南京市2016年度届高三数学三模试卷含标准答案
高三数学三模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．246．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，s in15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．487．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合P、Q，求出P∩Q即可．【解答】解：P={x||x|＜3，且x∈Z}={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}={x|0≤x≤3，且x∈N}={0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得si nθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：y=0时， =1不成立，即可判断出真假；命题q：由于函数f（x）在R 上单调递增，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：若x，y∈R，x=y，则=1，y=0时不成立，因此是假命题；命题q：若函数f（x）=e x，由于函数f（x）在R上单调递增，则对任意x1≠x2都有＞0成立，是真命题．因此在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是②④．故选：D．4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件求出向量•的值，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵•（+）=2，∴•+2=2，即•=﹣2+2=2﹣1=1则cos＜，＞==，则＜，＞=，故选：D5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．24【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48≈16．故选：B．6．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，选：C．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆C：（x﹣c）2+y2=4a2的圆心为（c，0），半径为2a，由直线和圆相切的条件可得，=b=2a，可得c==a，即有e==．故选：C．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a1=1，∴由a n+1=a1+a n+n，得a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…a n﹣a n﹣1=n（n≥2）．累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=．故选：B．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为﹣1 ．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】由于（2x﹣1）dx==6，化简解得m．令x=1，即可得出二项式（1﹣2x）3m展开式各项系数和．【解答】解：∵（2x﹣1）dx==6，化为：m2﹣m﹣（1﹣1）=6，m＞1，解得m=3．令x=1，则二项式（1﹣2x）3m即（1﹣2x）9展开式各项系数和=（1﹣2）9=﹣1．故答案为：﹣1．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【考点】几何概型．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，k FN=﹣=﹣2∴=2，求得a=4，故答案为：4．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为②．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆命题的定义结合方程根的关系进行判断．②根据三角函数的周期公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据函数与方程的关系进行判断．④根据幂函数的定义和性质进行判断．⑤根据向量夹角和数量积的关系进行判断．⑥构造函数，判断函数的单调性即可．【解答】解：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是若a≤，则方程ax2+x+1=0有两个实数根，当a=0时，方程等价为x+1=0，则x=﹣1，此时方程只有一个根，故①错误；②f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，若“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”，则，则|a|=1，则a=±1，则充分性不成立，反之成立，即“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件正确，故②正确，③由f（x）=2x﹣x2=0得2x=x2，作出两个函数y=2x和y=x2的图象如图，由图象知两个函数交点个数为3个，故③错误；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0），错误，当a＜0时，函数的图象不过点（0，0），故④错误，⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”且≠λ，λ＜0；故⑤错误，⑥设f（x）=sinx﹣x，则函数的导数f′（x）=cosx﹣1≤0，则函数f（x）是奇函数，∵f（0）=sin0﹣0=0，∴f（x）=0的根只有一个0，解集方程sinx=x有一个实根．故⑥错误，故正确的是②，故答案为：②三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．（Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式，和两角和的正弦公式即可化简f（x）=，【分析】而由x的X围可以求出x+的X围，从而可得出f（x）的值域；（Ⅱ）由f（A）=2即可求得A=，从而由余弦定理和不等式a2+b2≥2ab可求得|AB||AC|≤1，根据向量数量积的计算公式便可得出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）；∵；∴；∴；∴f（x）的值域为[1，2]；（Ⅱ）∵f（A）=2，∴；在△ABC中，∵0＜A＜π，∴；∴；∴|AB||AC|=|AB|2+|AC|2﹣1≥2|AB||AC|﹣1；∴|AB||AC|≤1；∴；∴的最大值为．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由表某某息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由表某某息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得…②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，因而ξ的分布列为ξ29 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．运用面面垂直的性质定理，可得DO⊥平面ABC，又直线AE⊥平面ABC，可得AE∥DO，运用线面平行的判定定理，即可得证；（2）连接AO，运用线面平行和线面垂直的性质，求得OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．求得O，A，B，E的坐标，假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，求得P的坐标，求得平面PBE，ABE 的法向量，运用向量的夹角公式，计算可得P的位置．【解答】解：（1）证明：如图，过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．因为平面ABC⊥平面BCD，DO⊂平面BCD，DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD=BC，所以DO⊥平面ABC，因为直线AE⊥平面ABC，所以AE∥DO，因为DO⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以直线AE∥平面BCD；（2）连接AO，因为DE∥平面ABC，所以AODE是矩形，所以DE⊥平面BCD．因为直线AD与直线BD，CD所成角的余弦值均为，所以BD=CD，所以O为BC的中点，所以AO⊥BC，且．设DO=a，因为BC=2，所以，所以．在△ACD中，AC=2．所以AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，即．解得a2=1，a=1；以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则．假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，即有=+λ（﹣），则．设平面ABE的法向量为={x，y，z}，由=（0，0，1），=（，﹣1，0），则，即，取x=1，则平面ABE的一个法向量为．设平面PBE的法向量为={x，y，z}，则，取x=1+λ，则平面PBE的一个法向量为=（1+λ，﹣λ，﹣2λ），设二面角P﹣BE﹣A的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，则cosθ===，化简得6λ2+λ﹣1=0，解得λ=或（舍去），所以在CA上存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．其为线段AC的三等分点（靠近点A）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令g（x）=x2﹣（a+2）x+1，根据函数的单调性得到：；，作差得到新函数F（n）=2lnn+n ﹣，（n＞e），根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），当时，，…令f′（x）＞0，得：或，所以函数单调增区间为：，，令f′（x）＜0，得：，所以函数单调减区间为：，…（Ⅱ）证明：，令：g（x）=x2﹣（a+2）x+1=（x﹣m）（x﹣n）=0，所以：m+n=a+2，mn=1，若f（x）在内有极值点，不妨设0＜m＜，则：n=＞e，且a=m+n﹣2＞e+﹣2，由f′（x）＞0得：0＜x＜m或x＞n，由f′（x）＜0得：m＜x＜1或1＜x＜n，所以f（x）在（0，m）递增，（m，1）递减；（1，n）递减，（n，+∞）递增当x1∈（0，1）时，；当x2∈（1，+∞）时，，所以：=，n＞e，设：，n＞e，则，所以：F（n）是增函数，所以，又：，所以：．【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F 四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．【考点】参数方程化成普通方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．【分析】（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，【解答】解：（1）当时，由，得，所以直线方程为，由，得曲线C的普通方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）再由，得：13x2﹣24x+8=0，所以，，所以M的坐标为（2）把直线的参数方程代入，得：，所以，由|PA|•|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：，所以，，所以，所以．所以直线L的斜率为±．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值X围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的X围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得。
南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学(word包含答案)
南京市2016届高三年级第三次模拟考试数 学 2016.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________． 2．设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲________． (填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．)． 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．（第5题图）9．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是▲________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝▲________．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为▲________．14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．（第11题图）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．17． (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．（第16题图）ABCDA 1B 1C1（第17题图）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．19．(本小题满分16分)设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)． （1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q的值．（第18题图）CB AD南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，P A 与半圆O 相切于点A ， H 是OC 的中点，AH ⊥BC ．（1）求证：AC 是∠P AH 的平分线； （2）求PC 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），点M 的极坐标为(1，π2)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*．记直线AP n的斜率为k n．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：k n为偶数．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．5 2．3－i 3．0.02 4．35 5．8 6．①④7．4 8． 5 9．4 10．[－1，3] 11．32 12．313．(－1－1e 2，2) 14．24二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，···························································3分 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．····················································7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sin C ． ·········································································9分 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223．······················································11分又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C＝sin(A ＋C )sin A ·sin C ＝sin B sin A ·sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324．·································································14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ·················································2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ···················································4分 因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ·············································6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点． ·············································8分 因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD ． ··················································12分 因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BDDC ＝1． ··································································14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得c a ＝22，4a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 26＋y 23＝1． ··································································2分（2）①解法一 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．······························4分由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －3)，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65，或⎩⎨⎧x ＝43－325，y ＝－6－65．所以点P ，Q 的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ ＝665． ·································6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△O PQ 的面积也为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法二 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．·······························4分把切线方程 y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665．·····················6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，所以△O PQ 的面积为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法一：(i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2． 当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ·································10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0． 因为直线与圆相切，所以|m |1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2． 将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2．·································12分因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×(－4km 1＋2k2)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分解法二：设切点T (x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2．(i)当y 0＝0时，则直线PQ 的直线方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ··································10分(ii) 当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y －2＝0，x 26＋y 23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x 02x 20＋y 20，x 1x 2＝8－6y 202x 20＋y 20． ······························12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(2－x 0x 1)( 2－x 0x 2)y 02＝－8(x 02＋y 20)＋16y 02(2x 20＋y 20)． 因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分 18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD ＝12千米．由题可知|126－16v |≤14， ··············································2分解得649≤v ≤647． ··············································4分(2) 解法一：经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8． ················································6分①当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB ＝(v 2－485v ＋36) t 2．因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v时，f (t )取最大值，所以(v 2－485v ＋36)×(5v )2≤25，解得v ≥154． ·········································9分②当5＜vt ≤13，即5v ＜t ≤13v 时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6) 2 (t －1v －6)2＋9． 因为v ＞8，所以1v －6＜5v，(v －6) 2＞0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，所以(v －6) 2 (13v －1v －6)2＋9≤25，解得398≤v ≤394． ········································13分③当13≤vt ≤16， 13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f (t )在(13v ，16v )递减，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，(12－6×13v )2＋(16－v ×13v )2≤25，解得398≤v ≤394．因为v ＞8，所以 8＜v ≤394． ·············································16分解法二：设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v＜2，即v ＞8． ·················································6分以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系， ①当0＜vt ≤5时，f (t )＝(45vt －6t )2＋(35vt )2．由于(45vt －6t )2＋(35vt )2≤25，所以(45v －6)2＋(35v )2≤25t 2对任意0＜t ≤5v都成立，所以(45v －6)2＋(35v )2≤v 2，解得v ≥154． ···············································9分②当5＜vt ＜13时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋32．由于(vt －1－6t )2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ＜t ＜13v 都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t ，－3t≤v －6，对任意5v ≤t ≤13v 都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v 13≤v －6，解得398≤v ≤394． ···············································13分 ③当13≤vt ≤16即13v ≤t ≤16v ，此时f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2．由①及②知：8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78394＝4，又因为0≤16－vt ≤3，所以f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v ≤394． ·············································16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m ＝1时，f (x )＝－x 3＋x 2－1．f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)． 由f ′(x )＜0，解得x ＜0或x ＞23．所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)． ······································2分（2）依题意m ＞0．因为f (x )＝－x 3＋mx 2－m ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝－x (3x －2m )． 由f ′(x )＝0，得x ＝2m3或x ＝0．当0＜x ＜2m 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在上为增函数；上为减函数； 所以，f (·················································4分．···············································6分·······8分y －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． ···········································10分 将(2，t )代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)． 因为函数f (x )图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m )＝(－3x 2＋2mx )(2－x )有且仅有不相等的两个实根．···········12分 整理得t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ．设h (x )＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ，h ′(x )＝6x 2－2(6＋m )x ＋4m ＝2(3x －m )(x －2)． ①当m ＝6时，h ′(x )＝6(x －2)2≥0，所以h (x )单调递增，显然不成立． ②当m ≠6时， h ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝m 3．列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m3，h (x )取得极值分别为h (2)＝3m －8，或h (m 3)＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ． ·······························14分因为t ≤0，所以3m －8≤0，（*），或－127m 3＋23m 2－m ≤0．（**）解（*），得m **·································16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d 3，解得，a d ＝34． ····································4分② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，········································6分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d2， ········································8分由于1＋1＋8a d2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8ad2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2． ·········································10分 （2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．··································12分 所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13． ···································14分若t ≥3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856． ···········································16分南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2016.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：(1)连接AB ．因为P A 是半圆O 的切线，所以∠P AC ＝∠ABC ． 因为BC 是圆O 的直径，所以AB ⊥AC ．又因为AH ⊥BC ，所以∠CAH ＝∠ABC ，所以∠P AC ＝∠CAH ，所以AC 是∠P AH 的平分线． ···········································5分 (2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1． 又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3．在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠P AH ＝2∠CAH ＝60°，所以P A ＝23．由P A 是半圆O 的切线，所以P A 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2． ···········································10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2． ················································5分代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2． ···········································10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：M 的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M (0，1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－3sin 2θ－2sin θ＋5，sin θ∈[－1，1]． ·················5分当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223．所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是(±423，－13)．·······························10分D ．选修4—5：不等式选讲解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2)]≥(5·x ＋2·4－x )2，······················5分 即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2，所以5x ＋8－2x ≤63． 当且仅当2x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为63． ··································10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ·································2分 X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝2848＝712．答：X 是奇数的概率为712． ·································4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18；······························8分所以X 的概率分布列为：。
2019年5月江苏省南京市高2019届高2016级高三年级数学第三次模拟考试南京三模数学试题参考答案含附加题答案
南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{4，5}2．四3．304．345．－56．257．348．69．－110．211．1412．57713．210＋214．(－∞，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos B ＋b cos A ＝c cos A cos C ，得(sin A cos B ＋sin B cos A )cos C ＝sin C cos A ，······2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ，·······························································4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．·········································6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．·········8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．·························10分所以cos B ＝13．···············································································12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．····································14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．·············································································2分因为AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60º，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12＋22－2×1×2cos60º＝3．····4分因为12＋(3)2＝22，即AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB ．······················6分又因为AC ⊥PA ，且PA ∩AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB ．····································8分（2）因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．····································································10分又因为BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l ．················································································14分17．(本小题满分14分)解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B (0，0)，Q (45，15)，C (160，75)．过点B 作直线l 与圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，设l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34，或k ＝0（舍）．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0．…………………………………………4分点C (160，75)到l 的距离ABC PQHM Nxy（第17题图）CH ＝|3×160－4×75|32＋(－4)2＝36．········································································6分因为在Rt △CHM 中，CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12．················8分又因为∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3MCN ＝2∠MCH ＝2π3，·········12分所以所用时长为30×2π32π＝10min ．····························································13分答：该游客能看到点B 的时长为10min ．····················································14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．·························································2分（2）由（1）知B (0，－1)，设M (x 0，y 0)，P (x ，y )．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)，则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2．又因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0．①····································4分因为M 在椭圆C 上，所以x 022＋y 02＝1，将①代入上式，得x 02＝23．·································································6分所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6，所以S △PMA ＝S △P AB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263．······························8分（3）方法1由（1）知，A (0，1)，B (0，－1)．设D (0，m )，0＜m ＜1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x ＋m ，x ＋m ，y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23．…………………………………………10分直线MB 的方程为：y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为：y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝(y 1＋1)x 2＋(y 2－1)x 1(y 1＋1)x 2－(y 2－1)x 1．……………………………………………12分将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m (x 2－x 1)＝2·2m 2－23－4m 23＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝－43＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝1m ．·······························································14分所以OD →·OP →＝(0，m )·(x P ，y P )＝my P ＝m ·1m ＝1．……………………………16分方法2A (0，1)，B (0，－1)．设M (x 0，y 0)，则x 022＋y 02＝1．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x －x 0＋y 0，则D (0，y 0－x 0)，x －x 0＋y 0，y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4(x 0－y 0)3，…………………………………………………………10分所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为：y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1直线MB 的方程为：y ＝y 0＋1x 0x －1联立解得y P ＝2y 02＋x 02＋x 0＋2y 02y 02－x 02－x 0y 0－2x 0＋2y 0．……………………………………12分又因为x 022＋y 02＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0(2＋x 0＋2y 0)(y 0－x 0)＝1y 0－x 0，………………………………………14分所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1．……………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2．·····································································2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………………………………………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2.设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)，（i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12)，则m (0)＝－a ＜0，m (12)＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．·····························································································6分（ii ）若a ＜0，x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减，在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………………………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．………………………………………………………10分②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减，则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12．要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．………………………………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be 2＜0．又(1e)2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………………………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b2＞0，即1b ＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0，综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ．由S r ＝2r ，得3r ＋r (r －1)2d ＝2r ．因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2(*)；由S 2r ＝r ，得6r ＋2r (2r －1)2d ＝r ，因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5(**)；由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1．·······················································2分（2）①（i ）若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1．因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)，由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1．······················3分（ii ）当q ≠1，因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝2r (*)，a 1(1－q 2r)1－q＝r (**)，由(*)和(**)，得q r ＝－12．························································5分当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2，4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132．综上，q ＝－12或q ＝－132．·····························································6分②因为{a n }是M (r ，t )数列，q ∈(－1，0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝t ，且a 1(1－q t)1－q＝r ，两式作商，得1－q r1－q t ＝t r，即r (1－q r )＝t (1－q t )．·····································8分（i ）若r 为偶数，t 为奇数，则r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )．因为r ＜t ，0＜1－|q |r ＜1，1＋|q |t ＞1，所以r (1－|q |r )＜t (1＋|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )矛盾，所以假设不成立．·························10分（ii ）若r 为偶数，t 为偶数，则r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )．设函数y ＝x (1－a x )，0＜a ＜1,则y '＝1－a x －xa x ln a ，当x ＞0时，1－a x ＞0，－xa x ln a ＞0，所以y ＝x (1－a x )在(0，＋∞)为增．因为r ＜t ，所以r (1－|q |r )＜t (1－|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )矛盾，所以假设不成立．··························12分(iii)若r 为奇数，t 为奇数，则r (1＋|q |r )＝t (1＋|q |t )．设函数y ＝x (1＋a x )，0＜a ＜1,则y '＝1＋a x ＋xa x ln a ．设g (x )＝1＋a x ＋xa x ln a ，则g '(x )＝a x ln a (2＋x ln a )，令g '(x )＝0，得x ＝－2ln a．因为a x ＞0，ln a ＜0，所以当x ＞－2ln a ，g '(x )＞0，则g (x )在区间(－2ln a，＋∞)递增；当0＜x ＜－2ln a ，g '(x )＜0，则g (x )在区间(0，－2ln a)递减，所以g(x)min＝g(－2ln a)＝1－a－2ln a．因为－2ln a ＞0，所以a－2ln a＜1，所以g(x)min＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)恒成立，所以y＝x(1＋a x)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r＜t，所以r(1＋|q|r)＜t(1＋|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．··························14分(iv)若r为奇数，t为偶数．由①知，存在等比数列{a n}为“M(1，2)数列”．综上，r为奇数，t为偶数．·································································16分南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M 2＝21122112＝5445．························································4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝|λ－2－1－1λ－2|＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．·········································6分①当λ＝1时，2112[x y ]＝[x y ]＋y ＝0，＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为[1－1]．··················8分②当λ＝3时，2112[x y ]＝3[x y ]－y ＝0，－y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为[11]．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为[1－1]，[11]．·····10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的直角坐标方程为：x －3y －2＝0．··················································2分曲线C 的普通方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2．………………………………………4分圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3－2|1＋3＝32，……………………………6分所以r ＝d 2＋(AB2)2＝3．………………………………………………………10分C ．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2](12＋12＋22)≥(x ＋2y ＋6z )2．·······················4分因为x 2＋4y 2＋9z 2＝6，所以(x ＋2y ＋6z )2≤36，·············································6分所以－6≤x ＋2y ＋6z ≤6．当且仅当x 1＝2y 1＝3z2时，不等式取等号，此时x ＝1，y ＝12，z ＝23，或x ＝－1，y ＝－12，z ＝－23，·································8分所以x ＋2y ＋6z 的最大值为6．································································10分22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………………………………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2＝2x ，＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．··································································4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k ．···································································6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k(x －2)，＝1k ，＝－1k (x －2)，·········································································8分＝1，＝1k，即P (1，1k )，所以，点P 在定直线x ＝1上．·····························································10分23．（本小题满分10分）解：（1）在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，所以f(3)＝1．···················································································2分在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，所以f(4)＝2．···················································································4分（2）当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．所以f(n)＝2n－3－f(n－2)，n≥5且n∈N*．··············································6分因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n＋1)是3的倍数．①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，那么当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋1]＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3)＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]＝3×24k＋f(4k＋1)．···················8分因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．这就是说，当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋5]是3的倍数．由①，②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．·························10分高三数学答案第11页共11页。
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷含解析
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)-，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．162．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．53．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65D ．764．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列5．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．B ．2C ．4D ．36．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-7．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%8．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．09．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺 10．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<11．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =12．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2016届江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
2016届江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集U ＝{－1，2，3，a}，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为 ． 【答案】5【解析】试题分析：因为{1,3,2,5}U U M C M ==- ,所以 5.a =【考点】集合补集2．设复数z 满足z(1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ． 【答案】3－i【解析】试题分析：因为24(24)(1)(12)(1)3i,12i i i z i i i ++-===+-=++所以复数z 的共轭复数为3－i【考点】复数概念3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ． 【答案】0.02【解析】试题分析：甲、乙两位选手5轮比赛的成绩的平均数皆为10，方差分别为222221[0.20.10.100.2]0.025S =++++=甲，2222321[0.60.30.80.30.2]0.025S =++++>乙，因此甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手为甲，其方差是0.02 【考点】方差4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ． 【答案】35【解析】试题分析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有236⨯=种基本事件，其概率为63.105= 【考点】古典概型概率5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ．【答案】8【解析】试题分析：第一次循环：4,4I S ==，第二次循环：6,24I S ==，第三次循环：8,192100I S ==>，输出8.I =【考点】循环结构流程图6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l ； ③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α． 其中正确的命题是 ． (填．写所有正确命题的．．．．．．．．序号．．)． 【答案】①④【解析】试题分析：①α∥β，l⊥α⇒ l⊥β⇒ l⊥m，命题正确；②α⊥β，l⊥α⇒ l 、m 可平行，可相交，可异面，命题错误；③m∥α，l⊥α⇒ l⊥m ⇒ l 与β可平行，l 可在β内，l 可与β相交，命题错误；④ l⊥β、l⊥α⇒β∥α⇒m∥α．命题正确. 【考点】线面关系判定7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则86a a ＝ ． 【答案】4【解析】试题分析：由S n ＝2a n －2，得S n-1＝2a n-1－2，(n 2)≥所以a n ＝2a n －2a n-1 ，a n ＝2a n-1(n 2)≥，数列{a n }为等比数列，公比为2，2862 4.a a == 【考点】等比数列定义及性质8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ．【解析】试题分析：不妨设22221,(c,0)x y F a b-=，则点P (c ,2b -±，从而有222222415c b c e a b a-=⇒=⇒= 【考点】双曲线离心率9．如图，已知A ，B 分别是函数f(x)ωx(ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝2π，则该函数的周期是 ．【答案】4【解析】试题分析：由题意可设3((,22A B ππωω，又∠AOB ＝2π，所以324222T ππππωωωω⨯⇒=⇒== 【考点】三角函数性质10．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x －1)≤2的解集是 ． 【答案】[－1，3]【解析】试题分析：因为当x ≥0时，f(x)＝2x－2，所以当0≤x ≤2时，f(x) ≤f(2)＝2，而f(x)是定义在R 上的偶函数，所以当－2≤x ≤2时，f(x) ≤2，因此不等式f(x －1)≤2等价于－2≤x －1≤2，即－1≤x ≤3，解集是[－1，3] 【考点】利用函数性质解不等式11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD = ．若AC BM⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ．【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=【考点】向量数量积12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ． 【答案】3【解析】试题分析：由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即12MN ON ON ≤-⇒≥，又1ON OM ≥-，所以3OM ≥330a a ⇒≥≤或（舍），因此a 的最小值为3【考点】两圆位置关系13．设函数f(x)＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g(x)＝f(x)－b ．若存在实数b ，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】(－1－21e ，2) 【解析】试题分析：令1x x y e -=，则2xxy e-'=，所以当2x ≤时，211(,]x x y e e -=∈-∞，当2x ≥时，211(0,]x x y e e-=∈因此要使函数g(x)恰有3个零点，须2a <且211a e--<，即实数a 的取值范围为(－1－21e，2) 【考点】利用导数研究函数零点14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y--+的最大值为 ．【解析】试题分析：由题意得(2)()1x y x y -+=，令12,x y t x y t-=+=，则1112(t ),y (t ),33x t t=+=-+因此22222212||152222t x y m m t x xy y m m t t--==≤≤-++++，其中1=m t t-，当且仅当|m 222522x y x xy y --+【考点】基本不等式求最值二、解答题15．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cosA)，向量n ＝(cosC ，c)，且m ⋅n ＝3bcosB ． （1）求cosB 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 【答案】（1）13（2【解析】试题分析：（1）先由向量数量积得acosC ＋ccosA ＝3bcosB ，再由正弦定理将边化角，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sinBcosB ，即得cosB ＝13．（2）由等比数列性质得b 2＝ac ，再由正弦定理将边化角，得sin 2B ＝sinA ⋅sinC ．利用同角三角函数关系、两角和正弦公式化11tan tanC A +得11tan tanC A +1sin B== 试题解析：解：（1）因为m ⋅n ＝3bcosB ，所以acosC ＋ccosA ＝3bcosB ．由正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sinBcosB ， 所以sin(A ＋C)＝3sinBcosB ，所以sinB ＝3sinBcosB ． 因为B 是△ABC 的内角，所以sinB ≠0，所以cosB ＝13． （2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sinA ⋅sinC ．因为cosB ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sinB ． 又11cos cos cos sin cos sin sin()tan tanC sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A A A C A C A C +++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ==== 【考点】向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系16．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值． 【答案】（1）详见解析（2）1 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理（2）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理，将其转化为线线平行：连结A 1C ，交AC 1于O ，则可得A 1B ∥OD ．再结合平面几何性质确定线段比值. 试题解析：证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． 因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ．因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1（2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点．因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ， 所以A 1B ∥OD ．因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点， 所以BDDC＝1． 【考点】面面垂直判定定理，线面平行性质定理17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)的离心率为(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2，②详见解析 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可：由c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3．（2）①直线过一定点，又与圆相切，因此可先利用直线与圆位置关系确定直线方程y ．再根据弦长公式求底长PQ一般联立方程组，利用韦达定理求解：因为OP OQ ⋅ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2而直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.则有x 1＋x 2＝－2412kmk +，x 1x 2＝222612m k -+．因=m 2＝2k 2＋2．代入化简得OP OQ ⋅＝0试题解析：解：（1）由题意，得c a ，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3． 所以椭圆的方程为22163x y +=（2）①解法一 椭圆C 的右焦点0)．设切线方程为y ＝k(x ，即kx －y ＝0，=k y ．由方程组22163y y x x ⎧+=⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以PQ． 因为O 到直线PQOPQ． 因为椭圆的对称性，当切线方程为y时，△OPQ． 综上所述，△OPQ． ②解法二 消去y 得5x 2－＋6＝0． 设P(x 1，y 1) ，Q(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2． 由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2． ② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为xx当x时，，)． 因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ． 当xOP ⊥OQ ．(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．=m 2＝2k 2＋2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P(x 1，y 1) ，Q(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2412kmk +，x 1x 2＝222612m k -+．因为OP OQ ⋅ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×222612m k -+＋km ×(－2412km k+)＋m 2． 将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅ ＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ．【考点】椭圆标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆位置关系18．如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．【答案】（1）646497v≤≤（2）8＜v≤394．【解析】试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：12161||64v-≤，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤394．试题解析：解：（1）由题意，可得AD＝12千米．由题可知12161 || 64v-≤解得6464 97v≤≤．（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．①当0＜vt≤5，即0＜t≤5v时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－48vv＋36) t2．因为v2－48vv＋36＞0，所以当t＝5v时，f(t)取最大值，所以(v2－48vv＋36)×(5v)2≤25，解得v≥154．②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－16v-)2＋9．因为v＞8，所以16v-＜5v，(v－6) 2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v－6) 2 (13v－16v-)2＋9≤25，解得398≤v≤394．③当13≤vt≤16，13v≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(13v，16v)递减，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，(12－6×13v)2＋(16－v×13v)2≤25，解得398≤v≤394．因为v＞8，所以 8＜v≤394．【考点】实际应用题，分段函数求函数最值19．设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．【答案】（1）(－∞，0)和(23，＋∞)（2）y max＝3,0427m m mm m≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）(0，83]∪[9＋【解析】试题分析：（1）先求函数导函数f ′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，再解不等式的单调减区间（2）先研究f(x)变换趋势：f(x)在(0，23m)上为增函数，在(23m，m)上为减函数，f(x)极大值＝f(23m)＝427m3－m．再比较f(23m)与m大小，即得y max＝3,0427m m mm m≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）先将两个不同的点，转化为对应方程两个不同的解：t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m．再利用导数研究三次函数：两个不同的解对应两个极值，t＝3m －8，或t＝－127m3＋23m2－m．再由t≤0得m的范围为(0，83]∪[9＋试题解析：解：（1）当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2－1．f ′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)．由f ′(x)＜0，解得x＜0或x＞23．所以函数f(x)的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)．（2）依题意m＞0．因为f(x)＝－x3＋mx2－m，所以f ′(x)＝－3x2＋2mx＝－x(3x－2m)．由f ′(x)＝0，得x＝23m或x＝0．当0＜x＜23m时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，23m)上为增函数；当23m＜x＜m时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(23m，m)上为减函数；所以，f(x)极大值＝f(23m )＝427m 3－m ． ①当427m 3－m≥m，即，y max ＝427m 3－m ．②当427m 3－m ＜m ，即0＜m时，y max ＝m ．综上，y max＝3,0427m m m m m ≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）设两切点的横坐标分别是x 1，x 2．则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为y －(－x 13＋mx 12－m)＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m)＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． 将(2，t)代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m)＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m)＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)．因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m)＝(－3x 2＋2mx)(2－x)有且仅有不相等的两个实根．整理得t ＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m ．设h(x)＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m ，h ′(x)＝6x 2－2(6＋m)x ＋4m ＝2(3x －m)(x －2)．①当m ＝6时，h ′(x)＝6(x －2)2≥0，所以h(x)单调递增，显然不成立． ②当m≠6时， h ′(x)＝0，解得x ＝2或x ＝3m ． 列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝3m ， h(x)取得极值分别为h(2)＝3m －8，或h(3m )＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ．因为t≤0，所以3m －8≤0，（），或－127m 3＋23m 2－m≤0．（）解（），得m≤83，解（），得m≤9－m≥9＋因为m ＞0，所以m 的范围为(0，83]∪[9＋【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值，利用导数研究函数零点 20．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝1n S n+． （1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值； ②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n+1≤b n ＜a n+2．（2）设数列{a n }是公比为q(q ＞2)的等比数列，若存在r ，t(r ，t ∈N ，r ＜t)使得22t r b t b r +=+求q 的值．【答案】（1）①34a d =②详见解析（2【解析】试题分析：（1）①由3b 1，2b 2，b 3得4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3+3d2a ＝3(2a ＋d)＋4+6d 3a ，解得，34a d =．②先化简不等式a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(1)(1)+d 2n n n a n++＜a ＋(n ＋1)d ，＜n， 再确定所求解仅包含一个正整数，（2）先化简等式22t r b t b r +=+为1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++，转化为研究对应函数11()n(n 2)n q f n +-=+是否单调，若单调则等式必不成立，因此321183q q --=，解得q． 试题解析：解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3+3d 2a ＝3(2a ＋d)＋4+6d3a ， ② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(1)(1)+d 2n n n a n++＜a ＋(n ＋1)d ， 整理得222020a n n d a n n d ⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩＜n＝1＞0． 因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．（2）因为1111(1)2(1)(1)2r(1)t t r r a q b t t q a q b r q ++-+-==-+-，所以1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++． 设11()n(n 2)n q f n +-=+，n ≥2，n∈N．则f(n ＋1)－f(n)＝211211[(1)2(q 2)n 3]23(n 1)(n 3)n(n 2)(n 1)(n 3)n(n 2)n n n q q q q n n +++---+--++-=++++++＝因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f(n ＋1)－f(n)＞0，即f(n ＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增．所以当r≥2时，t＞r≥2，则f(t)＞f(r)，即1111(2)r(2)t rq qt t r++-->++，这与1111(2)r(2)t rq qt t r++--=++互相矛盾．所以r＝1，即1211 (2)3 tq qt t+--=+若t≥3，则f(t)≥f(3)＝4222111115353q q q q--+-=⋅>，即1211(2)3tq qt t+-->+，与1211(2)3tq qt t+--=+相矛盾．于是t＝2，所以321183q q--=，即3q2－5q－5＝0．又q＞2，所以q．【考点】等差数列性质，数列单调性，等比数列求和公式21．如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A， H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2【解析】试题分析：（1）先利用弦切角定理得∠PAC＝∠ABC．再根据射影定理得∠CAH ＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，AC是∠PAH的平分线．（2）由H是OC的中点，得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝PC⋅ (PC＋BC)＝2＝12，所以PC＝2．试题解析：证明：（1）连接AB．因为PA是半圆O的切线，所以∠PAC＝∠ABC．因为BC是圆O的直径，所以AB⊥AC．又因为AH⊥BC，所以∠CAH＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，所以AC是∠PAH的平分线．（2）因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH＝3，CH＝1．又因为AH⊥BC，所以AH2＝BH⋅HC＝3，所以AH在Rt△AHC中，AH CH＝1，所以∠CAH＝30°．由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PC⋅PB，所以PC⋅ (PC＋BC)＝2＝12，所以PC＝2．【考点】弦切角定理，切割线定理22．已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．【答案】x 2＋y 2＝2【解析】试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2x y ''-，再代入已知曲线C 方程，得x 2＋y 2＝2．试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q(x ′，y′)．则1210x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2x y ''-． 代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′⋅2x y ''-＋2(2x y ''-)2＝1，即x ′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．【考点】矩阵变换，相关点法求轨迹方程23．设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点M 的极坐标为(1，2π)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【答案】PM ，此时点P 13)． 【解析】试题分析：先将M 的极坐标化为直角坐标M(0，1)，再利用椭圆参数方程表示PM 距离：PM =最后根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：解：M 的极坐标为(1，2π)，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cos θ，sin θ)，所以PM ，sin θ∈[－1，1]．当sin θ＝－13时，PM max cos θ．所以，PM P 13)．【考点】极坐标化为直角坐标，二次函数最值24．求函数f(x)＝【答案】【解析】试题分析：构造柯西不等式：[52＋2²²]≥(5⋅⋅2，即得函数f(x)＝试题解析：解：函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0．由柯西不等式得[52＋2²²]≥(5⋅⋅2，即27×4≥(5⋅⋅2，所以x ＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝【考点】利用柯西不等式求最值25．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成的三位数各位数字之和． （1）求X 是奇数的概率；（2）求X 的概率分布列及数学期望． 【答案】（1）712（2）254【解析】试题分析：（1）因为X 是奇数，所以三个数字必是一奇二偶：按是否取0讨论，有11232223(2)28C C A A ⨯+=而能组成的三位数的个数是223424248C A A ⨯+=，因此所求概率为P(A)＝287=4812．（2）先确定随机变量取法3，4，5，6，7，8，9．再分别求对应概率，最后利用公式求数学期望，注意按是否取0讨论 试题解析：解：（1）记“X 是奇数”为事件A ， 能组成的三位数的个数是48． X 是奇数的个数有28，所以P(A)＝287=4812． 答：X 是奇数的概率为712． （2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X ＝3)＝41=4812；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X ＝4)＝41=4812；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X ＝5)＝81=486 当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X ＝6)＝105=4824； 当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X ＝7)＝105=4824； 当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X ＝8)＝61=488；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X ＝9)＝61=488； 所以X 的概率分布列为：E(X)＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254． 【考点】概率分布，数学期望26．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A(0，－1)，00(x ,y )n n n P ，n∈N．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标；（2）若 k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【答案】（1）(1，1)（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由两点间斜率公式得20000112y x x x ++==，解方程得P 1的坐标（2）先求出k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+ ，再利用k 1为偶数表示x 0，设k 1＝2p(p ∈N)，则x 0＝p．最后利用二项式展开定理证明k n 为偶数试题解析：解：（1）因为k 1＝2，所以20000112y x x x ++==， 解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1，1)．（2）设k 1＝2p(p ∈N)，即20000112y x p x x ++==， 所以20x －2px 0＋1＝0，所以x 0＝p． 因为y 0＝x 02，所以k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+ 所以当x 0＝p时， k n ＝(p)n＋)n＝(p)n＋(p)n．同理，当 x 0＝p时，k n ＝(p)n＋(p)n．①当n ＝2m(m ∈N)时， k n ＝22220(p 1)mk n k k nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数． ②当n ＝2m ＋1(m ∈N)时，k n ＝22220(p 1)mk n kk nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数．综上， k n为偶数．【考点】二项式展开定理应用。
江苏省南京市2016届高考考前综合训练数学试题(终稿)含答案
南京市2016届高考考前综合题一、填空题1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的个数是 ． ①若α⊥β，l ⊥β，则l 不一定平行α；②若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α；③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α； ④若l 与α，β所成角相等，则α∥β． 【答案】1．2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝6，S 2＋S 3＝60,则S 4的值为 ． 【答案】90．【提示】由题知a 1＝6，2a 1＋2a 2＋a 3＝60，设等比数列{a n }的公比为q ,代入化简得q 2＋2q －8＝0，q ＝2或者q ＝－4(舍)，所以S 4＝90．（如果用求和公式则需要讨论q ＝1，q ≠1）【说明】本题考查了等比数列的项与和关系，通项公式，求和公式，考查了基本量的运算，合理选择运算方法．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }满足a n ＋2－a n ＝d (d 为常数，且d ≠0，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，且a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4成等差数列，则S 20等于 . 【答案】120.【提示】由题得2a 2a 3＝a 1a 2＋a 3a 4，则2×2(d ＋1)＝2＋(d ＋1)(d ＋2)．又d ≠0，得d ＝1，所以数列{a n }奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，于是S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝10×1＋10×92×1＋10×2＋10×92×1＝120．【说明】本题考查等差数列的基本量运算，考查了简单的隔项成等差数列的求和问题.4．已知函数f (x )＝2 |x |＋cos x －π，则不等式(x －2)f (x )＞0的解集是 ________ . 【答案】(－π2，π2)∪(2，＋∞)．【提示】注意到函数f (x )为偶函数，且f (－π2)＝f (π2)＝0．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋cos x －π，此时f ′(x )＝2－sin x ＞0恒成立，于是f (x )在[0，＋∞)上单调递增，根据f (x )为偶函数可知，f (x )在(－∞，0]上单调递减．由(x －2)f (x )＞0得⎩⎨⎧x －2＞0，f (x )＞0，或者⎩⎨⎧x －2＜0，f (x )＜0，即x ＞2或－π2＜x ＜π2．【说明】本题考查函数的基本性质以及简单的分类讨论．该题没有直接指明函数的奇偶性及单调性，需要能根据给定的解析式发现其性质，助于解决问题．5．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为_______．【答案】±3．【提示】方法一：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y ＝kx －r ，联立直线与圆方程解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1) r k 2＋1)，又点C 坐标为(r k ，0)，由OC ＝BC ，得(rk )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1) r k 2＋1]2，解得k ＝±3．方法二：设∠B =θ，在△ABD 中，AB =2r cos θ．在△AOC 中，AC =rcos θ，在△BOC 中，BC =r 2 cos θ．由AB = AC +BC ，得2r cos θ＝r cos θ+r2 cos θ．因为θ∈(0，π2)，解得cos θ＝32，故θ＝π6，得∠BCx=π3，所以k ＝3．由对称性，得k ＝± 3.【说明】考查坐标法处理直线与圆的位置关系．6．已知斜率为3的直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_________． 【答案】63． 【提示】直线l 方程为y ＝3(x －c )，设O 关于l 的对称点为P (m ，n )，则⎩⎨⎧nm 3＝－1n 2＝ 3(m 2－c )，解得m ＝32c ，由题意知32c ＝a 2c ，由e ＝63．【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆离心率的计算．7．如图，边长为1的正三角形ABC 中，P 是线段BC 上的动点，Q 是AB 延长线上的动点，且满足|BQ →|＝2|BP →|，则PA →·PQ →的最小值为_________． 【答案】－2532．【提示】设BP →＝λBC →，λ∈[0，1]，则BQ →＝2λAB →，则PA →＝BA →－BP →＝BA →－λBC →，PQ →＝BQ →－BP →＝－2λBA →－λBC →．因此PA →·PQ →＝2λ2－52λ＝2(λ－58)2－2532，因此PA →·PQ→最小值为－2532．【说明】本题考查平面向量数量积的最值问题，也可通过坐标法解决．8．如图，凸四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4．设四边形ABCD 面积为S ，则S 的最大值为________．【答案】8 3【提示】S ＝S △ABD ＋ S △BCD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12CB ·CD ·sin C ＝4sin A ＋12sin C ，即S4＝sin A＋3sin C ①；由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ，代入化简得2＝3cos C －cos A ②．①②两式平方相加得：(S4)2＋4＝10－6cos(A ＋C )≤16（当cos(A ＋C )＝－1，即A ＋C ＝π时取“＝”），解得S ≤83．【说明】本题考查三角形面积公式，余弦定理，两角和差公式及三角函数最值．本题的背景是“四条边长ABCD一定的凸四边形，当其四点共圆时面积最大”9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】(1，2]．【提示】f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．【说明】本题考查函数迭代运算、函数的零点以及数形结合思想．一般的函数的零点问题要有意识的借助于函数的图像解决问题．10．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ≤5c ，3a ＋4b ≤5c ，则a ＋3b c 的最小值为____________． 【答案】275．【提示】由题意得⎩⎨⎧ac ＋2bc ≤5， 3c a ＋4c b≤5，，设x ＝b c ，y ＝ac ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤5，4x ＋3y ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧y ≤5－2x ，y ≥3x 5x －4，45＜x ＜52．作出平面区域得： 设a ＋3bc ＝t ，即t ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x5x －4相切时，t 最小．将直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x 5x －4联立方程组，消去y 整理得15x 2－(5t ＋9)x ＋4t ＝0，△＝(5t ＋9)2－240t ＝0得t ＝275或t ＝35(舍)，于是t 最小为275． 【说明】一般的含多个变量的不等式组问题要注意先减元再利用解决线性规划问题的方法求解．11．已知f (x )＝(x ＋1) |x |－3x ．若对于任意x ∈R ，总有f (x )≤f (x ＋a )恒成立，则常数a 的最小值是______． 【答案】3＋10．【提示】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－4x ，x ＜0，，作出函数f (x )的图象得：作平行于x 轴的直线l 与f (x )图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M ，N ，如图所示，则a的最小值即为线段MN 长的最大值．设直线l 的方程为y ＝t ，可得MN ＝3＋1＋t ＋4－t ＝3＋(1＋t ＋4－t )2＝3＋5＋2(1＋t )(4－t )≤3＋5＋1＋t ＋4－t ＝3＋10所以，a 的最小值是3＋10【说明】本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a 的最小值即为线段MN 长的最大值． 二、解答题12．三角形ABC 中，A ＝45○，BC ＝2． （1）若cos C ＝513，求三角形ABC 的面积S ；（2）求AB →·AC →的最大值．【解答】（1）因为cos C ＝513，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1213．由正弦定理得c ＝a sin A ·sin C ＝22sin C ＝24213．又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝17226，所以S ＝12ac sin B ＝408169．（2）AB →·AC →＝bc cos A ＝22bc ．因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以4＝b 2＋c 2－2bc ．因为b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，所以4＋2bc ≥2bc ，所以bc ≤4＋22， 所以AB →·AC →≤2＋22，即AB →·AC →的最大值为2＋22．【说明】考查三角形面积公式，正弦定理，平面向量的数量积，基本不等式．13．三角形ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin A 的值；（2）若C ＝45○＋B ，求sin A 的值．【解答】（1）由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝95a 2，即b ＝355a ，由正弦定理得：sin B ＝355sin A ，因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，所以sin A ＝55．（2）因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(2B ＋45○)＝ 22(sin2B ＋cos2B )，又sin2B ＝2sin B cos B ＝2425，cos2B ＝1－2sin 2B ＝725，所以sin A ＝31250．【说明】考查正余弦定理，两角和差公式及二倍角公式．另外第（1）问还可以利用正弦定理将边的关系“c＝2a ”转化为角的关系“sin C ＝2sin A ”来解决．D 14．如图，矩形ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直. 在△ABF 中，O 为AB 的中点，AF ＝8，BF ＝6，OF ＝5.（1）求证：AF ⊥平面BCF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面ADF .【解答】（1）取BF 中点E ，连结OE . 因为O 为AB 中点，所以OE ＝4，EF ＝3，由OE 2＋EF 2＝25＝OF 2可得：EF ⊥OE ．又OE ∥AF ，从而BF ⊥AF . 由矩形ABCD 可知：BC ⊥AB ，又平面ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直，平面ABCD ∩平面ABF ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABF ．而AF ⊂平面ABF ，故BC ⊥AF .又BF ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面BCF . （2）连结ME .由（1）知：ME ∥BC ，而BC ∥AD ，故ME ∥AD . 又ME /⊂平面DAF ，DA ⊂平面DAF ，所以ME ∥平面DAF .同理可证：OE ∥平面DAF . 而OE ∩ME=E ，所以平面OME ∥平面DAF . 又MO ⊂平面OME ，所以OM ∥平面DAF .【说明】本题第二问也可以使用线线平行来证明线面平行.15．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边的中点，AC ，DE 交于点O ，PO ＝23，且PO ⊥平面ABCD . （1）求证：PD ⊥BC ；（2）在线段AP 上找一点F ，使得BF ∥平面PDE ，并求此时四面体PDEF 的体积.【解答】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC .又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ，而DE ∩PO ＝O ，所以BC ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG .则FG 为△P AD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ，又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形，因此BF ∥EG .又BF /⊂平面PDE ，EG ⊂平面PDE ,所以BF ∥平面PDE .由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ，而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE .于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PD E ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等，所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.【说明】第一问考查空间中线线垂直的证明方法；第二问属于探究性问题，本问注意与三模立体几何题第二问区别开来.本题应先找到点的位置再进行论证，最终证明得到线面平行.最后考查棱锥的体积公式.Ａ ＢＥＣＤＰＯ16．如图，有一位于A 处的观测站，某时刻发现其北偏东45°且与A 相距202海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶. 20分钟后又测得该船位于观测站A 北偏东45°＋θ（其中tan θ＝15，0°＜θ＜45°），且与观测站A 相距513海里的C 处.（1） 求该船的行驶速度v （海里/小时）；（2） 在离观测站A 的正南方15海里的E 处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟. 如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由.【解答】（1）由题意：AB ＝202，AC ＝513，∠BAC ＝θ， 因为tan θ＝15，0°＜θ＜45°，所以cos θ=52626，由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝125，即BC ＝5 5. 因为航行时间为20分钟，所以该船的行驶速度为v ＝155海里/小时. （2）由（1）知，在△ABC 中，cos B ＝31010，则sin B ＝1010.设BC 延长线交AE 于点F ，则∠AFB ＝45°－B ，∠ACF ＝θ＋B . 在△AFC 中，由正弦定理可得：AC sin ∠AFB ＝ AFsin ∠ACF. 解得：AF ＝20海里.过点E 作EG 垂直BF 于点G ， 在△EFG 中，sin ∠AFB ＝55，EF ＝5，所以EG ＝ 5.显然，5＜3，故货船会进入警戒区.则货船进入警戒区的时间为232－5155＝4755小时，而4755＜16，所以货船可以在规定时间之内离开警戒区域. 【说明】考查正、余弦定理的运用，求解直线与圆的弦长问题，考查学生解决实际问题的能力．本题第二问也可以通过建立平面直角坐标系来解决直线与圆的位置关系问题.17．某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r 米.如果制造底面的材料费用为a 元/平方米，制造侧面的材料费用为b 元/平方米，其中ba ＞1，设计时材料的厚度忽略不计.（1）试将制造每个容器的成本y （单位：元）表示成底面半径r （单位：米）的函数； （2）若要求底面半径r 满足1≤r ≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？ 【解答】（1）设每个容器的高为h 米，则圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π，即r 2h ＝1. 所以，制造成本y ＝2πrhb ＋πr 2a ＝(2rb ＋r 2a )π（r ＞0）.南A E南FA E（2）y '＝2π(ar －br 2)，令y '＝0，则有r ＝3b a. 列表得：（i ）当3b a ≥3，即ba≥27，则函数y 在[1,3]上单调递减， 所以当r ＝3时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3米. （ii ）当1＜3b a ＜3，即1＜ba＜27，则函数y 在[1,3ba]上单调递减，在[3ba,3]上单调递增， 所以当r ＝3ba 时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3b a米. 综上，当b a ≥27时，应将底面半径设计成3米；当1＜ba ＜27时，应将底面半径设计成3ba米. 【说明】考查圆柱体的体积及表面积的计算，利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，分类讨论思想的运用，考查学生解决实际问题的能力.18．已知椭圆x 24＋y 23＝1，左顶点为A ，右准线与x 轴的交点为B ，点P 为椭圆右准线上且在第一象限内的点，直线AP 交椭圆于点Q ，连接BQ ．（1）当AP →＝2AQ →时，求证：直线BQ 与椭圆只有一个公共点；（2）过点P 与直线BQ 垂直的直线l 在y 轴上的截距为t ，当t 最大时，求直线AP 的方程．【解答】（1）由题意知，右准线方程为x ＝4．设P (4，m )，因为AP →＝2AQ →，即Q 为AP 中点，因为A (—2，0)，所以点Q (1，m 2)，代入椭圆方程得14＋13(m 2)2＝1，解得m ＝±3（负值舍去），所以Q (1，32)． 又B (4，0)，所以直线BQ 方程为y ＝－12(x －4)，联立直线与椭圆方程得⎩⎨⎧y ＝－12(x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 2－2x＋1＝0，该方程有两个相等的实根，所以直线与椭圆只有一个公共点．（2）AP 方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，则点P 坐标为(4，6k )，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2―12＝0．设方程两根为x 1，x 2，由题意知x 1＝―2，因为x 1x 2＝16k 2―123＋4k 2，因此x 2＝―8k 2＋6 3＋4k 2，代入直线方程得y 2＝12k 3＋4k 2，即Q (―8k 2＋6 3＋4k 2，12k 3＋4k 2)，则直线BQ 的斜率为k BQ ＝－2k4k 2＋1，则直线l 的斜率为4k 2＋12k ，所以直线l 的方程为y －6k ＝4k 2＋12k (x ―4)．令x ＝0，得y ＝－(2k ＋2k )≤－22k·2k ＝－4（当且仅当k ＝1时取“＝”号），此时直线AP 方程为y ＝x ＋2．【说明】考查直线与椭圆的位置关系及解几中的最值问题．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，椭圆上任一点到点F 的距离与到定直线l ：x ＝m 的距离之比为常数k ． （1）求常数m ，k 的值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．【解答】（1）由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．设M (x ，y )为椭圆上任一点，由题意知(x －1)2＋y 2|x －m |＝k ，整理得(x —1)2＋y 2＝k 2(x —m )2．又y 2＝4—4x 25，代入上式整理得 (15—k 2)x 2＋2(mk 2—1)x ＋5—k 2m 2＝0．由题意知上式恒成立，则⎩⎨⎧15—k 2＝0，2(mk 2—1)＝0， 5—k 2m 2＝0，解得k ＝55，m ＝5．（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分； 当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 2 4＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 24＋5k 2，－4k 4＋5k 2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P 坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－45k x 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ． 综上，直线OP 平分线段ST ．（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k 5—x 1＋k ＋t —4k5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k 2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k 2＝2k ＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．20．已知函数f (x )＝2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ，其中k ，t 为实数，记区间[－2，2]为I ． （1）若函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，求k ，t 的值；（2）已知k ≥1，如果存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，求k 的取值范围； （3）已知－103＜k ＜－3，若对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，求t 的最小值．（e 2≈7.39）【解答】（1）f ′(x )＝6x 2－6(k ＋1)x ＋6k ＝6(x －1)(x －k )，因为函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，于是f (2)＝0，f ′(2)＝0， 即2－k ＝0，16－12(k ＋1)＋12k ＋t ＝0，解得k ＝2，t ＝－4．（2）当k ≥2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减， 于是存在x 0＝1，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值； 当k ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，故f (x )在I 上单调递增， 故不存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值；当1＜k ＜2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，k )上单调递减，在(k ，2)上单调递增， 于是若存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，则必有f (1)≥f (2)， 即k ≥53，又1＜k ＜2，于是53≤k ＜2；综上，k ≥53．（3）对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，即对于任意x ∈I ，都有2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ≥6(x －2)e x 即t ≥6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx设g (x )＝6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx ，x ∈[－2，2]， 则g ′(x )＝6(x －1)( e x －x ＋k )，令h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]，则h ′(x )＝e x －1，于是h (x )在(－2，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，又h (－2)＝1e 2＋2＋k ＜1e 2＋2－3＝1e 2－1＜0，于是当x ∈[－2，0]时h (x )＜0恒成立，又h (1)＝e －1＋k ＜e －1－3＝e －4＜0，h (2)＝e 2－2＋k ＞e 2－2－103＝e 2－163＞0，因此h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]存在唯一的零点x 0∈(1，2)，于是g (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，2)上单调递增， 所以g (x )max ＝max{ g (1)，g (2)}．又g (1)－g (2)＝(1－6e －3k )－(－4)＝5－6e －3k ＜5－6e －3(－103)＝15－6e ＜0，于是g (1)＜g (2)，所以g (x )max ＝g (2)＝－4，即t ≥－4，因此t 的最小值是－4．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过给定的k 的范围比较相关量的大小．21．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝ln x ． （1）求证：g (x )＜x2；（2）设h (x )＝f (x )＋bg (x )(b ∈R )．①若a 2＋b ＝0，且当x ＞0时h (x )＞0恒成立，求a 的取值范围；②若h (x )在(0，＋∞)上存在零点，且a ＋b ≥－2，求b 的取值范围． 【解答】（1）设h (x )＝x 2－g (x )＝x2－ln x则h ′(x )＝x －22x ，于是f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (2)＝1－ln2＞0，从而h (x )＞0恒成立，即g (x )＜x2．（2）h (x )＝f (x )＋bg (x )＝x 2＋ax ＋b ln x①因为a 2＋b ＝0，所以h (x )＝x 2＋ax －a 2ln x ，h ′(x )＝(x ＋a )(2x －a )x，当a ＝0时，h (x )＝x 2＞0恒成立；当a ＞0时，h (x )在(0，a 2)上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (a 2)＞0， 即34a 2－a 2ln a 2＞0，解得0＜a ＜2e 34． 当a ＜0时，h (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (－a )＞0，即－a 2ln(－a )＞0，解得－1＜a ＜0．综上，－1＜a ＜2 e 34．②因为h (x )在(0，＋∞)上存在零点，所以x 2＋ax ＋b ln x ＝0在(0，＋∞)上有解，即a ＝－x －b ln x x在(0，＋∞)上有解． 又因为a ＋b ≥－2，即a ≥－b －2，所以－x －b ln x x≥－b －2在(0，＋∞)上有解． 由（1）可知ln x ＜x 2＜x ，因此b ≥x 2－2x x －ln x， 设F (x )＝x 2－2x x －ln x ，则F ′(x )＝(x －1)(x －2ln x ＋2) (x －ln x )2， 因为ln x ＜x 2，所以x －2ln x ＋2＞0，于是F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以F (x )min ＝F (1)＝－1，故b ≥－1．【说明】本题考查导数的应用，第二问中涉及恒成立问题及存在性问题，一般说来首选方法是参变分离，遇到不能分离的应考虑构建新的函数解决问题．注意比较第二问中解决问题的方法选择．22．定义：从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a n }的一个子数列.设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列；（1）已知a 4＝6，自然数k 1，k 2，…，k t ，…满足4＜k 1＜k 2＜…＜k t ＜…，①若a 2＝2，且a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是等比数列，求k 2的值；②若a 2＝4，求证：数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是等比数列.（2）已知存在自然数k 1，k 2，…，k t ，…，其中k 1＜k 2＜…＜k t ＜…．若a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，若a k 2a k 1＝m (m 为正整数)，求k t 的表达式.(答案用k 1，k 2，m ，t 表示). 【解答】（1）①设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝2，a 4＝6，所以2d ＝4，d ＝2，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －2，设无穷等比数列公比为q ，q ＝a 4a 2＝3，所以a k 2＝2×33＝2k 2－2，故k 2＝28. ②假设数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是无穷等比数列.则a 2，a 4，a k 1成等比，a 4，a k 1，a k 2成等比,所以a 42＝a 2×a k 1得 a k 1＝9, a k 12＝a 4×a k 2得a k 2＝272.因为2d ＝a 4－a 2＝1，d ＝1，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n ＋2，所以a k 2＝k 2＋2＝272，k 2＝232/∈N * 这与k 2为自然数矛盾.所以数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是无穷等比数列.（2）方法1 因为a k 2－a k 1＝(k 2－k 1)d ＝(m －1)a k 1，所以d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1． 又a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，a kt ＝a k 1m t-1＝a k 1＋(k t －k 1)d ，将d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1代入，得m t-1＝1＋(m －1)（k t －k 1）k 2-k 1，解得k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1． 方法2 因为a k 1，a k 2，a k 3成等比数列，所以a k 3＝a k 22a k 1＝a 1＋(k 2－1)d a 1＋(k 1－1)d ×a k 2＝[1＋(k 2－k 1)d a 1＋(k 1－1)d]×a k 2＝a k 2＋(k 2－k 1)d a k 1×a k 2，则(k 3－k 2)d ＝(k 2－k 1)d ×a k 2a k 1，因为d 不为零，a k 2a k 1是正整数m ，所以k 3－k 2＝(k 2－k 1)m ，同理可得k 4－k 3＝(k 3－k 2)m ，…，k t －k t －1＝(k t －1－k t －2)m (t ≥3)，所以{k t －k t －1}(t ≥2)是等比数列，则k t －k t －1＝(k 2－k 1)×m t －2(t ≥2)，累加得k t －k 1＝(k 2－k 1)×1－m t －11－m ，所以k t =(k 2-k 1)×1-m t -11-m ＋k 1(t ≥2)，易知当t ＝1时，此式也成立，于是k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1． 【说明】本题主要探究了无穷等差数列中能有无穷等比子数列的条件问题，考查了等差数列等比数列的概念及基本量运算，通项公式的求法，反证法等等.考查了运算能力，推理论证能力和化归思想.23．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n .（1）写出S i （i ＝1，2，3，4，5，6）构成的集合A .（2）若q 为正整数，问是否存在正整数k ，使得T k ，T 3k 同时为（1）中集合A 的元素？若存在，求出所有符合条件的{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式.【解答】（1）由a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，设{a n }公差为d ，d 大于零，得a 2＝1，a 3＝32，d ＝ 12，a 1＝12，S n ＝n 2＋n 4，所以A ＝{12，32，3，5，152，212} （2）因为{b n }是等比数列，b n ＞0，q ∈N *当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k ＝3，所以T 3k ＝32，T k ＝12，所以kb 1＝12，b 1＝12k ，b n ＝12k. 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q． 因为 q ∈N *，q ≠1，所以q ≥2，则T 3k T k＝1＋q k ＋q 2k ≥1＋2＋4＝7， 所以⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212，或⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212， 当⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5时，1＋q k ＋q 2k ＝10，解得q k ＝－1±372/∈N *． 当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152时，1＋q k ＋q 2k ＝15，解得q k ＝－1±572/∈N *．当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝21，解得q k ＝4或－5(舍)．由q ＝2，k ＝2，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=16，所以b n ＝16×2n －1． 由q ＝4，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=12，所以b n ＝12×4n －1=4n －2． 当⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3(舍)， 所以q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1＝32，所以b n ＝3×2n －2． 综上，b n ＝12k (k ∈N *)或b n ＝16×2n －1或b n ＝4n －2或b n ＝3×2n －2． （3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或4k －1，k ∈N *． 当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝(4k －1)k ；当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，所以当n 为奇数时，k ＝n ＋12，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，k ＝n 2，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12(n 为奇数)，2n 2＋n 2(n 为偶数)， 【说明】本题是数列与方程的综合问题.本题考查了等差数列等比数列的基本量运算，方程整解问题.考查了运算能力，推理论证能力，分类讨论思想.附加题1．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是平行四边形，AD ＝BD ＝2，AB ＝22，SD ⊥平面ABCD .SD ＝2，点E 是SD 上的点，且 DE →＝λDS →（0≤λ≤1）.（1）求证：对任意的0≤λ≤1，都有SC →·EA →≥AC →·BE →；（2）若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．【解答】（1）因为AD ＝BD ＝2，AB ＝22，所以AD ⊥DB .故以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系o －xyz ，则D （0,0,0），A （2,0,0），B （0,2,0），C （－2,2,0），S （0,0,2），E （0,0,2λ）.所以SC →＝（－2,2,－2），EA →＝（2,0,－2λ），AC →＝（－4,2, 0），BE →＝（0,－2,2λ），则有SC →·EA →－AC →·BE →＝－4＋4λ－(－4＋0)＝4λ≥0，即SC →·EA →≥AC →·BE →．（2）设平面ACE 的一个法向量为n ＝（x ,y ,z ），所以EA →·n ＝0，即2x －2λz ＝0.同理AC →·n ＝0，即－4x ＋2y ＝0．取z ＝1，则x ＝λ，y ＝2λ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝（λ,2λ,1）．显然平面ADE 的一个法向量为m ＝（0,1,0），由二面角C －AE －D 的大小为60°知｜cos ＜n , m ＞|＝12，解得λ＝1111． 【说明】考查空间向量的基本运算以及在立体几何中的应用，本题主要是用空间向量来研究二面角的大小．特别注意交待空间直角坐标系的建立过程和法向量的求解过程.2．已知2件次品和a 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a 件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为310． （1）求实数a 的值；（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值．【解答】(1)记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A ，P (A )＝a (a －1)(a ＋2)(a ＋1)＝310得a ＝3或－27(舍)． （2）X 的可能取值为200，300，400．P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝400)＝6A 23A 35=35． 所以X 的分布列为X200 300 400 P 110 310 35E (X )＝200×110＋300×310＋400×【说明】本题要注意“检测后不放回”与“检测后放回”之间的区别，正确求出相应的排列数组合数是学好分布列的基础和前提．3．已知数列T ： a 1，a 2，…，a n (n ∈N *，n ≥4)中的任意一项均在集合{－1，0，1}中，且对 i ∈N *，1≤i ≤n －1，有|a i ＋1－a i |＝1．（1）当n ＝4时，求数列T 的个数；（2）若a 1＝0，且a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，求数列T 的个数．【解答】（1）当n ＝4时，符合条件的数列为：0，1 ，0，－1； 0，1，0，1； 0，－1，0，－1；0，－1，0，1；1，0，－1，0；1，0，1，0；－1，0，1，0；－1，0，－1，0．共8个．（2）①当n ＝4k (k ∈N *)时，由a 1＝0，得a 3＝a 5＝…＝a 4k －1＝0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中的每一个任取±1．又a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中1的个数不小于－1的个数．所以数列T 的个数为：C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k ＝12( C 02k ＋C 12k ＋…＋C k －12k ＋C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k )＋12C k 2k ＝12(22k ＋C k 2k )． ②当n ＝4k ＋1(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，同①，可知数列T 的个数为 12(22k ＋C k 2k )． ③当n ＝4k ＋2(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，则数列T 的个数为 C k ＋12k ＋1＋C k ＋22k ＋1＋…＋C 2k ＋12k ＋1＝22k ．④当n ＝4k ＋3(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋3＝0，同③，可知数列T 的个数为 22k ．综上，当n ＝4k 或n ＝4k ＋1，k ∈N *时，数列T 的个数为12(22k ＋C k 2k )． 当n ＝4k ＋2或n ＝4k ＋3，k ∈N *时，数列T 的个数为 22k ．【说明】本题考查组合计数．要能从已知条件中发现数列T 所满足的特性，再利用相关的特性求出数列的个数．。
2016届南京师大附中高三年级校模拟考试数学含参考答案
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（第 4 题）
5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为 1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为 ▲ ． ▲ ．
x－1≤0， 6．设变量 x，y 满足约束条件 x＋y＋1≥0，则目标函数 z＝2x＋y 的最小值是 x－y＋3≥0，
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18．(本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1、F2 分别是椭圆 E： x2 y2 ＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点， 2 a b π 时， 4
过点 F1、 F2 分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线 AB、 DC， 分别交椭圆 E 于点 A、 B 和 D、 C． 当α＝ 点 B 坐标为(0，1)． （1）求椭圆 E 的方程； （2）当α变化时，讨论线段 AD 与 BC 长度之间的关系，并给出证明； （3）当α变化时，求四边形 ABCD 面积的最大值及对应的α值． y B C F2 D （第 18 题） 19．(本小题满分 16 分) 1 已知函数 f(x)＝ln( x＋1)＋ ，g(x)＝lnx． 2x （1）求函数 f(x)的单调区间； 1 （2）设 k 是实数，若关于 x 的不等式 f(x)－ ≤kx 在[1，＋∞）上恒成立，求 k 的取值范围； 2x （3）是否存在正实数 c，使得关于 x 的方程 f(x)＝cg(x)有两个不同的实数根？并说明理由．
π 7．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ )，则φ＝________ ▲ ． 2
（第 7 题） 8．已知一圆柱的若底面直径和高相等，其侧面积是π，则这个圆柱的体积是________ ▲ ． 9．设 a 为实数，若函数 f(x)＝ 3－x－ 1＋x－a 存在零点，则实数 a 的取值范围是________ ▲ ． x2 y2 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1、F2 分别是双曲线 C： － 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点， 2 a_x001F_ b P 是右支上一点．若△PF F 是顶角为 120°的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率是________ ▲ ．
江苏省南京市高考数学三模试卷(含解析)
2017年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）= ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．3．若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．4．执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6．在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是．7．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是．8．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．9．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．11．函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．12．在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD 的面积为．13．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．14．已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．16．（14分）已知向量为实数．（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值．17．（14分）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且．．（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．19．（16分）已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1=|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1=﹣1，p=1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．20．（16分）已知λ∈R，函数f（x）=e x﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．2017年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）= {2} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={3，4}，∴A∪B={1，3，4}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．2．甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】列举基本事件，即可求出概率．【解答】解：分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，可能出现以下情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、共8种情况，其中编号之和大于6的有：1+6=7，2+5=7，2+6=8，共3种情况，∴取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为，故答案为：．【点评】本题考查古典概型，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．3．若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，得到=a﹣bi，根据系数相等求出a，b的值，从而求出|z|即可．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，由z+2=3+2i，得3a﹣bi=3+2i，∴a=1，b=﹣2，∴|z|==，故答案为：【点评】本题考查了复数求模问题，考查共轭复数，是一道基础题．4．执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1 ．【考点】EA：伪代码．【分析】分析出算法的功能是求分段函数f（x）的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值即可．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的关键．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为=×（7+7+9+14+18）=11，乙的平均数为=×（8+9+10+13+15）=11；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），计算乙成绩的方差为：s2=×[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=．故答案为：．【点评】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题．6．在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是 2 ．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】令y=sin（x+）=，求出在x∈[0，2π）内的x值即可．【解答】解：令y=sin（x+）=，解得x+=+2kπ，或x+=+2kπ，k∈Z；即x=﹣+2kπ，或x=+2kπ，k∈Z；∴同一直角坐标系中，函数y的图象和直线y=在x∈[0，2π）内的交点为（，）和（，），共2个．故答案为：2．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是{} ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，先由双曲线的方程分析可得m的取值范围，进而又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即=3，解可得m的值，结合m的范围可得m的值，用集合表示即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则有，解可得m＞0，则有c=，又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即=3，解可得：m=﹣3或，又由m＞0，则m=；即所有满足条件的实数m构成的集合是{}；故答案为：{}．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意焦距是2c．8．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．【考点】3Q：函数的周期性．【分析】由函数的奇偶性与周期性把f（）转化为求f（）的值求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．9．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为8 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由已知把首项用公比q表示，再由等比数列的通项公式可得a5，然后利用配方法求得a5的最小值．【解答】解：∵a n＞0，且a3﹣a1=2，∴，则（q＞0），∴=．令（t＞0），则，又，∴a5∈[8，+∞）．∴a5的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用配方法求函数的最值，是中档题．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将直三棱柱ABC﹣A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，当AD+DC1最小时，BD=1，此时三棱锥D﹣ABC1的体积： =，由此能求出结果．【解答】解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，∴当AD+DC1最小时，BD=1，此时三棱锥D﹣ABC1的体积：=====．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．11．函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，问题转化为a+2≥x2在[a，a+1]恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：f（x）=e x（﹣x2+2x+a），f′（x）=e x（﹣x2+a+2），若f（x）在[a，a+1]上单调递增，则﹣x2+a+2≥0在[a，a+1]恒成立，即a+2≥x2在[a，a+1]恒成立，①a+1＜0即a＜﹣1时，y=x2在[a，a+1]递减，y=x2的最大值是y=a2，故a+2≥a2，解得：a2﹣a﹣2≤0，解得：﹣1＜a＜2，不合题意，舍；②﹣1≤a≤0时，y=x2在[a，0）递减，在（0，a+1]递增，故y=x2的最大值是a2或（a+1）2，③a＞0时，y=x2在[a，a+1]递增，y的最大值是（a+1）2，故a+2≥（a+1）2，解得：0＜a≤，则实数a的最大值为：，综上，a的最大值是，故答案为：．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．12．在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD 的面积为 3 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出括号内的和向量，化简得出AC，从而可求得四边形的面积．【解答】解：∵，∴AC⊥BD，∵，∴（）•（）=（）•（）=﹣=5，∴2=+5=9，∴AC=3．∴四边形ABCD的面积S===3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积运算，属于中档题．13．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为﹣1≤a≤．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1，利用圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，可得|OM|≤2，进而得出答案．【解答】解：由题意，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数），圆心为M（﹣a﹣1，2a）从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1．∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，∴|OM|≤2，∴（a+1）2+4a2≤4，∴﹣1≤a≤，故答案为：﹣1≤a≤．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．14．已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为[27，30] ．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】令x=，y=，z=3x+8y，将条件转化为关于x，y的不等式，并求出x，y的范围，作出平面区域，根据平面区域得出z取得最值时的位置，再计算z的最值．【解答】解：∵，∴，设x=，y=，则有，∴，作出平面区域如图所示：令z==3x+8y，则y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣+经过点A时，截距最大，即z最大；当直线y=﹣+与曲线y=相切时，截距最小，即z最小．解方程组得A（2，3），∴z的最大值为3×2+8×3=30，设直线y=﹣+与曲线y=的切点为（x0，y0），则（）′|=﹣，即=﹣，解得x0=3，∴切点坐标为（3，），∴z的最小值为3×3+8×=27．∴27≤z≤30，故答案为：[27，30]．【点评】本题考查了线性规划的应用，将三元不等式转化为二元不等式，转化为线性规划问题是解题的关键，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）（2017•南京三模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的性质可得BD∥EF，从而得出EF∥平面ABD；（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，从而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题．16．（14分）（2017•南京三模）已知向量为实数．（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用向量的加减运算和同角的平方关系，即可求得cosα=，sinα=．进而得到t的值；（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合条件的商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式和和角公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量为实数，若，则（2cosα﹣2sinα，sin2α﹣t）=（，0），可得cosα﹣sinα=，平方可得sin2α+cos2α﹣2cosαsinα=，即为2cosαsinα=1﹣=，（cosα＞0，sinα＞0），由sin2α+cos2α=1，解得cosα+sinα===，即有cosα=，sinα=．则t=sin2α=；（2）若t=1，且，即有4cosαsinα+sin2α=1，即有4cosαsinα=1﹣sin2α=cos2α，由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα==，则tan2α===，===．【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．（14分）（2017•南京三模）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HN：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；（2）根据（1）得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．【解答】解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，∴（）2=3×（）2，∴AB=AC，∵S△ABC==AC2sinθ=400，∴AC2=，∴AB2=，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosθ=，∴BC=40．（2）设表演台的造价为y万元，则y=120，设f（θ）=（0＜θ＜π），则f′（θ）=，∴当0时，f′（θ）＜0，当时，f′（θ）＞0，∴f（θ）在（0，）上单调递减，在（，π）上单调递增，∴当θ=时，f（θ）取得最小值f（）=1，∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．【点评】本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．18．（16分）（2017•南京三模）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且．．（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M．利用与离心率的计算公式即可得出．（2）由a=2，可得b=1，可得椭圆的标准方程为： +y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），分别于同一方程联立解得C，D，坐标，利用k CD==﹣，即可得出．【解答】（1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M．=（﹣a，b），=．∵．∴+=﹣b2，化为：a=2b．∴椭圆的离心率e===．（2）证明：由a=2，可得b=1，∴椭圆的标准方程为： +y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，联立，化为：（1+）x2+8k2x=0，解得x C=，∴y C=．即C（，）．直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），联立，化为： x2﹣16x+﹣4=0，∴2x D=，解得x D=，y D=，可得D（，）∴k CD==﹣，化为：1﹣16+2k1﹣2k2+8﹣8=0．∴（4k1k2+4k1﹣4k2+1）=0，∴k1k2=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（16分）（2017•南京三模）已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1=|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1=﹣1，p=1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）①a n+1=|p﹣a n|+2a n+p，可得a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，同理可得a3=3，a4=9．②a2=1，a n+1=|1﹣a n|+2a n+1，当n≥2时，a n≥1，当n≥2时，a n+1=﹣1+a n+2a n+1=3a n，即从第二项起，数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式即可得出S n．（2）a n+1﹣a n=|p﹣a n|+a n+p≥p﹣a n+a n+p=2p＞0，可得a n+1＞a n，即{a n}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是a n≥a1≥p，可得a n+1=|p﹣a n|+2a n+p=a n﹣p+2a n+p=3a n，．利用反证法即可得出不存在．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p＞p．于是当n≥2时，a n≥a2＞p．从而a n+1=|p﹣a n|+2a n+p=a n﹣p+2a n+p=3a n．a n=3n﹣2a2=3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．假设存在2a s=a r+a t，同（i）可知：r=1．得出矛盾，因此不存在．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p．a3=a1+4p．即可得出结论．【解答】解：（1）①∵a n+1=|p﹣a n|+2a n+p，∴a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，a3=|1﹣a2|+2a2+1=0+2+1=3，a4=|1﹣a3|+2a3+1=2+6+1=9，②∵a2=1，a n+1=|1﹣a n|+2a n+1，∴当n≥2时，a n≥1，当n≥2时，a n+1=﹣1+a n+2a n+1=3a n，即从第二项起，数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列{a n}的前n项和S n=a1+a2+a3+a4+…+a n=﹣1+=﹣，（n≥2），显然当n=1时，上式也成立，∴S n=﹣；（2）∵a n+1﹣a n=|p﹣a n|+a n+p≥p﹣a n+a n+p=2p＞0，∴a n+1＞a n，即{a n}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是a n≥a1≥p，∴a n+1=|p﹣a n|+2a n+p=a n﹣p+2a n+p=3a n，∴．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s=a r+a t，即2×3s﹣1=3r﹣1+3t﹣1．（*）∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1=＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p＞p．于是当n≥2时，a n≥a2＞p．从而a n+1=|p﹣a n|+2a n+p=a n﹣p+2a n+p=3a n．∴a n=3n﹣2a2=3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s=a r+a t，同（i）可知：r=1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）=a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴=2×3s﹣2﹣3t﹣2=﹣＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整数，∴≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．与﹣p＜a1＜p矛盾．故此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p．a3=|p﹣a2|+2a2+p=|a1+p|+2a1+5p．=﹣a1﹣p+2a1+5p=a1+4p．此时数列{a n}中存在三项a1，a2，a3依次成等差数列．综上可得：≤﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法、数列递推关系、分类讨论方法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2017•南京三模）已知λ∈R，函数f（x）=e x﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=e x﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0，得到曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．（2）g（x）=f′（x）=e x﹣e﹣λlnx（x＞0），g′（x）=，函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，⇒λ=xe x，（x＞0），可得λ的取值范围．（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0，结合（2）分λ≤e，λ＞e，讨论x≥1时，是否f（x）≥0恒成立，即可．【解答】解：（1）f（x）=e x﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=e x﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0．曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．（2）∵g（x）=f′（x）=e x﹣e﹣λlnx，（x＞0），g′（x）=函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，⇒λ=xe x，（x＞0），令G（x）=xe x，G′（x）=x（e x+1）＞0在（0，+∞）恒成立．x∈（0，+∞）时，G（x）＞0，∴函数g（x）存在极值，λ的取值范围为（0，+∞）．（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0结合（2）x≥1时，g′（x）=≥0，可得λ≤xe x，（x≥1），G（x）=xe x，在（1，+∞）恒成立．∴λ≤e时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0故f（x）在[1，+∞）递增，∴f（x）≥f（1）=0．当λ＞e时，存在x0＞1，使g′（x）=0，∴x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，即x∈（1，x0）时，g（x）递减，而g（1）=0，∴x∈（1，x0）时，g（x）＜0，此时f（x）递减，而f（1）=0，∴在（1，x0），f（x）＜0，故当λ＞e时，f（x）≥0不恒成立；综上x≥1时，f（x）≥0恒成立，λ的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数求极值、证明函数恒等式，属于难题。
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南京市2016届高三数学三模试卷（含答案）南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学2016.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1ni＝1∑n(xi－－x)2，其中－x＝1ni＝1∑nxi．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U＝{－1，2，3，a}，集合M＝{－1，3}．若∁UM＝{2，5}，则实数a的值为▲________．2．设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数为▲．3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：选手第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是▲．6．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲________．(填写所有正确命题的序号)．7．设数列的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则a8a6＝▲．8．设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．9．如图，已知A，B分别是函数f(x)＝3sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是▲________．11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD ＝2，AM→＝2MD→．若AC→BM→＝－3，则AB→AD→＝▲________．12．在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为▲________．13．设函数f(x)＝x－1ex，x≥a，－x－1，x＜a，g(x)＝f(x)－b．若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为▲________．14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且mn＝3bcosB．（1）求cosB的值；（2）若a，b，c成等比数列，求1tanA＋1tanC的值．16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若A1B∥平面ADC1，求BDDC的值．17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．18．(本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．19．(本小题满分16分)设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列的前n项的和为Sn，记bn＝Sn+1n．（1）若是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n，使得an+1≤bn＜an+2．（2）设数列是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t(r，t∈N*，r＜t)使得btbr＝t＋2r＋2，求q的值．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．B．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝1210所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ（θ为参数），点M的极坐标为(1，π2)．若P 是椭圆C上任意一点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标．D．选修4—5：不等式选讲求函数f(x)＝5x＋8－2x的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x ＞0)上．已知A(0，－1)，Pn(xn0，yn0)，n∈N*．记直线APn的斜率为kn．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：kn为偶数．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．52．3－i3．0.024．355．86．①④7．48．59．410．[－1，3]11．3212．313．(－1－1e2，2)14．24二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为mn＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB．由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，3分所以sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB．因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝13．7分（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．由正弦定理，得sin2B＝sinAsinC．9分因为cosB＝13，B是△ABC的内角，所以sinB＝223．11分又1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝cosAsinC＋sinAcosCsinAsinC＝sin(A＋C)sinAsinC＝sinBsinAsinC＝sinBsin2B＝1sinB＝324．14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC．2分因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD．4分因为BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1．因为AD平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1．6分(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．8分因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD．12分因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以BDDC＝1．14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得ca＝22，4a2＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝3．所以椭圆的方程为x26＋y23＝1．2分（2）①解法一椭圆C的右焦点F(3，0)．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，所以|－3k|k2＋1＝2，解得k＝±2，所以切线方程为y＝±2(x－3)．4分由方程组y＝2(x－3)，x26＋y23＝1，解得x＝43＋325，y＝－6＋65，或x＝43－325，y＝－6－65．所以点P，Q的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ＝665．6分因为O到直线PQ的距离为2，所以△OPQ的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－2(x－3)时，△OPQ的面积也为635．综上所述，△OPQ的面积为635．8分②解法二椭圆C的右焦点F(3，0)．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，所以|－3k|k2＋1＝2，解得k＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x－3)．4分把切线方程y＝2(x－3)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－83x＋6＝0．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝835．由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×6－22×835＝665．6分因为O到直线PQ的距离为2，所以△OPQ的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－2(x－3)时，所以△OPQ的面积为635．综上所述，△OPQ的面积为635．8分②解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝2或x＝－2．当x＝2时，P(2，2)，Q(2，－2)．因为OP→OQ→＝0，所以OP⊥OQ．当x＝－2时，同理可得OP⊥OQ．10分(ii)若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因为直线与圆相切，所以|m|1＋k2＝2，即m2＝2k2＋2．将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－61＋2k2．12分因为OP→OQ→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)×2m2－61＋2k2＋km×(－4km1＋2k2)＋m2．将m2＝2k2＋2代入上式可得OP→OQ→＝0，所以OP⊥OQ．综上所述，OP⊥OQ．14分解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x20＋y20＝2．(i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝2或x＝－2．当x＝2时，P(2，2)，Q(2，－2)．因为OP→OQ→＝0，所以OP⊥OQ．当x＝－2时，同理可得OP⊥OQ．10分(ii)当y0≠0时，由方程组x0x＋y0y－2＝0，x26＋y23＝1，消去y得(2x20＋y20)x2－8x0x＋8－6y20＝0．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝8x02x20＋y20，x1x2＝8－6y202x20＋y20．12分所以OP→OQ→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(2－x0x1)(2－x0x2)y02＝－8(x02＋y20)＋16y02(2x20＋y20)．因为x20＋y20＝2，代入上式可得OP→OQ→＝0，所以OP⊥OQ．综上所述，OP⊥OQ．14分18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD＝12千米．由题可知|126－16v|≤14，2分解得649≤v≤647．4分(2)解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于先乙到达D地，故16v＜2，即v＞8．6分①当0＜vt≤5，即0＜t≤5v时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－485v＋36)t2．因为v2－485v＋36＞0，所以当t＝5v时，f(t)取最大值，所以(v2－485v＋36)×(5v)2≤25，解得v≥154．9分②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－1v－6)2＋9．因为v＞8，所以1v－6＜5v，(v－6)2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v－6)2(13v－1v－6)2＋9≤25，解得398≤v≤394．13分③当13≤vt≤16，13v≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(13v，16v)递减，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，(12－6×13v)2＋(16－v×13v)2≤25，解得398≤v≤394．因为v＞8，所以8＜v≤394．16分解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于先乙到达D地，故16v＜2，即v＞8．6分以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，①当0＜vt≤5时，f(t)＝(45vt－6t)2＋(35vt)2．由于(45vt－6t)2＋(35vt)2≤25，所以(45v－6)2＋(35v)2≤25t2对任意0＜t≤5v都成立，所以(45v－6)2＋(35v)2≤v2，解得v≥154．9分②当5＜vt＜13时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋32．由于(vt－1－6t)2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4对任意5v＜t＜13v都成立，即v－6≤5t，－3t≤v－6，对任意5v≤t≤13v都成立，所以v－6≤5v13，－3v13≤v－6，解得398≤v≤394．13分③当13≤vt≤16即13v≤t≤16v，此时f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2．由①及②知：8＜v≤394，于是0＜12－6t≤12－78v≤12－78394＝4，又因为0≤16－vt≤3，所以f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v≤394．16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2－1．f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)．由f′(x)＜0，解得x＜0或x＞23．所以函数f(x)的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)．2分（2）依题意m＞0．因为f(x)＝－x3＋mx2－m，所以f′(x)＝－3x2＋2mx＝－x(3x－2m)．由f′(x)＝0，得x＝2m3或x＝0．当0＜x＜2m3时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，2m3)上为增函数；当2m3＜x＜m时，f′(x)＜0，所以f(x)在(2m3，m)上为减函数；所以，f(x)极大值＝f(2m3)＝427m3－m．4分①当427m3－m≥m，即m≥362，ymax＝427m3－m．6分②当427m3－m＜m，即0＜m＜362时，ymax＝m．综上，ymax＝427m3－mm≥362，m0＜m＜362．8分（3）设两切点的横坐标分别是x1，x2．则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为y－(－x13＋mx12－m)＝(－3x12＋2mx1)(x－x1)，y－(－x23＋mx22－m)＝(－3x22＋2mx2)(x－x2)．10分将(2，t)代入两条切线方程，得t－(－x13＋mx12－m)＝(－3x12＋2mx1)(2－x1)，t－(－x23＋mx22－m)＝(－3x22＋2mx2)(2－x2)．因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t－(－x3＋mx2－m)＝(－3x2＋2mx)(2－x)有且仅有不相等的两个实根．12分整理得t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m．设h(x)＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m，h′(x)＝6x2－2(6＋m)x＋4m＝2(3x－m)(x－2)．①当m＝6时，h′(x)＝6(x－2)2≥0，所以h(x)单调递增，显然不成立．②当m≠6时，h′(x)＝0，解得x＝2或x＝m3．列表可判断单调性，可得当x＝2或x＝m3，h(x)取得极值分别为h(2)＝3m－8，或h(m3)＝－127m3＋23m2－m．要使得关于x的方程t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m有且仅有两个不相等的实根，则t＝3m－8，或t＝－127m3＋23m2－m．14分因为t≤0，所以3m－8≤0，（*），或－127m3＋23m2－m≤0．（**）解（*），得m≤83，解（**），得m≤9－36或m≥9＋36．因为m＞0，所以m的范围为(0，83]∪[9＋36，＋∞)．16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b1，2b2，b3成等差数列，所以4b2＝3b1＋b3，即4×3a＋3d2＝3(2a＋d)＋4a＋6d3，解得，ad＝34．4分②由an＋1≤bn＜an＋2，得a＋nd≤(n＋1)a＋(n＋1)nd2n＜a＋(n＋1)d，整理得n2－n－2ad≤0，n2＋n－2ad＞0，6分解得－1＋1＋8ad2＜n≤1＋1＋8ad2，8分由于1＋1＋8ad2－－1＋1＋8ad2＝1且－1＋1＋8ad2＞0．因此存在唯一的正整数n，使得an＋1≤bn＜an＋2．10分（2）因为btbr＝a1(1－qt＋1)t(1－q)a1(1－qr＋1)r(1－q)＝t＋2r＋2，所以qt＋1－1t(t＋2)＝qr＋1－1r(r＋2)．设f(n)＝qn＋1－1n(n＋2)，n≥2，n∈N*．则f(n＋1)－f(n)＝qn＋2－1(n＋1)(n＋3)－qn＋1－1n(n＋2)＝qn＋1[(q－1)n2＋2(q－2)n－3]＋2n＋3n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，因为q＞2，n≥2，所以(q－1)n2＋2(q－2)n－3＞n2－3≥1＞0，所以f(n＋1)－f(n)＞0，即f(n＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增．12分所以当r≥2时，t＞r≥2，则f(t)＞f(r)，即qt＋1－1t(t＋2)＞qr＋1－1r(r＋2)，这与qt＋1－1t(t＋2)＝qr＋1－1r(r＋2)互相矛盾．所以r＝1，即qt＋1－1t(t＋2)＝q2－13．14分若t≥3，则f(t)≥f(3)＝q4－115＝q2－13q2＋15＞q2－13，即qt＋1－1t(t＋2)＞q2－13，与qt＋1－1t(t＋2)＝q2－13相矛盾．于是t＝2，所以q3－18＝q2－13，即3q2－5q－5＝0．又q＞2，所以q＝5＋856．16分南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2016.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：(1)连接AB．因为PA是半圆O的切线，所以∠PAC＝∠ABC．因为BC是圆O的直径，所以AB⊥AC．又因为AH⊥BC，所以∠CAH＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，所以AC是∠PAH的平分线．5分(2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH＝3，CH＝1．又因为AH⊥BC，所以AH2＝BHHC＝3，所以AH＝3．在Rt△AHC中，AH＝3，CH＝1，所以∠CAH＝30°．由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝23．由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PCPB，所以PC(PC＋BC)＝(23)2＝12，所以PC＝2．10分B．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝1210对应的变换下得到点Q(x′，y′)．则1210xy＝x′y′，即x＋2y＝x′，x＝y′，所以x＝y′，y＝x′－y′2．5分代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′x′－y′2＋2(x′－y′2)2＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2．10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：M的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cosθ，sinθ)，所以PM＝(2cosθ)2＋(sinθ－1)2＝－3sin2θ－2sinθ＋5，sinθ∈[－1，1]．5分当sinθ＝－13时，PMmax＝433，此时c osθ＝±223．所以，PM的最大值是433，此时点P的坐标是(±423，－13)．10分D．选修4—5：不等式选讲解：函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0．由柯西不等式得[52＋(2)2][(x)2＋(4－x)2)]≥(5x＋24－x)2，5分即27×4≥(5x＋24－x)2，所以5x＋8－2x≤63．当且仅当2x＝54－x，即x＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝5x＋8－2x的最大值为63．10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48．2分X是奇数的个数有28，所以P(A)＝2848＝712．答：X是奇数的概率为712．4分（2）X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当X＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X＝3)＝448＝112；当X＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X＝4)＝448＝112；当X＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X＝5)＝848＝16；当X＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X＝6)＝1048＝524；当X＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X＝7)＝1048＝524；当X＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X＝8)＝648＝18；当X＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X＝9)＝648＝18；8分所以X的概率分布列为：X3456789P112112165245241818E(X)＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254．10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为k1＝2，所以y0＋1x0＝x20＋1x0＝2，解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)．2分（2）设k1＝2p(p∈N*)，即y0＋1x0＝x20＋1x0＝2p，所以x20－2px0＋1＝0，所以x0＝p±p2－1．4分因为y0＝x02，所以kn＝yn0＋1xn0＝x2n0＋1xn0＝xn0＋1xn0，所以当x0＝p＋p2－1时，kn＝(p＋p2－1)n＋(1p＋p2－1)n＝(p＋p2－1)n＋(p－p2－1)n．6分同理，当x0＝p－p2－1时，kn＝(p＋p2－1)n＋(p－p2－1)n．①当n＝2m(m∈N*)时，kn＝2k=0∑mC2knpn－2k(p2－1)k，所以kn为偶数．②当n＝2m＋1(m∈N)时，kn＝2k=0∑mC2knpn－2k(p2－1)k，所以kn为偶数．综上，kn为偶数．10分。