【精选】第4讲 高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声
高斯白噪声（whiteGaussiannoise，WGN）
⾼斯⽩噪声（whiteGaussiannoise，WGN）本⽂科普⼀下⾼斯⽩噪声（white Gaussian noise，WGN）。
百度百科上解释为“⾼斯⽩噪声，幅度分布服从⾼斯分布，功率谱密度服从均匀分布”，听起来有些晦涩难懂，下⾯结合例⼦通俗⽽详细地介绍⼀下。
⽩噪声，如同⽩光⼀样，是所有颜⾊的光叠加⽽成，不同颜⾊的光本质区别是的它们的频率各不相同（如红⾊光波长长⽽频率低，相应的，紫⾊光波长短⽽频率⾼）。
⽩噪声在功率谱上（若以频率为横轴，信号幅度的平⽅为功率）趋近为常值，即噪声频率丰富，在整个频谱上都有成分，即从低频到⾼频，低频指的是信号不变或缓慢变化，⾼频指的是信号突变。
由傅⾥叶变换性质可知，时域有限，频域⽆限；频域有限，时域⽆限。
那么频域⽆限的信号变换到时域上，对应于冲击函数的整数倍（由公式也可推得：）。
即说明在时间轴的某点上，噪声孤⽴，与其它点的噪声⽆关，也就是说，该点噪声幅值可以任意，不受前后点噪声幅值影响。
简⽽⾔之，任意时刻出现的噪声幅值都是随机的（这句话实际上说的就是功率谱密度服从均与分布的意思，不同的是，前者从时域⾓度描述，⽽后者是从频域⾓度描述）。
这⾥要指出功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）的概念，它从频域⾓度出发，定义了信号的功率是如何随频率分布的，即以频率为横轴，功率为纵轴。
既然⽩噪声信号是“随机”的，那么反过来，什么叫做“相关”呢？顾名思义，相关就是某⼀时刻的噪声点不孤⽴，和其它时刻的噪声幅值有关。
其实相关的情况有很多种，⽐如此时刻的噪声幅值⽐上⼀时刻的⼤，⽽下⼀时刻的噪声幅值⽐此时刻的还⼤，即信号的幅值在时间轴上按从⼩到⼤的顺序排列。
除此之外，幅值从⼤到⼩，或幅值⼀⼤⼀⼩等都叫做“相关”，⽽⾮“随机”的。
解释完了“⽩噪声”，再来谈谈“⾼斯分布”。
⾼斯分布，⼜名正态分布（normal distribution）。
概率密度函数曲线的形状⼜两个参数决定：平均值和⽅差。
04预备知识：高斯随机过程
0->1
白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
n0 P （ ） 2 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机 过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自 相关函数可借助于下式求得，即
n0 R ( ) 2
输入直流分量 与直流增益的积
随机过程通过线性系统
• 输出过程的自相关函数
R（ E[（t1）（t 2） ] t1， t 2）
E h( u) ( t1 u)du h(v ) ( t 2 v )dv
h( u)h(v ) E ( t1 u) ( t 2 v )dvdu
预备知识 （三）
高斯随机过程 通信原理第四讲
随机过程（噪声信号）示例
利用随机过程基础解决通信中问题
随机过程ξ(t)（噪声、信号）
统计、观测、计算 最终求出功率谱，从而获得了频率域 通信系统中所遇到的信号 如果平稳 上的功率分布，获得其带宽、功率性 与噪声一般都能满足各态 与时间起点无关 能，达到了研究通信系统的目的 历经条件 2
f ( x )dx 1 f ( x )dx
a
1 f ( x )dx 2
一维高斯分布的数值计算
• 在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数 的概率：
P（ X C )
C
f ( x )d x
无法直接 计算出
( x a )2 1 e xp dx 2 C 2 2 xa z
随机过程通过线性系统
• 平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立
第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声
r(t) Acos (ct ) n(t)
其中：
(2.7.1)
Acos (ct )
---正弦载波:假定A、ωc为常数;θ为随机变量，其一维 pdf 均匀分布，即： f(θ)=1/(2π)， 0≤θ≤2π
n(t) nc (t) cosct ns (t) sin ct (t) c (t) cosct s (t)sin ct
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章 随机过程
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1
et2 / 2dt
2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
通信原理
第2章 随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理
第2章 随机过程
2.5.3 已知ξ(t)的统计特性，求 aξ(t)、φξ(t)的统计特性
结论2
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
若ξ(t)：均值为0、方差为δ2、窄带平稳高斯随机过程。
则：
（1）其包络aξ(t)的一维分布呈瑞利分布； （2）其相位φξ(t)的一维分布呈均匀分布； （3） aξ(t)与φξ(t)统计独立。
高斯随机过程
若统计独立，则必不相关；反 若不相关，则统计独 之，则不然，即：若不相关， 立。
则不一定统计独立。
若狭义平稳，则必广义平稳； 若广义平稳，则狭义 反之，则不然，即：若广义平 平稳。 稳，则不一定狭义平稳。
高斯分布函数的计算--查表法（附录B）
x
F (x) p( x)
1
2
R(t1,t2)= R(t1,t1+τ)= E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ = R(τ)
x1x2
f2 (x1,
x2 ;
)dx1dx2
R( )
仅是时间间隔τ=t2-t1的函数
平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值为常数；自
相关函数只与时间间隔τ有关，R(t1,t1+τ)=R(τ)
(t,
t
) E[ (t)
1 2
E{cosw0
(t )] E[sin(w0t
cos[w0 (t2 t1) 2 ]}
) sin(w0 (t
)
)]
(2)
1 2
cosw0
0
1 2
cosw0
R( )
可见:ξ(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以ξ(t)为广义平稳随机过程。
f (z)
1
2
蓝线下面积为为F(x)
Q(x)函数：
Q(x) 1 et2 / 2dt
2 x
红线下面积为Q函数
x
z
[例3.2-2]
Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是一随机过程。若X1、X2是彼此独立且具 有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，求：
樊昌信《通信原理》(第7版)章节题库(随机信号)【圣才出品】
第3章 随机信号一、选择题某二进制随机信号的功率谱密度计算公式为则该信号（ ）。
A ．含有f s 谐波分量 B ．不含f s 谐波分量 C ．不含直流分量 D ．含有2f s 谐波分量 【答案】B二、填空题1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与______无关，二维分布只与______有关。
【答案】时间；时间间隔【解析】平稳随机过程其一维概率密度函数与时间t 无关，即1111(,)()f x t f x =； 而二维分布函数只与时间间隔τ＝t 2－t 1有关，即21212212(,;,)(,;)f x x t t f x x τ=。
2．一个均值为零、方差为σ2的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是______过程，均值为______，方差为______。
【答案】平稳高斯；0；2n σ【解析】由结论可知，一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。
此外，在同一时刻上得到的同相分量和正交分量是互不相关的或统计独立的。
3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是______，其相位的一维分布是______。
【答案】瑞利分布；均匀分布【解析】在窄带高斯随机过程中，对于均值为0、方差为σ2的平稳高斯窄带过程，其包络和相位的一维分布分别为瑞利分布和均匀分布，且两者统计独立。
4．高斯白噪声在______时刻上，随机变量之间不相关，且统计独立。
【答案】不同【解析】由白噪声的自相关函数()()02n R τδτ=知高斯白噪声在不同时刻上（即τ＝0）变量之间不相关且统计独立。
5．设n （t ）为高斯白噪声，则合成波通过中心频率为ω1的窄带滤波器后的输出包络服从______分布；若r （t ）通过中心频率为ω2的窄带滤波器，则输出包络服从______分布。
【答案】莱斯分布（广义瑞利分布）；瑞利分布【解析】正弦波加窄带高斯噪声的包络分布f （z ）与信噪比有关。
高斯噪声和白噪声
(1.2.69)
Phys. Meaning: The N Gaussian variables will be statistical each other, if
物理含义: 如果N个高斯随机变量之间是互不相关的,则它们 之间也是统计独立的。
4、满足高斯分布的充分条件：
The sufficient & necessary condition for RV to obey Gaussian distribution
(1.2.67)
where M is the matrix of the joint 2-order center moment （联合二阶中心矩） of the RV, M is its determinant (行列式), of the element
M ik is the surplus factor (余因子）
• 单（多）脉冲噪声：瞬态分析法
Single (multiplex) pulse noises: instantaneous analysis
一、高斯噪声（依噪声幅度分布特性判定）
Gaussian Noise: Judged according to the magnitude distribution feature
The linear combination of Gaussian noise is still a Gaussian noise.
<2> 高斯噪声与一固定数值相加的结果只改变噪声平均值,不 改变其它特性 The results of a Gaussian noise plus a fixed value
（2）性质: 由纯正弦单色光波或宽带热辐射光束产生的光子计数， 服从泊松分布。
(第六组)3.7高斯白噪声和带限白噪声.
Team 6
谢谢
Team 6
Team 6
高斯白噪声和带限白噪声
本节学习重点：
1.白噪声 2.带限白噪声
（1）低通白噪声 （2）带通白噪声
3.高斯白噪声
Team 6
1.白噪声
定义:如果噪声的 功率谱密度 在所有频率上为一常数，即
Pn (
f
)
n0 2
f (W/Hz)
(3.7-1)双边功率谱密 度
2
R () n0 2 ()
0
f
0
图3-6 白噪声的功率谱密度和自相关函数
由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大， 即
Team 6
关于白噪声：
白噪声中“白”的含义与光学中的“白”相同，白光 指 实在际电中磁，辐热射噪可声见频范率围范内围所为有频0 率~1分01量2 H的z，数功值率都谱相密等。
Pn ( f
)=
ìïïïïíïïïïî
n0 2
0
f £ fH 其它
自相关函数：
R(t
)=
n0
fH
sin 2p fH t 2p fH t
= Sa(2p fH t )
Team 6
n0
Pn ( f )
2
R( )
1 / 2 fH
1/ 2 fH
f
fH
0
fH
0
图3-7 带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
ò 自相关函数：R(t ) =
¥ -?
Pn ( f )e j2p f t df
=
n0
随机实验理想白噪声和带限白噪声的产生与分析
实验八理想白噪声和带限白噪声的产生与分析１．实验目的了解理想白噪声和带限白噪声的基本概念并能够区分它们，掌握用matlab或c/c++软件仿真和分析理想白噪声和带限白噪声的方法。
⒉实验原理所谓白噪声是指它的概率统计特性服从某种分布而它的功率谱密度又是均匀的。
确切的说，白噪声只是一种理想化的模型，因为实际的噪声功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。
然而白噪声在数学处理上比较方便，所以它在通信系统的分析中有十分重要的作用。
一般地说，只要噪声的功率谱密度的宽度远大于它所作用的系统的带宽，并且在系统的带内，它的功率谱密度基本上是常数，就可以作为白噪声处理了。
白噪声的功率谱密度为：其中为单边功率谱密度。
2 ) ( 0 N f S n 0 N白噪声的自相关函数位：白噪声的自相关函数是位于τ =0 处，强度为的冲击函数。
这表明白噪声在任何两个不同的瞬间的取值是不相关的。
同时也意味着白噪声能随时间无限快的变化，因为它含一切频率分量而无限宽的带宽。
) ( 20 N R ）（ 20 N若一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。
带限白噪声分为低通型和带通型。
⒊实验任务与要求⑴用matlab 或c/c++语言编写和仿真程序。
系统框图如图19、图20 所示：特性测试绘制图形低通滤波特性测试绘制图形白噪声图1 低通滤波器系统框图特性测试绘制图形带通滤波特性测试绘制图形白噪声图2 带通滤波器系统框图⑵输入信号为：高斯白噪声信号和均匀白噪声信号，图为高斯白噪声。
⑶设计一个低通滤波器和一个带通滤波器。
要求低通滤波器的通带为0KHz-2KHz、通带衰减小于1db、阻带衰减大于35db。
带通滤波器的通带为10KHz-20KHz、通带衰减小于1db、阻带衰减大于35db。
⑷首先计算白噪声的均值、均方值、方差、概率密度、频谱及功率谱密度、自相关函数。
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erf (x) erf (x) erf () 1
●互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：
erfc(x) 1 erfc(x)
erfc() 0 erfc(x) 1 ex2，
x
x 1
通信原理
第2章 随机过程
2.5 窄带随机过程→窄带过程
2.5.1 窄带随机过程的概念
若ξ(t)：均值为0、方差为δ 2、窄带、平稳、高斯随机过程。
则：
（1）ξc(t)、ξs(t)同样是平稳高斯随机过程； （2） E[ξ(t)]=E[ξc(t)]=E[ξs(t)]＝0－－均值相同(都为0)； （3）δξc2=δξs2=δξ2=δ2－－方差相同，同于ξ(t) ； （4）在同一时刻（即τ=0）上得到的ξc及ξs互相关函数为0，即ξc
0
互补误差函数： erfc(x) 1 erf (x) 2 ez2 dz x
通信原理
第2章 随机过程
erf (x) 2 x e z2 dz
0
2）误差函数的性质
erfc(x) 1 erf (x)
2 ez2 dz
x
●误差函数是递增函数，它具有如下性质：
＝f1（x1，t1）f2（x2，t2）...，fn（xn，tn）
（2.5.3）
（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。－－从信号角度。
（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。－－从系统（线
性系统）角度。
通信原理
第2章 随机过程
2.4.2 高斯过程中的一维分布－－随机变量研究
1.一维概率密度函数
（1）高斯随机变量 若随机变量ξ的概率密度函数可表示成
通信原理电子教案
广东海洋大学信息学院 2012年9月
《通信原理》电子教案
授课班级：通信1103班、通信1104班 授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能
第2章 随机过程
2.4 高斯过程
2.4.1 基本概念
1.定义 一随机过程ξ(t)，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则
称其为高斯过程。又称正态随机过程。 数学表达式见式（2.5.1）。
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1
et2 / 2dt
2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
1）误差函数定义
误差函数：
erf (x) 2 x e z2 dz
通信原理
第2章 随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
布：
1
x2
f (x) exp ( )
2
2
通信原理
第2章 随机过程
2.正态分布函数 （1）一般表示式 已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：
x
x
F (x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz
2
2 2
1
2
x
1）对称于直线x=a;
2）在 (, a) 内单调上升， 在 (a,) 内单调下降，且 在a点处达到极大值;
3）
f (x)dx 1，
f (x)dx
a
f (x)dx 1
a
2
4）a 表示分布中心， 表示集中的程度。 一定时，……。
5）当a＝0 ， 1时，相应的正态分布称为标准化正态分
exp[
(
z a)2
2 2
]dz
，令 z a t，则dt dz
xa
1
et2 / 2dt
2
(2.5.8a)
这个积分不易计算，常引入概率积分函数或误差函数（可查 表）来表述。
通信原理
第2章 随机过程
x
x
F (x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz
f (x)
1
2
exp[
(
x
2
a
2
)
2
]
(2.5.4)
则称ξ 为服从正态分布的随机变量则称ξ 为服从正态分 布的随机变量
f (x)
1
2
0
a
x
图 2- 3 图 图 图 图 图 图 图 图 图
通信原理
第2章 随机过程
（2）性质
f (x) 1 2
0
a
x
图 2- 3 图 图 图 图 图 图 图 图 图
与ξs互不相关，或说统计独立。
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2 2
（2）用概率积分函数表示
定义概率积分函数(简称概率积分)为：
xa
1
et2 / 2dt
2
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章 随机过程
一维时：
f (x1,t1)
1 exp[ (x1 a1)2 ]
2 1
212
通信原理
第2章 随机过程
2.性质－－由定义可分析出
（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳 。
（2）高斯过程中的随机变量ξ(t1)、ξ(t2)、ξ(t3)、…之间若不相 关，则它们也是统计独立的。
fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）
1.什么叫窄带随机过程？ 频谱: 所占频带较窄，满足Δf << fc的随机过程叫窄带随机过
程。 时域：用示波器观察，看到某个实现的波形－－幅度和相位
随机缓慢变化的近似正弦。
f
-fc
S(ω )
f
s(t)
缓慢变化的包络[a(t)]
0
fc f
(a)
t
频率近似为fc
(b)
图2-4 窄带波形的频谱及示意波形
a (t) c2 (t) s2 (t) (t)的随机包络
(t )
tg
1
s c
(t)的随机相位
通信原理
第2章 随机过程
2.5.2 已知ξ(t)的统计特性，求ξc(t)、ξs(t)的统计特性
结论1
(t) c (t) cosct s (t)sinct