电磁感应微元法2018

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”

所谓：“微元法”

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1. 什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑 用微元法解题。

2. 关于微元法。在时间t 很短或位移 X 很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动， 运动图象中的梯形可以看作矩形，所以 V t X ，lv t lx s 。微元法体现了微分思

想。

3. 关于求和 。许多小的梯形加起来为大的梯形， 即 s S ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且 V v v 0，当末速度V 0时，有 v v 0，或初 速度v o 0时，有 v v ,这个求和的方法体现了积分思想。

4.

无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理

，都可以用微元法.

如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。

对于使用老教科书的地区， 这两种解法用

哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，

因为课程标准教科书把动量的内

容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。 电磁感应中的微元法

一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割

磁感线运动，产生感应电动势为 E BLv ，感应电流为I

1.只受安培力的情况

例1.如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有

F BIL

B 2L 2

v ，因为是变力问题，所以可以用微元法

BLv

，受安培力为

R

竖直向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。质量为 m 、电阻为r 的导体棒从高度为 h 的斜 轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为 S 而停

下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度

V o ；

（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度

v 与在水平导轨上滑行的距离

x 的函数关

系，并画出V x 关系草图。

（3）求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为

S/4、S/2时的速度V 1、v 2 ；

h

x

S/4

S/2

S

例题图

安培力的方向与速度 V 方向相反。

解：（1）根据机械能守恒定律，有

mgh

-mv 2，得 V o 2

2gh 。

（2）设导体棒在水平导轨上滑行的速度为 V 时，受到的安培力为

BIL

B 2L 2

v R

用微元法，安培力是变力，设在一段很短的时间 t 内，速度变化很小，可以认为没有变化,

所以安培力可以看做恒力，根据牛顿第二定律，加速度为

B 2L 2

mR

v ,很短的时间

m

B 2

L 2

x

mR

2?既受安培力又受重力的情况 例2. 2010年南京市高考模拟题

磁场的磁感应强度随竖直向下的 z 轴按B B 0 kz 得规律均匀增大，已知重力加速度为

求: (1)

线框竖直方向速度为 v !时，线框中瞬时电流的大小;

(2)

线框在复合场中运动的最大电功率；

2

1

解：(1 )因在竖直方向两边的磁感应强度大小不同，所以产生感应电流为

2

t 内速度的变化为 v at

B 2L 2

v

mR

而v t x ，那么在时间t 内速度的变化为

因为 ，所以

匹)x ，速度

mR

v V o V v o

如图所示，竖直平面内有一边长为

L 、质量为m 、 电阻为R 的正方形线框在竖直向下的匀强

重力场和水平方向的磁场组成的复合场中以初速度

v 0水平抛出，磁场方向与线框平面垂直，

g ，

(3)

若线框从开始抛出到瞬时速度大小到达 V 2所经历的时间为t ，那么，线框在时间t 内

的总位移大小为多少?

e (B2BJLv! kL

i

R R R

(2)当安培力等于重力时竖直速度最大，功率也就最大

2 2 、

m g R mgv m 〒 k L

从例题可以看出，所谓微元法是数学上的微积分理念在解物理题中的应用 3.重力和安培力不在一条直线上的情况 例3 . 2008年高考江苏省物理卷第15题

如图所示，间距为L 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为

mg

(B 2 BJL

2 2

(B 2 BJLv m

R

I 2| 4 k L v m

R

所以

P m

（3）线框受重力和安培力两个力，其中重力

mg 为恒力，安培力

（B

2 B1） Lvz

上±空为变力，我们把线框的运动分解为在重力作用下的运

R R

动和在安培力作用下的运动。 在重力作用下，在时间t 内增加的速度为（v ）1 gt ，求

在安培力作用下在时间t 内增加的速度为（V ）2 用微元法，设在微小时间

t 内，变力可以看做恒力，变加速运动可以看做匀加速运动,

速度为a

I 2 | 4

| 2 4

k L v z

k L v z

-，则在

t 内速度的增加为 v

z

t ，而v z t

z ，所以

在时间t 内由于安培力的作用而增加的速度（因为增加量为负，所以实际是减小）为

k 2L 4

(v)2

箱

k 2L 4

z ，所以（v ）2

z

mR

再根据运动的合成，时间t 内总的增加的速度为

(v)i ( V)2= gt

k 2L 4

mR

从宏观看速度的增加为 ：.V ； v 0 ,所以gt

哼 z = .「2 ,

mR

得线框在时间 t 内的总

位移大小为z

mR(gt v ； k ；L 4

v ；）

。

0,导轨光滑且电

阻忽略不计.场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d i,间距为d2.两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度为g）

⑴若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个

磁场区域过程中增加的动能△ E k ；

⑵若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，

b又恰好进入第2个磁场区域.且a. b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q;

⑶对于第⑵问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v.

磁场区域3 ■- B丄…

d2

d i

d i

d2

d i

磁场区域5 ■- B d

2

d i

d2

解：⑴因为a和b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流

为和b均不受安培力作用，由机械能守恒得

0，所以a

E k mgd i sin ①

⑵设导体棒刚进入无磁场区时的速度为v1,刚离开无磁场区时的速度为v2，即导体棒刚进入磁场区时的速度为v2,刚离开磁场区时的速度为v1，由能量守恒得:

在磁场区域有: 在无磁场区域:

2

mv1

2

Q mv；

2

mgd-i sin

2

mv2

2 2

2

mv i

2 1

mgd2sin

解得：Q mg(d i d2)s in

⑶用微元法

设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为在无磁场区域有：v2 v1gtsin

且平均速度:

W v2d2 2 t

在有磁场区域，对a棒：F mg sin BII

解得：F mgsin

2 2

B I v 2R

因为速度v是变量, 用微元法

根据牛顿第二定律,在一段很短的时间

则有v gsin B2l2v

2mR

所以

因为导体棒刚进入磁场区时的速度为v2,刚离开磁场区时的速度为v1,