高中数学第一章统计案例1.1.2相关系数同步测控北师大版选修1-2资料

高中数学第一章统计案例 1.1.2 相关系数同步测控北师大版选修1-2我夯基我达标1.下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系 ②相关关系是一种非确定性关系③回归关系是具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④ 解析:理解有关概念. 答案:C2.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本的平均值为x =4,y =5,则回归直线的方程是( )A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x+1.23解析:回归直线都过点(x ,y ),即(4,5)点斜率为1.23.答案:C3.若回归直线方程中的回归系数b=0,则相关系数r 等于( )A.1B.-1C.0D.无法确定解析:∵b=xxxy l l =0,∴l xy =0.而r=yyxx xy l l l =0.答案:C4.回归分析中,相关系数|r|值越大,则误差Q(a,b)应…( )A.越小B.越大C.可能大也可能小D.以上都不对解析:Q(a,b)=l yy (1-r 2)＞0,∴|r|越大,Q(a,b)越小. 答案:A5.对于相关系数r,下列说法正确的是( ) A.|r|越大,相关程度越小 B.|r|越小,相关程度越大C.|r|越大,相关程度越小,|r|越小,相关程度越大D.|r|≤1且|r|越接近于1,相关程度越大,|r|越接近于0,相关程度越小解析:Q(a,b)=l yy (1-r 2)＞0,∴|r|≤1,|r|越接近于1,Q(a,b)越接近于0,相关程度越大. 答案:D则两个变量线性相关程度( )A.很强B.很弱C.无相关D.不确定解析:∑=51i ix=75,∑=51i iy=543,∑=512i ix=1 375,∑=51i ii yx =8 285,∑=512i iy=59 051,x =15,y =108.6,r=∑∑∑===---5122251251)(5)(55i i i i i iiy y x x yx yx =226.10855905115513756.1081558285⨯-⨯⨯-⨯⨯-=0.982 6,相关程度很强. 答案:A7.在研究硝酸钠的可溶性程度时,对于不同的温度观测它在水中溶解度,得观测结果如下:则回归直线的线性相关系数为______________. 解析:∑=51i ix=150,∑=51i iy=468,∑=512i ix=7 900,∑=512i iy=46 471.9,x =30,y =93.6,∑=51i i i y x =17 035,r=∑∑∑===---5122512251)(5)(55i i i i i iiy y x x yx yx =226.9359.46471305790006.9330517035⨯-⨯⨯-⨯⨯-=0.9946.答案:0.994 68.|r|越接近于1,相关性越______________.解析:Q(a,b)=l yy (1-r 2)＞0,|r|越接近于1,Q(a,b)越接近于0,相关性越大. 答案:大我综合我发展则回归方程为______________,相关系数为______________. 解析:∑=81i i x =1 322,∑=81i i y =436,∑=812i i x =218 774,∑=812i i y =24 116,∑=81i ixy i =72 315,x =165.25,y =54.5,b=228128125.16582187745.5425.165872315)(88⨯-⨯⨯-=--∑∑==x xyx yx i ii ii=5.313266=0.848, a=y -b x =54.5-0.848×165.25=-85.632, ∴回归方程为y=-85.632+0.848x,r=2812812281)(8)(88y y x x yx yx i ii ii ii---∑∑∑====225.5482411625.16582187745.5425.165872315⨯-⨯⨯-⨯⨯-=0.803.答案:y=-85.632+0.848x 0.80310.一家工厂对职工进行技能检查,收集数据如下:两变量的回归方程为______________,相关系数r=______________. 解析:∑=81i ix=360,∑=81i iy=370,∑=81i ix2=20 400,∑=81i iy2=20 040,∑=81i ixy i =20 080,x =45,y =46.25,b=281281)(88x xyx yx i ii ii∑∑==--=24582040025.4645820080⨯-⨯⨯-=42003430=0.816 7,a=y -b x =46.25-0.816 7×45=9.5,∴回归方程为y=9.5+0.816 7x,r=2812812281)(8)(88y yx xyx yx i ii ii ii---∑∑∑====2225.468200404582040025.4645820080⨯-⨯⨯-⨯⨯-=0.9782.答案:y=9.5+0.816 7x 0.978 211.假定某企业的某种产品产量与单位成本数据如下:(2)指出产量每增加1 000件时,单位成本下降多少?(3)假定产量为6 000件时,单位成本是多少?单位成本为70元时,产量应为多少? 解析:根据有关公式计算. 解:(1)∑=61i ix=21,∑=61i iy=426,∑=612i ix=79,∑=612i iy=30 268,∑=61i ii yx =1 481,x =3.5,y =71,b=∑∑==--612261)(66i ii iix xyx yx =25.3679715.361481⨯-⨯⨯-=5.510-=-1.818, a=y -b x =71+1.818×3.5=77.363， ∴回归方程为y=77.363-1.818x,r=∑∑∑===---6122261261)(6)(66i ii ii iiy yx xyx yx =22716302685.3679715.361481⨯-⨯⨯-⨯⨯-=225.510⨯-=1110-=-0.91. (2)产量每增加1 000件时,单位成本下降1.818元. (3)当x=6时,y=66.455元;当y=70时,x=4.05(千件)=4 050(件).答:产量为6 000件时,单位成本是66.455元/件,单位成本为70元时,产量应为4 050件. 12.炼铝厂测得所产铸模用的铝的硬度x 与抗张强度y 的数据如下:求y 对x 的线性回归方程及相关系数r. 解析:将数据代入公式计算. 解:∑=101i ix=670,∑=101i iy=3 150,∑=1012i ix=46 004,∑=1012i iy=1 000 120,∑=101i ii yx =213 232,x =67,y =315,b=∑∑==--10122101)(1010i ii ii x x yx yx =26710460043156710213232⨯-⨯⨯- =11142182=1.958 7,a=y -b x =315-1.958 7×67=183.767 1, y 对x 的线性回归方程为y=183.767 1+1.958 7x,r=∑∑∑===---1012221012101)(10)(1010i i i i i iiy y x x yx yx =223151010001206710460043156710213232⨯-⨯⨯-⨯⨯-=787011142182⨯=0.737.13.电梯的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)如下,若使用年限x 和所支出的维修费用若由资料知y 对x 呈线性相关关系,试求:(1)线性回归方程y=bx+a 的回归系数a 、b; (2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少? (3)求线性相关系数r. 解析:代入公式计算. 解:列表:∴x =4,y =5, (1)b=103.1245905453.1122=⨯-⨯⨯-=1.23, a=y -b x =5-1.23×4=0.08.∴回归直线方程为y=1.23x+0.08.(2)当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元),估计使用10年时,维修费用是12.38万元. (3)r=225578.14045905453.112⨯-⨯⨯-⨯⨯-=78.15103.12⨯=0.979,x 、y 有很强的线性关系.14.某工厂前10个月份的产量与生产费用如下表: (1)求回归直线方程;(2)估计当生产200千件时的生产费用;(3)计算x 与y 的相关系数. 解析:根据公式计算. 解:(1)∑=101i ix=778,∑=101i iy=1 657,∴x =77.8,y =165.7,∑=1012i ix=71 062,∑=1012i iy=277 119,∑=101i ii yx =133 100,b=∑∑==--10122101)(1010i ii iix xyx yx =28.7710710627.1658.7710133100⨯-⨯⨯-=6.105334.4185=0.4, a=y -b x =165.7-0.4×77.8=134.787. ∴回归方程为y=134.787+0.4x.(2)当x=200时,y=214.787(千元),(3)r=∑∑∑===---1012210122101)(10)(1010i ii ii iiy yx xyx yx =227.165102771198.7710710627.1658.7710133100⨯-⨯⨯-⨯⨯-=1.25546.105334.4185⨯=0.81,x 、y 之间有较强的线性关系.我创新我超越15.为了研究三月下旬的平均气温x(单位:℃)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日y 的关系,(1)根据规律推断,该地区2006年三月下旬平均气温为27 ℃,试估计2006年四月化蛹高峰日为哪一天?(2)对变量x 、y 进行相关性检验. 解析:根据公式计算.解:(1)x =61(24.4+29.5+…+28.9)≈29.12,y =61(19+6+…+8)=7.5,∑=612i i x =24.42+…+28.92=5 125.01,∑=612i iy=192+…+82=563，∑=61i ii yx =24.4×19+…+28.9×8=1 222,∴b=212.29601.512512.295.761222⨯-⨯⨯-≈-2.379,a=y -b x =7.5+2.379×29.12=76.77.回归直线方程为y=-2.379x+76.77,当x=27时,y=-2.379×27+76.77=12.537,据此估计该地区2006年4月12日或13日为化蛹高峰日.(2)r=∑∑∑===---6161222261])(6][)(6[6i i i i i iiy y x x yx yx =-0.966,由于|r|接近于1,∴y 与x 存在很强的线性相关关系.求y 与x 的线性回归方程,并检验回归方程中的显著性. 解析:x 、y 有明显的线性关系,可根据公式求方程. 解:由已知数据x =71∑=71i ix ≈0.543,y =71×145.2≈20.74,∑=712i ix=2.595,∑=712i iy=3094.72,∑=71i ii yx =85.45.∴b≈2)543.0(7959.274.20543.0745.85⨯-⨯⨯-≈12.45.∴a=20.74-12.45×0.543≈13.98. 回归直线方程为y=13.98+12.45x.利用相关系数检验是否显著,∑=71i i i y x -7x y =85.45-7×0.543×20.74≈6.62,∑=712i i x -72x =2.595-7×(0.543)2≈0.531,∑=712i i y -72y =3 094.72-7×(20.74)2=83.687.∴r=687.83531.062.6⨯≈0.993.由于r 接近于1,故钢线碳含量对电阻的效应线性相关关系显著.。

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2020北师大版高中数学选修1-2：第一章回归分析相关系数

第一章统计案例§1回归分析1.1回归分析1.2相关系数课时过关·能力提升1.下列说法中,错误的是()A.如果变量x与y之间存在着线性相关关系,那么我们根据试验数据得到的点(x i,y i)(i=1,2,…,n)将散布在某一条直线的附近B.如果两个变量x与y之间不存在线性相关关系,那么根据它们的一组数据(x i,y i)(i=1,2,…,n)不能写出一个线性回归方程C.线性相关系数可以是正的,也可以是负的D.为使求出的线性回归方程有意义,可先用相关系数r来判断变量y与x之间线性相关程度的大小答案:B2.若线性回归方程为y=a+bx(b<0),则x与y之间的相关系数()A.r=0B.r=1C.0<r<1D.-1<r<0答案:D3.已知x,y之间的一组数据:1则y与x的线性回归直线y=a+bx必过点()A.(2,2)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(1.5,4)解析:回归直线必经过点由于故选D.答案:D4.一位母亲记录了儿子3~9岁生日那天的身高,由此建立的身高与年龄的线性回归方程为y=7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子10岁生日那天的身高,下列叙述正确的是()A.身高一定是145.83 cmB.身高在145.83 cm以上C.身高在145.83 cm以下D.身高在145.83 cm左右答案:D5.已知x与y之间的一组数据如下表:x123456假设根据上表数据所得线性回归方程为y=a+bx,若某同学根据上表中的前两对数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=a'+b'x,则以下结论正确的是()A.a>a',b>b'B.a<a',b>b'C.a>a',b<b'D.a<a',b<b'解析:先分别求出方程y=a+bx和y=a'+b'x,再比较a与a',b与b'的大小.2答案:C6.在下面各图中,散点图与相关系数r不符合的是()答案:B7.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:已知用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系,则其线性回归方程是.解析:由已知,得-进而可以求得b-所以所求线性回归方程是y=5.25-0.7x.答案:y=5.25-0.7x8.某单位为了了解用电量y(单位:kW·h)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表如下:3由表中数据得线性回归方程y=a+bx中,b≈-2,预测当天气温为-4 ℃时,用电量约为kW·h.解析:线性回归方程y=a+bx中,b≈-2则a≈40+2×10=60,即y=60-2x,所以当气温为-4 ℃时,用电量约为68 kW·h.答案:689.春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y(单位:万元)与当天的平均气温x(单位:℃)有关.现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y的数据列于下表:根据以上数据,求得y对x的线性回归方程y=bx+a的系数b=则解析:由题意可得∴a-答案:10.研究某品牌学习机的广告投入x(单位:万元)和销售额y(单位:万元)的关系时,得到以下数据:4利用散点图和相关系数r判断广告投入x和销售额y之间的相关性.解:利用题中给出的数据,作散点图如图所示.从散点图中可以发现:样本点大致分布在一条直线附近,因此我们认为广告投入x和销售额y之间具有线性相关关系.但是这种判断的准确度我们无法给出.利用题中数据可知:380500.则线性相关系数-≈0.919 2.r--此时,我们认为广告投入x和销售额y之间具有较强的线性相关关系.11.某小卖部为了解雪糕销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了卖出雪糕数与当天气温的对照表如下:求出y对x的线性回归方程,并预测当天气温为37 ℃时卖出雪糕的数量.分析:这是一个常见的实际问题,要想有效地进行预测,需要先由公式写出线性回归方程,再依据方程进行预测.5解:由表中数据可得:466884进而可以求得b----≈2.78,a≈37.25-2.78×28=-40.59,即线性回归方程为y=-40.59+2.78x.当x=37时,y=-40.59+2.78×37=62.27≈62.故可预测气温为37 ℃时卖出雪糕的数量为62.12.★为了对2018年某中学的中考成绩进行分析,在60分及以上的全体同学中随机抽出8位,他们的数学成绩(已折算为百分制)从低到高排列是60,65,70,75,80,85,90,95;物理成绩从低到高排列是72,77,80,84,88,90,93,95;化学成绩从低到高排列是67,72,76,80,84,87,90,92.若这8位同学的数学、物理、化学成绩事实上对应如下表:(1)用变量y与x,z与x的相关系数说明物理成绩与数学成绩、化学成绩与数学成绩的相关程度;(2)求y与x,z与x的线性回归方程(系数精确到0.01).6参考数据≈32.404≈21.375≈23.452.分析:利用样本相关系数公式求出r,再利用r的值分析两个变量之间相关程度的大小.解:(1)变量y与x的相关系数为--≈0.993,变量z与x的相关系数为r----≈0.994,r'--可以看出物理成绩与数学成绩、化学成绩与数学成绩之间都有较强的线性相关关系,且为正相关.(2)设y与x,z与x的线性回归方程分别是y=a+bx,z=a'+b'x,根据所给的数据,计算出:--≈0.65,b-a--≈0.72,b'-a'所以y与x,z与x的线性回归方程分别为y=34.5+0.65x,z=25.2+0.72x.7。

高中数学北师大版选修1-2练习第一章统计案例 Word版含解析

回归分析题目击破
一、基本概念
函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
例下列变量之间的关系是相关关系的是．
()正方形的边长与面积之间的关系；
()水稻产量与施肥量之间的关系；
()人的身高与年龄之间的关系；
()降雪量与交通事故发生率之间的关系．
分析两变量之间的关系有两种：函数关系和带有随机性的相关关系．
解析()是函数关系；()不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；()既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；()降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．
答案()()
点评该例主要考查对变量相关关系概念的掌握．
二、线性回归方程
设与是具有相关关系的两个变量，且相应于个观测值的个点大致分布在一条直线的附近，这条直线就叫作回归直线．
例假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的维修费用(万元)有如下的统计资料：
使用年限
维修费用
若由资料知对呈线性相关关系，试求：
()回归方程＝＋；
()估计使用年限年时，维修费用是多少？
分析因为对呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．
解()制表
合计
＝，＝，＝，＝
于是有＝＝，
＝－＝－×＝.
∴回归方程为＝＋.
()当＝时，＝×＋＝(万元)，。

数学北师大版高中选修1-2第一章统计案例 §1.1.2相关系数探究案

探究案学始于疑----我思考，我收获二、合作探究（大约15分钟，包括小组讨论与展示）探究一：相关性检验例1：假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如右上表的统计资料。

用散点图及相关系数两种方法判断y 与x 的相关性（参考数据：5521190,112.3i i i i i xx y ====∑∑）探究二：线性回归分析例2：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据。

（1）试对x 与Y 是否线性相关进行相关性检验；（2）求出线性回归直线方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5改前降低多少吨标准煤？【探究小结】.利用散点图可粗略判断两个变量是否具有相关关系，但在作图时，由于存在误差，有时又很难说这些点是不是分布在一条直线附近，此时就必须利用样本相关系数对其进行相关性检验。

【当堂检测】（大约10分钟）1. 变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1）（11.3,2）（11.8,3）（12.5,4）（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5）（11.3,4）（11.8,3）（12.5，2）（13,1），1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，2r 表示变量U 与V 之间的线性相关系数，则（）A.012<<r r B.120r r << C.120r r <<D.12r r = ★★2某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售价格x 与日销售量y 之间的一组数据满足：5522116.57()5()26i i i i X Y X X Y Y ====-=-=∑∑，，，，()51()11i i i X X Y Y =--=-∑ 则x,y 之间的相关系数为；当销售价格x 定为（取整数）时，日利润最大。

北师大版高中数学选修1-2同步教学：第1章 1 第1课时回归分析相关系数

• 1．关于散点图要注意以下方面：
• 散点图可以说明变量间有无线性相关关系,相关的方向,但不能精确地说明两个变量之间关系的密切程度,因此需要计算相关系数来描述两个变量之间关系的密切程度．
• 2．相关关系与函数关系
• (1)两者之间的不同点
• ①相关关系是一种非确定性关系．即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等都是相关关系,而函数关系中的两个变量是一种确定性关系．如正方形的面积S与边长x之间的关系S ＝x2就是函数关系,即对于边长x的每一个确定的值,都有面积S的唯一确定的值与之对应．
• |r|值越大,误差Q越小,变量之间线性相关程度越高；|r|值越小,误差Q越大,变量之间线性相关程度越低；当r＝0时,两个变量线性不相关．
• (3)r的正负对相关性的影响：
• r>0时,b>0,两个变量的值总体上呈现同时增减的趋势,此时称两个变量正相关；
• r<0时,b<0,当一个变量增加时,另一个变量有减少的趋势,此时称两个变量负相关．
第一章
统计案例
• ●情景导学
• 哲学知识告诉我们事物之间是有联系的、联系是普遍的,任何事物都是运动的、任何两个事物之间都存在着普遍联系．具体到现实问题中,我们会发现有些问题是从变化的角度来分析是存在两个都在变化的量,关系非常密切,一个现象发生一定量的变化,另一个现象一般也会发生相应的变化, 但又不能用函数概念去定义,也无法用函数的模型来代言．如商场销售收入每增加一万元时,因所卖商品不同,销售利润一般会增加不同的数值；施肥量增加一斤,一般地产量也会增加,但值有时不固定．
• C．x与y负相关,x与z负相关
• D．x与y负相关,x与z正相关

高中数学第一章统计案例1回归分析教案含解析北师大版选修1_2

1回归分析回归分析1．线性回归方程设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程为y ＝a ＋bx . 则l xx ＝∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx 2i －n x 2，l xy ＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)＝∑i ＝1nx i y i －n x － y －，l yy ＝∑i ＝1n (y i －y －)2＝∑i ＝1ny 2i －n y －2，b ＝l xy l xx＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －.2．相关系数计算r ＝l xyl xx l yy＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2＝∑i＝1nx iy i －n x y∑i＝1nx2i－n x2∑i＝1ny2i－n y2性质范围r∈[－1,1]线性相关程度(1)|r|越大，线性相关程度越高；(2)|r|越接近于0，线性相关程度越低；(3)当r＞0时，两个变量正相关；(4)当r＜0时，两个变量负相关；(5)当r＝0时，两个变量线性不相关1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．2．回归直线y＝a＋bx过点(x，y)，其中x＝1n∑i＝1nx i，y＝1n∑i＝1ny i.3．相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；相关系数越接近于0，相关性越弱．线性回归方程[例1] )有如下的统计资料：使用年限x/年2345 6维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.57.0若y对x(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程；(3)预测使用年限为10年时，维修费用是多少．[思路点拨] 先利用散点图分析设备使用年限与所支出的维修费用是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解．[精解详析] (1)作出散点图如图所示．(2)由表知，x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋75＝5，∑i ＝15x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7＝112.3，∑i ＝15x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90，所以b ＝∑i ＝15x i y i －n x y∑i ＝15x 2i －n x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.(3)根据(2)中的线性回归方程，可预测使用年限为10年时，维修费用约为y ＝1.23×10＋0.08＝12.38万元．[一点通] 求回归直线方程的基本步骤：1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)代入A，B得A正确．2．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2543．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据x 681012y 235 6(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．解：(1)散点图如图：(2)∑i＝1nx i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，∑i＝1nx2i＝62＋82＋102＋122＝344.b＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a＝y－b^x＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4.相关系数[例2] 关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x 21232527293235y 711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系．[思路点拨] 首先求出r的值，再判断相关关系．[精解详析] x－＝17×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，y－＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，∑i＝17x2i＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414，∑i＝17x i y i＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542，∑i＝17y2i＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393，∴r＝∑i＝17x i y i－7x－y－∑i＝17x2i－7x－2∑i＝17y2i－7y－2＝18 542－7×27.4×81.35 414－7×27.42×124 393－7×81.32≈0.837 5.由于r≈0.837 5与1比较接近，∴x与y具有线性相关关系．[一点通] 回归分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略地分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回归方程，并作回归分析．4．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2； ③n ＝17，r ＝0.499 1；④n ＝3，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 线性相关程度最高的两组是( ) A ．①和② B ．①和④ C ．②和④D ．③和④解析：选B 相关系数r 的绝对值越大，变量x ，y 的线性相关程度越高，故选B. 5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3解析：选A 观察散点图可知r 1>0，r 3>0，r 2<0，r 4<0，根据散点的分散程度反映出的相关性的强弱，可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.6．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度(单位：℃)下观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度x 0 10 20 50 70 溶解度y66.776.085.0112.3128.0解：∑5i ＝1x i ＝150，∑5i ＝1y i ＝468，∑5i ＝1x 2i ＝7 900，∑5i ＝1y 2i ＝46 445.18， x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x i y i ＝17 035， r ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2∑5i ＝1y 2i －5y2＝17 035－5×30×93.67 900－5×302×46 445.18－5×93.62≈0.999 6.可线性化的回归分析问题[例3] 为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：时间x/天12345 6繁殖个数y 612254995190(1)作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程．[思路点拨] 作出数据的散点图，选择合适的函数模型转化为线性模型．[精解详析] (1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e c2x图像的周围，于是令z＝ln y，则x 12345 6z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25则有y＝e0.69x＋1.112.[一点通] 可线性化的回归方程的求解步骤：7．下列数据x，y符合哪一种函数模型( )x 12345678910y 2 2.693 3.38 3.6 3.84 4.08 4.2 4.3x B．y＝2e xA.y＝2＋3。

高中数学第一章统计案例整合课件北师大版选修1-2

1 × (15.2+10.4+…+19.1)=18.85, 10 1 × (28.6+19.3+…+37.4)=36.53, 10
10
b=��=1 10
∑
∑ �� -10��
��=1 2 ��2 10 ��
=
19749-10×5.5×288.7 385-10×5.5
2
≈46.9,
a=��-b�� =288.7-46.9×5.5≈30.8, 因此所求的线性回归方程是 y=46.9x+30.8. (3)当 x=11 时,y 的估计值为 y=46.9×11+30.8≈547(人次).
幂函数曲线�� = �� 可线性化的回归分析指数曲线�� = ��e�� 倒指数曲线�� = ��e��
��
对数曲线�� = �� + ��ln�� 条件概率与独立事件条件概率��(��|��) =
专题二
知识网络
专题探究
专题一
专题三
专题四
专题五
解:(1)散点图如图所示.
(2)借助科学计算器,完成下表:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 51 134 213 235 262 294 330 378 457 533 xiyi 51 268 639 940 1310 1764 2310 3024 4113 5330 x=5.5,y=288.7

【创优设计】高二数学北师大版选修1-2课件1.1.1-1.1.2 回归分析相关系数

b=��=1 ��
∑ (��-��)
2
= ��=1��
∑ �� -n��
��=1
��
��
∑
2 ��2 n ��
,a=��-b�� .
探究一
探究二
探究三
求线性回归方程
求线性回归方程的步骤: ①作出散点图,由散点图可以看出样本点是否呈条状分布,并由此判断两个变量是否具有线性相关关系; ②计算��, ��, ∑
�� =1 ��
��2 ,
�� =1
1
2
名师点拨对回归直线方程的理解
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线,从整体上看各点与此直线的“距离”平方之和最小,即最贴近已知的数据点,最能代表变量 x 与 y 之间的关系. 一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求回归直线方程. (1)回归直线方程 y=a+bx 经过样本点的中心(�� , ��),点(��, ��)称为样本点的中心,回归直线一定过此点. (2)线性回归方程中的截距 a 和斜率 b 都是通过样本估计而得来的,存在着误差.这种误差可能导致预报结果的偏差. (3)回归直线方程 y=a+bx 中的 b 表示 x 增加 1 个单位时 y 的变化量,而 a 表示 y 不随 x 的变化而变化的量. (4)可以利用回归直线方程 y=a+bx 预报在 x 取某一个值时,y 的估计值.

高中数学第一章统计案例 1.1.2 相关系数自我小测北

高中数学第一章统计案例 1.1.2 相关系数自我小测北师大版选修1-21．下列关系中，为相关关系的是( )．①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①② B．①③ C．②③ D．②④2．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )．A．83% B．72% C．67% D．66%3．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )．A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．观察两个相关变量的如下数据：A．1=12y x+ B．y＝xC．1=23y x+ D．y＝x＋15．有5组(x，y)数据：(1,3)，(2,4)，(4,5)，(3,10)，(10,12)，去掉__________组数据后剩下的4组数据的线性相关系数最大．6．2010年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：约为6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为__________．7．电梯的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)之间的关系如下表：若使用年限x(1)试求线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a、b；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？(3)求线性相关系数r.一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有缺陷．每小时生产有缺陷的物件的多少随机器运转速度的变化而变化，下列即为其试验结果.(1)(2)若实际生产中所容许的每小时生产有缺陷的物件数最大为10，那么，机器的速度不得超过多少转/秒？参考答案千里之行始于足下1．A ③④显然为无关条件．2．A 由y ＝0.66x ＋1.562＝7.675，得x ≈9.262. ∴7.67583%9.262≈. 3．C 由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．4．B 由于回归直线y ＝bx ＋a 一定经过样本点的中心()x y ，，所以本题中需求出x y ，，然后代入所给选项中即可得到答案为B.5．(3,10) 如下图，利用图形分析样本点(3,10)偏离“平衡直线”距离最远，所以去掉这组后剩下数据的线性相关系数最大．6．46 回归方程y ＝－2x ＋a 过样本点中心1713822433405544++++++⎛⎫⎪⎝⎭，，即(10,38)．代入解得a ＝58.当x ＝6时，y ＝－2×6＋58＝46件．7．解：列表：由此可得：=4x ，=5y ，2=1=90ii x∑，21=140.78i i y =∑，1=112.3i i i x y =∑.(1) 2112.3545b==1.239054×××--，==5 1.234=0.08a y bx --⨯.(2)由(1)，得线性回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， ∴使用10年时，维修费用是12.38万元．(3) 0.979≈，∴线性相关系数r 约为0.979. 百尺竿头更进一步解：(1)用x 来表示机器速度，y 表示每小时生产的有缺陷的物件数，那么4个样本数据为：(x 1，y 1)＝(8,5)，(x 2，y 2)＝(12,8)，(x 3，y 3)＝(14,9)，(x 4，y 4)＝(16,11)．则=12.5x ，=8.25y ，414221425.5=0.728 6354i ii i i x y x yb x x ==-=≈-()∑∑， b =0.857 5a y x =--，∴所求回归直线方程为y ＝0.728 6x －0.857 5.(2)根据上述经验公式y ＝0.728 6x －0.857 5，要使y ≤10，即0.728 6x －0.857 5≤10.∴x ≤14.901 9，即机器的速度不能超过14.901 9转/秒．。

1.1.2《相关系数》北师大版高中数学选修1-2

0
25
0
0
2
-4
3
16
9
-12
3
-3
4
9
16
-12
4
0
5
0
25
0
5
3
4
9
16
12
y 2.71 .
n
xi yi nx y
进而可求得：r
i 1
n
xi2
2
nx
n
yi2
n
2
y
i 1
i 1
0 7 0 2.71
0
100 7 02 75 7 2.712
从散点图容易看出，表格中的数据都在同一个半圆上，此时建立线性回归方程是没有任何意义的，这与线性相关系数r的计算结果是一致的。
2
y
i 1
i 1
i 1
i 1
02 新知讲授
预习提纲
（1） Q(a,b) 的范围为
（2）r的取值范围为
（3）当r 时，b 0，两个变量正相关，当r 时，b （4）| r |越大，Q误差越小，变量之间线性相关程度（5）| r |值越接近 0，Q误差越大，变量之间线性相关程度
（6）r =0时，则称两个变量线性
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的
线性相关程度相当高，从而可以用线性回归
模型拟合y与t的关系.
7
7
（2）
b
(ti t)( yi
i 1 7
(ti t)2
y)
ti yi 7t y
i 1
7 ti2 7t-2
2.89 28
0.103
i 1
i 1
a y bt 1.331 0.103 4 0.92