第二章 噪声中信号波形的检测

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1 j t 0 S ( )e d H ( ) Pn ( ) 2 Pn ( ) SNR0 1 2 H ( ) Pn ( )d 2 1 2
2



1 S ( ) H ( ) Pn ( )d d 2 Pn ( ) .(2 12) 1 2 H ( ) Pn ( )d 2
匹配滤波器的冲击响应为
h(t ) Ks(T t ) KA,0 t T h(t ) 0, else
匹配滤波器的输出信号为：
s0 t



s ( )h (t )d
t AKAd , o t T 0 T AKAd , T t 2T t T 0, t 0, t 2T KA2 t , , o t T KA2 ( 2T t ), T t 2T 0, t 0, t 2T 21:01
1 ht 2



KS * ( )e jt0 e j .t dt Ks * (t0 t )..(2 23)
对于实信号则有：h(t)=Ks(t0-t)—(2-24)
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冲击响应等于输入信号波形的镜象，时间移动了t0，即与输入信 号相匹配。此外，为使匹配滤波器满足因果条件，必有：
4、t0应等于输入信号的持续时间T，即对于冲激响应h(t)=s(t0-t), h(t)=0, t > t0; 在t0时刻，应将全部信号送入滤波器，才有最大信
噪比；否则，若未全部输入，则不可能达到最大信噪比。 5、信号s(t)通过匹配滤波器后，波形的形状变成自相关积分的 形状，并且对于t=t0点对称，对称点t0又是输出信号的峰点。
噪声，就是其样值为统计相关的。
当输入为白噪声，其功率谱密度为N0/2时
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1 SNR0 2

2



S ( ) d ( 2 15) N0 / 2
2
若令ε表示信号能量，由Parseval定理有：

1 s(t ) dt 6)
1 E[ n t ] P n 0 ( )d 2 1 2 H ( ) P n ( )d ( 2 8) 2
2 0
定义：输出信噪比＝输出信号峰值功率/输出噪 声平均功率
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1 j t 0 H ( ) S ( )e d 2 S0 (t0 ) 2 (2 9) SNR0 2 1 2 E n0 (t ) H ( ) Pn ( )d 2 Schwarz不等式
2
2
1 SNR0 2
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S ( ) d (2 13) Pn ( )
8
2
根据Schwarz不等式之等号成立的条件,只有当
H ( )
S * ( ) jt e ( 2 14 ) 2 Pn ( )
0
其中S*()为输入信号频谱的共轭复数，Pn()为噪声的功率谱密度， 则H()为输入信号S(t)的匹配滤波器的传递函数。 一般情况下假定噪声是有色的（非白），此式即为有色 噪声的匹配滤波器。 所谓高斯白噪声就是其统计特性为独立的。而高斯有色
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其物理意义为：
系统的频率特性与输入信号的幅频特性一致，即对输入信号中 幅度较大的频率成份给予较大的权重，而噪声是均匀功率谱， 从而可以滤出信号。信号在相位延迟t0处形成输出峰值，而噪 声的相位是随机的，与系统无关。故有时可两个网络级联来实 现匹配滤波器。
单位脉冲响应Impulse Response


H ( )e
j . t
Z(t)=s(t)+n(t)-----(2-3)
s(t)是有用的已知信号，n(t)-零均值平稳噪声.
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S



s (t )e j .t d ( 2 4)
1 j .t s0 t H ( ) S ( ) e d (2 5) 2 若s0(t)在t0处出现峰值，即
Pn ( ) H 1 ( j ) Pn1 ( ) 1 ( 2 26) 1 H 1 ( j ) ( 2 27) Pn ( )
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3
若输入信号已知，且线性时不变滤波器的输入为加性 平稳噪声（白噪声），此时，输出信噪比为最大的滤 波器，就是一个与输入信号相匹配的最佳滤波器―― 匹配滤波器。
H
1 h t 2




h (t )e
j . t
dt ( 2 1)
dt ( 2 2)
ks(t0 t ), t 0 h(t ) (2 25) 0, t 0
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匹配滤波器的性质
1、输出信噪比最大=2ε/N0, ε表示信号能量，它与输入信号的波 形以及加性噪声的分布特性无关。
2、频率响应与输入信号的频谱相匹配，幅度相等，输入信号相 位-t0 3、输出信号在t=t0时刻达到最大瞬时功率
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匹配滤波器又可以看成是一个计算输入信号的相关函数的相 关器，或者说，匹配滤波器还可以用相关接收的方法来实现。
匹配滤波器和相关器处理信号的效能是相同的，但两者对信 号的加工过程并不相同。匹配滤波器对信号的匹配过程是在 频域进行的，主要靠一个从动网络与信号匹配而实现的，是
一种模拟方法。输出可以实时给出。而相关器工作时，对参 考信号s(t)，需要给以可变的延时，作为参考信号源s[-(t0-t)]，

2




－
F * ( x) ( x)dx
2

－
－
F * ( x) F ( x)dx
* ( x) ( x)dx..(2 10)
且当θ(x)=αF(x), α为任意常数时，上式中等号成立。令
S ( )e jt0 F * ( x) , ( x) Pn ( ) H ( ) (2 11) 2 Pn ( )
jt0
H 2 ( ) H ( ) AS * ( )e
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例2－1、设单一脉冲信号s(t)如图所示
A,0 t T s(t ) 0, else
求其匹配滤波器的传输函数与输出信号 解：先求s(t)的频谱
S s(t )e


j . t
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而对于频移信号s2(t)—S2(ω)=S(ω+υ)而言，H(ω)就不再是S2(t)
的匹配滤波器了。
s2 (t ) S 2 ( ) S (＋ ) H 2 ( ) A S 2 * ( )e
' j t 0 '
AS * ( )e
jt 0
1 s0 t0 2



H ( ) S ( )e j .t0 dt (2 6)
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5
输入噪声n(t) 的功率谱密度为Pn(ω) 输出噪声n0(t)的功率谱密度为Pn0(ω)
Pn0 H ( ) Pn (2 7)
2
滤波器输出噪声的平均功率为：
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此匹配滤波器可用积分器、延迟器和加法器来实现：
匹配滤波器与功率匹配的物理概念
输出信噪比为最大的滤波器，就是一个与输入信号相匹配的 最佳滤波器－匹配滤波器。
频率响应与输入信号的频谱相匹配，幅度相等，-相位-t0
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电路与系统中功率匹配的概念 负载与电源内阻抗匹配，可达到最大功率输出。
2
2 SNR0 ( 2 17 ) N0
即输出信噪比的上限。因此，输入干扰为加性白噪声时， 其匹配滤波器为：
jt0
H ( ) KS * ( )e
其中
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(2 18 )
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K
N 0
任意常数。
匹配滤波器－匹配滤波器的频率响应除了相差一个因子
Ke
jt0
s1 (t ) S1 ( ) AS( )e j H 1 ( ) A' S1 * ( )e jt0 ' AS * ( )e j ( t0 ' )
H 1 ( ) AH ( ) e j [ t0 ' ( t0 )] 若取t0 ' t0 , 则有 H 1 ( ) A' H ( )
dt A e
0
jt0
T
j . t
A dt (1 e jT ) j
再取观测时刻t0=T，则可得匹配滤波器的传输函数为：
H ( ) KS * ( )e KA (1 e jT ) j
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KA (1 e jT )e jT j
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有色高斯噪声的信号波形检测
• 将卡亨南－洛维展开进行延拓，到 有色噪声的情况，主要是数学推导， 其物理概念不容易看出来。 • 另一种方法是对有色噪声进行预处 理，即白化处理，其物理概念清楚， 容易理解。
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n(t)—有色高斯噪声，其噪声功率谱密度Pn(ω)≠常数 令n1(t)为功率谱Pn1(ω)≡1的白噪声，故有：
第二章 噪声中信号波形的检测
信号
滤 波 器
信号
噪声
按某一准则来设计最佳检测器或称为最佳接收机。这种最 佳检测器常常用匹配滤波器来构造。故匹配滤波器的概念 是很重要的。
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平滑
滤波 器
滤波 预测
如果滤波器的输出是滤波器输入的线性函数，则称为线性滤波器； 否则为非线性滤波器。 若滤波器的冲激响应是无限长，称为无限冲激响应滤波器(FIR)， 反之，为有限冲激响应滤波器(IIR)。 如果滤波器是在时间域、频率域或空间域实现，则分别称为时域、 频域、空间域滤波器。