1集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟)
其中都是开区间，指标集I可以是有限的，也可以是无限集。
若a，b中每一点x，必含于开区间族的某一区间
中，则称区间 a，b 被所覆盖，或覆盖了区间a，b 。 定理1.6 （Heine－Borel有限覆盖定理）
若闭区间a，b被一个开区间族＝ | I覆盖，则必能
从中选出有限个开区间族：
B＝ i | i＝1，2，...,n，i
定理1.2 （Bolzano Weierstrass 定理)
任何有界数列必有收敛子列。
证 设xn 为有界数列，则存在上下界a, b, 即a < xn< b。 两等分a,b，其中至少有一个分区间，记为a1,b1 ,
含有xn中无穷多个点。 a
a1
a2
b2
b1
b
两等分a1,b1，其中至少有一个分区间,记为a2,b2 ,
于是由上确界的定义知， x* A, 使 < x* c < 。
从而
cA 。
最后要证明 c＝b 。
反证法，若c < b，则在（, ）中还必存在A中的 x* A，
这与c是A的上确界相矛盾。故 c＝b。
利用Heine－Borel定理可以证明定理1.1。
定理1.1 （Contor闭区间套定理）
证 设 an,bn 为任一闭区间套，要证明至少存在
则
x A C， 或 x B C 。
从而, x C 且 x A 或 x B，即 x （A B） C，
（A C）（B C）（A B） C 。
因此 （A C）（B C）＝（A B） C。
转换律: A\B＝A BC;
对偶原理；（De－Morgen原理）
(1) (
A )C＝
A
C
,
(2) (
A )C＝
例1.7 (0，1]能被开区间：
( 1 ，3 ),( 1 ，3 ),( 1 ，3 )，...,( 1 ，3 ),... 所覆盖，
22 44 88
2n 2n
但却不能从中选出有限个来覆盖(0，1]。
例1.8 [0,2]可以被区间族：
[0,1 ),[ 1 ，2 ),[ 2，3 ),...,[ n 1， n )及[1,2]所覆盖，
且
lim
n
an＝lnim
b
n＝
由于每一个an ,bn 中含有无穷多个xi，所以先取
xn1 a1,b1 ，再取xn2 a2,b2 ，且n2 n1,
如此继续下去，可取出使xnk ak ,bk ，且nk1 nk ,
所以
ak xnk bk ,
k=1,2,3,......
lim
n
(bn
含有xn中无穷多个点，且 a2,b2 a1,b1；
以此类推，可得到一个闭区间列an,bn ，n=1，2，...
其中每一个an ,bn 都包含了无穷多个xn ,且
... an ,bn an-1,bn-1 ... a2,b2 a1,b1
由此构造可知 an,bn 为一个闭区间套。
由定理1.1，必存在
第1章 集合论与实分析基础
1.1 集合的定义
集合已被广泛应用在现代数学的各个方面，尤其是应用在 经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。
例1.1 {(x,y)|x2＋y2＝1}表示以原点为中心，半径为 1 的
圆周上点的全体。
例1.2 {x|u(x）=}表示消费者的效用值为的商品组合 的全体,即为一条效用值为的无差别曲线。
例1.3 (y) = {(x1, x2） R＋ 2 | y Ax1x12－ } 例1.4 C[a, b] {f(x) | f(x)为[a, b]上的连续函数}
1.2 集合及其运算
并：A B＝{x | x A,或x B} 交：A B＝{x | x A,且x B} 差：A \ B ＝{x | x A,但x B}
一个
n＝1
an ,bn
，即
n＝1
an ,bn
。
反证法
若
n＝1
an
,bn
＝，不妨设所有的an
,bn
＝
由对偶原理,
n＝1
an ,bn
的余集为
n＝1
an ,bn
c
＝
n=1
an ,bn
c ＝R a,b
其中 an ,bn c＝（-, an）（bn,+）是两个开区间之并
由有限覆盖定理，必存在有限个 ani ,bni c ,使
，使
n=1
an
,
bn
最后我们要证明，是唯一的。
若有两个1，2，使1，2
n=1
an
,
bn
，不妨设
1 2，
则
an 1 2 bn ,
（n=1，2，......)
由已知条件知
lim
n
an＝ lnim
b
n
1 2
思考题：有限覆盖定理中，a,b 为闭区间，若把它改为
开区间 a,b ,定理1是否必成立?
(2) 闭区间an ,bn 的长度数列，bn－an n 0
则称这个闭区间列为一个闭区间套。
定理1.1 Contor闭区间套定理。（当作公理承认）
设an,bn 为任意一个闭区间套，则必存在唯一的实数，
使 an,bn ，n=1，2，..., m,...，即
n1
an ,bn
，且
lim an = lim bn
余：Ac＝ {x | x A} 集合的运算规则： 交换律： A B＝B A，A B＝B A;
结合律：（A B） C＝A （B C）, （A B） C＝A （B C）;
分配律： (A B） C＝（A C）（B C）, （A B） C＝（A C）（B C）;
吸收律； 若A B，则A B＝B；A B＝A, A , A \ B＝，A ＝A;
A
C
。
De－Morgen原理的证明。
(1) x ( A)C x A ，x A
，x A x
A ,
(
A)
A
C
C
C
C
另一方面， x
A
C
，x
A
C
，x
A
x A x ( A)C ,
A
C
(
A )C
(
A )C＝
A
C
（2）由（1）可以证（2）。
因为
所以
(
A
C
)C＝
(A
C
)C＝
使 B 覆盖a，b,称B为的对a，b有限子覆盖。
证令
A＝x* | x*a,b, 且a，x *能被中有限个开区间覆盖
则 a A， A 。
另一方面A是一个有界集，由定理1.5，A有上确界，
令 c = sup A，显然c b，从而c a，b，
设中取一个开区间含有c，令此开区间为（，） ，
则
c <
xn k k a
现在来证明
lim
n
x
＝a
n
事实上， > 0, K, 当 k>K 时，有 xnk a / 2 。
由设xn为Cauchy数列，故 N1,当 k N1时，
因而 nk k N1 时，故有 |xk xnk | / 2
当 N maxK, N1时，则当 k>N 时，
|xk a | xk xnk xnk a / 2 / 2
数列x
n
n=1
收敛的充要条件是它为基本数列。
证（
）设
x
n
n=1
为收敛数列。令x
n
a，则
>0，N，当m，n N时，有
xn a / 2, xm a / 2
xn xm xn a a xm | xn－a|+|xm a |
即xn 为Cauchy数列。
（ ）设xn为Cauchy列，首先我们来证xn为有界数列。
通俗的说，数集A的上确界是A的最小上界；
数集A的下确界是A的最大下界。
x
A M－ ()
M
M=supA
x m+ A
( )
m
m=infA
思考题：若A的上确界M，问M是否一定属于A?
注意：设M＝supA，则M可能属于A；也可能不属于A 。 例如 设 A = [a,b], 则 M = supA = b A；
-
an ) 0 ,
lim
n
an＝lnim
b
n＝
因为 {xnk
}为 {xn }的子列，故
lim
k
x nk＝
。
定义
设
xn
n=1
为一个数列，若当m，n
时,
有 xn - xm 0, 即 0 ， N , 当 m，n N 时,有 | xn - xm |
则称该数列为基本数列或Cauchy数列。
定理 1.3 （完备性定理）
故
lim
k
x
mk
,
这与{x n }为有界数列得假设矛盾，定理1.4得证。
定义:设A为一个数集，若M为A的一个上界，且对
任意 0, 必存在A中的x，使 x > M- ,则称M为A的上确界，
记为
M＝supA
同理，若m为A的一个下界，若对任意 0，必存在A中
的x，使x m , 则称m为A的下确界，记为 m＝infA 。
若 设 A＝ [a,b), 则 M = supA = b A 。
定理1.5 （确界存在定理） 上有界的数集必有上确界； 下有界的数集必有下确界。
证 设A为有上界的数集，取最小的整数上界为r0 将每个单位区间二等分，在以2为分母的有理数中取 最小的上界为r1 ；再将每个单位区间22等分，在以22为分母 的有理数中取最小的上界为r2，在以22为分母的有理数中 取最小的上界为r2；......
交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。
实变函数论之集合与点集
实变函数论之集合与点集集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C 表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5}; 一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a 是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为a A.给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为A B 或B A;进而,若同时有A B和B A，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1 集合及相关概念共23=8个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为2 A.1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算, 并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1 任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B 的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB; 推而广之,给定集合族{Aα}α∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}; (1.1)∩α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}. (1.2) 集合{x|x∈A且x B}称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知A B,则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB 简记为B c.而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例 1.1.2 设A j=x0≤x≤1+1j,j=1,2,…,B i=x-1+1i≤x≤1-1i,i=1,2,…,C k=x-1k<x∩nj=1A j=x0≤x≤1+1n, ∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m,∩pk=1C k=x-1p<x<1p.其中n,m,p∈N.由此知∩∞j=1A j={x|0≤x≤1}, ∪∞i=1B i={x|-1<x集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A, A∪A=A, A∪=A, A∩=.(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα).(4) 大小关系(A∩B)A(A∪B).(5) 若AαBα,α∈Γ,则∪α∈ΓAα∪α∈ΓBα, ∩α∈ΓAα∩α∈ΓBα;特别地,若AαC或C Bα,α∈Γ,则∪α∈ΓAαC, C∩α∈ΓBα.证明下面仅证A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα).任取x∈A∩∪α∈ΓBα,则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈Γ(A∩Bα),由x的任意性得A∩∪α∈ΓBα∪α∈Γ(A∩Bα).反过来,任取x∈∪α∈Γ(A∩Bα),则α0∈Γ,使得x∈A∩Bα0,即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A 且x∈∪α∈ΓBα,故x∈A∩∪α∈ΓBα,由x的任意性得∪α∈Γ(A∩Bα)A∩∪α∈ΓBα.综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-B=A∩SB;(2) 若A B,则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De Morgan）律）若A,B X,则(A∪B)c=A c∩B c, (A∩B)c=A c∪B c.一般地∩α∈ΓAαc=∪α∈ΓA cα,∪α∈ΓAαc=∩α∈ΓA cα.证明下面仅证对偶律：若A,B X,则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义,(A∪B)c={x|x∈X且x A∪B}={x|x∈X,x A且x B}={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合{A n} (n=1,2,…）称为集合列,也可记为{A n}∞n=1.属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞A n,或lim n→∞ sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为</x</x<1p.</xlim n→∞A n或lim n→∞ inf A n.等价地,lim n→∞ sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k},lim n→∞ inf A n={x|存在n0∈N,当n≥n0时,x∈A n}.由此知,lim n→∞ inf A n lim n→∞ sup A n.进而,对于给定集合列{A n},若其上、下极限相等,则称集合列{A n}收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列{A n},则lim n→∞sup A n=∩∞n=1∪∞k=nA k, lim n→∞ inf A n=∪∞n=1∩∞k=nA k.证明利用lim n→∞sup A n={x|n∈N,k≥n,使得x∈A k} (1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记A=lim n→∞sup A n,B=∩∞n=1∪∞m=nA m.事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪∞m=nA m,故x∈B,继而A B.反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪∞m=nA m,即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而B A,从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列{A n}满足：A n A n+1,n∈N,则称{A n}是单调增加集合列；若A n A n+1,n∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若{A n}为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪∞n=1A n;若{A n}为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例 1.1.3 设{A n}是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗, m=0,1,2,…,A2m=0,1+12m〗, m=1,2,….我们来确定{A n}的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个A n,n=1,2,…,而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12nN(x)时,x A2n,但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即{A n}中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即{A n}中不含有x的集合不会是有限个.又区间\lim n→∞ sup A n=\n→∞ inf A n=\.例1.1.4 设{A n}为：当n=2k时,A2k=(x,y)0≤x≤2k,0≤y≤12k, k∈N;当n=2k+1时,A2k+1=(x,y)0≤x≤12k+1,0≤y≤2k+1, k∈N.则lim n→∞ sup A n={(x,0)|x≥0}∪{(0,y)|y≥0}; lim n→∞ inf A n={(0,0)}.定义1.1.3 设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y)=(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为X 2.例 1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1. 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是B=;(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).2. 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.3. 设{A n}是一集合列，作B1=A1,B n=A n-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证{B n}互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.4. 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x: f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)g(x)|>a}{x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.5. 试证：(1) ∪∞i=1(A\\B i)=A∩∞i=1B i; (2) ∩∞i=1(A\\B i)=A∪∞i=1B i.6. 设A2n-1=0,1n,A2n=(0,n),n=1,2,….求出集合列{A n}的上限集和下限集.7. 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, k=1,2,…,求集合列A n的上限集和下限集.8. 设A n=mn: m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞ supA n=Q,lim n→∞ inf A n=Z.9. 设{f n(x)}是\上的一列函数,且存在E\使得lim n→∞f n(x)=1, x∈\\\E,0, x∈E.令E n=x∈\: f n(x)≥12,求集合lim n→∞E n.10. 设{f n(x)}以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使{f n(x)}不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx: |f n(x)-f(x)|≥1k. 11. 设εk>0 (k=1,2,…) ,εk随着k→∞单调下降趋于0.f(x),f n(x) (n=1,2,…）定义在E上,lim n→∞f n(x)=f(x)(x∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪∞k=1lim n→∞E\;(2) E\=∩∞k=1lim n→∞E\;(3) E\=∪∞k=1lim n→∞E\.注： E\={x∈E|f(x)>a}.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1 给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ: X→Y并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y 中对应元y称为x在映射φ下的像,x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为φ-1(y).φ(X)={y|y=φ(x),x∈X}Y称为映射φ: X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y 上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集φ-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当φ(x1)=φ(x2)时必有x1=x2,则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即φ-1: φ(X)→X,φ-1(y)=x,当φ(x)=y 时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ: X→Y,及A X,Bφ(X),则A的像集为φ(A)={y|y=φ(x),x∈A},B的原像集为φ-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ(Aα), φ∩α∈ΓAα∩α∈Γφ(Aα);φ-1∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ-1(Aα), φ-1∩α∈ΓAα=∩α∈Γφ-1(Aα).例1.2.1 给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,0,x A.于是A→χA是从X的幂集2X到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：χA(x)≤χB(x)A B,χA(x)χB(x)=0A∩B=.1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A 与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3 设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数n0使得A与{1,2,…,n0}一一对应,而{1,2,…,n0}由n0唯一确定,于是可以认为=n0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:x→tanπx-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3 任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4 给定两个集合A和B,若存在B的子集B1使得A～B1,则称A的基数不大于B的基数,记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ: A→φ(A)B,及双射ψ: B→ψ(B) A.下面用迭代法寻找A′A及B′B,使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′, ψ(B′)=A\\A′,等价地A′=A\\ψ(B′), B′=B\\φ(A′). (1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), B1=B\\φ(A1),A2=A\\ψ(B1), B2=B\\φ(A2),A n=A\\ψ(B n-1), B n=B\\φ(A n),由上述构造知,A i A,B i B,i=1,2,….注意到ψ是一一映射,于是有ψ∩∞i=1B i=∩∞i=1ψ(B i),再结合德摩根律,有∪∞i=1A i=∪∞i=1(A\\ψ(B i-1))=A∩∞i=1ψ(B i-1)=Aψ∩∞i=1B i-1=Aψ∩∞i=1B i,此处记B0=B.类似地,可得∩∞i=1B i=∩∞i=1(B\\φ(A i))=Bφ∪∞i=1A i.从而,式(1.4)有解A′=∪∞i=1A i, B′=∩∞i=1B i.定义映射Φ(x)=φ(x),x∈A′,ψ-1(x),x∈A\\A′.由上述构造知,φ(A′)=B\\B′,ψ-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设A B C,A～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令A*={x: x∈A,φ(x)∈B},则A*A,A*～B,取B*=A,则自然有B*～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.2.3 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5 与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={a1,a2,…,a n,…},反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3 任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定a1∈A,因A\\{a1}仍然是无限集,再任意取定a2∈A\\{a1},依次类推,在A\\{a1,a2}中取出a3,…,在A\\{a1,a2,…,a n}中取出a n+1,照此继续,即得A的可数子集{a1,a2,…,a n,…}.进一步,我们有下述定理.□ 定理1.2.4 若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设X∩Y=.若Y是可数集,记Y={y1,y2,…}.由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集X1={x1,x2,…},于是有分解X=X1∪(X\\X1).令φ: X∪Y→X,使得φ(x n)=x2n,φ(y n)=x2n-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的X1取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5 集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A 亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X\\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6 可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集,A1是A的一个无限子集.首先,因A1A,故A1≤;其次,因A1是无限集,由定理1.2.3可知,≤A 1.于是由伯恩斯坦定理得,A1=,即A1是可数集.□ 定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设A={a1,a2,…},B={b1,b2,…,b n}或B={b1,b2,…,b n,…}.(1) 先设A∩B=,由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a1,a2,…}；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令B*=B-A,则A∩B*=, A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故B*作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2 设A i(i=1,2,…,n)是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个A i是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设{A n} (n=1,2,…）是一列可数集.(1) 先设A i∩A j=(i≠j),因为A i都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…}, n,k=1,2,…, 从而∪∞n=1A n中元素可按下述方式排成一列：∪∞n=1A n={a11,a21,a12,a31,a22,a13,a41,…,a ij,…},规则是：a11排第一位,当i+j>2时,a ij排在第j+∑i+j-2k=1k位.因此∪∞n=1A n是可数集（注：当部分A i是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各A i可能相交,令A*1=A1,A*i=A i-∪i-1j=1A j (i≥2),则A*i∩A*j=(i≠j)且∪∞i=1A i=∪∞i=1A*i.由A i可数易知A*i都是有限集或可数集,如果只有有限个A*i不为空集,则由推论1.2.2 易知∪∞i=1A*i为可数集（因为至少A*1=A1为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）A*i不为空集,则由(1)知∪∞i=1A i=∪∞i=1A*i也是可数集,故在任何场合∪∞n=1A n都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集.例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-N为负自然数全体的集合. 因映射f: N→-N,f(n)=-n,建立了N与-N 之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,… (n=1,2,…),则A n (n∈N）是一列可数集,而Q+=∪∞n=1A n,从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2 若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5 元素(n1,n2,…,n k)是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例 1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n,则整系数多项式的全体可记为∪∞n=1A n，为可数集,其中A n={a a0,a1,…,a n}.代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为r n,则R上至少有一个单位长度的区间不含r1,不妨设此区间为I1=\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含r2,以I2表示这个区间,将I2三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含r3,记为I3,依此类推,可得一串闭区间{I n},满足：(1) I1I2I3…,且I n的长度趋于0;(2) r n I n,n=1,2,….由闭区间套定理知∩∞i=1I n≠,但对任意的m,r m∩∞i=1I n,换言之,∩∞i=1I n不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明,N与R不可能对等.例1.2.8 R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点x1,由柯西（Cauchy）收敛原理可知,f(x1-0)与f(x1+0)均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-f(x)<lim x→x1+f(x)=f(x1+0).表明x1对应开区间(f(x1-0),f(x1+0)).对于两个不同间断点x1和x2,由函数f(x)的单调性可得,开区间(f(x1-0),f(x1+0))与(f(x2-0),f(x2+0))互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.2.4 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9 开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记(0,1)={a(1),a(2),a(3),…}.而每个a(i) (i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,a(2)=0.a(2)1a(2)2a3(2)…,a(3)=0.a1(3)a(3)2a3(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令0.b1b2b3…满足：b n=1,当a(n)n≠1;b n=2,当a(n)n=1. 由上述构造知,0.b1b2b3…∈(0,1),但0.b1b2b3…{a(1),a(2),a(3),…}这与假设(0,1)={a(1),a(2),a(3),…}矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知c>0.例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理 1.2.10 设A1,A2,…,A n,…是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪∞n=1A n也有连续基数.证明注意到\N及\N,故∪∞n=1A n～∪∞n=1\即∪∞n=1A n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c. 类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11 任给一个非空集合A,2A是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则2A>.证明假若A～2A,则存在一一对应φ: A→2 A.于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集A0={x∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素a0与A0对应.由此,若a0∈A0，则与A0的定义矛盾；若a0A0，则由A0的定义知a0又应该属于A0,矛盾.于是A与2A不对等.进而,单点集全体形成2A的真子集,记为A ~,显然A ~～A,因此2A>.□例1.2.10 {0,1}N=c,其中{0,1}N记从自然数集N 到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ: f→∑∞n=1f(n)2n,则φ是从{0,1}N到(0,1\]的一一映射,于是有{0,1}N≤(0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n, x n∈{0,1}.令f x(n)=x n,n∈N,则f x∈{0,1}N.进而,定义映射φ: x→f x,x∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到{0,1}N的一一映射,于是有(0,1\]≤{0,1}N,再利用伯恩斯坦定理即得{0,1}N=(0,1\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即20=c.既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<习题习题1. 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的A,B X,有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的A,B X,若A∩B=,则f(A)∩f(B)=.2. 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的A Y,有f(f-1(A))=A.3. 设映射f: X→Y,AαX,BαY,α∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若Bα1Bα2,则f-1(Bα1)f-1(Bα2),αi∈I,i=1,2;(4) f-1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) f-1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) f-1(Y-Bα)=f-1(Y)-f-1(Bα).4. 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E,0,x∈X-E.如果A,B,A n(n=1,2,…)都是X的子集.证明：(1) χA∪B(x)=χA(x)+χB(x)-χA(x)·χB(x);(2) χA∩B(x)=χA(x)·χB(x);(3) χA-B(x)=χA(x)(1-χB(x));(4) χlim n→∞ sup A n(x)=lim n→∞ sup χA n(x);(5) χlim n→∞ inf A n(x)=lim n→∞ inf χA n(x).5. 设A1A2,B1B2,φ1,φ2分别是A1到B1,A2到B2的一一映射,问是否一定存在A2\\A1到B2\\B1的一一映射?6. 试构造(0,1)与\7. 试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.8. 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x1x2…x n|x k∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.9. 平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.10. 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.11. 如果A=∪∞n=1A n,=c,则至少有一个A n的势为c.12. 试证：若A B,且A～A∪C,则有B～B∪C.13. 证明： \上的全体无理数作成的集合其基数是c.14. 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集.15. 若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f(x+0)存在}是可数集.16. 证明\上的连续函数全体C\的势为c.17. 若对任意有限个x: x1,x2,…,x n,M>0,使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.18. 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3 R n中的点集1.3 R n中的点集1.3.1 n维欧氏空间R n R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2,定义两种线性运算：(1) 加法,x+y=(x1+y1,x2+y2);(2) 数乘,αx=(αx1,αx2),α∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义 1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R, i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地,R n关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间,e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,e n=(0,0,…,0,1)为R n 的一组基.沿用二维线性空间的称谓,R n也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n)∈R n,定义d(x,y)=∑ni=1(x i-yi)212, 则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=0x=y;(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是(R n,d(·))称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。
魏尔斯特拉斯简介。
1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。
康托简介。
2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
柯西建立了复变函数的微分和积分理论。
1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。
柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。
黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。
1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。
魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。
实分析答案
∥p
≤
1
lim (|E| + 1) p
p→∞
=
1
=
∥f ∥∞.
这样我们就完成了证明.
4.设 µ 是 Rn 上的寻常Lebesgue 测度, p, q ∈ (0, ∞) 且 p ̸= q. 请找一个 f ∈ Lp(Rn)\Lq(Rn).
解 1. 若 0 < q < p, 取函数
{
1, x ∈ B(0, 1);
X
=
[0,
1]，A
=
[0,
1 2
),
则
Ac
=
[
1 2
,
1].
规定 µ(∅) = µ(A) = 0 且 µ(X) = µ(Ac) = 1.
则A
为σ
代数且
µ
是测度.
又记
B
=
[0,
1 3
]
且取函数
{
f (x) =
0, x ∈ A; 1, x ∈/ A.
和
0, x ∈ B;
g(x) =
2, 1,
x ∈ A\B; x ∈ Ac.
∫
∫
|f |pdµ ≤ lim |fn|pdµ.
E
n→∞ E
这说明
f
也满足 (1′) ∀ (2′) ∀ ϵ
ϵ > 0, ∃ Aϵ ∈ A , µ(Aϵ) < ∞, 使 > 0, ∃ δϵ > 0, 使得对一切可测集
∫
X \Aϵ
|f |pdµ
<
ϵ;
E, 只要µ(E) < δϵ,
有
∫
E
|f
|pdµ
<
ϵ.
2.1 集合论基础
例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于
是A∪B={a，b，c，d，e，f}。
A
B
A∪ B
设 A ， B 是两个集合。由属于 A 又属于 B 的元素组成 的 集 合 ， 称 为 A 和 B 的 交 集 ， 记 以 A∩ B 。 即
A∩B={x|xA xB}
例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于
定义3.1.4 没有任何元素的集合，称为空集，记 为，它可形式地表为：
={x|P(x)P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为 任意元素x，公式xxA总是为真(为什么？)。
例
◦ {x|x∈R∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集，因 为该方程无实数解，所以是空集。
随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所 作的讨论，在1900年左右出现了各种悖论，使集 合论的发展一度陷入僵滞的局面。 第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。 1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康脱 也发表了关于最大基数的悖论。
设集合S={A|A是集合，且AA}
1. 若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有S
◦ 集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的 一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅 罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗 引入的选择公理。另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯 -哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连 续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅 罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假 设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅 罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
数理经济学讲义
第二章 利润最大化第一节 数学一 无约束条件的最大值与最小值问题1 最大值问题：求函数=(x)y f nx D R ∈⊂的最大值。
此问题可以描述为：x max (x)Df ∈。
（2.1.1）2 必要条件：假设函数=(x)y f n x D R ∈⊂具有连续的二阶偏导数。
如果x *是上述问题的解，则x *一定满足如下的一阶和二阶条件。
（1） 一阶条件：(x )=0if x *∂∂，=1,2,,i n ⋅⋅⋅。
或记为：(x )=0Df *。
（2） 二阶条件：2(x )D f *是半负定矩阵。
3 充分条件：如果(x)f 是凹函数，且x *满足一阶条件(x )=0Df *，则x *一定是问题（2.1.1）的解。
4 最小值问题与最大值问题类似（略）。
二 等约束条件的最大值与最小值问题1 等约束条件的最大值问题：求函数=(x)y f nx D R ∈⊂在约束条件：1(x)=0(x)=0mg g ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪⎩之下的最大值。
此问题可以描述为：x 1.max (x)(x)=0(x)=0Dmf g s t g ∈⋅⎧⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⋅⎩⋅⎪⎩ （2.1.2）2 解决方法 构造拉格朗日乘数函数： 1(x,)(x)()mjjj L f g x λλ==-∑ （2.1.3）3 必要条件 如果x *是问题（2.1.2）的内点解，则一定存在j λ*使得x *和j λ*，1,2,,j m =⋅⋅⋅，满足如下的一阶和二阶条件。
（1） 一阶条件：1(x ,)()()0m j j j j ii i L g x f x x x x λλ****=∂∂∂=-=∂∂∂∑， 1,2,,i n =⋅⋅⋅(x ,)()0j j jL g x λλ**∂=-=∂， 1,2,,j m =⋅⋅⋅一阶条件共n m +个。
（2） 二阶条件：二阶条件比较复杂。
这里只给出一个约束条件下的二阶条件。
当只有一个约束条件()0g x =时，二阶条件为：对任何满足线性约束的()Dg x h 的向量h ，都有：2()0h D g x h τ≤ 4 最小值问题与最大值问题类似（略）。
集合论基本知识
集合与元素
元素与集合的关系： 元素与集合的关系：隶属关系 属于∈ 属于∈，不属于 ∉ 实例 A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1} ∈ ∧ 1∈A, 2∉A ∈ ∉ 注意： 可以是集合)， 注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合 ， 可以是集合 x∈A和 x∉A 两者成立其一，且仅成立其一 ∈ 和 ∉ 两者成立其一，且仅成立其一.
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命题演算法证明X=Y 命题演算法证明
任取 x ， x∈X ⇒ … ⇒x∈Y ∈ ∈ x∈Y ⇒ … ⇒x∈X ∈ ∈ 或者 x∈X ⇔ … ⇔ x∈Y ∈ ∈ 吸收律） 例8 证明 A∪(A∩B)=A （吸收律） ∪ ∩ 任取x, 证 任取 x∈A∪(A∩B) ⇔ x∈A∨ x∈A∩B ∈ ∪ ∩ ∈ ∨ ∈ ∩ ⇔ x∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ⇔ x∈A ∈ ∈ ∈ ∈
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反证法证明 反证法证明X=Y 证明
不成立， 假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 x∈X且x∉Y， ∈ 且 ∉ ， 或者存在 或者存在 x 使得 x∈Y且x∉X，然后推出矛盾 ∈ 且 ∉ ，然后推出矛盾. 例10 证明以下等价条件 A⊆B ⇔ A∪B=B ⇔ A∩B=A ⇔ A−B=∅ ⊆ ∪ ∩ − ∅ (1) (2) (3) (4) 证明顺序： 证明顺序： (1) ⇒(2), (2) ⇒(3), (3) ⇒(4), (4) ⇒(1)
19
补元律 零律 同一律 否定
集合包含或相等的证明方法
证明 X⊆Y ⊆
命题演算法 包含传递法 等价条件法 反证法 并交运算法 以上的 X, Y 代表集合公式
20
证明 X=Y
命题演算法 等式代入法 反证法 运算法
命题演算法证 ⊆ 命题演算法证 X⊆Y
(完整版)《实变函数》第一章集合.doc
第一章集合（总授课时数8学时）由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法. 集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解.授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母A, B,C , D , X , Y, Z L 表示集合，用小写字母a,b,c, x, yL 表示集合中的元素．如果 a 是集合 A的元素，则说 a 属于A，记作a A ，或说A含有a．如果 a 不是集A的元素，则说a 不属于A，记作a A ，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{ a} ．由n个元素 a1 , a2 L a n所组成的集合，可表示为{ a1 , a2 L a n }由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L , n,L } ．当集 A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A { x | x具有性质 p}例如，方程x2 1 0 的解x的全体组成的数集是{ x | x210} ，实际上就是 { 1, 1} .有时我们也把集 { x | x E, x 具有性质 p} 改写成 E[ x 具有性质 p] ．例如，设 f ( x) 是定义在集合 E 上的一实函数，a是一个实数，我们把集{ x | x E, f (x) a} 写成E[ f (x) a] 或 E[ f a] ．不含任何元素的集合称为空集，记作．设 A ， B 是两个集，若 A 和 B 的元素完全相同，就称 A 和 B 相等，记作 A = B (或B = A ).若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，就称为 A 是 B 的子集，记作 A B (或 B A )，读作 A 包含于 B (或B包含A)．若 A B 且 A B ,就称A是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理 1 对任何集合 A ， B ，C，均有（1）A A ；（2）若A B, B C ，则A C；（3）A BA B 且 B A ．二集合的运算设 A ， B 是两个集合，集合 A 与 B 的并集或并 A U B { x : x A或 x B}集合 A 与 B 的交集或交 A I B { x : x A且 x B}特别地，若 A B，称A与B不相交；反之，则称 A 与 B 相交．集合 A 减 B 的差集或差:A B或 A B { x : x A但 x B}当 B A时，称差集A B 为 B 关于A的余集记作(C A B)．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集 A 的子集时，就称 A为基本集或全集，并把 A 的子集B关于 A 的余集C A B简称为B的余集，记为B C或 CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合 A ,此时我们称 { A |} 是以为指标集的集族，集族{ A |} 的并与交分别定义为 :U A { x :, 使x A } IA { x :, 有xA }例 设 A n{ x : 11x 11}, n N , 则nnnA n [ 1,0],A n( 2,1)1n 1关于集合的并和交显然有下面的性质： ( 见课本 P9-P10)更一般地有 : De Morgan 公式(UA ) cIA c , ( I A )cUA c证明（略）注：通过取余集，使A 与 A C ，与 互相转换 .三、集列极限设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 是一个集合序列， ，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim A n (或 limsup A n ) { x : x 属于无限多个集合 A n } { x : 存在无限多个 A n ，使 x A n }nn{ x : N , n N , 使 x A n }I UAnN 1 n N下极限集：lim A n ( 或 liminf A n ) { x : 除去有限个集外， 有 x A n } { x : 当 n 充分大时，有 x A n }nn{ x : N , n N ,有 x A n }UIAnN 1 n N注：I A nlim A nlim A nU A nnnn 1 n 1例：设 A 2n [0,1], A 2 n 1 [1,2] ，则上极限集为 [0,2] ,下极限集为 {1} .极限集如果集列 { A n } 的上极限集与下极限集相等，即lim A n lim A n Ann则称集列 { A n}收敛，称其共同的极限为集列{ A n } 的极限集，记为： lim A n An单调增集列极限若集列 { A n } 满足 A nA n 1 ( n N ), 则称{ A n }为单调增加 ;若集列 { A n} 满足 A n A n 1 ( n N ),则称 { A n }为单调减少 ; 定理 2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列 { A n } 单调增加，则lim A n U A nn n 12) 如果集列 { A n } 单调减少，则lim A n I A nn n 1例1：设A2n 1 ( 1 1 1( n, n), n N, 则,1 ), A2 nn nlim A n ( , ) ， lim A n ( 1,1] n n例 2：设A2n 1 [ 1,41], A2 n [1,11], n N, 则n n n nlim A n [0,4) ， lim A n (0,1]n n小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础 .证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要 , 以后会经常用到 . 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念 .——————————————————————————————作业： P30 5, 7, 8练习题1. 设{ A n}为一集列：n 1（1）作B1A1 , B n A n U A k (n1) ，证明{ B n}为一列互不相交的集列，且k 1n nU A k U B k ( n 1,2,L )k 1k 1（2）若{ A n}是单调减少的集列，证明A1( A1 A2 ) ( A2 A3 ) L( A n A n 1 ) L( I A k ),k 1并且其中各项互不相交.2. 证明 :(1) nUIA n,n IUA n lim A n lim A nN 1 n N N 1 n N(2) lim A n lim A nn n(3) { A n } 单调递增时，有 lim A n lim A n lim A n U A nn n n n 1(4) { A n } 单调递减时，有 lim A n lim A n lim A n I1 A nn n n n3. 已知A2n E, A2n 1 F ,( n 1,2,L ) ，求 lim A n和 lim A n ，并问 lim A n是否存在？n n n§2对等与基数教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心. 基数的概念，讨论都要用一一对应的方法 . 证明两个集对等或具有相同的基数 , 有时需要一定的技巧 , 因而具有一定难度 , 通过较多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其中的技巧 .本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是R n的子集,值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念.定义：设 X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则 f ，对X中的每个 x ，均存在Y中唯一的 y 与之对应，则称这个对应法则 f 是从X到Y的一个映射，记作 f : X Y 或：设 X , Y 是两个非空集合， f 是X Y 的子集，且对任意 x X ，存在唯一的y Y 使 (x, y) f ，则 f 是从X到Y的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外 , 我们还经常会遇到许多其它的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2集合运算关于映射的性质（像集）定理 1 ：设f : X Y, A, B, A () 是X的子集，称 { f ( x) : x A} 为A的像集，记作 f ( A) ，则有：1) A B f ( A) f (B);U A ) U f ( A );2) f ( A U B) f ( A) U f ( B), 一般地有 f (3) f ( A I B) f ( A) I f ( B), 一般地有 f ( I A )I f ( A );证明的过程略注： f (A I B) f ( A) I f ( B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当 f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理 2：设f : X Y, A X ,C , D ,C () 是Y的子集，称{ x : f (x)C} 为C的原像集，记作 f 1(C )( f不一定有逆映射），则有：1)C D f 1 (C ) f 1 ( D );1 1 1一般地有：1 12) f (C U D ) f (C ) U f ( D ), f ( U C ) U f (C );3) f 1 (C I D ) f 1 (C ) I f 1 (D ), 一般地有： f 1 ( I C ) I f 1 (C );4) f 1 (C D) f 1 (C) f 1( D );5) f 1 (C c ) [ f 1 (C)] c ;6) A f 1 [ f ( A)];7) f [ f 1 (C)] C;证明略 .注： 6）， 7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当 f 为单射，7）等号成立当且仅当 f 为满射.3对等与势1）定义设 A ， B 是两非空集合，若存在着 A 到 B 的一一映射（既单又满），则称 A 与 B 对等,记作 A ~ B .约定 ~ .注：（ 1）称与A对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A .（2）势是对有限集元素个数概念的推广.2）性质a) 自反性：b)对称性：c) 传递性：A ~ A;A ~B B ~ A;A ~ B,B ~C A ~ C;例： 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z2)( 1,1) ~ ( , )证明：令 f : x tg ( x) ，则 f 是 ( 1,1) 到 ( , ) 的一一映射.故2( 1,1) ~ ( , )注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较a) 若 A ~ B, 则称 A B；b) 1B, 则称A B； A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射 .若 A ~ B 相当于：c) 若A B,且 A B，则称 A B .注：不能用 A 与 B 的一个真子集对等描述. 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , )4 Bernstein 定理引理：设 { A : }{ B : }是两个集族，是一个指标集，又，, A ~ B , 而且 { A : } 中的集合两两不交， { B : } 中的集合两两不交，那么：U A ~ U B证明略定理 3:（ Bernstein 定理）若有A的子集A* ，使 B ~ A* , 及B的子集B* ，使 A ~ B* , 则A ~ B. 即：若 A B,B A, 则A B.证明：根据题设，存在 A 到 B*上的一一映射 f ，以及B到A*上的一一映射g .令A1 A A*， B1 f ( A1 ) ， A2 g ( B1 ) ， B2 f ( A2 ) ， A3 g( B2 ) ， B3 f ( A3 ) ，L L 由 g(B) A*知 A2 g( B1 ) A* , 而 A1 A A*，故 A1与 A2不交.从而 A1, A2在 f 的像B1 , B2不交， B1 , B2在g下的像 A2 , A3不交.由 A3A* , 知 A1与 A3不交，故 A1 , A2 , A3两两不交.从而 A1, A2 , A3在 f 的像 B1 , B2 , B3也两两不交， L Lf从而 A1 , A2 , A3 ,L两两不交，B1 , B2 , B3 ,L 也两两不交且A n ~B n (n 1,2,L ),fU A n~ U B nn 1n 1g另外由 B k ~ A k 1 (k 1,2,L ), 可知gU B k~ U A k 1k 1k 1g又 B ~ A* , 所以g U A k 1， A* U A k 1 ( A A1 )U A k 1 A U A kB U B k ~ A*k 1 k 1 k 1 k 1 k 1B U Bk ~ A U Akk 1k 1A ( A U A k ) U (U A k ) ~ (B U B k ) U (U B k )Bk 1k 1k 1k 1 证毕．注：要证 A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例： ( 1,1) ~ [ 1,1]证明：由 ( 1,1) [ 1,1] (,) ~ ( 1,1)可知， ( 1,1) ~ [1,1]——————————————————————————————作业： P30 9, 10练习题1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？2．证明:若A B C , A : C , 则A : B : C.3. 证明：若A B ， A : A C ，则有 B : B C .4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F : M .§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集. 可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来 , 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握 .本节难点证明集合可数 .授课时数2学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a 或01,2,3,4,5,6 L La1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L注： A 可数当且仅当 A 可以写成无穷序列的形式{ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L } 例： 1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 L }2）[0,1] 中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, L }２可数集的性质（子集）定理 1 任何无限集合均含有可数子集 .证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为则e1.M { e1} ,在M{ e1}中取一元素e2 ,显然e2e1 .设从M中已取出n个互异元素1, 2 n,由于M 是无限集，故 M { e1, e2 ,L e n } ,于是又可以从1, 2n 中e e ,L e M { e e ,L e }取出一元素 e n 1,它自然不同于 e1, e2 ,L e n.所以，由归纳法，我们就找到 M 的一个无限子集{ e1,e2,L , e n L } 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集A a1 , a2 , a3 ,L，B b1 , b2 ,L , b n，C c1 , c2 , c3 ,L假设 A, B, C 两两不交，则A B b1 ,b2 ,L , b n , a1 ,a2 ,L（当集合有公共元素时，不重复排）第9页（共 14 页）A C a1 ,c1 , a2 ,c2 , a3 , c3 ,L关于可数个可数集的并仍可数集的明a11 , a12 , a13 , a14，La21 , a22 , a23 , a24，La31 , a32 , a33 , a34，La41 , a42 , a43 , a44，LL , L , L , L ，L当A i互不相交，按箭所示，我得到一个无序列;当A i有公共元，在排列的程中除去公共元素；因此U A n是可数集。
《实分析：分析综合教程》札记
《实分析：分析综合教程》阅读随笔目录一、内容概括 (2)二、第一章 (3)1. 实数系统 (4)1.1 实数的定义与性质 (5)1.2 数轴与区间 (6)1.3 集合论基础 (7)2. 数列与极限理论 (8)2.1 数列的基本概念 (10)2.2 极限理论及其性质 (11)三、第二章 (13)1. 函数的基本概念及性质 (14)1.1 函数的定义与特性 (14)1.2 函数的运算规则 (16)2. 常见函数的分类与性质 (16)四、第三章 (18)1. 连续性的概念与性质 (20)2. 导数理论及其应用 (20)五、第四章 (21)六、第五章 (23)七、第六章 (24)八、第七章 (24)一、内容概括在数学的世界里，实分析是一门探索极限、连续性、微积分等概念的深奥学科。
当我翻开《实分析：分析综合教程》这本教材时，我仿佛进入了一个全新的世界，这里充满了数学的严谨性和逻辑的美感。
书中从基础的实数和序列开始，逐步引入了测度论、勒贝格积分等重要概念。
每一个新概念的引入都伴随着严格的定义和证明，这使得整本书的逻辑非常严密。
在学习的过程中，我深刻体会到了数学的严谨性，每一个细节都不容忽视。
除了严谨的逻辑推导，书中还穿插了一些实际应用案例，如巴拿赫空间、希尔伯特空间等。
这些案例不仅增加了学习的趣味性，也让我看到了数学在实际问题中的应用价值。
通过这些案例，我更加明白了数学的重要性和实用性。
书中对一些重要定理的证明方法也进行了详细的介绍，这些证明方法不仅具有高度的技巧性，而且展示了数学思维的魅力。
通过学习和模仿这些证明方法，我逐渐提高了自己的数学素养和解题能力。
《实分析：分析综合教程》是一本非常值得学习的教材。
它不仅系统地介绍了实分析的基本理论和方法，还通过丰富的案例和详细的证明方法，使读者能够深入理解数学的本质和魅力。
在未来的学习和工作中，这本书将成为我宝贵的财富。
二、第一章在继续我的阅读之旅，深入探索《实分析：分析综合教程》这一数学领域的经典之作时，我逐渐走进了实分析的世界。
【研究生课件应用数学基础】1.集合论与映射
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35
例1.5 设A为非空集合，映射I：A→B定义为 I(x)=x(x∈A)
称此映射为恒同映射。
映射f:A→B定义为：x∈A f(x)=y0(y0∈B)
称此为常值映射。
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36
•定义1.8 设映射f:AB是单射, 则xR(f),存在唯一的y∈A,使x=f(y),这种
对应规则记作f-1，即 x f1y
n AiA1A2An
i1
nAiA1A2 An
i1
A iA 1A 2 A n
i1
A iA 1A 2 A n
i1
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22
•定理1.2
设A,B,C为集合,则有 (1)AB=BA,AB=BA（交换律） (2)(AB)C=A(BC)（结合律）
(AB)C=A(BC)（结合律） (3)(AB)C=(AC)(BC)（分配律）
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（4)A的补集 A={x|xA}
(5)A与B的对称差 AB=（A-B）∪（B-A）
集合的并、交、差、补和对称差运算可用文
氏图表示。
A
A
B
B 精选课件ppt
20
A–
A
B
AB
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21
并集和交集的定义可推广到任意多个集合，
甚至无限多个集合的情况。 设A1，A2，…，An,是集合。
❖ 集合的相等
❖集合的幂集
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8
一、集合的基本概念
1.集合的定义 数学家认为，所有的数学都可用集合来表示。
德国数学家Cantor.G(1845-1918)被认为是集
合
论的创始人，他给集合下的朴素定义是：