【线性代数】 矩阵的初等变换
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线性代数(第二版)第六节矩阵的初等变换
称为矩阵 A 的行(列)初等变换. 一般将矩阵的行、 列初等变换统称为矩阵的初等变换.
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1
1
P (i(k ))
k
i行
1
1
i列
பைடு நூலகம்
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m
阶的初等矩阵左乘 A ;
(2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n
阶的初等矩阵右乘 A .
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明 .
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
的 第 j 行 的 k 倍 加 到 第 i 行 上 (不 妨 设 i < j )， 则 相 应
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
A1
1
A
A2
,
E
1 0 0
则
P (1, 3 ( 3 ) ) T
0
1
0 P (3, 1(3) )
0 0 1
3 0 1
(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中
P(i, j)1P(i, j)
P(i(k))1 Pik1
P (i,j(k)) 1P (i,j( k))
验证
0 1 0
0
0
0 0 1
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1
1
P (i(k ))
k
i行
1
1
i列
பைடு நூலகம்
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m
阶的初等矩阵左乘 A ;
(2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n
阶的初等矩阵右乘 A .
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明 .
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
的 第 j 行 的 k 倍 加 到 第 i 行 上 (不 妨 设 i < j )， 则 相 应
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
A1
1
A
A2
,
E
1 0 0
则
P (1, 3 ( 3 ) ) T
0
1
0 P (3, 1(3) )
0 0 1
3 0 1
(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中
P(i, j)1P(i, j)
P(i(k))1 Pik1
P (i,j(k)) 1P (i,j( k))
验证
0 1 0
0
0
0 0 1
[数学]线性代数矩阵的初等变换
![[数学]线性代数矩阵的初等变换](https://img.taocdn.com/s3/m/e62a0128ee06eff9aff8070e.png)
用n阶初等矩阵En(i, j)右乘A=(aij)mn, 得
a11 a1 j a1i a1n a21 a2 j a2 i a2 n AEn ( i , j ) a a a a mj mi mn m1 第j 列 第i 列 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第 i 列与第j 列对调(cicj).
三、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 应用广泛. 定义: 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 对调两行或两列; 以非零数k乘某行或某列; 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去.
对调两行或两列
对调E中第i, j两行(或列), 得初等矩阵E(i, j): 1 1 0 1 第i 行 1 E(i, j) = 1 1 0 第j 行 1 1
一、消元法解线性方程组
分析: 用消元法解下列方程组的过程. 引例: 求解线性方程组 ① 2 x1 x 2 x 3 x4 2 ② x1 x 2 2 x 3 x4 4 4 x 6 x 2 x 2 x 4 ③ 2 3 4 1 ④ 3 x1 6 x 2 9 x 3 7 x4 9
两个同解线性方程组具有等价关系性质, 因此也 称两个同解线性方程组为等价的. 用矩阵的初等行变换解方程组(1). 1 2 2 1 1 1 1 2 1 4 B 4 6 2 2 4 6 9 7 9 3 1 2 1 4 1 r1 r2 ① ② 2 1 1 1 2 B1 r3 2 2 3 ③2 1 1 2 6 9 7 9 3 1 1 2 1 4 r2–r3 0 ②③ 2 2 2 0 B2 r3–2r1 0 5 ③2① 5 3 6 r4–3r1 0 ④3① 3 3 4 3
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
线性代数矩阵的初等变换
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
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a11 a21 A am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
a1n xn b1 a2 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm
在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公 例习 元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上 禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下 禾一秉几何？ 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式是自上 而下，从右到左)： 上禾秉数 试列出此问题的方程 中禾秉数 组，并用高斯消元法求出 下禾秉数 斗数 其解。
经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了一般线 性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？ 那和什么有关呢？ 没有 和未知量的系数以及右端的常数项有关！ 问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是对什么 在运算？什么在变化？ 未知量的系数以及右端的常数项！ 基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就出现了 由未知量系数以及右端常数项组成的数表：
式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求解，仍以
例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得
由以上3例思考 不一定！ 1. 线性方程组都有解吗？若有解，解一定唯一吗 ？ 2. 如何判断解的各种情况？
唯 一 解
无 穷 多 解
无解
线性方程组解的判定方法
将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵后：
1. 若出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则无解；
2. 若不出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则有解，且
线性方程组的来源
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，矩阵 1 在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提供了有力的工 具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理 论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如“以直代曲”是人 们处理很多数学问题时一个很自然的想法。此外，很多实际问 题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理；同时 它也是研究理论物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
1
例1
·求解线性方程组
(-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量x1，
该方程组比原方程组少一个未知量。
1
其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2， 由(5)-(4) 得
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得 最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
1
本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
法。
高斯消元法的基本思想：逐步将原方程组化简，直至易于 求解的形式； 使用的手段：施行矩阵的行初等变换，将增广矩阵化为行 最简阶梯形矩阵；
理论依据：变形后的方程组与原方程组同解。
2. 《九章算术 方程》第三问：今有上禾二 秉，中和三秉，实皆不满斗；上取中，中取 下，下取上各一秉，而实满斗。问上、中、 下禾实一秉各几何？
上述解法的基本思路和步骤 反复利用矩阵的行初等变换，逐步将线性方程组的增 广矩阵化成行最简阶梯形矩阵，从而求出方程组的解。 此种方法称为高斯消元法，它是解线性方程组的最一 般、最有效的方法。 将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步
化行阶梯形：从上到下，从左到右；
化行最简阶梯形：从下到上，从右到左。
解：方程组的增广矩阵
互换(1)与(2)的位置得
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
(3)-(2) 得
(3)-(2) 得
（阶梯形方程组） (-1/2)×(3) 得
（行阶梯形矩阵）
(-1/3)×(2) 得
(1)-(2) 得
(1)-(2) 得
（行最简阶梯形矩阵） 阶梯上第一个元素为1，同列的其它元素都为零。 从而原方程组的解为
(1) 此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
加上常数项得数表 (2)
定义1 称上述矩形表为矩阵，横的排称为行，竖的排 称为列，其中的数称为矩阵的元素。 矩阵(1)称为方程组的系数矩阵，记为A，矩阵(2)称为方 程组的增广矩阵，记为 A.
对于一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
①. 非零行行数等于未知量个数，则有唯一解； ②. 非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。 唯 一 解 无 穷 多 解
无 解
齐次线性方程组解的情况
例4
求解齐次线性方程组
解：对系数矩阵施行行初等变换化为行最简阶梯 形
文 科 数 学
小
结
本节主要围绕解一般线性方程组的问题，从运用加减消元 法去求解特殊的线性方程组入手，一步一步的提出问题，分析 问题，逐步探索出求解任意线性方程组的一般方法：高斯消元
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4)得
(5)-(4) 得
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未知量，形 状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，
(-1/2)×(6) 得
第五步，消去(2)(4)中的 x3， (2)-2×(7)，(4)+2×(7)
1
线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
, m; j 1,
(1)
(i 1, 其中有 n 个未知量 x1 , x2 , , xn aij R，m 个方程， b1 , , bm R 是常数项。 是未知量的系数， 若右端常数项 b1 , b2 , , bm 均为零，则称方程组为
齐次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
将要研究的问题
1
1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？
研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法；
2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
解：方程组的增广矩阵
有何特点？
有何特点？
则同解方程组为
，即
令 x3 = k， 则原方程组的解为 显然方程组有无穷多解，称上述含任意常数的解为 方程组的通解。
例3
解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
文科数学
有何特点？ 同解方程组最后一个方程 0 =－2 是矛盾方程！ 所以方程组无解， 此时称该方程组是不相容的或矛盾的。
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
第七步，消去(8)中的x2， (8)-(10) 得
由此得到了方程组的解。 思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐 步对原方程组进行消元变简？
用到了如下三种变换 1、交换两个方程的顺序； 2、用一个非零常数乘某个方程； 3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上； 称上述三种变换为线性方程组的初等变换。 初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与原方程 组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质 对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐步化简 以求其解。
增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只对增广 矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 称此三种变换为矩阵的行初等变换。
由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增广 矩阵的行初等变换。 例1 求解线性方程组
1
由(-1/3)×(8) 得
将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的x2,x3，由(-2)×(7)+(2)，(2)-(9)得 故原方程组的解为
从上述求解过程可以看出
加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算术运算
，每次消去一个未知量，得到一个比原方程组少一个未知量
的方程组，一次一次进行下去，直至得到便于求解的一个形
线性代数（同济大学第六版）
§3.1 线性方程组的消元解法
目
录
介绍线性方程组
线性方程组的消元法 矩阵的初等变换
1 2 3 4
线性方程组解的判定
线性方程组的来源
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形成，然
而它的历史却非常久远。 最古老的线性代数问题是线性方程组的求解，在中国
古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较 完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组 的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
§3.1
线性方程组的消元解法
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
1 对二元一次方程组
a1n xn b1 a2 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm
在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公 例习 元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上 禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下 禾一秉几何？ 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式是自上 而下，从右到左)： 上禾秉数 试列出此问题的方程 中禾秉数 组，并用高斯消元法求出 下禾秉数 斗数 其解。
经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了一般线 性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？ 那和什么有关呢？ 没有 和未知量的系数以及右端的常数项有关！ 问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是对什么 在运算？什么在变化？ 未知量的系数以及右端的常数项！ 基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就出现了 由未知量系数以及右端常数项组成的数表：
式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求解，仍以
例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得
由以上3例思考 不一定！ 1. 线性方程组都有解吗？若有解，解一定唯一吗 ？ 2. 如何判断解的各种情况？
唯 一 解
无 穷 多 解
无解
线性方程组解的判定方法
将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵后：
1. 若出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则无解；
2. 若不出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行，则有解，且
线性方程组的来源
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，矩阵 1 在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提供了有力的工 具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理 论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如“以直代曲”是人 们处理很多数学问题时一个很自然的想法。此外，很多实际问 题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理；同时 它也是研究理论物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
1
例1
·求解线性方程组
(-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量x1，
该方程组比原方程组少一个未知量。
1
其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2， 由(5)-(4) 得
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得 最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
1
本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
法。
高斯消元法的基本思想：逐步将原方程组化简，直至易于 求解的形式； 使用的手段：施行矩阵的行初等变换，将增广矩阵化为行 最简阶梯形矩阵；
理论依据：变形后的方程组与原方程组同解。
2. 《九章算术 方程》第三问：今有上禾二 秉，中和三秉，实皆不满斗；上取中，中取 下，下取上各一秉，而实满斗。问上、中、 下禾实一秉各几何？
上述解法的基本思路和步骤 反复利用矩阵的行初等变换，逐步将线性方程组的增 广矩阵化成行最简阶梯形矩阵，从而求出方程组的解。 此种方法称为高斯消元法，它是解线性方程组的最一 般、最有效的方法。 将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步
化行阶梯形：从上到下，从左到右；
化行最简阶梯形：从下到上，从右到左。
解：方程组的增广矩阵
互换(1)与(2)的位置得
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
(3)-(2) 得
(3)-(2) 得
（阶梯形方程组） (-1/2)×(3) 得
（行阶梯形矩阵）
(-1/3)×(2) 得
(1)-(2) 得
(1)-(2) 得
（行最简阶梯形矩阵） 阶梯上第一个元素为1，同列的其它元素都为零。 从而原方程组的解为
(1) 此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
加上常数项得数表 (2)
定义1 称上述矩形表为矩阵，横的排称为行，竖的排 称为列，其中的数称为矩阵的元素。 矩阵(1)称为方程组的系数矩阵，记为A，矩阵(2)称为方 程组的增广矩阵，记为 A.
对于一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
①. 非零行行数等于未知量个数，则有唯一解； ②. 非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。 唯 一 解 无 穷 多 解
无 解
齐次线性方程组解的情况
例4
求解齐次线性方程组
解：对系数矩阵施行行初等变换化为行最简阶梯 形
文 科 数 学
小
结
本节主要围绕解一般线性方程组的问题，从运用加减消元 法去求解特殊的线性方程组入手，一步一步的提出问题，分析 问题，逐步探索出求解任意线性方程组的一般方法：高斯消元
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4)得
(5)-(4) 得
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未知量，形 状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，
(-1/2)×(6) 得
第五步，消去(2)(4)中的 x3， (2)-2×(7)，(4)+2×(7)
1
线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
, m; j 1,
(1)
(i 1, 其中有 n 个未知量 x1 , x2 , , xn aij R，m 个方程， b1 , , bm R 是常数项。 是未知量的系数， 若右端常数项 b1 , b2 , , bm 均为零，则称方程组为
齐次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
将要研究的问题
1
1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？
研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法；
2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
解：方程组的增广矩阵
有何特点？
有何特点？
则同解方程组为
，即
令 x3 = k， 则原方程组的解为 显然方程组有无穷多解，称上述含任意常数的解为 方程组的通解。
例3
解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
文科数学
有何特点？ 同解方程组最后一个方程 0 =－2 是矛盾方程！ 所以方程组无解， 此时称该方程组是不相容的或矛盾的。
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
第七步，消去(8)中的x2， (8)-(10) 得
由此得到了方程组的解。 思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐 步对原方程组进行消元变简？
用到了如下三种变换 1、交换两个方程的顺序； 2、用一个非零常数乘某个方程； 3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上； 称上述三种变换为线性方程组的初等变换。 初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与原方程 组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质 对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐步化简 以求其解。
增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只对增广 矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 称此三种变换为矩阵的行初等变换。
由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增广 矩阵的行初等变换。 例1 求解线性方程组
1
由(-1/3)×(8) 得
将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的x2,x3，由(-2)×(7)+(2)，(2)-(9)得 故原方程组的解为
从上述求解过程可以看出
加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算术运算
，每次消去一个未知量，得到一个比原方程组少一个未知量
的方程组，一次一次进行下去，直至得到便于求解的一个形
线性代数（同济大学第六版）
§3.1 线性方程组的消元解法
目
录
介绍线性方程组
线性方程组的消元法 矩阵的初等变换
1 2 3 4
线性方程组解的判定
线性方程组的来源
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形成，然
而它的历史却非常久远。 最古老的线性代数问题是线性方程组的求解，在中国
古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较 完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组 的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
§3.1
线性方程组的消元解法
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
1 对二元一次方程组