17.2一元二次方程的解法--因式分解法
专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、3因式分解法目标一用因式分解法解一元二次方程习题课
(3)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.
解：将x＋2看作一个整体， 分解因式，得[(x＋2)－4]2＝0， 即(x－2)2＝0. 解得x1＝x2＝2.
9 阅读材料： 由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该 式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式 分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 示例：分解因式： x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).
【点拨】 阅读材料，用类比法确定a，b的值，从而用因式分解
法解方程．
分两种情况： ①当AB＝AD＝4时，4＋4＝8，不能构成三角形，不 符合题意； ②当AB＝AD＝6时，6＋6＞8，符合题意． ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24. 故选B.
7 小红解方程(x－2)2＝2－x，只得到一个根为x＝1，其 错误原因是_____未__考__虑__x_－__2_＝__0_____，漏掉的根是 _____x_＝__2____.
边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为 2，故选A.
6 【中考·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8， 边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形 ABCD的周长为( B ) A．16 B．24 C．16或24 D．48
【点拨】 如图所示．假设BD＝8. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD. x2－10x＋24＝0， 因式分解，得(x－4)(x－6)＝0， 解得x＝4或x＝6.
5 【中考·张家界】已知等腰三角形的两边长分别是一元 二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底 边长为( A ) A．2 B．4 C．8 D．2或4
【点拨】 x2－6x＋8＝0， (x－4)(x－2)＝0， 解得x＝4或x＝2. 当等腰三角形的三边长为2，2，4时，不符合三角形
一元二次方程的解法—因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法1.因式分解法：将一元二次方程先因式分解为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
这种解法叫做因式分解。
2.因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边化成两个一次因式的积；（3）令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
同步练习用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；(3)x2＝7x； (4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．。
17.2一元二次方程的解法—配方法
知识回顾：
“配方法”解方程的基本步骤：
1.化1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边同加一次项系数 一半的平方;配成( x + m ) 2 = n 4.开平方:化成一元一次方程
5.求解：解一元一次方程 6.定解 ：写出原方程的解
拓展提高
用配方法说明：不论 k 取何实数,多项式
把二次项系数化为1(方程的两边同时
除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解.
★一化、二移、三配、四开、五求、六定.
用配方法解下列方程，配方错误的是（ C ）
概念巩固
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
因式分解的完全平方公式
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
完全平方式
2ab b (a b) .
2 2
填一填
(1) x 2 x _____ ( x ___)
2 2 2 2
1
(2) x 8 x _____ ( x ___)
2
2
1 4 5 2
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a ,x 2 a 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 式,右边是一个非负常数，然后用直接开平方法求 解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
两边加上32,使左边配 成完全平方式
2
( x 3) 5
一元二次方程的解法因式分解和因式分解
一元二次方程的解法因式分解和因式分解一元二次方程是代数学中非常重要的一个概念，它在解决实际问题中有广泛的应用。
在解一元二次方程的过程中，我们可以运用因式分解和求根公式两种方法。
本文将从这两个方面来详细介绍一元二次方程的解法。
我们来介绍因式分解法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
我们可以通过因式分解将其转化为两个一次方程的乘积形式，进而求解方程。
以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们首先要找到两个数的和为5，乘积为6的特性。
根据这个特性，我们可以将方程分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
通过零乘积法则，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，进而解得x的值分别为-2和-3。
所以，原方程的解为x = -2或x = -3。
通过这个例子，我们可以看到因式分解法可以将原方程转化为两个一次方程，从而更容易求解。
但需要注意的是，并不是每个一元二次方程都可以通过因式分解法求解，因为它要求方程的系数能够被分解成两个数的乘积。
接下来，我们来介绍另一种解一元二次方程的方法——求根公式法。
求根公式是利用二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0中的系数a、b、c计算方程的解。
具体求根公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
同样以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们可以根据求根公式计算出方程的解。
将a、b、c代入公式中，得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*1*6)) / 2*1，化简后可得x = -2或x = -3，与因式分解法得到的结果一致。
通过这个例子，我们可以看到求根公式法可以直接利用方程的系数计算出解，不需要进行因式分解的步骤。
但需要注意的是，在使用求根公式时，我们需要保证方程中的判别式b^2 - 4ac大于等于0，否则方程将无实数解。
因式分解法和求根公式法是解一元二次方程常用的两种方法。
一元二次方程的解法—因式分解
∴x+6=0，或x-4=0． ∴x1=-6， x2=4．
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22 2 a2 6a 9 原式 x 32 3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
注意： 1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解， 而右边等于零; 2．关键是熟练掌握因式分解的知识; 3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么 至少有一个因式等于零．”
我思 我进步
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法： am+bm+cm=m（a+b+c）．
（2）公式法： 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0来自 x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗？
我思 我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式．
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解 因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次 方程的方法称为分解因式法．
解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
例题欣赏 ☞
例3 解下列方程：
（1）x（x-2）+x-2=0；（2）5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：x(x 2) x 2 0， 解：移项，合并同类项，得：
x 2 x 1 0.
x 2 0，或x 1 0.
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得 x2 3x.
17.2一元二次方程求根公式(第4课时)(2种题型基础练+提升练)(解析版)
17.2一元二次方程求根公式（第4课时）（2种题型基础练+提升练）考查题型一 公式法解一元二次方程1.24x -【答案】1x =2x =【详解】解：∵4a =，b =-1c =．∴(()22444148b ac D =-=--´´-=，∴x =，∴1x =2x =．2.解方程：220x --=【答案】122, 2.x x =-【详解】解：由题意得：1,2,a b c ==-=-(()22441216b ac \=-=--´´-=V ＞0,2,x \==122, 2.x x \=+=3．解方程：21-【答案】12x x ==【详解】解：23410x x --=a=3, b=-4, c=-1,∴()()2244431280b ac D =-=--´´-=>方程有两个不相等的实数根=即12x x =4．解方程： 2430x x +-=【答案】1222x x =-=-【详解】解：其中143a b c ===-，，，22428b -=得2x ====-即2x =-2x =-所以原方程的根是1222x x =-=-5.解方程：23【答案】12x x ==【详解】原方程可化为：23620x x --=x =12x x ==6.解方程：21=(用公式法)【答案】x 1x 2．【详解】解：23410x x --=，24b ac -=()()24431--´´- =28，x 1x 2．7.解方程：x 2﹣12x ＝4【答案】x 1＝26x =-【详解】解：2124x x -=，21240x x --=，1a =Q ，12b =-，4c =-，\△2(12)41(4)1600=--´´-=>，则6x ===±16x \=+26x =-．8.解方程：（x +2）（x ﹣3）＝4x +8；【答案】x 1=7，x 2=-2【详解】解：方程整理得：x 2-5x -14=0，则a =1，b =-5，c =-14，∵b 2-4ac =25+56=81＞0，∴x =592±，解得：x 1=7，x 2=-2．9．解方程：()()2131x x -+=【答案】1x =，2x =【详解】解：方程整理得：22540x x +-=，这里2a =，5b =，4c =-，Q 224542(4)570b ac D =-=-´´-=>，x \=即1x 2x =．10．用公式法解方程：x 2﹣﹣3＝0．【答案】x 1x 2【详解】解：∵x 2x -3=0，∴13a b c ==-=-，，∴()22Δ=4=-41-3=8+12=20b ac -´´，∴x ==，∴x 1x 211.解方程：230x --=．【答案】1x =，2x =-【详解】解：1a =Q ，b =-3c =-，224(41(3)81220b ac \-=--´´-=+=，x \===即1x =2x =考查题型二 公式法解一元二次方程的应用12.已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程212310x x -+=的一个根,则这个等腰三角形的腰长为_______.【答案】6+【详解】212310x x -+=公式法解得：1266x x ==（1）当腰长为6时，由周长可得，底边为202(68-´+=-（686->；（2）当腰长为6202(68-´=+系（668<+.13.阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x ===【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===．14.解方程：()()2210290x x --++=【答案】1277x x =+=-【详解】解：()()2210290x x --++=整理，得：21470x x --=1,14,7a b c ==-=-224(14)41-7b ac =-=--´´V （）=224>0∴7x ===±1277x x =+=-15.用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．16.用公式法解下列方程：（120x --=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【答案】（1）221-=x ，22=x ；（2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵1a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ；（2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ；（3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ．17.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．【解析】（1）∵c b 42+=D ，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：22100x a --=，∵2222400a b a D =+≥，∴原方程的解为：1x ，2x =．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．18.设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．【答案】1、4、9、16、25、36、49【详解】将方程整理得：x 2﹣（2m +4）x +m 2+4＝0，∴x 2+m ，∵x ，m 均是整数且1≤m ≤50，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1、4、9、16、25、36、49．19．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？ ()()310=1x x +-解：()31x +=或()10=1x -．解得2x =-或11x =．所以12x =-，211x =．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取()3x +与()10x -的平均值72x æö-ç÷èø，即将()3x +与()10x -相加再除以2．那么原方程可化为713713=12222x x æöæö-+--ç÷ç÷èøèø左边用平方差公式可化为22713=122x æöæö--ç÷ç÷èøèø．再移项，开平方可得x =请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x 的方程()200++=¹ax bx c a 的求根公式（此时240b ac -≥）．【答案】)240x b ac =-≥【详解】∵()200++=¹ax bx c a ∴2b c x x a a+=-∴b c x x a a æö+=-ç÷èø 取x 与b x a æö+ç÷èø的平均值2b x a æö+ç÷èø，即将x 与b x a æö+ç÷èø相加再除以2，即b 2x b a x 22a+=+ 那么原方程可化为：2222b b b b c x x a a a a a æöæö+-++=-ç÷ç÷èøèø 左边用平方差公式可化为：2222b b c x a a a æöæö+-=-ç÷ç÷èøèø 再移项可得：222224244b c b ac b x a a a a -+æö+=-+=ç÷èø240b ac -≥Q开平方可得：b x 2a =-±2b a -=．。
一元二次方程的解法--因式分解法PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
C、x1 2, x2 4 D、 x1 2, x2 4
2、假如方程 x 2 3x c 0 有一种根为1，
那么c= ，该方程旳另一根为
。
3、用合适旳措施解下列方程
（1）25y 2 16 0 （2）(x 2)2 3x 6
（3）(6y 5)(6y 5) 24 0（4）x2 2 5x 10 0
2、把小圆形场地旳半径增长5得到大圆形 场地，场地面积增长了一倍，求小 圆形场地旳半径。
画龙点睛:
归纳：用因式分解法解一元二次方程，将方程
化为形如：A· B=0旳形式，则A=0或B=0.（A、 B为整式）
（1）ma mb 0 m(a b) 0
则： m 0 或 a b 0
（2）m(a b) n(a b) 0 (a b)(m n) 0
变式1：解方程：x(x 2) x 2 0
解：因式分解，得：(x 2)(x 1) 0 于是得：(x 2) 0 或 (x 1) 0 ∴ x1 2 ； x2 1
相应练习：3x(x 1) 2(x 1)
变式2：解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：移项、合并同类项，得：4x 2 1 0
＆22.2.3一元二次方程旳解法 因式分解法
温故知新:
1、我们学习了解一元二次方程旳哪些措 施？ 直接开平措施、配措施、公式法
2、因式分解旳措施： （1）提公因式法：
ma mb mc _________
（2）公式法：
a 2 2ab b2 ___________ a 2 2ab b2 ___________
3、用合适旳措施解下列方程
（1）( y 2)( y 3) 0 （2） x 2 2x 0
（3） 7x 2 21
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1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解 法来解？ 2、用因式分解法解一元二次方程，其关键 是什么？ 3、用因式分解法解一元二次方程的理论依 据是什么? 4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化 成一般形式吗？
(默1) 当一元二次方程的一边是0,而另一边易 于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解 因式解一元二次方程的方法称为因式分 解法. 提示: 1.用因式分解法的条件是:左边能分解， 右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
一元二次方程 ax2+c=0 适当的解法 开平方法 因式分解法 公式法,配方法
ax2+bx=0
ax2+bx+c=0
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
5分钟时间自学课本内容，并寻找下面各题答案， 比一比，看谁找得又快又好 。
( 2) 2 y 3 y
2
解：2 y 3 y 0
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
(3) x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
解：原方程变形为
( x 1)[( a b) x ( a b)] 0
1 ab
1 ( a b)
x 1 0或(a b) x (a b) 0
a b 0, 原方程的根为 a b x1 1, x2 . ab
我最棒 1.
2
,用分解因式法解下列方程
2
解：原方程变形为 ( x 3 )( x 2 ) 0
x 3 0或x 2 0,
x1 3 , x2 2 .
练习：用因式分解法解下列方程
(1)5 x 4 x 0
2
解：x(5 x 4) 0, x 0或5 x 4 0, 4 x1 0, x2 . 5
17.2 因式分解法解一元二次方 程
回顾与复习 1
1.一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个
2、我们已经学过了几种解一元二次 方程的方法? 直接开平方法、配方法、公式法 3、什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交 流并完成下表
(4) x x
2
2
(默2)
解：移项，得 x x 0, x( x 1) 0
x 0, 或x 1 0, 原方程的解为 : x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根， 那么一定有两个实数根.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (默3) 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)将方程左边因式分解，右边等于0; (2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (3)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
(
)
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = B解
例 解下列方程 1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解题步骤演示
(默5)
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个 一次因式 的乘积 至少有一个一次因式为零 得到两个一元一次方程 x－2=0或 x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4 两个一元一次方程的解 就是原方程的解
(4 x 3) ( x 3)
2
2
(默6)
解：移项，得 (4 x 3) ( x 3) 0,
2 2
(4 x 3 x 3)( 4 x 3 x 3) 0 5 x(3 x 6) 0,
5 x 0或3x 6 0, x1 0, x2 2.
x1 3, x2 4.
( 4)t (t 3) 28
解：整理，得 t 3t 28 0,
2
(t 4)(t 7) 0, t 4 0或t 7 0,
t1 4, t2 7.
解关于x的方程 x 2ax a b 0
2 2 2
4.x1 3, x2 6.
3
6.x 12x 27 0;
6.x1 3, x2 9.
选择题训练
1.对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是( B ) （A） x-a=0 （C） x-b=0 （B）x-a=0或x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 （C）2 （C）-1和0
因式分解法
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x ( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3 x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
例1、解下列方程
(1)3 x( x 2) 5( x 2)
(2)(3x 1) 5 0
2
解：移项，得
3 x( x 2) 5( x 2)
( x 2) (3 x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = A解
通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交 流并完成下表
一元二次方程 ax2+c=0 适当的解法 开平方法 因式分解法 公式法,配方法
2 2
证明：由2 x 11xy 15 y 0，得
2 2
( x 3 y )(2 x 5 y ) 0,
x 3 y 0或2 x 5 y 0,
x 3 y或2 x 5 y.
用因式分解法解关于 x 的方程： 2 (a b) x 2bx a b 0(a b 0）
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个 不等于零的数，所得的结果仍是 等式.
(4) x x
2
解： (1)当x 0时，左边 0 0，右边 0.
2
左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时, 方程的两边同除以x，得 x 1 原方程的解为x1 0, x2 1.
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 缺少一次项常用开平方法,缺少常数项常用因式分 解法,当一边为零另一边易因式分解时也常用 因式分解法 ________________.
ax2+bx=0
ax2+bx+c=0
用因式分解法解下列方程：
(1)( x 5)( x 2) 18
解：整理原方程，得 x 3x 28 0
2
( x 7)( x 4) 0 x 7 0, 或x 4 0,
x1 7, x2 4.
( 2) x ( 3 2 ) x 6 0
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
简记歌诀： (默4) 右化零 左分解
两因式
各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
2、方程x(x-2)=2(2-x)的根为(C )
（A）-2 （ B） 2 （D）2、2
3、方程(x-1)² =(1-x)的根是(D )
（ A） 0 （ B） 1 （D）1和0
解： [ x (a b)][ x (a b)] 0
1 1