《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题

《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题
例1 某校新生列队去学校实习基地锻炼，他们以每小时4千米的速度行进，走了4
1小时时，一学生回校取东西，他以每小时5千米的速度返回学校，取东西后又以同样速度追赶队伍，结果在距学校实习基地1500米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程．
例2 某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，__________？”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列出方程．
例3 甲骑自行车从A 地出发，以每小时12千米的速度驶向B 地，经15分钟后乙骑自行车从B 地出发，以每小时14千米的速度驶向A 地，两人相遇时，乙已超过中点1.5千米，求A 、B 两地的距离．
参考答案
例1 分析 该题可以有如下相等关系：
一学生从学校追上队伍走的路程＝队伍走过的路程
如果设当学生追上队伍时，队伍走了x 小时，则队伍走过的路程可以表示
为4x ，学生离开队伍到追上队伍共走了4
1-x 小时，所以学生从学校追上队伍走过的路程可以表示为441)41(5⨯--x ，所以可得方程.444
1)41(5x x =⨯-- 解 设从队伍出发到学生追上队伍所用的时间是x 小时，根据题意，得
x x 444
1)41(5=⨯-- 解这个方程，得 4
12=x ，所以学校到实习基地的路程是： 5.105.14
124=+⨯ 答：学校到实习基地的路程是10.5千米．
说明：该题也可以直接设学校到实习基地的路程是x 千米，有兴趣的读者可以自己试一试．
例2 分析 可以进行不同的构思．比如：相遇问题、追及问题等．
解法一 补充：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇？ 解答：设经x 小时两车相遇，根据题意，得 .403545++x x
解法二 补充：如果两车同时从甲地出发，当摩托车到达乙地时，运货汽车距乙地还有多远？
解答：设运货汽车距乙地还有x 千米，依题意得 .45
403540=-x 解法三 补充：两车同时从甲地出发，摩托车到达乙地后立即返回，两车在距甲地多少千米处相遇？
解答：设两车在距甲地x 千米处相遇，依题意得 .45
40235x x -⨯= 请和你的同学一起研究，争取写出更多的补充部分，列出更多的方程． 说明： 这里是条件开放，探究需要补充什么条件求解．
例3 分析 （1）首先我们可以从行驶时间和行驶路程两个角度寻找相等关系．
1）从行驶时间角度考虑，有下列相等关系：
①乙从出发到相遇所行时间＝甲从出发到相遇所行时间－甲提前经过的时间；
②乙从出发到相遇所行时间＋甲提前经过的时间＝甲从出发到相遇所行时间；
③从整体考虑，乙出发到相遇所行时间二甲、乙两人以速度和行驶全程（两地距离）与甲提前15分钟行驶路程的差所用时间．
2）从行驶路程角度考虑，有下列等量关系：
①甲行驶的路程＝全程一半－1.5千米；
②乙行驶的路程＝全程一半＋1.5千米．
（2）本题也可以通过间接设元法来找到答案．
甲、乙两人的速度已知，行驶时间未知，我们可以从行程中找到等量关系．根据本题特点，A 、B 两地的半程、全程、甲行程、乙行程都存在相应的数量关系，我们利用这些等量关系，也可以顺利解出本题．
解法一 设A 、B 两地距离为2x 千米，依时间关系①，得
60
15125.1145.1--=+x x ， 即4
124322832--=+x x ， 两边乘以4，得16
32732--=+x x ， 去分母，得42)32(7)32(6--=+x x ，
解这个方程，得.812=x
答：A 、B 两地的距离为81千米．
为节省篇幅，对以下不同解法，只给出方程，不再给出求解的过程． 解法二 设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系②，得
.12
5.16015145.1-=++x x 解法三 设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系③.14126015122145.1+⨯-=+x x 解法四 设乙出发x 小时后与甲相遇，则A 、B 两地相距)5.114(2-x 千米，
依路程关系①，得 .5.1145.1601512-=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 解这个方程，得.3=x
81)5.1314(2)5.114(2=-⨯⨯=-x ，
答：A 、B 两地相距81千米．
解法五 设甲出发x 小时后与乙相遇，则A 、B 两地相距)5.112(2+x 千米，依路程关系②，得
5.1125.1601514+=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⨯x x 解这个方程，得25.3=x ，
.81)5.125.312(2)5.112(2=+⨯=+x
说明： 这里介绍五种解法，目的启发同学创新意识，并运用创新意识求解应用问题，其他解法不一一列举，均大同小异．。