束后，溶液质量不再改变。
【解析】
2.(2016连云港)下列图像不能正确反映其对应变化关系的是
A.用等质量、等浓度的过氧化氢溶液在有无催化剂条件下制氧气
B.一定质量的红磷在密闭容器中燃烧
C.向等质量、等浓度的稀硫酸中分别逐渐加入锌粉和铁粉
D.向一定质量的氯化铜和稀盐酸的混合溶液中逐滴加入氢氧化钠溶液
椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．
其他类
1.电解水气体质量曲线
解读：电解水时产生氢气的体积是氧气的2倍。
2.加热高锰酸钾制取氧气时固体中锰元素的质量分数曲线
解读：高锰酸钾加热分解生成氧气和锰酸钾，反应后固体质量减少，锰元素质量不变，所以锰元素的质量分数先变小，待反应结束后保持不变。
例下列四个图像能正确反映对应的实验操作的
是
A.向一定量的饱和石灰水中不断加入生石灰
ep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF
推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有
112. MFNFep
三、圆锥曲线的焦点弦长
若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，
epep2ab2a2b2
c1、椭圆中，p，MN222. cc1ecos1ecos()accos
2、双曲线中，
epep2ab2
若M、N在双曲线同一支上，MN；1ecos1ecos()a2c2cos2
epep2ab2
若M、N在双曲线不同支上，MN. 1ecos1ecosc2cos2a2
3、抛物线中，MNpp2p. 21cos1cos()sin
四、直角坐标系中的焦半径公式
设P是圆锥曲线上的点，
1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1aexPF2aex；
2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，
【方法指导】解答此类试题要做到“四看”：
一看横纵坐标代表的含义；
二看曲线的起点、拐点、交点和终点，如一氧化碳还原氧化铁完全反应后产物为铁，固体质量不可能为零。
三看曲线的斜率；
四看特征；
再结合其他相关知识解答。
热点题型精练
1.向甲物质中逐渐加入乙物质至过量。若x轴表示加入乙物质的质量，则下列选项与图不相符合的是
解读：固体物质与溶液反应时，消耗的固体质量比溶液中析出固体物质的质量小时，随着反应的进行，溶液质量减小，反应结束后，溶液质量不再改变。
5.固体质量曲线
解读：反应物为固体，生成物为固体或非固体时，固体质量随反应的进行先减小，后不变，如高温煅烧石灰石、加热高锰酸钾制取氧气。
6.气体质量曲线
解读：一般情况下，金属和混合盐溶液反应时，较活泼的金属优先与最不活泼的金属反应；酸与碱的反应也优于酸与盐的反应，据此可判断出产生的气体的时机，进而根据生成物质量曲线进行判断。
B.向等质量的锌、铁中滴加等质量分数的稀盐酸
C.向一定量的氧化铁中通入一氧化碳气体并持续高温
D.向一定量的氢氧化钠和氯化钡的混合溶液中滴加稀硫酸
【解析】生石灰是氧化钙的俗称，氧化钙与水反应生成氢氧化钙，消耗了溶剂，则溶质会析出，A错误；等质量锌、铁与等质量分数的稀盐酸反应，产生氢气的质量铁大于锌，横坐标为稀盐酸，质量相等的酸提供的氢元素质量相等，则产生的氢气质量相等，因此斜率相同，B正确；三氧化二铁与CO在高温的条件下反应生成铁和二氧化碳，固体质量不可能为0，C错误；稀硫酸加入后立即产生硫酸钡沉淀，所以应从0点开始，D错误。
解读：稀释酸性溶液时，开始时溶液的pH﹤7，随着加水量的增加，pH不断增大，但不会大于或等于7。
2.酸碱中和过程中pH变化
类型三化学反应中的质量曲线
解读：随着反应的进行，反应物质量不断减少，直至不变
解读：随着反应的进行，反应物质量不断减少，直至为零
解读：若横坐标为加入物质质量，
A、B反应结束时，生成物质量达到最大，继续加入B物质，生成物质量仍保持不变；若横坐标为反应时间，随着反应的进行，生成物不断增大，当反应结束时，生成物质量达到最大，随着时间增大生成物质量保持不变。