第三章 噪声中信号的检测

T 0
判决为：
H1
I
H0
> β <
采用最小错误概率准则且P ( H 0 ) = P ( H1 )， 因此有： ln Λ 0 = 0, 则， vT = uT = − E (1 − r ) E (1 − r ) N 0 E (1 − r ) N 0 E (1 − r )
vห้องสมุดไป่ตู้ −∞ ∞
p ( x) 0.2 0.5
∆t =
π
为采样间隔，则
T TΩ N= = π ∆t 这样各采样值是互不相关的，且噪声为高斯噪声，因此 它们是统计独立的。
例：二元通信系统
由于nk之间相互统计独立，因此有：
N维向量x的N 维条件概率密度： ∑ 1 p ( x | H0 ) = e 2π σ
N N ( x − s )2 k 0k − 2 k =1 2σ
2
vT 1 − u2 1 − u2 e du = ∫ e du −∞ 2π 2π
也即：
∫ x ( t ) s ( t ) dt − ∫
T 0 1
T
0
> N0 1 T 2 2 x ( t ) s0 ( t ) dt ln Λ 0 + ∫ s1 ( t ) − s0 ( t ) dt = β 2 0 < 2
H0
H1
其中, N0 N 1 T 2 1 2 s1 ( t ) − s0 ( t ) dt = 0 ln Λ 0 + ( E1 − E0 ) ln Λ 0 + ∫ 门限β = 2 2 0 2 2 Ei = ∫ si2 ( t ) dt , (i = 0,1)
− 1 p ( xk | H i ) = e 2πσ
{
( xk − E { xk }) | H i = E {nk2 | H i } = Var {nk } = σ 2
2
}
( xk − sik )2
2σ 2
噪声
噪声n(t)是零均值，带宽为 ，谱密度为 σ2 N0/2的高斯带限白噪声。
N0 , sn (ω ) = 2 0,
I −( R − E0 ) − 2 2σ I
2
e
I − ( E1 − R ) − 2 2σ I
2
错误概率
P ( D1 | H 0 ) = ∫ p ( I | H 0 ) dI
β
∞
=∫
∞
1 2πσ I
β
∞
e
I −( R − E0 ) − 2 2σ I
2
dI
1 =∫ e du, uT 2π I − ( R − E0 ) I − ( R − E0 ) = u= σI N 0 E (1 − r ) N0 ln Λ 0 + E (1 − r ) uT = 2 N 0 E (1 − r )
T 1 0 1 T 0 2 0 T 0 0 2 = ∫ s0 ( t ) s1 ( t ) dt − ∫ s0 ( t ) dt T T
{∫
T
0
s0 ( t ) + n ( t ) s1 ( t )dt − ∫ s0 ( t ) + n ( t ) s0 ( t )dt 0
T T
s0 = [ s01 , s02 ,K , s0 N ] s1 = [ s11 , s12 ,K , s1N ] x = [ x1 , x2 ,K , xN ]
T T
X的条件概率密度 的条件概率密度
E { xk | H i } = E {( sik + nk ) | H i } = E {sik | H i } = sik Var { xk | H i } = E So,we have
极大似然准则
− ut ut
0.4
0.3
= −vT 1 e 2π
− v 2
2
0.1
−6
1.487×10
0 −5
P ( D0 | H1 ) = ∫
4
2
0 x
2
4 5
dv
2
∞ 1 − u2 P ( D1 | H 0 ) = ∫ e du = ∫ uT − vT 2π 所以P ( D1 | H 0 ) = P ( D0 | H1 )
Additive white noise Additive colored noise Simple random Multiple Channels
Signal Detection
Simple binary General binary M-ary
Signal Parameter Estimation
H1
N ⋅∆t →T
2 N 2 x s ∆t N 2 x s ∆t N ( s0 k − s12k ) ∆t > ln Λ 0 lim ln Λ ( x ) = lim ∑ k 1k − ∑ k 0 k + ∑ ∆t → 0 ∆t →0 N0 N0 N0 k =1 k =1 k =1 H <0 N →∞ N →∞ N ⋅∆t →T
v2 − 2
检测性能分析
对于通信系统，一般采用最小错误概率准则，且也常 有P(H1)=P(H0) 。 因此可采用极大似然准则，有： P ( H1 ) Λ0 = = 1, P ( H0 ) ( E1 − E0 ) , β=
2 统计量：
T 0
I = ∫ x ( t ) s1 ( t ) dt − ∫ x ( t ) s0 ( t ) dt
u2 − 2
错误概率
P ( D0 | H1 ) = ∫ p ( I | H1 ) dI
−∞
β
=∫
β
1 2π σ I
−∞ vT
e
I −( E1 − R ) − 2 2σ I
2
dI
1 e dv, −∞ 2π I − ( E1 − R ) I − ( E1 − R ) v= = σI N 0 E (1 − r ) =∫ N0 ln Λ 0 − E (1 − r ) vT = 2 N 0 E (1 − r )
N k =1
N ( x − s )2 k 1k − k =1 2σ 2
∑

=e

判决为： Λ ( x ) > Λ 0 : H1 Λ ( x ) < Λ0 : H 0 对数似然比：
2 xk s0 k > 1 N s12k − s0 k −∑ 2 ln Λ 0 + ⋅ ∑ σ < 2 k =1 σ 2 k =1 N H0 H1
有： N0 Var ( I | H 0 ) = 2
∫
T
0
N0 s1 ( t ) − s0 ( t ) dt = [ E1 + E0 − 2 R ] 2
2
I的密度函数 的密度函数
In the same way, we have:
E ( I | H1 ) = E1 − R Var ( I | H1 ) = Var ( I | H 0 ) = N0 [ E1 + E0 − 2 R ] = σ I2 2
T 0
二元确知信号的最佳检测系统
X x(t) s1(t) X s0(t) x(t) X s1(t)-s0(t)
∫
T
0
+ -
+
∫
T
0
β
∫
T
0
+ -
β
性能分析 I的密度函数 的密度函数
I是x(t)线性运算的结果，因此I是高斯随 机变量 x(t)
E ( I | H0 ) = E =E
T 0 0
{∫ s (t ) s (t ) dt} + ∫ E {n (t )}s (t ) dt − E {∫ s ( t ) dt} − ∫ E {n ( t )}s ( t ) dt
T
}
其中，E {n ( t )} = 0,
T 0
0
0
令R = ∫ s0 ( t ) s1 ( t ) dt 则E ( I | H 0 ) = R − E0
I的密度函数 的密度函数 Var ( I | H ) = E { I − E ( I | H ) | H }
2 0 0 0
而I − E ( I | H 0 ) = ∫ n ( t ) s1 ( t ) − s0 ( t ) dt
1
ω <Ω
others
, 相关函数R (τ ) = E n ( t ) n ( t + τ ) =
N 0 Ω sin Ωτ ⋅ 2π Ωτ
0.3
0.2 sn ( ω ) 0.5 Rn( τ ) 0.1
0
0
10
5
0 ω
5
10
0.1
10
5
0 τ
5
10
Ω N 0Ω 2 σ = , 2π 采样数：
∑
k =1
N
xk s1k
σ2
以矢量表示：
H1
1 T T x [ s1 − s0 ] σ ln Λ 0 + s1 s1 − s0 s0 2 <
T 2 H0
>
例：二元通信系统
当N → ∞, ∆t → 0, 则对数似然比为：
幻灯片：二元通信 系统中最下面的公 系统中最下面的公 式代入幻灯片 11中 式代入幻灯片 11中 有关sigma的定义 有关sigma的定义
噪声中信号的检测 Detection of Signals in Noise
刘皓
介绍
经典白噪声环境下的信号检测
确知信号的检测 随机参量信号的检测 多脉冲信号的检测