工程流体力学 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 PPT课件

为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动，如图7-3。该平
面经过微元平行六面体的中心点且平行于xoy面。由于流体微团
各个点的速度不一样，在dt时间间隔中经过移动、转动和变形
运动（包括角变形运动和线变形运动），流体微团的位置和形
状都发生了变化。具体分析如下：
vy
vy x
dx vy 2 y
dy 2
vy
vy x
工程流体力学
第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
设该微元六面体中心点O（x, y, z）上流体质点的速度为 、v x v、y v，z
密度为，于是和 x轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。
在 x方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为：
vx xvxd2xdydz
单位时间通过ABCD面流出的流体质量 ：
dx
2
dt
vy
dt
dx x
2
变形角速度为：
d
vy x
dt
vy
dt dt x
vx dydt
d
tgd
y 2 dy
vx dt y
2
vx dt d y vx dt dt y
❖ 上面只考虑了角变形运动，实际上流体微团在运动中变形 和旋转是同时完成的。设流体微团旋转角度为d ，变形角度 为d ，如图7-4(d)所示
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：
tCVd V tCVd xdy d tdzxdydz（d）
将式（c），（d）代入式（7-1），取 dxdydz→0，
则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为:
xvx yvy zvz t0
（7-1）
或
(v) 0
t
（7-1a）
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制
体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流
动。
在定常流动中，由于 0
t
xvx yvy zvz0
对于不可压缩流体（ =常数）
（7-2）
vx vy vz 0 x y z
（7-3）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或
v 0
（7-3a）
在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ：
（a）
vx xvxd2xdydz （b）
则在 x方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即
x
vx
dx
dydz
（c1）
z 同理可得 y和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为:
y
vy
dxdydz
z
vz
dx
dydz
因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为:
（c2） （c3）
C SvndA xvx yvy zvz dxdy（d c）z
x 2
长了 2 vx dx dt的距离；如果只考虑AD边和BC边在y轴方向上
x
的速度差
2 2
v
y
dy
，则经过时间dt，根据连续性条件，AB边和
y 2
CD边在y轴方向上缩短了2
v
y
dy
dt 的距离，这就是流体微团的
y 2
线变形，如图7-4(b)。每秒钟单位长度的伸长或缩短量称为线
应变速度，在x轴方向的线应变速度分量为：
vxEvxx d2xvyx d2yvzx d2z
vyEvxy d2xvyy d2yvzy
dz 2
vzEvxz d2xvyz d2yvzz d2z
图7-2 流体微团运动速度分量
如图7-2所示，在流场中任取一微元平行六面体，其边长分
别为 dx、dy、dz，微元体中心点沿三个坐标轴的速度分量
为v x 、v y 、v z 。顶点E的速度分量可按照泰勒级数展开，略去二阶 以上无穷小项求得，如图。
将已知条件代入上式，有
vz 4x4y z
4x4yvz 0 z
v z 4 (x y )z f(x ,y )
又由已知条件对任何 x，y，当z 0时，vz 0 。故有
f(x,y)0
vz 4(xy)z
第二节 流体微团的运动分析
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此， 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而 且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解 为移动，转动和变形运动。
t 1 r r(rv r) 1 r (v ) z(v z) 0 (7-4)
对于不可压缩流体
vrr 1 r v vzz
vr r
0
(7-4a)
式中 r为极径； 为极角。
球坐标系中的表示式为:
tr 1 2 ( v r rr2)rs1in (v si)n rs1in
(v
)
0
v r r1 r v rs1in v 2 r vrv c r o t0
dx vy 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
vy
vy x
dx vy 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
vy
vy x
dx vy 2 y
dy 2
vx
vx x
dx vx 2 y
dy 2
图7-3 流体微团的平面运动
（1）移动 ：由图7-3看出，A、B、C、D各点速度分量中都
2vxdd x t2dd xtvx
同样可得在y轴方向和xz轴2方向的2分量分x别为
v y y
、 v z
z
。
图7-4 流体微团平面运动的分析
（3）角变形运动和旋转运动：如图7-4（c）、（d）所示，
取图7-3中的 来1分4 析。如果只考虑B′点和A″在y轴方向上
的速度差 ，v y 则dx 经过时间dt，B′点运动到B″点，运动距
离为 ，vy使dxAdt″x B2 ′边产生了角变形运动，变形角度为 ；
x 2
如果d只考虑D′点和A″点在x轴方向上的速度差
，则经vyx 过d2y 时
间dt，D′点运动到D″点，运动距离为 ,使A″D′vx 边dy d产t 生
y 2
了角变形运动，变形角度为 。变形角可按下d列公式求得。
d tgd
vy x
含有 v x 、v y项，如果只考虑这两项，则经过时间dt，矩形 ABCD向右移动 v x dt 的距离，向上移动 v y dt 的距离。移动到 新位置后，形状保持不变，如图7-4 (a)所示。
（2）线变形运动：如果只考虑AB边和CD边在x轴方向上的
速度差 2 v x dx ，则经过时间dt，AD边和BC边在x轴方向上伸
(7-5) （7-5a）
式中 r为径矩； 为纬度；为径度。
【例7-1】 已知不可压缩流体运动速度v 在 x，y两个轴方向的分量
为 vx 2x2 y，vy 2y2 z 。且在 z 0处，有 vz 0。试求 z轴方向 的速度分量v z 。
【解】对不可压缩流体连续性方程为： vx vy vz 0 x y z