概率论期末考试复习题及答案

第一章1•设p (A )=1, P (A U B )=丄，且A 与B 互不相容，则 P ( B )3 21 1 12. 设P (A )=丄，P ( A U B )=丄，且A 与B 相互独立，则 P ( B ) = _________________ -.3243. 设事件 A 与 B 互不相容，P (A ) =0.2 , P ( B ) =0.3，贝U P ( A^B ) =___0.5 ____________ .4 .已知 P (A ) =1/2 , P ( B ) =1/3，且 A , B 相互独立，则 P (A B ) = ____________ 1/3 _________A 与B 相互独立两个事件A^B 相互独立的充要条件：巩冋=P3F ⑻" 由于相互独立，所以：代吗= PSP (时 鬥価) = P(A)-P(AB)= A-4)[1-W]=P(A)P(B)HQ)= P(S-A)= /W_鬥血) = P(S)-P(^P(S)P (A B ) =0.4，贝U P ( B|A ) =___0.26. _______________________________________________________________________ 设 A , B 为随机事件，且 P(A)=0.8 , P(B)=0.4 , P(B|A)=0.25，贝U P(A|B)= ___________________ 0.5 ________ .7.一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是 ________ 0.6 __________ .所以：；?与B 相互独立.5.设 P (A ) =0.5,&设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于________ 12/55 ____9. 一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率 p=_ 0.21 ________ .10.设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的 45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为 4% , 2% , 5%•求：(1)从该厂生产的产品中任取 1件，它是次品的概率； 3.5%(2)该件次品是由甲车间生产的概率 .1835第二章1.设随机变量 X~N ( 2, 22),则 P{X W 0}=—0.1587 __________ . 设随机变量 X~N (2, 22),则 P{X < 0}= ( P{(X-2)/2 <-1}=①(-1) =1-①(1) =0.1587X~N (1, 4),已知标准正态分布函数值 ①(1) =0.8413 ,为使P{X<a}<0.8413 ,3 .5. 抛一枚均匀硬币 5次，记正面向上的次数为 X ，则P{X > 1}=6.X 表示4次独立重复射击命中目标的次数， 每次命中目标的概率为 0.5,则X~ _B(4, 0.5)7. 设随机变量X 服从区间［0 , 5］上的均匀分布，则______p{x^3}= 0.6.2.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)“1 -e 0,x 0; xZ则当x>0时，X 的概率密度f(x)=. 3x3e3•设随机变量X 的分布函数为F (x )=』a0;则常数0, x _0,a= 1(附: ①(1) =0.8413)4.设随机变量 则常数a< 31 3210. 已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae ,s <x<+ °°,求：(1) A 值；(2) P{0< X<1};(3) F(x).11 — (1-e --)F(x)2 211. 设随机变量X 分布函数为(1) 求常数A , B ;(2)求 P{X W 2} , P{X > 3};(3) 求分布密度f ( x )P{X w 2}= 1 — e ，' P{X >3}= e"'12.设随机变量X 的概率密度为x, 0 一 x ： 1,f (x ) = <2 —x, 1 兰 x <2,、0, 其他.求X 的分布函数F (x ).' 0 x"1 2 —x 20cx 兰1 F(x)才.2——x 2+2x —1 1 v x 兰 2 21 x^213. 设随机变量X 的分布律为X-1128设随机变量 X 的分布律为8.设随机变量 X 口 J 刀布律为P13 1 7881616变量Y 的分布函数为F Y (y ),则 F Y (3)一9/16记随机9•设随机变量X 的分布律为试确定常数a. 1P{X=k}=a/N ,k=1, 2,…,N ,1--e^x a 0 “ 2 -e xx 兰 0.2F (x )A Be», 0，x_0, x ：： 0.A=1B=-1且 Y=X 2,-21/5 1/6 1/5 1/1511/30求（1） X 的分布函数，（2） Y=X 2的分布律. F(X ) 0 x c -2 1/5 —2 兰X£ —1 11/30 一1 兰 x c 0 17/30 0 兰 X £ 119/30 1 兰x <3 1 x 启3 14.设随机变量X~U （ 0,1），试求： （1） Y=e X的分布函数及密度函数;（2） Z= -21 nX 的分布函数及密度函数f y (y) 丄 1 ：： y :: e y 0 others 1 •设二维随机变量（ （1 ）求边缘概率密度 因为f (X , y)第三章 z _2 1 2 门f Z ⑵斗2e0 others X , Y ）的概率密度为 f （x,y ）=』 f _Cx 4y)e ,x 〉0,yA0; 0, 其他，f x （x ）和f Y （y ），（ 2）问X 与Y 是否相互独立，并说明理由 f Y (y) e_yy 0 0 八0二f x (x)f Y (y)， 所以X 与Y 相互独立 2•设二维随机变量（X,Y ）~N （」1,」2, 2 2 5 , — , P ），且X 与Y 相互独立，则P = _____ 0. 3.设 X~N (-1 , 4), Y~N (1, 9)且 X 与 Y 相互独立，则 2X-Y~___ N (-3, 25) X -11 P1 3 5 312124.设随机变量X 和Y 相互独立，它们的分布律分别为Y-1 0 P1 3 44贝y p{x +Y =仆=165.设随机变量（X,Y ）服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x , x=1和x 轴所围成110 "：： y ■ x "：： 1的三角形区域，贝U （X,Y ）的概率密度f （x, y ）=「2I0 othersZ0 1 2 P0.250.30.4512Y 1 2 0.4 0.3 0.3P0.40.6因为P{X -0,^1} - P{X =0}P{Y =1}，所以X 与Y 不相互独立。

X+Y12 34P0.10.50.2 0.26 •设随机变量 XX 与Y 相互独立，且0 11 3 P44Y1 22 3 P55X , Y ）的分布律; （2 ）随机变量 *0 1 10.1 0.3 20.150.45XJ1 2 1 0.1 0.2 0.1 2a0.10.2求：（1） a 的值； 什么？ （ 4） X+Y 的分布列.a=0.3 Y ）分别关于X 和Y 的边缘分布列;（3） X 与Y 是否独立？为X , Y 的分布律分别为Z=XY 的分布律.试求：（1）二维随机变量 7•设二维随机向量（ X , Y ）的联合分布列为 (2) (X ,8•设随机变量（X, Y）的分布密度求：(1) 常数 A ;(2) P{0 <X<1, 0W Y<2}. P{0 «1, 0之<2}= (1 _e ；)(1 _e&)9•设随机变量（X , Y ）的概率密度为求 P{X v 1, Y v 3} ; (3) 求 P{X+Y W 4}.10.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0, 0.2）上服从均匀分布,f Y (y ) = *5e^y, 、0,y >0,其他.求X 与Y 的联合分布密度.f (x, y ) = *25e 5y,x a 0,y a 0,0, 其他.11. 设二维随机变量（X , Y ）的概率密度为求边缘概率密度求边缘概率密度f (X , y )= <‘A e 」3®, x>0,y ：>0, 其他.,(1) 确定常数k :;(2) 1 3 2 883A=12y)Jg"0,0 ：： x ：： 2, 2y 4,Y 的密度函数为f (x ,y )=严“I 0,0空X 乞1,0空y <x,12. 设二维随机变量 X , Y ）的概率密度为f (x , y ) =电k0,0 ：： xy,13. 设二维随机变量 X , Y ）的概率密度为f (x , y )r 2」cxy, =*x 2乞y 岂1,其他.（1）试确定常数c;(2)求边缘概率密度求条件概率密度f Y l X (y I x), f x l Y ( x I y)第四章1•设X~B (4,-)，则 E (X2) = __________ 5 _______ •22•设 E (X) =2 , E ( Y) =3 , E (XY) =7,贝U Cov (X, Y) = __________ 1 _______3.随机变量X的所有可能取值为0和x，且P{X=0}=0.3 , E(X) =1 ,则x= _______ 10/7 _________4.设随机变量X服从参数为3的指数分布，则E (2X+1 ) =__5/3__, D (2X+1 ) =___4/9.已知Cov(X1,Y)=-1 , C OV(X2,Y)=3,则Cov(X什2X2, Y)=__717.设X~N ( 0 , 1) , Y~B (16 ,-),且两随机变量相互独立，贝V D(2X+Y)= _______ 82xy,0 £x £1,0 V y C2;8.设二维随机向量(X，Y)的概率密度为fZ)-。

，其他，试求:(1) E (X), E (Y ); (2) D ( X), D (Y ); (3) p XY.2/3 4/3 1/18 2/9 014•设随机变量X, Y)的概率密度为f (x, y)；1,0,y :: x, 0 ：：x :: 1,其他.X -15P 0.5 0.3 0.2则P{X<E(X)}=__ 0.8 __6.设X1, X2, Y均为随机变量,(2) X与Y是否相互独立?5. X的分布律为9.设二维随机变量（X , Y ）的分布律为X0 1 20.1 0.2 0.110.2aP且已知E （Y ） =1,试求: (1) 常数a ， P ； ( 2) E (X )； (3) E (XY ).求 E (X ), E (X 2), E (2X+3)11. 设随机变量X 的概率密度为x, 0 一 x :： 1,f (X )二」2 —x,1 Ex^2,0,其他.求 E （X ），D （X ）12. 设随机变量 X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （ Y ）=11，E （ Z ） =8，求下列随机变量 的数学期望.（1） U=2X+3Y+1 ； （2） V=YZ -4X.13. 设随机变量 X ，Y 相互独立，且 E （ X ）=E （ Y ） =3 ,D （ X ） =12, D （Y ） =16，求 E （ 3X -2Y ），D （2X -3Y ）.14. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为k, 0 c x c1,0 < y c f (x ，y )=丿.0,其他.试确定常数k ，并求『XY .15. 对随机变量 X 和丫，已知 D (X ) =2，D (Y ) =3，Cov(X,Y)= -1,0.2 0.210•0.6 0.6计算：Cov （3X -2Y+1 , X+4Y J3） |16•设二维随机变量（X, Y）的概率密度为f （x2+y2Sf （x, y）=0, 其他.试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的•17•设随机变量（X，Y）的分布律为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的第八早n1•设总体X ~ N（0, 1）, X1, X2,…,X n为样本，则统计量v X：的抽样分布为—2（n）i=1X._卩 2 22n2.设X1, X2…，X n是来自总体X〜N（巴0 ）的样本，则送（一）〜」（n）__（需标y CT出参数）.5(号疋X i23.设X1, X2,…，X n (n>5)是来自总体X ~ N (0, 1)的样本，则Y = 5“—瓦X i2i=6_F（5, n—5）__（需标出参数）.4•设总体X ~ N （1月2）X1, X2,…，X n为来自1,该总体的样本，则X =-Z X i,则n im2E(X)=____1____, D(X)=__ ___。