计算方法模拟试题及参考答案

1 1 2 x1 3 0 2 1 x = 1 2 1 −1 5 x3 6
4 5. 使用公式 V = π R 3 计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 时允许 3 的相对误差限是多少？ 三 （10 分） 用复化 Simpson 求积公式计算定积分 I = ∫
1 的误差不超过 × 10 − 4 。 2
7． （10 分）取步长 h = 0.1 ，求如下常微分方程初值问题
dy = x + y2, dx y(0) = 1 x>0
的解函数在 x = 0.2 处的近似值．要求：每步用 Euler 法进行预估，用梯形法进 行一次校正，结果保留四位小数． 8． （10 分）设 x =
f ′′′(ξ 2 ) 2 1 f ′( x1 ) = [− f ( x0 ) + f ( x2 )] − h 2h 6
k 3. 设 x j , j = 0,1, , n 为互异节点，求证： ∑ x k (k = 0,1, , n); j l j ( x) = x j =0
n
其中： l j ( x) 为 Lagrange 插值基函数。 4. 用矩阵直接三角分解法解如下方程组
2 xy ,0 < x ≤ 1 y′ = 1 − 1+ x2 y (0) = 0
的数值解，要求取步长 h＝0.5。 5 1 5. 用乘幂法计算矩阵 A = （小 的按摸最大的特征值和对应的特征向量。 2 6 数点后保留四位） 二 、（15 分）已知方程 ( x − 1)e x = 1 在[1,2]内有惟一实根 α 。 （1）试建立迭代格式 x k +1 = ϕ ( x k ) , k = 0,1, ，论证其关于初值 x0Fra Baidu bibliotek∈ (1, 2) 的收 敛性； （2）求根 α 的近似值 xk +1 ，使 xk +1 − xk < 10−3 。
1 2
（1） 取定 7 个等距节点（包括端点 1 和 2） ，列出被积函数在这些节点上的函 数值表（小数点后至少保留 5 位 ）； （2） 根据此表用复化 Simpson 求积公式求 I 的近似值（小数点后保留 5 位 ）； （3） 为使复化 Simpson 公式所求近似值具有 4 位有效数字， 试估计需要用到多 少个节点处的函数值？ 7．给定初值问题： y ′ + y + y 2 sin x = 0 ， y(1) = 1 （1） 写出欧拉(Euler)预估-校正法的计算格式； （2） 取步长 h =0.2，求 y(1.4) 的近似值（计算结果小数点后保留 5 位 ）。 8．设有求解初值问题： y ′( x ) = f ( x , y ) ， y( x 0 ) = y 0 的如下多步法计算格式 yn +1 = ayn + byn −1 + h[cf ( xn , yn ) + df ( xn −1 , yn −1 )] 确定参数 a , b, c , d 应满足的方程组（不必求解） ，使该格式成为二阶格式。 9．当 R 取适当值时，曲线 y = x 2 就与 y 2 + ( x − 8) 2 = R 2 相切。使用迭代法求切点 横坐标的近似值 x n+1 ，使得 x n+1 − x n ≤ 10 −3 。 （不必求 R ）
写出截断误差 R( x ) = f ( x ) − p( x ) 的导数型表达式（不必证明） 。 5．用最小二乘法确定 y = a + b ln x 中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合于下列四 个点： （1 , 2.5）, (2 , 3.4) , (3 , 4.1) , (4 , 4.4) (计算结果保留到小数点后第 4 位)。 6．给定积分 I = ∫ ln xdx 。
A． f ( x) 与 x 的相对误差限互为倒数； B． f ( x) 与 x 的相对误差限相等； C． f ( x) 与 x 绝对误差限相等； D． f ( x) 与 x 的绝对误差限互为倒数 )
（2） 矩阵 A 的谱半径 ρ ( A) 和 A 的任何一种范数 A 的大小关系是( A． ρ ( A) > A ； C． ρ ( A) < A ； （3） 数值求积公式 ∫ f ( x)dx ≈
2 x1 + x2 + 2 x3 = 10 2. 用 LU 分解求解线性方程组 4 x1 + 5 x2 + 4 x3 = 26 6 x − 3 x + 5 x = 15 2 3 1
3. 已知函数值表 x y －2 0 －1 1 0 2 1 1 2 0
试用多项式 y = c0 + c1 x + c 2 x 2 拟合这组数据。 4. 用欧拉－梯形预估校正法求初值问题
0 2
B． ρ ( A) ≥ A ； D． ρ ( A) ≤ A 1 4 1 f (0) + f (1) + f (2) 具有( 3 3 3 C．3 )次代数精确度. D．4
A．
1
B． 2
（4） 为求方程 f ( x) = x 3 − x − 1 = 0 在 1.5 附近的根建立的如下几种迭代法中收 敛的有( A． xk + = 1 C． xk + = 1
2.2
1
x 4 ln xdx 。
（1） 取定 7 个等距节点（包括端点 1 和 2.2） ，列出被积函数在这些节点上的函 数值表（小数点后至少保留四位） ； （2） 根据此表用复化 Simpson 求积公式求 I 的近似值（小数点后保留四位） ； （3）试估计需要用多少个节点的函数值，使得用复化 Simpson 公式所求近似值
−1 1
3 3 ) + f ( ) 有______次代数精确度； 3 3
1 1 （4） 为提高数值计算精度，当正数 x 很大时，应将 ln( − ) 写为 x x +1
_______________________； 2 1 （5） A = 2 2 的三角分解为 A = LU = __________________________。 2．用迭代法（可任选）求方程 x + e = 3 在（0，1）内的根的近似值 x n+1 。要求
10 a 0 x1 10 3． （15 分）已知求解线性方程组 b 10 b x 2 = 2 的 Jacobi 迭代法对任意 0 a 5 x 5 3
初始近似都是收敛的． （1）试推断参数 a 和 b 应满足的条件； （2）取参数 a = 0 ， b = 1 ，以及初始向量 x ( 0 ) = (0, 0, 0) T ，用 Jacobi 迭代法 求解该方程组的精确解 x ． 4． （10 分）已知单调连续函数 y = f ( x ) 的如下数值表 xi f ( xi ) 0.1 −2 0.2 0 0.3 1 0.4 2
x
（1）说明所用方法为什么收敛； （2） x n +1 − x n ≤ 10 时迭代结束。
−4
1.5 −2 x1 + 10 x2 − x3 = 10 。 3．设有线性方程组 − x1 − 2 x2 + 5 x3 = 10 x − 2 x − x = 3 2 3 1
（1） 将 方 程 组 中 三 个 方 程 的 上 下 次 序 适 当 调 整 ， 使 得 用 高 斯 - 赛 德 尔 (Gauss-Seidel)方法求解时对任意初始向量都收敛； （2） 取 x ( 0 ) = (0 , 0 , 0)T ，求近似解 x
） 。
二、简单计算或证明（每题 6 分，共 30 分 ）。 1. 设 f ( x) =x 5 + 4 x 3 + 1 ，试求差商 f [0,1, 2] ， f [0,1, 2,3, 4,5] ， f [0,1, 2,3, 4,5, 6] 2. 设 x0 , x1 , x2 是等距分布的三个点，等距为 h ，试推导如下数值微分公式：
用插值法求 f ( x ) = 0.5 在区间 (0.1 ,0.4) 内的根的近似值 α （小数点后保留五位） 。 5． （10 分） 设已知函数值 { f ( x i )} m i = 0 ，确定常数 c ，使平行于 x 轴的直线 y = c 按 最小二乘原理拟合于该组数据。
6． （15 分）给定积分 I = ∫
2+ 2+ 1 1 1 2+
．试写出求 x 的迭代格式，讨论该格式的收敛性，
并由该迭代格式求 x 的近似值，使迭代误差不超过 0.001 ．
真题三
一、计算题（每题 8 分，共 40 分）
* * 2 * * 1. 已知有效数 x1 = 0.02 ，计算 y * = ( x1 ) x2 的相对误差限。 = 0.10 ， x2
真题二
1．填空（每小题 4 分，共 20 分）
* * * （1） 设近似数 x1 = 0.225 , x 2 = 1.120 , x 3 = 2.025 都是有效数。
* * * 则相对误差 e r ( x1 x2 + x3 ) ≈ ___________；
（2） 矩 阵 A 的 谱 半 径 ρ ( A) 和 A 的 任 何 一 种 范 数 A 的 大 小 关 系 是
π
2
与 cosx 相交的二次多项式
1 1 3 五、(15 分) 已知 x0 = , x1 = , x2 = 。 4 2 4
（1）以上述三点为求积节点，试建立计算积分 ∫ f ( x)dx 的插值型求积公式；
0
1
（2）判断该求积公式的代数精确度。
真题四
一、选择题（下列各题有一个或多个正确答案，错选、多选、少选均不得分；每 小题 3 分，共 15 分） （1） 设 x ∈ R ，且 x ≠ 0 ， f ( x) = 1 ，则（ x ）
真题一
1．填空 （1） 设近似数 x * = 0.2250 是“四舍五入”得来的，则相对误差 e r ( x * ) ≤ _____; （2） 设 f ( x ) = x 3 + 1 ，则差商 f [0,1,2,3] = _________; （3） 求积公式 ∫ f ( x )dx ≈ f ( −
10 a 0 三、(15 分) 线性方程组的系数矩阵 A = b 10 b ，试给出雅可比方法与高斯 0 a 5
赛德尔迭代法对任意的初始向量都收敛的充要条件。 四、(15 分) 用插值法求在 x=0 与 cosx 相切，在 x =
p2 ( x) ，并写出插值余项的表达式。
3
)。
1 + xk ；
B． xk= xk 3 − 1 ； +1 D． xk +1 =
xk 3 + xk − 1 2
1+
1 ； xk
（5） 计算常微分方程初值问题的方法中，属于二阶方法的有（ A．显式 Euler 公式； C．隐式 Euler 公式； B．梯形公式； D．Euler-梯形预估校正公式。
____________； （3） 数值求积公式
∫
1 0
f ( x )dx ≈
1 3 2 f (0) + f ( ) 的代数精确度为 4 4 3
；
（4） 因为矩阵 B 的谱半径 ρ ( B ) > 0 ，所以对任意初始向量 x ( 0 ) ，迭代格式 ； x ( k +1) = Bx ( k ) + g , k = 0,1,2, 不收敛_________（错或对） （5） 如果求解线性方程组的 Jacobi 迭代法不是对任意初始向量 x ( 0 ) 收敛， 则相 应的 Gauss-Seidel 迭 代法 （JGS） 不是对任意初始向量 x ( 0 ) 收敛______ （错或对） 。 2． （10 分）用迭代法（非牛顿法）求方程 3 x 2 − e x = 0 在（0 ，1）内的根的近似 值 x n+1 。 要求： （1）说明所用方法为什么收敛； （2） x n +1 − x n ≤ 10 −3 时迭代结束。
( k +1 )
，使得 max x i( k +1) − x i( k ) ≤ 10 −3 。
1≤ x i ≤ 3
4．已知三阶连续可导函数 y = f ( x ) 的如下数据：
xi
f ( xi )
f ′( x i )
0.25 0.50
1.0 1.0 0.5
试求满足插值条件 = p ( xi ) f= ( xi ) , p′( xi ) f ′( xi ) 的二次插值多项式 p( x ) ，并