鲁教版-八上第二章分式与分式方程第四节分式方程(3)教学PPT课件
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2024八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程第2课时解分式方程课件鲁教版五四制
A．a＝5或a＝0
B．a≠0
C．a≠5
D．a≠5且a≠0
2x a
3. 若关于x的分式方程 x 2
1
2 的解为非负数，则a
的取值范围是( C )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≥1且a≠4
D．a＞1且a≠4
a
4.
关于x的分式方程 x 3
A．方程的解是x＝a－3
1，下列说法正确的是( B )
B．当a＞3时，方程的解是正数
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.
∴原分式方程的增根为1.∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1.
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3.
①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2.
②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解，
则x(x－1)＝0，得x＝0或1.
是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
2ax
例3 已知关于x的方程
a x
2
3 的根是x＝1，求a的值．
导引：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
2
2a
2
, 得
解：把x＝1代入方程
,
a x 3
a 1 3
1
解得a＝ 2
1
2a
2
经检验，a＝
是分式方程
的解．
2
a 1 3
1
.
∴a的值为
2
归纳
根据方程的解构造方程，
由于所构造的方程是分式方程，
因此验根的步骤不可缺少．
kx
2k－1
－
2021秋八年级数学上册第二章分式与分式方程2、4分式方程第3课时分式方程的应用鲁教版五四制
5×20×（1＋20%）×2
4y00＋2
400·(10－2)＝24
000.
解得 y＝480.
经检验，y＝480 是原方程的根，且符合题意．
故原计划安排的工人人数为 480 人．
11．【 中考·日照】某市为创建全国文明城市，开展 “美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区 绿化总面积新增360万平方米．该项活动自 2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原 计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
解：问题1 设A型“小黄车”的成本单价为x元，则B型“小黄车” 的成本单价为(x＋100)元，依题意得50x＋50(x＋ 100)＝25 000. 解得x＝200.∴x＋100＝300. 故A，B两种型号“小黄车”的成本单价分别是200 元和300元．
问题 2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每 1 000 人 投放 a 辆“小黄车”，乙街区每 1 000 人投放8a＋a240 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放 1 500 辆，乙街区共投放 1 200 辆，如果两个街区共 有 15 万人，试求 a 的值．
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少件帐篷？
解：设甲种货车每辆车可装 x 件帐篷，乙种货车每辆 车可装 y 件帐篷，依题意有x1＝0x0y0＋＝2800y，0， 解得xy＝＝8100.0，经检验，xy＝＝81000，是原方程组的解，且 符合实际．故甲种货车每辆车可装 100 件帐篷，乙种 货车每辆车可装 80 件帐篷．
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔 和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子 都买，请列出所有购买方案．
解：设恰好用 100 元可购买这种笔 m 支，购买这种本子 n 本，由题意得 10m＋6n＝100，整理得 m＝10－35n. ∵m，n 都是正整数，∴n＝5 时，m＝7；n＝10 时，m ＝4；n＝15，m＝1.∴有三种方案： ①购买这种笔 7 支，购买这种本子 5 本； ②购买这种笔 4 支，购买这种本子 10 本； ③购买这种笔 1 支，购买这种本子 15 本．
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第2课时分式的基本性质pptx课件鲁教版五四制
x
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：21认识分式(2)(共19张PPT)
像因例式3的化分简式结称果为a最c简与分xx式。11 中，分子和分母没有公
思考：如何找分子、分母的公因式？
例 6x2 y2 10x3 yz
2x2 y 3y 2x2 y 5xz
3y 5xz
公因式为2x 2 y
确定分子分母的公因式的方法：
（1）定系数：分子、分母系数的最大公因数 （2）定字母：相同字母取最低次幂
分式的分子是多项式
一个负号随便走；
两个负号都没有；
三个负号剩一个！
当堂达标
见导学案上的当堂达标.
布置作业
课本Ｐ24: 习题2.2 2、3题.
符号语言：
如果 a,b,c 都是整数，且 c 0 ，那么
a a c ; a a c 。 b b c b b c
分式有什么性质呢？
教学目标
1.理解和掌握分式的基本性质，并会利用分式 的基本性质进行简单的恒等变形。 2.理解约分与最简分式的概念，会将一个分式 化成最简分式或整式。 3.掌握分式的符号法则。
分式的分子与分母都乘（或除以）
同一个不等于0的整式，分式的
1基.分本式性的质：值质（不。2）变符.这号个语性言质：叫做分式的基本性
分式的基 本性质
2.分式的
a a m ; a a m (m 0) b Bm b bm
约分、最简分式的概念
约分
分式的分子是单项式
约分的方法
3.分式的符 号法则：
口诀：
合作探究 探究一：分式的基本性质
n2 n （1）分式 mn 与 m 相等吗？ （2）分式 a 与 1 相等吗？
2a 2 a a m ; a a m (m 0)
分式的基本性质：b分B式m b 的bm分子与分母都乘 （或除以）同一个不等于0的整式，分式的 值不变.这个性质叫做分式的基本性质。
鲁教版(五四制)八年级上册数学课件2.4分式方程(3)
2、某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市
后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购
数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第
二批用了6300元。
⑴求第一批购进书包的单价；
⑵在商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部
售出后，商店共盈利多少元？
东平县初中数学
灿若寒星
当堂达标
东平县初中数学
灿若寒星
做一做
某单位将沿街的一部分房租出租，每间房屋的 租金相同。已知每间房屋的租金第二年比第一 年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6 万元，第二年为10.2万元。
（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？ （2）根据这一情景你能提出哪些问题？ （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各 是多少吗？
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
东平县初中数学
八年级数学上册第二章分式与分式方程
东平县初中数学
灿若寒星
复习导入
•回忆列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
列一元一次方程解应用题的步骤： •审清题意； •设未知数，用含未知数的式子表示其他未知量； •根据题意找出等量关系，列出方程； •解方程，并检验； •写出答案。
东平县初中数学
灿若寒星
例题讲解
• 例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格
，每立方水费上涨原价的
1 3
，小丽家去年12
月的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是
28元，已知小丽家今年7月的用水量比去年12
月份的用水量多3立方米，求该市今年居民的
用水的价格.
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月份的用水量 –小丽家去年12月份的用水量=3m³
2024八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程第1课时分式方程课件鲁教版五四制
年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出满足x的方
程. 你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
解：根据题意，得(1－12%)x＝950；
950
950
1－12%＝
，x＝ 1－12% ，
x
x－12%x＝950，
950
其中1－12%＝
是分式方程．
x
2. 预习完分式方程的概念，小丽举出了以下方程，你认为
90
＝
D.
35＋v 35－v
3. 甲、乙二人做某机械零件，甲每时比乙多做6个，甲做90
个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每时做x
个零件，下面所列方程正确的是( A )
90
60
＝
A.
x x－6
90
60
＝
B.
x x＋6
90
60
＝
C.
x－6 x
90
60
＝
D.
x＋6 x
练点1 分式方程的定义
1. 下列方程不是分式方程的是(
乙车间每天生产电子元ห้องสมุดไป่ตู้1.3x个，
甲、乙两车间每天共生产电子元件(x＋1.3x)个，
2 300
根据题意可得方程： x
2 300
x 1.3 x
33.
归纳
在实际问题中建立分式方程的模型，关
键是要明确题目中的等量关系，一般会出现
“某某相等” 或是“某某相差多少”等，可
以根据这些等量关系列出方程．
1. 李庄村原来用10 hm2耕地种植粮食作物，用80 hm2耕地
种植经济作物. 为了增加粮食作物的种植面积，该村计划
将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作 物，使得粮
程. 你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
解：根据题意，得(1－12%)x＝950；
950
950
1－12%＝
，x＝ 1－12% ，
x
x－12%x＝950，
950
其中1－12%＝
是分式方程．
x
2. 预习完分式方程的概念，小丽举出了以下方程，你认为
90
＝
D.
35＋v 35－v
3. 甲、乙二人做某机械零件，甲每时比乙多做6个，甲做90
个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每时做x
个零件，下面所列方程正确的是( A )
90
60
＝
A.
x x－6
90
60
＝
B.
x x＋6
90
60
＝
C.
x－6 x
90
60
＝
D.
x＋6 x
练点1 分式方程的定义
1. 下列方程不是分式方程的是(
乙车间每天生产电子元ห้องสมุดไป่ตู้1.3x个，
甲、乙两车间每天共生产电子元件(x＋1.3x)个，
2 300
根据题意可得方程： x
2 300
x 1.3 x
33.
归纳
在实际问题中建立分式方程的模型，关
键是要明确题目中的等量关系，一般会出现
“某某相等” 或是“某某相差多少”等，可
以根据这些等量关系列出方程．
1. 李庄村原来用10 hm2耕地种植粮食作物，用80 hm2耕地
种植经济作物. 为了增加粮食作物的种植面积，该村计划
将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作 物，使得粮
鲁教版(五四制)八年级上册2.4解分式方程课件(共15张PPT)
你认为x=2是原方程的根吗？为什么？ 与同伴交流你的看法或做法.
增根与验根
在上面的方程中,x=2不是原方程的根,因为它使得原分
式方程的分母为零,我们你它为原方程的增根.
产生增根的原因,是我们在方程的两边同乘了一个可能 使分母为零的整式.
因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须 检验.
2.在解方程1 x 1 2,时小亮的解法如下: x2 2x
解 : 方程的两边乘以 xx 2,得
x 3x 2.
你能否从中总
解这个方程,得
x 3
结出分式方程 的解法?
检验:将 x 3 代入原方程,得
左边 1 右边. 所以, x 3是原方程的根 .
想一想
解分式方程一般需要哪几个步骤? 去分母，化为整式方程： ⑴把各分母分解因式; ⑵找出各分母的最简公分母; ⑶方程两边各项乘以最简公分母; 解整式方程. 检验. 结论：确定分式方程的解.
解 : 方程的两边乘以 x 2,得
1 x 1 2x 2.
解这个程 ,得 x 2.
检验 : 将x 2代入x 2,得 x 2 2 2 0.
x 2是原方程的增根,舍去.
所以,原方程没有实数根.
试说明这样检验的理由.
【例2】解方程 1 2x x 1 x2 1
有增根,则m=?
(2)解分式方程
3 x
6 x 1
x5 x(x 1)
想一想
解分式方程容易犯的错误主要有：
1. 去分母时，原方程的整式部分漏乘． 2. 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 3. 增根不舍掉. 4. 符号问题. 5. ……
①数量=总价÷单价 ②工作时间=工作总量÷工作速度 ③时间=路程÷速度
增根与验根
在上面的方程中,x=2不是原方程的根,因为它使得原分
式方程的分母为零,我们你它为原方程的增根.
产生增根的原因,是我们在方程的两边同乘了一个可能 使分母为零的整式.
因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须 检验.
2.在解方程1 x 1 2,时小亮的解法如下: x2 2x
解 : 方程的两边乘以 xx 2,得
x 3x 2.
你能否从中总
解这个方程,得
x 3
结出分式方程 的解法?
检验:将 x 3 代入原方程,得
左边 1 右边. 所以, x 3是原方程的根 .
想一想
解分式方程一般需要哪几个步骤? 去分母，化为整式方程： ⑴把各分母分解因式; ⑵找出各分母的最简公分母; ⑶方程两边各项乘以最简公分母; 解整式方程. 检验. 结论：确定分式方程的解.
解 : 方程的两边乘以 x 2,得
1 x 1 2x 2.
解这个程 ,得 x 2.
检验 : 将x 2代入x 2,得 x 2 2 2 0.
x 2是原方程的增根,舍去.
所以,原方程没有实数根.
试说明这样检验的理由.
【例2】解方程 1 2x x 1 x2 1
有增根,则m=?
(2)解分式方程
3 x
6 x 1
x5 x(x 1)
想一想
解分式方程容易犯的错误主要有：
1. 去分母时，原方程的整式部分漏乘． 2. 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 3. 增根不舍掉. 4. 符号问题. 5. ……
①数量=总价÷单价 ②工作时间=工作总量÷工作速度 ③时间=路程÷速度
2022八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程1ppt教学课件鲁教版五四制
解：
x 5
69000 x 3
3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加 电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。 后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠， 一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的 费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原
定是x人，那么 x 满足怎样的分式方程?
解：10 x 5 . 80 x 7
7.从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长 600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高 速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度 比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到 乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地 所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地 到乙地所需要的时间？ 解：该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的 时间为xh
(1) 1 (x 3) 1.x找找（看，否下）列方程哪; 些(是2)分式1方程 1：（ 是）
2
2x
(3)
x 3 1 x 1 2 x
（是） ; (4)
x 2
x 3
1（否
）
2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项
重还hm要林2 生与态退工耕程还．草某的地面规积划比退为耕5∶面3积，共设退69耕00还0 ，林退的耕面 积为 x ，那么 x 满足怎hm样2 的分式方程？
解：设第一块小麦实验田的每公顷的产量为 x ㎏
9000
15000
x x 3000
6.李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物， 用80hm2耕地种植经济作物。为了增加粮食 作物的种植面积，该村计划将部分种植经济 作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作 物的种植面积与经济作物的种植面积之比为 5:7.设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植 粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
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则今年的水价为_(_1 ___31_)x_ 元/米³，由题意得
28 (1 1 ) x
1 4 .7 x
3
3
今年7月用水量-去年12月用水量=3米³
2021
7
总结归纳
用分式方程解决实际问题的基本过程有 几个步骤？
审找设列解 验答
2021
8
巩固练习
1.小明和同学一起去书店买 书，他们先用15元买了一种科 普书若干本，又用15元买了一 种文学书若干本，每本科普书 的售价是每本文学书售价的1.5 倍，因此他们买的科普书比文 学书少1本，这种科普书和文学 书每本的售价各是多少？
= 根据题意得： 96000 x
102000 x 500
2021
4
合作探究
某小区将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的
租金相同，已知每间房屋的租金第二年比第一年
多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第
二年为10.2万元. 4、房间数是多少？
解：设共有x间房屋出租
根据题意得：
102000 x
96000 =500
习题2.10 第1,2,3题
某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用 水不超过5米³,则每立方米收费1.5元;若每户每月 用水超过5米³,则超出部分每立方米收取较高的定 额费用.1月份,张家用水量是李家用水量的 2 ,张家 当月水费是17.5元,李家当月水费是27.5元.3 超出5 米³的部分每立方米收费多少元？
2.根据方程 45 30 联系实际生活你能自编一道 x x3
应用题吗？（要求：题目完整，题意清楚）
2021
9
检测评价
1.某商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现
供不应求，又购进第二批同样的书包，所购数量是
第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用
了6300元. 如果设第一批购进书包的单价是x元，
①这两年租金是多少？ ②房间数是多少？
2021
3
合作探究
某小区将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的
租金相同，已知每间房屋的租金第二年比第一年
多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第
二年为10.2万元.
3.利用方程求出这两年每间房屋的租金是多少？
解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年 租金是（x+500）元。
(2)第一年出租房屋间数=第二年出租的房屋间数
( 3 ) 每间房屋租 房 房金 屋 屋总 数租 量金
2021
2
某小区将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的 租金相同，已知每间房屋的租金第二年比第一年 多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第 二年为10.2万元.
2.根据这一情境，你能提出哪些问题?
x
2021
5
点拨精讲
例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立 方米水费上涨原价的 1 .小丽家去年12月份的水费是
3
14.7元,而今年7月份的水费是28元.已知小丽家今年 7月份的用水量比去年12月份的用水量多3米³,求该 市今年居民用水的价格.
2021
6
点拨精讲
解:设该市去年居民用水的价格为x元/米³，
则可得方程( 2000•3 6300 )
x
x4
2.烟台市某学校2016年购买甲、乙两种不同足球，
分别花费2000元、1400元，已知购买甲种足球数
量是乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比
一个甲种足球多花20元．求购买一个甲足球和一个
乙足球各需多少元？ 甲：50元/个
乙202：1 70元/个
10
课后作业
2021
11Βιβλιοθήκη 鲁教版数学八年级上册第二章 分式与分式方程 第四节 分式方程（3）
2021
1
做一做：某小区将沿街的一部分房屋出租，每 间房屋的租金相同，已知每间房屋的租金第二年 比第一年多500元，所有房屋的租金第一年为9.6 万元，第二年为10.2万元.
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
(1)第一年每间的租金=第二年每间的租金－500