2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-1
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第8章
第一节
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7．两直线的位置关系 对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
k1＝k2 且 b1≠b2 l1∥l2⇔________________
l1⊥l2⇔k1·2＝____. k －1 对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2＝A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1)．
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3． 圆锥曲线常通过客观题考查圆锥曲线的基本量(概 念、性质)，通过大题考查直线与圆锥曲线的位置关系， 求圆锥曲线的方程等． (1)圆锥曲线定义的应用；(2)圆锥曲线的标准方程； (3)圆锥曲线的几何性质，求离心率，求双曲线的渐近线； (4)直线与圆锥曲线相交弦长及位置关系判断；(5)焦点三 角形；(6)求参数的值或取值范围；(7)讨论最值．
x ＋x y1＋y2 2 1 P . ， 2 2
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3．直线的倾斜角与斜率
向上 (1)x 轴正向与直线______的方向所成的角叫做直线
的倾斜角， x 轴平行或重合的直线倾斜角为零度角． 与 因 此，倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180°.
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4．在知识交汇点处命题是解析几何的显著特征．与 平面向量、三角函数、不等式、数列、导数、立体几何 等知识结合，考查综合分析与解决问题的能力．如结合 三角函数考查夹角、距离，结合二次函数考查最值，结 合向量考查平行、垂直、面积，直线与圆锥曲线的位置 关系与向量结合求参数的取值范围等，与导数结合考查 直线与圆锥曲线位置关系将成为新的热点，有时也与简 易逻辑知识结合命题．
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●课程标准 一、直线与圆的方程 1．直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定 直线位置的几何要素． ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方 法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算 公式． ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
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9．有关距离 (1)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2
人离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离 ②设 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 则 l1 与 l2 的距离 d＝ |C1－C2| A ＋B
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(6)注意分析和积累一些圆锥曲线与其它知识点交叉 综合的题目，能够通过目标分化以及化归转化的思想和 方法进行剖析和肢解，在解决综合问题中去体会和培养 自己的逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.
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直线的方程与两条 第 一 节 直线的位置关系
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5．直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上， 且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个 方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直 线．
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6．直线方程的各种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)表示经过点 P1(x1，y1)且 斜率为 k 的直线．特例：y＝kx＋b 表示过点(0，b)且斜 率为 k 的直线，其中 b 表示直线在 y 轴上的截距．该方 程叫做直线方程的斜截式．
(2)在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时， 可利用 k＝tanα 解．k>0
π π 在 0， 和 ，π 上都是增函数分别求 2 2 π 时，α∈ ，π；k＝0 时， 2
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π 时，α∈0， ；k<0 2
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π α＝0；k 不存在时，α＝ . 2
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知识归纳 1．两点间的距离公式 (1)数轴上任意三点 A、B、C 具有关系 AC＝AB＋BC. (2)数轴上两点 A、B 的距离|AB|＝|xB －xA|. (3)平面上任意两点 A(x1，y2)、B(x2，y2)间的距离|AB| ＝ x2－x12＋y2－y12. 2．以 A(x1，y1)、B(x2，y2)为端点的线段 AB 的中点
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●命题趋势 1．直线的方程命题重点是：直线的倾斜角与斜率，两 条直线的位置关系，对称及与其它知识结合考查距离等． 2．圆的方程命题重点是：由所给条件求圆的方程、直 线与圆的位置关系． (1)待定系数法求圆的方程；(2)圆的切线，直线与圆相 交弦长；(3)圆与圆、直线与圆位置关系判断；(4)圆的几何 性质．
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重点难点 重点：①直线的倾斜角与斜率的概念 ②直线方程的各种形式及适用条件 ③两条直线平行与垂直的判定与应用 ④点到直线的距离、两点间的距离公式 难点：①直线方程各种形式适用条件的掌握 ②含参数的直线位置关系的判定
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二、圆锥曲线与方程 (1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用． (2)经历从具体情境中抽象出椭圆(理： 椭圆、 抛物线) 模型的过程，掌握椭圆(理：椭圆、抛物线)的定义、标准 方程及简单几何性质．
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A1 B1 A1 B1 C1 用比例关系 ≠ 判断相交， ＝ ≠ 判断平行， A2 B2 A2 B2 C2 A1 B1 C1 ＝ ＝ 判断重合，应用方便，但前提是 A2B2C2≠0， A2 B2 C2 它们都不是等价条件． 5．应用两平行直线距离公式时，l1、l2 方程中的 x、 y 系数必须对应相同．
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0 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝__.
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8．两条直线的交点 如果两直线 l1 与 l2 相交，则交点的坐标一定是两条 直线方程组成的方程组的解；反之，如果两直线方程组 成的方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点 必是 l1 和 l2 的交点．
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2．圆锥曲线部分内容多、难度大、综合性强，为了 提高复习效率和学习质量，建议采用以下策略： (1)深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应 用定义解决问题． (2)要熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、 渐近线、对称轴等概念和求法．对于“a、b、c、e、p” 基本量的运算要加强训练．重视待定系数法、定义法的 掌握．
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2．圆与方程 ①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中， 探索并掌握圆的标准方程与一般方程． ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆 与圆的位置关系． ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
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3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数 方法处理几何问题的思想． 4．空间直角坐标系 ①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要 性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点 的位置． ②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行) 顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
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4．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条 直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线 l1、l2 的斜率都存在，且不重合的条件下，才有 l1∥l2⇔k1 ＝k2 与 l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时， A1A2＋B1B2＝0⇔两直线垂直，但 A1B2－A2B1＝0 与两直 线平行不等价．
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2．“截距”与“距离”是两个不同的概念，x 轴上 的截距是直线与 x 轴的交点的横坐标， 轴上的截距是直 y 线与 y 轴的交点的纵坐标，它们可能是正实数，也可能 是负实数或零，而距离则是大于或等于零的实数． 3．使用直线方程时，要注意限制条件．如点斜式、 斜截式的使用条件是直线必须存在斜率 ；截距式使用条 ．．．． 件为两截距都存在且不为零 ；两点式使用条件为直线不 ．．． ．． ．．． ． 与坐标轴垂直． ．．．．．．．
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命题会紧紧围绕数形结合思想、方程思想、分类讨 论思想、运动变化的观点展开．
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●备考指南 1．直线与圆的方程部分 概念多、基本公式多，直线的方程、圆的方程又具 有多种形式，高考命题又以考查基本概念的理解与掌握 为主，故复习时首先要深刻理解直线与圆的基本概念， 清楚直线与圆的方程各自特点、应用范围，熟练地掌握 待定系数法．还应与其它知识尤其是向量结合起来，要 充分利用图形的几何性质和方程的消元技巧，以减少计 算量．深刻领会并熟练运用数形结合的思想方法．
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-3
1.(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案] C[解析]∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评]直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()A. 5B. 6C．2 5 D．2 6[答案] C[解析]x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝25，选C.3．(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，则线段MN的长为()A．2 2 B．3C．2 3 D．6[答案] C[解析]l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝2，则弦长|MN|＝2r2－d2＝2 3.4．(文)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l 对称，则直线l的方程为()A．4x－4y＋1＝0 B．x－4＝0C．x＋y＝0 D．x－y－2＝0[答案] D[解析]两圆方程相减得4x－4y＋1＝9，即x－y－2＝0，选D.[点评]直线l为两圆心连线段的中垂线．(理)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切[答案] C[解析]两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝5<3，所以两圆相交．5．直线x sinθ＋y cosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C ．相交D ．以上都有可能[答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．6．(2011·江南十校联考)若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0[答案] C[解析] 由题知圆心C 的坐标为(1,0)，因为CP ⊥AB ，k CP ＝－1，所以k AB ＝1，所以直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选C.7．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为原点，且OA →·OB→＝2，则实数a 的值等于________． [答案] ±6[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算． 设OA →、OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝R 2·cos θ＝4cos θ＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，则弦AB 的长|AB →|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a |2＝3，解之得a ＝±6. 8．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析]∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝32，∵A到l的距离52，∴所求圆B的直径2r2＝22，即r2＝ 2.设B(m，n)，则由BA⊥l得n－6m－6＝1，又∵B到l距离为2，∴|m＋n－2|2＝2，解出m＝2，n＝2.1.(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A．2条B．3条C．4条D．6条[答案] C[解析]由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．2．(2011·江西理，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y －mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A. (－33，33)B. (－33，0)∪(0,33)C. [－33，33]D．( －∞，－33)∪(33，＋∞)[答案] B[解析]曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C2：y(y－mx－m)＝0表示直线y＝0与y－mx－m＝0，若有四个不同的交点，则直线y－mx－m＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由|2m|1＋m2<1得，－33<m<33，且m≠0，故选B.3．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25 B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝5[答案] B[解析]设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P点轨迹为圆，圆心为C(－1,0)，半径为 5.∴方程为(x＋1)2＋y2＝5，故选B.4．(文)(2011·海淀期末)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋2＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为()A.π2 B ．π C ．3π D ．4π[答案] B[解析] 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.(理)(2010·宁夏联考)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1x 2＋y 2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a ，b )所对应的点的个数为( )A ．24B ．28C ．32D ．36 [答案] C[解析] x 2＋y 2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a ，b )，所以有序数对(a ，b )所对应的点的个数为32.5．(文)(2011·济南三模)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]3[解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y ＝22x ，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d ＝|322|62＝3，所以圆的半径为 3.(理)(2011·杭州二检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.6．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为r ＝32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a －4a 2＞0. 因此，x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.(理)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB→的取值范围． [解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2， ∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)． 7．已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等．∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4my 1y 2＝－4n.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 214·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过M (4,0)点．1．(2010·广东执信中学)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为ax ＋by ＝r 2，则( )A ．m ∥n 且n 与圆O 相离B ．m ∥n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离 [答案] A[解析] 由点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点得，a 2＋b 2<|r |，即a 2＋b 2<r 2，直线OP 的斜率为k 1＝ba ，故直线m 的斜率k m ＝－1k 1＝－ab ，其方程为ax ＋by ＝a 2＋b 2，又直线n ：ax ＋by ＝r 2，故m ∥n ；另一方面，圆心O 到直线n ：ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝|－r 2|a 2＋b2>r2|r |＝|r |，故直线n 与圆O 相离．2．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.3．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.4．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．5．(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选A. 6．若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．7．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38B.516C.58D.316 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.8．(2011·苏州市调研)已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.[答案] 0[解析] 画图分析可知(图略)，当A ，B ，M 均在圆上，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为1.所以d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-4
1.(2011·东莞模拟)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 [答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y21n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m >01n >01m <1n，∴m >n >0，故互为充要条件．3．(文)(2011·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为()A ．－21B ．21C ．－ 1925或21D.1925或21 [答案] C[解析] 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.(理)(2011·广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A.22 B.12 C.32D ．以上都不是 [答案] A[解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e ＝ca ＝cos45°＝22，故选A.4．(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( )A.165 B ．3 C.163 D.253 [答案] A[解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.5．(2010·南昌市模拟)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )A.513B.1213C.35D.45 [答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513.6．(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．28 [答案] C[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝25，代入椭圆方程得y 2＝24225，即|y |＝245，所以S △PF 1F 2＝12×10×245＝24，故选C.[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝14 (1)由△PF 1F 2为直角三角形及c ＝49－24＝5得|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 (2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|PF 1|·|PF 2|＝48，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(理)(2011·河北唐山市二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2 [答案] D[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.7．(2011·安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.8．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析]平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示， 依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3. 所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.1.(文)已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12 [答案] D[解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.(理)(2010·浙江台州)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16 [答案] B[解析] 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.2．(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2 [答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.3．(2011·浙江文，9)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3， ∴|OP |＝a3.则点P 坐标为(5a 15，25a 15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1. ①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝112b 2＝12.故选C.4．(文)设F 是椭圆x 225＋y 216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为()A.20082011B.1005201C.1004201D.53667 [答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1201，则数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201.(理)(2011·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2.则下列结论不正确的是( )A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．a 1c 2<a 2c 1D ．a 1c 2>a 2c 1[答案] D[解析] 依题意得，a 1>a 2，c 1>c 2，a 1＋c 1>a 2＋c 2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a 1－c 1＝a 2－c 2；由a 1>a 2，得1a 1<1a 2，又a 1－c 1＝a 2－c 2，因此a 1－c 1a 1<a 2－c 2a 2，即有c 2a 2<c 1a 1，a 1c 2<a 2c 1.因此，不正确的结论是D ，选D.5．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以ba ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.6．(文)(2010·新课标全国文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2. 解得b ＝22. (理)(2010·山东省实验中学)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP→＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．[解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得， (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2－k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， ∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2x 1x 2＝－2x 22， ∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0得49<m 2<4，此时Δ>0 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 7．(文)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2: 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP→|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝2 3c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP→＝(x －m ，y )， 所以|MP→|2＝(x －m )2＋y 2 ＝(x －m )2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP→|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．(理)(2011·北京文，19)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，ca ＝63，解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m由⎩⎨⎧y ＝x ＋m .x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4， y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x 2＋12x ＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB |＝32，此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.1．(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．2．(2010·金华十校)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的椭圆左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个顶点，若2DF 1→＝DA →＋DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15 [答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点， ∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13.3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2010·胶州三中)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成3 1两段，则此椭圆的离心率为( )A.12B.13C.22D.33 [答案] C[解析] 椭圆中c 2＝a 2－b 2，∴焦距2c ＝2a 2－b 2，抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由题意知|F 1F |＝3|FF 2|，∴|F 1F 2|＝4|FF 2|， ∴c ＝2|FF 2|，即c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2，∴c ＝b ，∴c 2＝a 2－c 2，∴e ＝22. 5．(2011·银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 等于( )A.32B.133C.53D.13 [答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5a ·b ＝6，又因为a >b ，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2，所以椭圆的半焦距为c ＝5，所以椭圆的离心率e ＝ca ＝53，故选C.6．(2011·天水一中期末)以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32[答案] A[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝3c，由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴3c＋c＝2a，∴e＝ca＝3－1.7．(2010·南充市)已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sin A＋sin Csin B＝________.[答案]5 4[解析]易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC＝8，由正弦定理知，sin A＋sin Csin B＝|BA|＋|BC||AC|＝54.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-7
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第八章 第七节
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x2 y2 斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b 的右焦点， 且与双曲线的左右两支分别相交， 则双曲线 的离心率 e 的取值范围是( A．e< 2 C．1<e< 5 )
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点 B 坐标为(4，－4)，则|FA|＋|FB|＝xA＋xB ＋p＝1＋4 ＋2＝7.
答案：A
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(2011· 洛阳、 安阳统考)已知抛物线 C 的顶点在坐标 原点，焦点为 F(0，－1)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点．若 AB 的中点为(2，－2)，则直线 l 的方程为 ________．
2.直线与圆锥曲线相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝ 1 1＋ 2 |y2 －y1|，其中求|x2－x1|与|y2 －y1|时，通常作如 k 下 变 形 |x2 － x1| ＝ x1＋x22－4x1x2 ， |y2 － y1| ＝
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x2 y2 [例 2] P(1,1)为椭圆 ＋ ＝1 内的一定点，过 P 点 4 2 引一弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的 长度．
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解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝k(x－1)，A、B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x1 2＋2 y1 2＝4，① ①－②得： (x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P(1,1)为弦 AB 的中点， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. x2 2＋2y2 2＝4.②
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-3
无实数解⇔两圆外离或内含．
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3．圆系方程※ 具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系，它的方 程叫圆系方程． (1)同心圆系：设圆 C 的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0，则与圆 C 同心的圆系方程为：x2＋y2＋Dx＋ Ey＋λ＝0. (2)相交圆系：过两个已知圆 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1 ＝0 和 x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的圆系方程为：
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经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条； 经过圆外一点 P(x0，y0)的圆的切线有两条，因此用 点斜式或斜截式直线方程求切线时，若有两解，则所求 两条切线方程可得，若仅有一解，则另一条必为 x＝x0.
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第三节
高考数学总复习
(3)从圆外一点 P(x1，y1)引到圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 的切线，则点 P 到切点的切线长 d＝ x2＋y2＋Dx1＋Ey1＋F. 1 1 3．直线被圆截得的弦长： (1)几何方法：运用弦心距 d、半径 r 及弦的一半构成 直角三角形，计算弦长|AB|＝2· r2－d2. (2)代数方法：运用韦达定理求弦长 |AB|＝ [xA＋xB2－4xA·B]1＋k2. x
答案：D
人 教
A
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第8章
第三节
高考数学总复习
第8章 第三节
人 教
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高考y＋7＋5 2＝0. ②若 a＝0，则切线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0， |－4k＋3| 4 由 ＝5 得 k＝－ ，即 4x＋3y＝0. 2 3 k ＋1 综上所述，所求切线方程为 x＋y＋7± 2＝0 及 4x 5 ＋3y＝0.
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-8
A
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分析：由 f(x)为一次函数可设出其解析式，利用其单 调性及定义域和值域都是[1,2]可列出方程组求系数．
第1章
第八节
高考数学总复习
解析：设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，由 f(x)的单调性及条件
k＋b＝1 知， 2k＋b＝2 k＝1 ∴ b＝0 k＋b＝2 或 2k＋b＝1
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 a>0
Δ>0 a<0
Δ＝0 a>0 a<0 {x|x∈ a>0
Δ<0 a<0
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二次不等式解集 ax ＋bx＋c<0
2
{x|x<x {x|x1< x<x2}
1
R且 ∅ x≠－ b } 2a ∅ R
或
A
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x>x2}
第1章
第八节
高考数学总复习
四、实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实 根的符号与系数之间的关系 1．方程有两个不相等的正实数根⇔ Δ＝b2－4ac>0， x ＋x ＝－b>0， 2 1 a c x1·2＝ >0； x a
图 象
A
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第1章
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 y> 0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c
Δ>0 a>0 x<x1 或 x>x2 x1<x <x2 a<0
Δ＝0 a>0 x≠ a<0 x的
Δ<0 a>0 a<0 x的
人 教
b 值不 x∈R 值不 － 2a 存在 存在 x≠ x的
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-2
1.(文)(2011·四川文，3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)[答案] D[解析]将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.∴圆心坐标为(2，－3)．(理)(2011·东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是() A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)[答案] A[解析]圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.2．(2011·广东文，8)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆[答案] A[解析]动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.3．(文)(2011·广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1[答案] A[解析]设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(理)(2011·济南调研)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0[答案] A[解析]设圆心为C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以|3m＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.4．(文)(2011·青岛市教学质量统一检测)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2 B．1＋ 2C．2＋22D．1＋2 2[答案] B[解析] 圆的方程化为标准形式：(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1，故选B.(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离最大值是a ，最小值是b ，则a ＋b ＝( )A.125B.245 C.65 D ．5[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋5＝0距离d ＝125，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋r ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ＝245(r 为圆的半径)． 5．(2011·江南十校联考)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0[答案] D[解析] 圆心C (3,0)，k CP ＝－12，由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以MN 所在直线方程是2x －y －1＝0，故选D.6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y －4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝8C ．(x －4)2＋(y －1)2＝6D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.7．(2011·西安二检)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在⊙O ：x 2＋y 2＝5上， ∴过A 的切线方程为x ＋2y ＝5， 令x ＝0得，y ＝52，令y ＝0得，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254.8．(2010·瑞安中学)已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x |＋|y |＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是________．[答案] (0,22][解析] 如图，曲线C ：|x |＋|y |＝4为正方形ABCD ，∴0<r≤|OM|＝2 2.1.(2011·济南二模)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y 2＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．2．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．点在圆上B．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定[答案] C[解析] 圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝1a 2＋b2<1⇒a 2＋b 2>1.故点P 在⊙C 外．3．(2011·北京海淀一模)若直线l 被圆C ：x 2＋y 2＝2所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．(x －1)2＋y 2＝1 B.x 22＋y 2＝1 C ．y ＝x 2 D ．x 2－y 2＝1[答案] B[解析] 根据已知条件可得原点到直线l 的距离d ≤1， 再根据各选项中曲线的图形特点可知，直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1一定有公共点．4．(2011·成都龙泉第一中学高三模拟)以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 [答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，点(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.5．(2010·浙江杭州市质检)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB |＝6， ∴半径为3，又⊙M 经过点C ，∴|CM |＝12|AB |＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.6．(2010·广东华南师大附中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求：(1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34. ∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34， 直线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12·d ·|AO |＝12.7．已知过两定圆的一个交点O 的动直线与两圆分别交于点A 、B ，求线段AB 中点P 的轨迹方程．[解析] 以O 为原点建立平面直角坐标系如图．因为两定圆均过原点O ，故可设其方程分别为：x 2＋y 2－2ax －2by ＝0， ① x 2＋y 2－2cx －2dy ＝0.②当动直线斜率存在时，设其方程为y ＝kx . ③ 将方程③分别与方程①②联立，可得 x A ＝2(a ＋bk )1＋k 2，x B ＝2(c ＋dk )1＋k 2.设线段AB 的中点为P (x ，y )，则x ＝x A ＋x B 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )k 1＋k 2. ④∵点P 在直线y ＝kx 上，∴将k ＝yx 代入④消去k 得， x ＝(a ＋c )＋(b ＋d )yx 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2. 整理得x 2＋y 2－(a ＋c )x －(b ＋d )y ＝0. ⑤ 当动直线斜率不存在时，其方程为x ＝0，分别代入①②可得A (0,2b )，B (0,2d )，则AB 的中点P 为(0，b ＋d )，将此代入⑤式，仍成立．∴所求动点P 的轨迹方程为 x 2＋y 2－(a ＋c )x －(b ＋d )y ＝0.8．(理)设O 点为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ→＝0. (1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称． ∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b . 将y ＝－x ＋b 代入圆方程得， 2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. Δ＝4(4－b )2－8×(b 2－6b ＋1)>0， ∴2－32<b <2＋32， 由韦达定理得，x 1＋x 2＝b －4，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12，y 1·y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2＋2b ＋12，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－6b ＋12＋b 2＋2b ＋12＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线方程为y ＝－x ＋1.1．(2010·温州中学)设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )A ．4 B.163 C.473D ．5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，A 1F 1的垂直平分线x ＝－4，代入双曲线方程中得，y ＝±473，∴圆心⎝⎛⎭⎪⎫－4，473到双曲线中心距离为d ＝(－4－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫473－02＝163，A 1F 2的中垂线x ＝1与双曲线无交点，故选B.2．(2011·太原模拟)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是( )A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．k ∈(－3，3)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] 由圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点得圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋2的距离大于半径1，即2k 2＋1>1，由此解得－3<k <3，因此选C.3．(2010·北京东城区)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1x －y ≥－1y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13 [答案] A[解析] 画出可行域如图，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32[答案] C[解析] 由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34.由于点P 到圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14的距离为d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-7
第七节
高考数学总复习
2．识图 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本 功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、 奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点， 另外有无渐近线， 负值区间等都是识图的重要方面 ， 正、 要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来 确定这些参数．
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第1章
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(3)伸缩变换 ①y＝Af(x)(A＞0)的图象， 可将 y＝f(x)图象上所有点 的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标不变而得到． ②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将 y＝f(x)图象上所有点 1 的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变而得到． a
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2．由函数 y＝f(x)的图象变换成 y＝g(x)的图象，变 换顺序为①→②时，由 y＝g(x)的图象变换成 y＝f(x)的图 象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.
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3．在研究幂函数 y＝xα 的图象、性质时，应考虑 α 的三种情况：α>0，α＝0 和 α<0.幂函数的图象一定出现 在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴 相交时，交点一定是原点．
－ 1 3
∵y＝x
在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，
－ 1 3
∴(a＋1)
<(3－2a)
－
1 3
等价于 a＋1>3－2a>0 或 0>a
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＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a. 2 3 解得 a<－1 或 <a< . 3 2 故
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第八章 第八节
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x y 已知直线 l： ＋ ＝1，M 是直线 l 上的一个动点， 4 3 过点 M 作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，点 P 是线段 AB 的靠近点 A 的一个三等分点，则点 P 的轨 迹方程为________．
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5．常见的轨迹 (1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结 两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的 平分线． (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定 点为圆心，以定长为半径的圆．
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第八章 第八节
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方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是(
)
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分析： B＝0⇔A＝0 或 B＝0， A· 但要保证其有意义． 本 题中限制条件为根号下的被开方数 x＋y＋1≥0.
x2＋y2－4＝0 解析：由题可得 x＋y－1≥0
化简得 ax1＋by1－a2－b2＝0. ∴所求点 P 的轨迹方程为 2ax＋2by－a2－b2＝0.
第八章 第八节
高考数学总复习
解法 3：(参数法)(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜 1 率为 k1，依题意 k1≠0，∵l1⊥l2，∴l2 的斜率为－ . k1 l1 的方程为 y－b＝k1(x－a)， 1 l2 的方程为 y－b＝－ (x－a)， k1 b 在①中令 y＝0，得 M 点的横坐标 x0＝a－ ， k1 ① ②
走向高考贾凤山高中总复习8篇
第八篇第1章第二讲一、选择题1．下面四个在平面内成立的结论①平行于同一直线的两直线平行②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条也垂直③垂直于同一直线的两直线平行④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交在空间中也成立的为()A．①②B．③④C．①③D．②④[答案] A2．“金导电、银导电、铜导电、铁导电；所以一切金属都导电”．此推理方法是()A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理[答案] B[解读]这是由特殊到一般的归纳推理．3．如图所示，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿分开不同的路线同时传递，单位时间内传递的最大信息量为()A．26B．24C．19D．20[答案] D4．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，并且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2010)的值为()A．2B．0C．1D．－1[答案] B[解读]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2010)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2010)＝0.5．n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为()A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓[答案] A [解读] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与相同，故选A.6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B7．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价(m ＋n 2)%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%，已知m >n >0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？()A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ[答案] C[解读] 设商品原价为a ，方案(Ⅰ)：a (1＋m %)(1＋n %)＝a [1＋(m ＋n )%＋m %n %]方案(Ⅱ)：a (1＋n %)(1＋m %)＝a (1＋(m ＋n )%＋m %n %)方案(Ⅲ)：a (1＋m ＋n 2%)2＝a (1＋(m ＋n )%＋(m ＋n 2%)2) 方案(Ⅳ)：a [1＋(m ＋n )%]＝a (1＋(m ＋n )%)又∵(m ＋n 2%)2≥(mn %)2＝m %n %故选C. 8．已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离都相等，则正确的结论是()A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必与α相交C ．平面ABC 必不垂直于αD ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内[答案] D[解读] 由三点A 、B 、C 可以不在平面α的同一侧，知A 错；由三点A 、B 、C 可以在平面α的同一侧，知B 错；可以找到平面ABC 垂直于平面α，知C 错．[点评] 如何证明选项D ，请读者给出自己的理由．9．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解读]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.10．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命．．题．是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上[答案] B[解读]如右图，由“等腰四棱锥”的定义知，P A＝PB＝PC＝PD.设P点在底面ABCD内的射影为O，则OA＝OB＝OC＝OD，从而∠P AO＝∠PBO＝∠PCO＝∠PDO，且四边形存在以O为圆心的外接圆，故A，C都对；在△P AO所在平面内作线段P A的中垂线交PO于M.则MP＝MA，从而MP＝MA＝MB＝MC＝MD.故四棱锥的顶点都在以M为球心的球面上．故D正确；显然当四棱锥为正四棱锥时，各侧面与底面成的角相等．当底面上四点任意排布在⊙O的圆周上时，B错．考查命题的判断与信息捕捉分析能力．二、填空题11．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1的图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．[答案]c n>c n＋1[解读]∵a n＝n2＋1，b n＝n，c n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，随n的增大而减小，∴c n＋1<c n.12．(文)设f(x)________.[答案] 4[解读]由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{x n}是周期为6的周期数列，∴x2011＝x1＝4.据此可知，{x n}周期为4，∴x2011＝x3＝1.(理)(09·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．[解读] 根据规则可知报数为1,1,2,3,5,8,13,21，…，被3除的余数规律为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，而是3的倍数的数出现在4的倍数位置．又甲在第1,6,11,16，…等次数上，则同时满足的有16,36,56,76,96共5个数．13．(文)(09·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为________．[答案](理)E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ABC 被线段EF 分成两部分的面积之比，S △AEF S △ABC ＝AE ·AF AB ·AC ，类比此结论，则对于三棱锥P －ABC ，若E 、F 、G 分别为三条棱P A 、PB 、PC 上的点，则有________．[答案] V P －EFG V P －ABC ＝PE ·PF ·PG P A ·PB ·PC 14．(文)若a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么a n ＋b n 与c n (其中n ∈N *且n >2)的大小关系是________．[答案] a n ＋b n <c n[解读] ∵△ABC 为Rt △，且c 为斜边，∴c 2＝a 2＋b 2，∴c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<b c<1，当n >2时，⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n <⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝1， 即a n ＋b n <c n .(理)设x >0，y >0，a ＝x ＋y ，b ＝x cos 2θ·y sin 2θ(θ∈R )，则a 与b 的大小关系为________．[答案] a >b[解读] ∵x >0，y >0，∴x ＋y >x ，x ＋y >y ，∴(x ＋y )cos 2θ>x cos 2θ，(x ＋y )sin 2θ>y sin 2θ，∴b ＝x cos 2θ·y sin 2θ<(x ＋y )cos 2θ·(x ＋y )sin 2θ＝(x ＋y )sin 2θ＋cos 2θ＝x ＋y ＝a .三、解答题15．(文)先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .[解读] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即x i ∈R ，|x i |<1(i ＝1,2，…，n )时，有________．(理)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边上的高为h ，则1h 2＝1AC 2＋1BC 2，先证明此性质，再类比此性质，给出在四面体P －ABC 中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，写出得到的正确结论并证明之．[解读] (1)1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2(2)Rt △ABC 中，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴1AC 2＋1BC 2＝1AD ·AB ＋1BD ·AB ＝1AB ⎝⎛⎭⎫1AD ＋1BD ＝1AB ·AD ＋BD AD ·BD ＝1AD ·BD ＝1h 2.四面体P －ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，设PD 、PE 、PF 分别垂直于BC 、AB 、AC ，PO ⊥平面ABC ，即PO ＝h .∴△APD 为直角三角形．∴1P A 2＋1PD 2＝1h 2. 同理，1PB 2＋1PF 2＝1h 2， 1PC 2＋1PE 2＝1h 2， ∴⎝⎛⎭⎫1P A 2＋1PB 2＋1PC 2＋⎝⎛⎭⎫1PD 2＋1PE 2＋1PF 2＝3h 2(*)又△APB 为直角三角形，∴1P A 2＋1PB 2＝1PE 2. 同理，1PB 2＋1PC 2＝1PD 2，1P A 2＋1PC 2＝1PF 2. ∴(*)式变为1P A 2＋1PB 2＋1PC 2＋21P A 2＋1PB 2＋1PC 2＝3h 2.∴1P A 2＋1PB 2＋1PC 2＝1h 2. 16．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解读] 观察40°－10°＝30°，36°－30°＝6°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎡⎦⎤sin(30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34. 17．(文)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC 边上有2011个不同的点P 1、P 2、…、P 2011，记M i ＝AP 2i ＋BP i ·CP i (i ＝1、2、…、2011)，求M 1＋M 2＋…＋M 2011的值．[解读] 可取特殊点实验M i 的值，例如，取BC 的中点P ，则∵AB ＝AC ，∴AP ⊥BC ，∴M ＝AP 2＋BP ·PC ＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，再猜想所有M i 的值可能均为4.验证：取BC 中点P ，又P i 为BC 上任一点，∴M i ＝AP 2i ＋BP i ·P i C ＝AP 2i ＋(BP －PP i )(CP ＋PP i )＝AP 2i ＋(BP －PP i )(BP ＋PP i )＝AP 2i ＋BP 2－P i P 2＝(AP 2i －P i P 2)＋BP 2＝AP 2＋BP 2＝AB 2＝4，从而猜想正确，∴M 1＋M 2＋…＋M 2011＝4×2011＝8044.(理)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧ 12a n ，n 为偶数a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解读] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14， a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38. ∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝⎛⎭⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝⎛⎭⎫a －14. 猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-9
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高考数学总复习
100 20 P(12)＝ ≈1.19，Q(13)＝ ≈1.18. 84 17 即 F(12)>F(13)． 所以用 13 名工人制作课桌， 名工人制作椅子完成 17 任务最快.
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二次函数模型
[例 4] 某市现有从事第二产业人员 100 万人，平均
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解析：由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0， 所以该函数在区间(3,4)内有零点，所以 k＝3.
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答案：3
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(理)已知三个函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝ log2x＋x 的零点依次为 a，b，c，则( A．a<b<c C．b<a<c B．a<c<b D．c<a<b )
h(x)的零点 c
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答案：B
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二分法
[例 2] 下图是函数 f(x)的图象， 它与 x 轴有 4 个不同 的公共点． 给出下列 4 个区间， 不能用二分法求出函数 f(x) 的零点的区间是( )
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A．[－2.1，－1] C．[4.1,5]
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