结构化学7上课讲义
《结构化学》课件
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目录
• 结构化学简介 • 原子结构与性质 • 分子的电子结构与性质 • 晶体结构与性质 • 结构化学实验结构化学的定义
总结词
结构化学是一门研究物质结构与 性质之间关系的科学。
详细描述
结构化学主要研究原子的排列方 式、电子分布和分子间的相互作 用，以揭示物质的基本性质和行 为。
晶体的电导率、热导率等性质取决于其内 部结构，不同晶体在这些方面表现出不同 的特性。
晶体的力学性质
晶体材料的应用
晶体的硬度、韧性等力学性质与其内部原 子排列密切相关，这些性质决定了晶体在 不同工程领域的应用价值。
晶体材料广泛应用于电子、光学、激光、 半导体等领域，如单晶硅、宝石等。了解 晶体的性质是实现这些应用的关键。
分子的选择性
分子的选择性是指分子在化学反应中对反应物的选择性和对产物的选择性。选择性强的分 子可以在特定条件下优先与某些反应物发生反应，产生特定的产物。
04
晶体结构与性质
晶体结构的基础知识
晶体定义与分类
晶体是由原子、分子或离子在空 间按一定规律重复排列形成的固 体物质。根据晶体内部原子、分 子或离子的排列方式，晶体可分 为七大晶系和14种空间点阵。
电子显微镜技术
• 总结词：分辨率和应用 • 电子显微镜技术是一种利用电子显微镜来观察样品的技术。相比光学显微镜，
电子显微镜具有更高的分辨率和更大的放大倍数，因此可以观察更细微的结构 和组分。 • 电子显微镜技术的分辨率一般在0.1~0.2nm左右，远高于光学显微镜的分辨 率（约200nm）。因此，电子显微镜可以观察到更小的晶体结构、病毒、蛋 白质等细微结构。 • 电子显微镜技术的应用范围很广，例如在生物学领域中，可以用于观察细胞、 病毒、蛋白质等生物样品的结构和形态；在环境科学领域中，可以用于观察污 染物的分布和形态；在材料科学领域中，可以用于观察金属、陶瓷、高分子等 材料的表面和断口形貌等。
结构化学(共10张PPT)
物理化学
化学键
结构与化学键
原子轨道 电
分子轨道
子 因
成键力 素
分子、晶体的立体结构
键 键 对 连原 角 长 称 接子
性 形间 式
几何因素
结构化学的核心问题
子力学理论
周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北京大学出版社
分子结构的化学键理论 学习过程中，正确理解和处理好模型、概念、方法、结论之间的关系。
实际意义。然后再去研究中间的推导过程，不要迷失
在繁复的数学处理中。
4 教材及主要参考
1.周公度《结构化学基础》(第四版)，北京大学 出版社， 2.周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北 京大学出版社 3.东北师范大学等 《结构化学》，高等教育出 版社，2003 4.徐光宪《物质结构》（第二版），科学出版社，
晶体结构的点阵理论
电子结构； 几何结构 周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北京大学出版社
分子、晶体的立体结构
一条主线： 结构－性质－应用
结构化学课程的特点
抽象性（微观理论，结构实验）
综合性（学科交叉，数理方程，现代实验）
开放性（新理论，新方法，内容的拓展）
3 结构化学的学习方法
学习过程中，正确理解和处理好模型、概念、
东北师范大学等 《结构化学》，高等教育出版社，2003
综合性（学科交叉，数理方程，现代实验）
晶体结构的点阵理论 分子、晶体的立体结构
抽象性（微观理论，结构实验）
晶体结构的点阵理论
抽象性（微观理论，结构实验）
分子结构的化学键理论
两个要素： 晶体结构的点阵理论
周公度《结构化学习基础题解析》(第四版)，北京大学出版社 分子结构的化学键理论
结构化学课件
八面体场中d轨道能级分裂
配合物离子的颜色
所吸收光子的频率与分裂能大小有关。 颜色的深浅与跃迁电子数目有关。
•
配 合 物 的 颜 色
影响o的因素(中心离子,配位体,晶体场)
1 中心M离子：电荷Z增大， o增大
主量子数n增大， o增大
o /cm-1
o /cm-1
2 配位数为 4 的配合物
[BeX4]2-四面体
四 配 位 的 平面正方形，μ=0 配 合 物
四面体，μ=2.83B.M.
3 六配位的配合物
μ=2.4B.M. μ=5.90B.M.
内轨形 外轨形
价键理论小结：
价键理论的优势：直观明了，使用方便， 很好地解释了配合物的空间构型、磁性、稳 定性。
3．分子轨道理论
配位化合物饿分子轨道理论是用分子轨道理论 的观点和方法处理金属离子和配位体的成键作用。
4． 配位场理论
配位场理论是晶体场理论的发展，其实质是配 位化学物的分子轨道理论。在处理中心金属原子 在其周围配位体所产生的电场作用下，金属的原 子轨道能级发生变化时，以分子轨道理论方法为 主，根据配位场的对称性进行简化，并吸收晶体 场理论的成果，阐明配位化合物的结构和性质， 它与纯粹的分子轨道理论有一定的差别，故称配 位场理论。
排布原则： （1）能量最低原理
（2）Hund规则
（3）Pauli不相容原理
电子成对能（P）：两个电子进入同一轨
道时需要消耗的能量。
强场：o > P
弱场：o < P
八面体场中电子在t2g和eg轨道中的分布
八面体场中电子在t2g和eg轨道中的分布
例：
o /J
P/J 场
结构化学第七章课件
Laue方程的推导
a (cos －cos0 )= h h为整数 即在入射角为0 时，在方向产
生衍射。
直线点阵上衍射圆锥的形成
Laue 方程组： 对于空间点阵，应同时满足以下三式，
h、k、l为整数(但并不都是互质整数)－－衍射指标。
Laue 方程把衍射方向和晶胞参数联系在一起。
Laue方程组决定了衍射方向的分立性，因为空间点阵的 衍射方向是以三个互不平行的直线点阵为轴的的三组圆 锥面的共交线，所以只有某些特定方向上才会出现衍射。
h k l=nh* nk* nl* 才能产生反射。 如果某一晶面(h*k*l*)产生n级衍射，则可把其看作是晶 面(nh*nk*nl*)的一级衍射。晶面(h*k*l*)的面间距为d， 则晶面(nh*nk*nl*)的面间距就是d/n，于是Bragg方程可 写成：
2 (dh*k*l*)/n sinn = 即：2 dhkl sin =
d hkl
a h2 k2 l2
正交晶系
dh*k*l*
1 ( h* )2 ( k )2 (l )2
abc
六方晶系
dh*k*l*
1
4( h*2
hk 3a2
k
2
)
l 2 c2
Bragg方程表明，晶面指标为(h*k*l*)的晶面只对某些
角的入射线产生反射。可以证明，对于这些晶面，只有 衍射方向hkl和晶面指标(h*k*l*)满足：
1. 宏观对称元素和对称操作 晶体的理想外形在宏观表现出来的对称性
对称元素 旋转轴 (n或n) 反映面 (m) 对称中心 (i)
反轴 ( n )
对称操作
旋转 L() =2/n
反映 M 反演 I
旋转反演L()I
周公度第四版结构化学第七章-晶体的点阵结构和晶体的性质
① 所选平行六面体应能反映晶体的对称性。 ② 晶胞参数中轴的夹角、、 为90o的数目最多。 ③ 在满足上述两个条件下，所选的平行六面体的体积最小。
7.2.4 晶体的空间点阵型式
在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格子, 由布 拉维（O.Bravais）1895年确定.
滑移面对应的对称操作是反映 和平移的联合操作。
滑移面有几种类型.
a滑移面的基本操作是对于该面 (假象镜面)反映后，再沿平行 于此面的x 轴方向平移 ta/2。 ta 是x 轴方向的平移周期 a。 有时将平移直接写成 a/2.
轴线滑移面a(b或c)： 通过镜面反映后，再沿a轴(b或c)方向滑移a/2(b/2或c/2)
a, b, c 选与三次轴交成等角 的晶棱
c∥3; a,b∥2 或⊥m或选a,b⊥c 的 晶棱
特征对称元素与晶轴的选取
晶系
特征对称元素
正交
3个互相垂直的二重对称轴 或2个互相垂直的对称面
单斜 1个二重对称轴或对称面
三斜
无
晶胞类型
晶轴的选取
a b c, α=β=γ=90º a b c,
α=γ=90º a bc αβγ
特征对称元素与晶轴的选取
晶系 特征对称元素
立方
4个立方体对角线 上有三重旋转轴
四方 1个四重对称轴
晶胞类型
晶轴的选取
a = b = c, α=β=γ=90º
4个3∥立方体的4个对角线，立方 体的3个互相垂直的边即为a,b,c的 方向
a = b c,
α=β=γ=90º
c∥4； a,b∥2 或选⊥m 或选 a,b ⊥c 的晶
结构化学 课件 第七章
OP矢量r=ua+vb+wc=3a+2b+3c, 所以，P点阵点指标为323
直线点阵指标 [uvw]
OQ矢量 r =ua+vb+wc=1a+2b+1c, 直线点阵MN与OQ平行或重合，所以，MN直线点阵指标为[121]
平面点阵指标（h*k*l* )
（h*k*l*)=(010)
(111)晶面
相互平行的一族平面点阵, 其（h*k*l*)相同:
矩形框中内容为一个结构基元，可抽象为一个点阵点.安 放点阵点的位置是任意的，但必须保持一致,这就得到点阵:
三维周期性结构与空间点阵
下列晶体结构如何抽象成点阵？
Mn
(简单立方)
Li Na K Cr Mo W…
(体心立方)
以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点.
例：Ni Pd Pt Cu Ag Au ……
净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点 阵点者是复格子；平面素格子、复格子的取法都有 无限多种. 所以需要规定一种 “正当平面格子”标准.
正当平面格子的标准
1. 平行四边形 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少 平面格子净含点阵点数：顶点为1/4；棱心为 1/2；格内为1. 正当平面格子有4种形状，5种型式（其中矩 形有带心与不带心两种型式）：
面心立方是一种常见 的金属晶体结构，其 中每个原子都是一个 结构基元，都可被抽 象成一个点阵点.
CsCl型晶体结构
CsCl型晶体中A、B是不同的原子，不能都被抽象为点阵 点. 否则，将得到错误的体心立方点阵！这是一种常见的错误：
体心立方虽不违反点阵定义，却不是CsCl型晶体的点阵！ 试将此所谓的“点阵”放回晶体，按“点阵”上所示的矢量，对 晶体中的原子平移，原子A与B将互换，晶体不能复原！
结构化学讲义
第一章 量子力学基础和原子结构第1节 量子力学建立的实验和理论背景㈠ 黑体辐射问题和普朗克的量子假说 1. 黑体辐射问题黑体可以吸收全部的外来辐射，同时黑体在所有温度下不断地向外辐射电磁波。
在试图对黑体辐射的能量分布曲线进行理论解释时，人们发现，在经典物理的范畴内无法解决这个问题。
2. 普朗克的量子假说为解释黑体辐射问题，普朗克假设：能量在发射和吸收的时候，不是连续不断，而是分成一份一份的。
而经典物理则认为：一切自然的过程都是连续不断的。
①把黑体看作是由不同频率的谐振子组成。
(谐振子是进行简谐运动的振子，其运动可用正弦或余弦函数描述)②谐振子的能量具有最小单位ε0，称为能量子(后称为量子)，00νεh =其中，h =6.626×10-34 J ⋅s 称为普朗克常数；ν0是谐振子的振动频率。
③谐振子的能量E 只能是最小单位ε 0的整数倍，而不能是其它值，...,,n n E 3210==ε④谐振子吸收或发射能量时，能量的变化为()()01201212νε∆h n n n n E E E --=-=＝即，能量的吸收和发射不是连续的，必须以量子的整数倍一份一份的进行。
所谓量子化是指物理量不连续变化。
㈡ 光电效应和爱因斯坦的光量子论 1. 光电效应光电效应是指，光照在金属表面上时，金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属表面的现象。
从金属表面逸出的电子称为光电子，由光电子形成的电流称为光电流。
2. 光电效应的实验事实①对于特定的金属，入射光的频率ν必须大于某个特定值ν0，电子才能逸出，ν0称为临阈频率。
即，电子是否逸出决定于光的频率，与强度无关。
②对于ν>ν0的入射光，一经照射，电子立即逸出，没有时间上的延迟。
即，没有能量的积累过程。
③逸出电子的动能随光的频率而增加，与光的强度无关。
④光的强度越大，逸出的电子越多。
即，逸出电子的数量，决定于光的强度，与频率无关。
3. 经典电磁理论的困难按照经典电磁理论：⑴光是电磁波，其能量由波的强度决定，光的强度越大，光电子的动能应该越大；⑵电子吸收光的能量是一个连续积累的过程，低强度的光长时间照射应该能使光电子逸出；⑶频率越高，振动就越频繁，应该使更多的电子逸出。
《结构化学》第七章
注：分数坐标与选取晶胞的原点有关
Nankai University
Cl-: 0,0,0; 1/2,1/2,0; 0,1/2,1/2; 1/2,0,1/2 Na+: 1/2,0,0; 0,1/2,0; 0,0,1/2; 1/2,1/2,1/2
Nankai University
S= : 0,0,0; 2/3,1/3,1/2; Zn++: 0,0,5/8; 2/3,1/3,1/8
宏观晶体的晶面指标 对于宏观晶体的外形晶面进行标记时，习惯
上把原点设在晶体的中心，根据晶体的所属晶系 确定晶轴的方向，两个平行的晶面一个为(hkl)， 另一个为 (h kl )
Nankai University
晶面间距：任三个晶轴上截数为整数的一族晶 面中，相邻晶面间的垂直距离
立方晶系： 正交晶系：
X
OP= xa+yb+zc
x, y, z为P原子的分数坐标。x, y, z
为三个晶轴方向单位矢量的个数
Y
(是分数)(晶轴不一定互相垂直)。 x, y, z一定为分数
• 凡不到一个周期的原子的坐标都必须标记，分数坐标， 即坐标都为分数，这样的晶胞并置形成晶体；
• 这里的分量不一定是垂直投影。 • 一个晶胞内原子分数坐标的个数，等于该晶胞内所包括
数学抽象
晶体
点阵
点阵结构
点阵点
结构基元
直线点阵
晶棱
平面点阵
晶面
空间点阵
晶体
正当单位
正当晶胞
7种形状 14种布拉威格子
7个晶系 14种布拉威晶格
Nankai University
7.1.4 晶胞 晶胞：点阵结构中划分出的平行六面体叫晶胞， 它代表晶体结构的基本重复单位。
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结构化学707晶体的点阵结构和晶体的性质【7.1】若平面周期性结构系按下列单位并置重复堆砌而成，请画出它们的点阵素单位，并写出每个素单位中白圈和黑圈的数目。
解：用实线画出素单位示于图8.1（a）。
各素单位黑点数和圈数列于下表：图8.1（a）号数 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 02 4黑点数目圈数目 1 1 1 2 3 1 3-键长为142pm，试根据它的结构画出层型石墨分【7.2】层状石墨分子中C C子的原子分布图，画出二维六方素晶胞，用对称元素的图示记号标明晶胞中存-键在的全部六重轴，并计算每一个晶胞的面积、晶胞中包含的C原子数和C C 数。
解：石墨层型分子结构示于图8.2（a），晶胞示于图8.2（b），在晶胞中六重轴位置示于图8.2（c），图中数字单位为pm。
图8.2 石墨层型分子的结构由图（a）可见，在层型石墨分子结构中，六元环中心具有六重轴对称性，而每个C原子则具有六重反轴对称性。
晶胞边长a和b可按下式计算：2142cos30246a b pm pm==⨯⨯=o晶胞面积可按下式计算；42sin60246246sin60 5.2410a b pm pm pm⨯⨯=⨯⨯=⨯o o晶胞中有2个C原子，3个C－CN键。
【7.3】画出层状石墨分子的点阵素单位及石墨晶体的空间点阵素单位（参照图8.1.4），分别说明它们的结构基元。
解：按上题可得层型石墨分子的晶胞结构，示于图8.3（a），它的点阵素单位示于图8.3（b），结构基元中含2个C原子。
石墨晶体的晶胞示于图8.3（c），点阵单位示于图8.3（d）。
结构基元中含4个C原子。
图8.3 石墨的结构【7.4】有一AB型晶体，晶胞中A和B的坐标分别为()0,0,0和()1/2,1/2,1/2。
指明该晶体的结构基元。
解：不论该晶体属于哪一个晶系，均为简单的空间点阵，结构基元为AB。
【7.5】下表给出由X 射线衍射法测得一些链型高分子的周期。
请根据C 原子的立体化学，画出这些聚合物的一维结构；找出他们的结构基元；画出相应的直线点阵；比较这些聚合物链周期大小，并解释原因。
高分子 化学式链周期/pm聚乙烯 ()22n -CH -CH -252聚乙烯醇 ( )-CH 2-CH- | OHn252聚氯乙烯(-CH 2-Ch-)n | Cl510聚偏二氯乙烯Cl |(-CH 2-C-)n|Cl470解：依次画出这些高分子的结构于下：在聚乙烯，聚乙烯醇和聚氯乙烯分子中，C 原子以3sp 杂化轨道成键，呈四面体构型，C －C 键长154pm ，C C C ∠--为109.5o，全部C 原子都处在同一平面上，呈伸展的构象。
重复周期长度前两个为252pm ，这数值正好等于：109.52154sin 2522pm pm⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭o聚氯乙烯因Cl 原子的范德华半径为184pm ，需要交错排列，因而它的周期接近252pm 的2倍。
聚偏二氯乙烯因为同一个C 原子上连接了2个Cl 原子，必须改变－C －C －C －键的伸展构象，利用单键可旋转的性质，改变扭角，分子中的C 原子不在一个平面上，如图所示。
这时因碳链扭曲而使周期长度缩短至470pm 。
高分子立体结构结构基元聚乙烯()22CH聚乙烯醇2CH CHOH聚氯乙烯()22CH CHCl聚偏二氯乙烯()222CH CCl【7.6】有一组点，周期地分布于空间，其平行六面体单位如右下图所示，问这一组点是否构成一点阵？是够构成一点阵结构？请画出能够概括这一组点的周期性的点阵及其素单位。
AAAAAABBCC解：不能将这一组点中的每一个点都作为点阵点，因为它不符合点阵的要求，所以这一组点不能构成一点阵。
但这组点是按平行六面体单位周期地排布于空间，它构成一点阵结构。
能概括这组点的点阵素单位如图8.6（b）。
图8.6【7.7】列表比较晶体结构和分子结构的对称元素和对称操作。
晶体结构比分子结构增加了哪几类对称元素和对称操作？晶体结构的对称元素和对称操作受到哪些限制？原因是什么？ 分子对称性晶体对称性（1）旋转操作——旋转轴 （2）反映操作——镜面 （3）反演操作——对称中心 （4）旋转反演操作——反轴（5）平行操作——点阵 （6）螺旋旋转操作——螺旋轴 （7）反映滑移操作——滑移面由表可见，晶体结构比分子结构增加了（5）—（7）3类对称元素和对称操作。
晶体结构因为是点阵结构，其对称元素和对称操作要受到点阵制约，对称轴轴次为1，2，3，4，6。
螺旋轴和滑移面中的滑移量只能为点阵结构所允许的几种数值。
【7.8】根据点阵的性质作图证明晶体中不可能存在的五重对称轴。
解：若有五重轴，由该轴联系的5个点阵点的分布如图8.8。
连接AB 矢量，将它平移到E ，矢量一端为点阵点E ，另一端没有点阵点，不合点阵的定义，所以晶体的点阵结构不可能存在五重对称轴。
图8.8【7.9】分别写出晶体中可能存在的独立的宏观对称元素和微观对称元素，并说明它们之间的关系。
解：宏观对称元素有； 1,2,3,4,6,,,4i m 。
微观对称元素有：()112123123451,2,2,3,3,3,4,4,4,4,6,6,6,6,6,6,,,,,,,,4,i m a b c n d 点阵。
微观对称元素比宏观对称元素多相应轴次的螺旋轴和相同方向的滑移面，而且通过平移操作其数目是无限的。
【7.10】晶体的宏观对称操作集合可构成多少个晶体学点群？这些点群分属于多少个晶系？这些晶系共有多少种空间点阵型式？晶体的微观对称操作的集合可构成多少个空间群?这些空间群分属于多少个点群？解：32个晶体学点群，7个晶系，14种空间点阵型式，230个空间群，这些空间群分属于32个点群。
【7.11】从某晶体中找到3C 、23C 、h σ和3d σ等对称元素，则该晶体所属的晶系和点群各是什么？解：六方晶系，因为36h C σ+-。
点群是3h D 。
【7.12】六方晶体可按六方柱体（八面体）结合而成，但为什么六方晶胞不能划分六方柱体？解：晶胞一定是平行六面体，它的不相平行的3条边分别和3个单位平移矢量平行。
六方柱体不符合这个条件。
【7.13】按下图堆砌而成的结构为什么不是晶体中晶胞并列排列的结构？解：晶胞并置排列时，晶胞顶点为8个晶胞所共有。
对于二维结构，晶胞顶点应为4个晶胞共有，才能保证晶胞顶点上的点有着相同的周围环境。
今将团中不同位置标上A ，B 如图8.13b 所示，若每个矩形代表一个结构基元，由于A 点和B 点的周围环境不同(A 点上方没有连接线、B 点下方没有连接线)，上图的矩形不是品胞。
晶胞可选连接A 点的虚线所成的单位，形成由晶胞并置排列的结构，如图8.13b 所示。
图8.13a 图8.13b【7.14】已知金刚石立方晶胞的晶胞参数356.7a pm =。
写出其中碳原子的分数坐标，并计算C C -键长和晶体密度。
解：金刚石中碳原子分数坐标为：1111111113313131330,0,0;,,0;,0,;0,,;,,;,,;,,;,,222222444444444444。
C －C 键长可由()0,0,0及111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭两个原子的距离求出；因为立方金刚石356.7a b c pm ===C C r -=356.744154.4a pm pm === 密度/A D ZM N V =()()31231103812.0/6.0210/356.7103.51g mol mol cm g cm ----=⨯⨯⨯=g g【7.15】四方晶系的金红石晶体结构中，晶胞参数458a pm =，298c pm =；原子分数坐标为：()0,0,0;1/2,1/2,1/2Ti ，()0.31,0.31,0;0.69,0.69,0;0.81,0.19,1/2;0.19,0.81,1/2O 。
计算z 值相同的Ti O-键长。
解：z 值相同的Ti －O 键是Ti ()0,0,0和O ()0.31,0.31,0之间的键，其键长Ti O r -为：Ti O r -=0.4380.438458201a pmpm ==⨯=【7.16】许多由有机分子堆积成的晶体属于单斜晶系，其空间群记号为5212/h C P c -，说明该记号中各符号的意义。
利用图8.3.2中12/P c 空间群对称元素的分布。
推出晶胞中和原子（0.15，0.25，0.10）属同一等效点系的其他3个原子的坐标，并作图表示。
解：在空间群记号5212/h C P c -中，2h C 为点群Schonflies 记号，52h C 为该点群的第5号空间群，“—”记号是空间群的国际记号，P 为简单点阵，对单斜晶系平行b 轴有12螺旋轴，垂直b 轴有c 滑移面。
该空间群对称元素分布如下：b 轴从纸面向上1（0.15，0.25，0.10）；3（0.15，0.25，0.60）；2（0.85，0.75，0.40）；4（0.85，0.75，0.90）图8.16【7.17】写出在3个坐标轴上的截距分别为-2a ，-3b 和-3c 的点阵面的指标；写出指标为（321）的点阵面在3个坐标轴上的截距之比。
解：点阵面指标为三个轴上截数倒数的互质整数之比，即()111::3:2:2233⎛⎫= ⎪--⎝⎭，点阵面指标为()322或()322。
指标为()321的点阵面在三个轴上的截距之比为：2a ：3b ：6c 。
【7.18】标出下面点阵结构的晶体指标()100，()210，()120，()210，()230，()010。
每组面话出3条相邻的直线表示。
解：图8.18【7.19】金属镍的立方晶胞参数352.4a pm =，试求200d ，111d ，220d 。
解：立方晶系的衍射指标hkl 和衍射面间距hkl d 的关系为：()12222hkl d a h k l-=++故：()12220012176.22d a a pm -===()122221111113203.5d a a pm-=++==()122222022/124.6d a a pm-=+==【7.20】在直径为57.3mm 的相机中，用Cu K α射线拍金属铜的粉末图。
从图上量得8对粉末线的2L 值为：44.0，51.4，75.4，90.4，95.6，117.4，137.0，mm 解：由L 求θ可按下式：()()()180218024457.3/2L mm L R mm θππ⨯⨯⨯==⨯度()L =度由2sin θ求222h k l ++可用第1条线的2sin θ值去除各线的2sin θ值，然后乘一个合适的整数使之都接近整数值。
由Bragg 公式2sin d θλ=以及立方晶系的()12222hkl ad h k l-=++可得： 222222sin 4h k la θλ=++ 按上述公式计算所得结果列于表8.20。