2014高三数学二轮复习精品教学案：【专题一】数形结合思想
高三数学二轮复习专题辅导(1)数形结合精品教学案
专题一】数形结合思想考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2020 年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查” ，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形” ，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休” 。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。
2014年高考数学(文)二轮专题复习篇教案：专题一 数学思想方法 专题一 第一讲
专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案 C解析 如图，△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则S △ADES △ABC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝⎝⎛⎭⎫x 402，所以y ＝40－x ，由题意知xy ≥300，即x (40－ x )≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解不等式得10≤x ≤30. 2． (2013·课标全国Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c答案 D解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .3． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 答案 A解析 当0<a ≤b 时，显然e a ≤e b ，且2a ≤2b <3b ， ∴e a ＋2a <e b ＋3b ，即e a ＋2a ≠e b ＋3b 成立， 所以它的逆否命题：若e a ＋2a ＝e b ＋3b ， 则a >b 成立，故A 正确，B 错误； 当0<a ≤b ，由e a ≤e b ，2a <3b ， 知e a －2a 与e b －3b 的大小关系不确定， 故C 错误；同理，D 错误．4． (2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.5． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎨⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 (1)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22(2)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．审题破题 (1)由题意可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，因此该问题可转化为：求x 为何值时，函数F (x )＝x 2－ln x 取得最小值．(2)由ab ＝a ＋b ＋3变形可得b ＝a ＋3a －1，从而求ab ＝a (a ＋3)a －1的取值范围问题可转化为求函数f (a )＝a (a ＋3)a －1的值域问题；若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，从而a ，b 可看成方程x 2－(t－3)x ＋t ＝0的两根，利用方程的思想解决． 答案 (1)D (2)[9，＋∞)解析 (1)可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x . 令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，故当x ＝22时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小．(2)方法一 (看成函数的值域) ∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1.而b >0，∴a ＋3a －1>0.即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．反思归纳 (1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1 (x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1 (x 0≥3)，因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．审题破题 可分离变量为a ＝－cos 2x ＋sin x ，转化为确定的相关函数的值域．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解．∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值范围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值范围是(－1,1]． 反思归纳 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．解 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0；(*) 要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1＋t 2＝2>0，解得13<k ≤23.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，23.题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．审题破题 本题可先求出m 的范围，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立可转化为函数g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2的值恒大于0.解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为当m ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3， 问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0. 解得x >2或x <－1.反思归纳 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞D ．(－∞，2)答案 C解析 原不等式即(x －1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x －1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)<0，f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)－(2x －1)<0，－2(x －1)－(2x －1)<0，解得x >34.题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n <1.审题破题 可将T n 看作关于自然数n 的函数，通过函数的单调性来证明不等式． (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋4－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5. ∵a 1＝1不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12n －5， n ≥2.(2)证明 由题意知b n＝an 2n＝⎩⎪⎨⎪⎧12， n ＝12n －52n， n ≥2.当n ＝1时，T 1＝12，当n ≥2时，T n ＝12＋－122＋123＋…＋2n －52n ，① 12T n ＝122＋－123＋124＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋1，②①－②得：12T n ＝12－222＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n －2n －52n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －2－2n －52n ＋1， ∴T n ＝1－2n －12n (n ≥2)，当n ＝1时也适合上式．故T n ＝1－2n －12n (n ∈N *)．∵2n －12n >0 (n ∈N *)，∴T n <1.当n ≥2时，T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2n －12n＝2n －32n ＋1>0，∴T n <T n ＋1 (n ≥2)． ∵T 1＝12，T 2＝1－34＝14，∴T 2<T 1.故T n ≥T 2，即T n ≥14(n ∈N *)．综上，14≤T n <1 (n ∈N *)．反思归纳 (1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．(2)数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决． 变式训练4 (2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分] 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分] 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分]评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒 (1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN ＝12·|AT |·|y 1－y 2|，大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 3答案 D解析 由题意得⎩⎨⎧ x ≤3x 3＝27或⎩⎨⎧x >3x 2＝27，解得x ＝3或3 3.2． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|， ∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34.3． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916，x ∈[－1,1]． 当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.4． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )A ．－1B ．1 C.23 D ．－23 答案 D解析 由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13－c ； a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29； a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227， 又数列{a n }是等比数列，∴⎝⎛⎭⎫－292＝⎝⎛⎭⎫13－c ×⎝⎛⎭⎫－227，∴c ＝1. 又∵公比q ＝a 3a 2＝13， 所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *. 因此，数列{a n }是递增数列，∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23. 5． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 x 2＋px >4x ＋p －3对于0≤p ≤4恒成立可以变形为x 2－4x ＋3＋p (x －1)>0对于0≤p ≤4恒成立，所以一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0， 所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6． 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(草图如图所示)．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 设φ(x )＝f (x )－(2x ＋4)，则φ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴φ(x )在R 上为增函数，又φ(－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴由φ(x )>0可得x >－1.故f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 答案 D解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x 2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e －22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)，选D. 3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数答案 C 解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确；当x 是有理数时，－x 也是有理数，且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )，当x 是无理数时，－x 也是无理数，且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )，故D (x )是偶函数，选项B 正确；当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )， 当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝4a 1＋a 3. ∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0.∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 5． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22C.12 D ．－12 答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab， 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12. 6． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，2) B ．(2，5) C ．[2，5]D ．(3，5) 答案 B解析 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 C 解析 易知f (x )为奇函数且为增函数，f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1. 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )A ．{x |12<x <1} B ．{x |x <12或x >2} C ．{x |－12<x <1} D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 ax －1x ＋b>0⇔(ax －1)(x ＋b )>0， 转化为x 1＝－1，x 2＝2是方程(ax －1)(x ＋b )＝0的两个根(且a <0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ (－a －1)(－1＋b )＝0(2a －1)(2＋b )＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2，∴bx ＋1ax ＋1＝－2x ＋1－x ＋1<0⇒12<x <1.故选A. 二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,2)解析 令f (x )＝(2－2－|x －2|)2.要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的值．∵f (x )的值域为[1,4)，∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．答案 (－∞，14] 解析 圆心坐标为(－1,2)，因为圆关于直线对称，所以－2a －2b ＋2＝0即a ＋b －1＝0，∴ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14≤14. 11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10.∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案 λ＞－3解析 由{a n }是递增数列，得a n ＜a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn ＜(n ＋1)2＋λ(n ＋1)， 整理得λ＞－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ＞－3.三、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0， ① ∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0，∴－1<a <13且a ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a. 设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2， ∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1 ＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13且a ≠0， ∴当a ＝－13时，S 取得最大值33. 14．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2. 因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22. 所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立； 当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0. 解得－1<m <－12或12<m <1. 即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.。
高考数学二轮复习讲义 数形结合
高考数学二轮复习讲义 数形结合一、课前导读⑴数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。
⑵数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系 数量关系决定了几何图形的性质⑶数形结合作为一种数学思想方法大致分为： ①借助数的精确性来阐明形的某些属性②借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 ⑷数形结合作为手段主要用于：①平面几何、立体几何的一些算法（与解三角形有关的计算） ②解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域(区间)与不等式的对应 ③函数与它的图象以及有关几何变换④三角函数的概念、向量及其运算的几何意义 ⑤集合的图示 ⑥导数的几何背景二、典型例题 ★221log log ab <<、若0,则（ ）()1A a b <<<0()1B b a <<<0()1C a b >>()1D b a >>★22cos sin x y x x π≤=+、若，则的最小值为_______4★343()7()17()1()1x x a a A a B a C a D a --<><<>≥、不等式+有实数解，则的取值范围是（ ）★2242)y x y x y x-、若实数,满足(+=3，则的最大值为_______★25402x y x y x y x y ++=-2、若，满足-2，则的最大值为_____★2643x x x m m -+=、关于的方程有四个不等实根，则的取值范围为___________ ★7{{}A x y y B x y y x a A B a ==+⋂≠∅、（，），（，）=，若，则的取值范围为_____________★18()log ()0()x a f x f x f x +=>∞、已知在区间(-1,0)上有，则在(-,-1)上是____函数(填增或减)★★229[1,1]()442()13()13()12()12[1,1]()442a f x x a x a xA xB x xC xD x x x f x x a x a a∈-=-+-<<<><<<>∈-=-+-、对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是（ ）或 或 变题：对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是_____________★★10()(0)(0,)()1,(1)0y f x x x f x x f x =≠∈+∞=--<、若奇函数在时，则的解集为_________★★211(0,1)x x a x ax a a a +>≠、关于的方程=-+2的解的个数为_____★★212AB y x M ABM y 、定长为3的线段的两个端点在抛物线=2上移动,为线段 的中点,求点到轴的最短距离★★213()3[2,2]()f x x ax x f x a a =+∈-≥、已知函数+,当时,恒成立,求的取值范围★★14[0,2]sin x a x x a π∈+=、已知，为实数，讨论的解的个数★★15sin 0021a a θθπαβαβ++=+在(，)上有相异二解、 （）求的取值范围 （2）求的值★★★1635320x y R x y -+--=222、若圆()+()=上有且仅有两点到直线4的距离为1，R 则的范围为____________★★★172,2OB OA OA OB αα→→→→、向量=(2,0)，=()，则,的夹角的范围是________★★★18S ABC αα、正三棱锥-，其相邻两侧面所成的角为，则的取值范围为________★★★19x R y ∈=、，则★★★220()log ()log 10()log (205),()()a a af x a xg x x f x g x a =-+=-<、设函数，若 不等式的整数解只有1，求的取值范围★★★222221cos sin cos sin ,1cos cos 0,020222a b c a b c b a a b ac ααββαβ+=+=+=≠≠++=、已知，且()，求证：三、巩固练习★1523()()()()x x A B C D <<-<、命题甲：0；命题乙：，则甲是乙的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件★2()[37]5()[73]()()()()f x f x A B C D --、如果奇函数在区间，上是增函数，且最小值是，那么在区间，上是（ ）增函数且最小值是-5 增函数且最大值是-5 减函数且最小值是-5 减函数且最大值是-5★2321()()()()x x A B C D =+、方程的实根的个数是（ ）1 2 3 4★4log2log 20log 2log 2()()()()dc b a a b cd A a b c d B a b d c C b a c d D b a d c<<<<>>>>>><<<<<<、若，则、、、的大小关系为（ ）★53634()()()2()A B C D π1、球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这个点的小圆的周长为，则这个球的半径为（ ）★62,3(3,2(0,2)A B P P l AB -、已知点（-）、）、，过点的直线与线段有公共点， l k 则直线的斜率的取值范围为____________★73102360_______kx y k x y k -++=+-=、设直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是★8_____、三边的长都是整数，且最大边长为9的三角形的个数是★2291916,x y -、设圆过双曲线=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上则圆心到双曲线中心的距离是_______★★100sin tan 2παααα<<<<、已知,求证：★★21112()(1)(3)()(2)(3)()(2)(3)(4)()(3)x y x x y y x A B C D -=-=、设函数，则下列命题中正确的是（ ）（1）图象上一定存在两点，这两点的连线平行于轴 （2）图象上任意两点的连线都不平行于轴（3）图象关于直线对称（4）图象关于原点中心对称 和 和 和和★★12101____x x <<>+、“若-”，这一命题的否命题的真值为★★138040()()()()P P A B C D αβαβ︒︒、已知平面、成角，为空间的一定点，则过点且与平面、所成的角都等于的直线至多有（ ） 1条 2条 3条 4条★★14、10个相同的小球放入1、2、3号盒中，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放入种数为_______★★2115log 0(0,2mx x m -<、方程不等式在)时成立，则的取值范围是_______★★222160(0)2ax bx a ab a b b +=>∅-、已知方程+的解集是，则+的取值范围是_____________★★★171(2)__________x k x a a k a --+、若方程=，对任意实数都有解，则实数的取值范围是★★★18,(2,2)(),()()OA OB A a b B b a a b OP R OA OBλ→→→→→≠=-∈、已知点（），若，P 则点的轨迹方程是____________★★★221212112222191,259((4,0)x y F F PF PF PF PF PF B F MF MB MF MB +--+、设椭圆=上一点、为焦点,=4,求 变题:(1)若去掉条件=4，求的最大值(2)若、,求的最大值 (3)在(2)中求的最大值★★★2200,2,244;442,2x x ax b a b b a b b αβαβαβ+=<<<+<<+<<<、已知关于的实系数二次方程+有两个实根。
高中数学高考二轮复习数形结合思想教案
第二讲数形结合思想对应学生用书P1291数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x －2)2＋(y －1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a (a >0)与距离互化；将a 2与面积互化，将a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a ≥b ≥c >0且b ＋c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．例1 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A.k ≤12B ．－1≤k <－12 C.－12<k ≤12 D ．－12<k ≤12或k ＝－1解析 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4.又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6. 若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根， 即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点. 如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1.利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．模拟演练1 已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案 D解析方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象有两个不同的交点．因为当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，所以f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，所以f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ∈[0，1]1x ＋1－1，x ∈(－1，0).在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m (x＋1)与函数f (x )，x ∈(－1,1]的图象，由图象可知，当直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.例2 (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．。
高中总复习二轮文科数学精品课件 第1部分 思想方法研析指导 三、数形结合思想
-
(1)- ⇔(a,b),(m,n)两点连线的斜率;
(2) (-)2 + (-)2 ⇔(a,b),(m,n)两点之间的距离.
|log 2 + 1|, > 0,
对点训练3已知函数f(x)=
若存在互不相等的实数a,b,c,d,
得∠APB=90°,则m的最大值为(
A.7
B.6
C.5
D.4
B)
解析:画出示意图如图所示,则圆心C(3,4),半径r=1,且|AB|=2m.
1
1时,Βιβλιοθήκη '(x0)=- 2 =-4,x0=2.
0
此时切点为
1
2,
2
1
1=- +a,得
4
,此时 a=1.故选 D.
5
a= .
4
9
a=4.
1
y=-4x+a
有两个相异的交点.
题后反思 在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演
算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,
3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( A )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,可知关于导函数的方程
f'(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根x1,x2,则方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有两
个不等的实根,即f(x)=x1或f(x)=x2,原方程根的个数就是这两个方程f(x)=x1
高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料 教案
word 高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料一、基础知识整合中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规X严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离。
数形结合思想是一种重要的解题思想，是高考命题中主要考查的一个内容．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数,向量等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y-+-=21422纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
高三数学二轮复习：数形结合的思想方法名师课件
由 f 2 (x) bf (x) 0得 f x 0或 f x b 结合 f x 的图象易知
f x 0 有3个不同的实数根, f x bb 0 有4个不同的实数根,
则 f x2 bf x 0 方程有7个不同实数解.故选(C).
如图，当B(直4,0)线与半a 圆 4相切时；
A(-4,0)
B(4,0)
当直线过
点时；
,4 (4 2,)
-4
当直线过
点时。
由图-1可知：实数的取值范围是
变式1、若M N 则实a数 的取值范(围4,是4 2 ]
变式2、若集合M N 中只有一个元素，则a 实
M N
a
o
A(-4,0)
4
o B(4,0)
分析：（如图-1）集合M表示的图形x是2 半y2 圆 16
-4
(0 y 4)图-1（例1）
且不含端点；
集合N表示M的 N图 形是：斜率为1的一组平行直线，在 轴上
的截距为A(a4,0。)
a 4表示直线与半圆没有公共点。4
设 AT切 半圆于T，由图3-8可知，斜率应满足 kAB a kAT kAB 1 因为 AT 为圆的切线，所以，圆心2,0到直线 y ax 4ax 4 0
的距离等于半径2， 即
2a 4 a2 1
所 2以，，解实得数的kAT取值 34范，围为
1
a
数形结合的思想方法
规律总结
以形助数常用的有：借 助数轴；借助函数图象；借助单位圆； 借助直线的有关概念；借助三角形等. 总之，无论是解析几何、立体几何、 函数问题，无法入手时尽量与“形” 联系.
高中数学新北师大版精品教案《高考专题数形结合思想》
高考第一轮复习 专题二数形结合思想教学设计教材分析： “数形结合思想”是数学高考重要的几个数学思想之一，，数是指数量关系，形是指几何图形。
数形结合就是根据数与形之间的对应关系进行数与形的相互转化，将反应问题的抽象数量关系与直观的几何图形结合起来，也是将抽象思维和形象思维有机结合起来的一种解决问题的重要思想方法。
数形结合思想就是通过"以形助数"或"以数解形”达到化繁为简的解题效果。
学情分析：初次接触数形结合类型题目学生无从下手，在这方面比较薄弱，所以本节课从两个角度“利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图像的交点问题”和“利用数形结合思想解决最值问题”下手，从简单问题入手，让学生更好的将数与形结合起来，并通过变式训练让学生思考巩固掌握。
学习目标1、了解“数形结合思想”在高中解题中的重要性，通过领会“数形结合思想”方法使学生具备运用“数形结合思想”握解问题的能力。
2、能利用“数形结合思想”研究函数的零点、方程的根、图像的交点问题，能利用“数形结合思想”解决最值问题。
3、培养学生主动运用“数形结合思想”解题的意识，掌握将代数问题转化为几何问题，几何问题转化为代数问题的技巧，并在解题过程中进一步培养学生观察分析能力。
教学重点：“数形结合思想”的实质，培养运用“数形结合思想”解题的能力。
教学难点：解题过程中如何将数与形相互结合，达到"以形助数"和"以数解形"的目的。
教学方法：多媒体教学过程一、利用“数形结合思想”研究函数的零点、方程的根、图像的交点问题例题讲解1、函数()4sin x x x f -=π的零点个数为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8例题讲解2、（2021贵州八校联考）若关于x 的方程312=+x ax 的正实数解有且仅有一个，则实数a 的取 值范围是 ( )A. ()0,∞-B. {}2]0,(⋃-∞C. ),0[+∞D. {}2,0[-⋃+∞变式1：把一个正实数改成两个正实数解会怎样？思考：若构造成函数 3=y 和 21x ax y += ，怎么解答？二、利用“数形结合思想”解决最值问题例题讲解3、(2021·开封二模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤3x －2x －2y ＋1≤02x ＋y ≤8，则y x －1的最小值是( ) A.12B ．1C ．2D ．4注;易知1-x y 表示可行域内的点与点(1,0)连线的斜率变式1：已知条件不变，求目标函数y x z -=2最大值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
【知识归纳】数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
1．数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。
这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
4)1()2(22=-+-y x 如等式。
常见方法有：①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。
②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。
把抽象的几何推理化为代数运算。
特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a ＞0与距离互化，将a 2与面积互化，将a 2+b 2+ab=a 2+b 2－2)12060(cos ︒=︒=θθθ或b a 与余弦定理沟通，将a≥b≥c ＞0且b+c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。
另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。
常见的转换途径为：①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
②利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。
通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离点到直线的距离d =，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
2．数形结合的原则 （1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
【考点例析】题型1：数轴、韦恩图在集合中的应用例1．（1）（2012高考真题浙江理1）设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．.(1,3)D ．(1,2)∪（3,4） 解析：B ；B ={x|2x -2x-3≤0}=}31|{≤≤-x x ，A ∩（C R B ）={x|1＜x ＜4} }3,1|{>-<x x x 或=}43|{<<x x 。
故选B.点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。
（2）（2011湖南文1）设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N === 则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 解析：B ；解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。
点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。
（3）（2012高考重庆理）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（ ）（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π 解析：D ；由0)1)((≥--x y x y 可知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010x y x y 或者⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-010x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域如图，由图象可知B A 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2π，选D. 题型2：函数图像的价值 例2．（1）（2012高考真题江西理10）如右图，已知正四棱锥S ABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SE x x =<<截面下面部分的体积为(),V x 则函数()y V x =的图像大致为（ ）解析：A ；（定性法）当102x <<时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越快；当112x ≤<时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A 图象符合.故选A.【点评】对于函数图象的识别问题，若函数()y f x =的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间. （2）（2012高考真题山东理12）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ ）A.当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>解析：B ；在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0<a 时，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a 时，则有0,02121>+<+y y x x ，故答案选B.另法：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =.不妨设12x x <，则223x b ==.所以21()()()F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。