§1.2 信号的运算与分解

• 若将某时间函数 f ( t ) 看作为电流信号，在时间间 隔T内流过单位电阻所产生的平均功率记为：
1 P T
T 2 T 2
f (t )dt
2
§1.2.3 信号的分解
一、直流分量与交流分量
f (t ) f D f A (t )
信号的平均值： 信号的直流分量
信号的平均功率等于直流 功率与交流功率之和
(1) 抽样性(筛选性)
复习：冲激函数性质：
f ( 0)
0
f (t0 )
t
0
t
三、脉冲分量
f(t) f (t1+Δt1) f (t1) f (t1-Δt1)
1、分解为矩形窄脉冲分量，极限：冲激信号的叠加； 2、分解为阶跃信号分量的叠加。
Δt1
Δt1
t1
t
三、脉冲分量
f (t )
t1
6
(4) t 0 1 2 3 6 f(t)
f (t ) f [5 (t 5)] 4 (t 1)
f ( t ) f ( t ) ：反折；
(4)
f (t ) 4 (t 1)
t 0 1 2 3 6
例题
例 3：已知 f (5 2t ) 波形，请画出 f (t ) 的波形。
思考？
2. (t)的展缩变换
δ(t)
(1)
δ(at)
(1/ |a|)
1 (at ) ( t ) a
证明：
（1） 根据定义
O
t
O
t
f ( t)
1/T
f (at)
1/T
-T
O T
t
-T/|a|
T/|a|
t
f(t)的面积为 1， (t ) 的强度为 1
1 1 而 f(at)的面积为 ，故 (at ) 的强度为 a a
上节内容复习
斜变信号
求导
斜变信号
积分
阶跃信号
求导
阶跃信号
积分
冲激信号
求导
冲激信号
积分
冲激偶信号
冲激偶信号
上节



(t ) f (t )dt ?
(t t0 ) f (t ) ?



(t t0 ) f (t )dt ?
f(5-2t)
(2) t 0 1 2 3
5 2t u 1 t u 2.5 2 1 即：已知 f ( u)的 波 形 ， 求 f ( u 2.5)的 波 形 2 1 f ( u) f ( u 2.5) f ( u 2.5) f ( u 2.5) 2

t : (2)a<0 时，令－|a|t= : 1 1 ( a t ) f ( t ) dt ( ) f d ( ) a a 1 1 1 ( ) f ( )d f (0) a1 a a 1 而 ( t ) f ( t )dt f (0) a a 两边相等。
f(u+2.5) f(-u+2.5)
(4) (2) (2)
f(-1/2u+2.5)
0 0.5 1
2
3
u
-0.5 0
1
2
3
u
-1 -0.5 0 1
2
u
§1.2.2 信号的时域运算
f (t )
一、微分:
d r (t ) f (t ) dt
信号经微分后突 出显示了其变化 部分。 应用：突出图形 的边缘轮廓。
Pf Pf D Pf A
推导
二、奇分量与偶分量
偶（ever）信号定义： 奇（odd） 信号定义：
f e (t ) f e (t )
f o (t ) f o (t )
f (t )
1 ( f (t ) f (t ) f (t ) f (t )) 2 1 1 ( f (t ) f (t )) ( f (t ) f (t )) 2 2 f e (t ) f o (t )
f (t ){u(t t ) u[t t
1 1


1
t1 ]}
冲激函数的叠加
f (t1 ) (t t1 )dt1
公式：1-58
Δt1→0
f (t )
重点掌握
1 1
f (t )
Δt1→0
n
[ f (t ) f (t t )] u(t t )
0 (t < t 1 )
用u(t)函数可表示为？：
f ( t )＝
sin(2t) (t1< t < t2)
0
( t > t2 )
§1.2 信号的运算与分解
主要内容：
信号的自变量变换 信号的时域运算
信号的分解 重点 难点 信号的自变量变换 (t)的展缩（尺度）变换
§1.2.1 信号自变量的变换
1
n
三、信号的展缩
1. 一般信号
f (t )
f (at) , a>0
(1) 表达式：直接用(at)代替表达式中的t，然后化简
例：
(2) 波形
a> 1 压缩
f (2t)
a< 1 扩展
f (t/2)
f ( t)
-1
O 1
t
-1/2
1/2
t
-2
O
2
t
对离散信号一般不作展缩变换
☻ 只有an取整数时，x(an)才有值 ☻ 会丢失信息
三、信号的展缩
波形的压缩与扩展，尺度变换。
例：已知 f t ，画出 f 和 f 2t 的波形。
f t
t 2
f ft/t 2
2 1
2 1 t
0
t 0 T f(t) 1 2
T
0
f(t/2) 1 2 t 0 2T
2T
求新坐标
f(t/2) 1 2
t
宗量相同，函数值相同
1 例3：计算 (5t ) f (t )d (t ) f 0 5

自学：
例 3：已知 f (5 2t ) ＝2δ （t-3） ， f(5-2t) 请画出 f (t ) 的波形。
解：
f (t ) 4 (t 1)
0
(2) t 1 2 3
例题
例 3：已知 f (5 2t ) 波形，请画出 f (t ) 的波形。


f ( )d
t
三、两信号相加
f1 (t ) sin(t )
f 2 (t ) sin(6t )
f 3 (t ) sin(t ) sin(6t )
四、两信号相乘:
f1 (t ) sin(t )
f 2 (t ) sin(6t )
f 3 (t ) sin(t ) sin(6t )
1 0 1 f ( 3t 5)
t
1
t
2
4 3
t
f ( 3t 5)
1
t
2
4 3
方法 2：先压缩， 后移动
宗量 t
1
1 301 3
t
宗量 3t+5 3t+5= -1，t=-2 3t+5=0，t= -5/3 3t+5=1，t= -4/3
函数值 1 1 0
验证：
t= -1 t=0 t=1
*
1 * 实部表示式： f r t f ( t ) f ( t ) 2 1 * 虚部表示式： jf i t f t f t 2
f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f i (t )
* 2 r 2
2
五、正交函数分量
• 用正交函数集表示一个信号，组成信号的 各个分量是相互正交的。
-1
O 1.5
3 t
f ( t)
f(t+1)
f (-t+1)
f (-t /2+1)
-1
O
2 3 t
-2
O
1
t
-4
O
2
t
平移
反褶
扩展
例 2：
已知 f(t)，求 f(3t+5)
f (t )
1
解：方法 1：先时移，再尺度变换
f(t)f(t+5) f(3t+5) f ( t 5)
1
6 5 4 f ( 3t )
两边相等。
四、 一般情况
f t f at b （b>0）
先平移：+，左移 b 单位；－，右移 b 单位
后展缩：|a|>1，压缩|a|倍；|a|<1，扩展 1/|a|倍
若 a<0,则加上倒置：
注意！
一切变换都是对 t 而言
f ( t) 例1：已知f(t) 的波形，求f(-t/2+1)的波形 解：
1 1

阶跃函数的叠加
f (t ) f (0)u(t )
0
df (t1 ) u(t t1 )dt1 dt1
四、实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。
f ( t ) f r ( t ) jf i ( t )
f ( t ) f r ( t ) jf i ( t )
一、信号的平移
1.连续信号
f (t )
f (t - τ )
（1） 表达式：直接用(t -τ)代替表达式中的t，然后化简。
（2） 波形（重点）τ> 0 , 右移(滞后)