动量与角动量
第4章 动量和角动量
0
N
f
Mg
u
θ mg y x
∫ (Mg + mg + N + f )dt = Mv + m(v +u) −0 τ (1) x方向： ∫ fdt = −Mv + m(−v + u cosθ )— 方向： 方向 τ y方向： 方向： 方向 ∫ (N − Mg − mg)dt = musinθ —(2)
mv = ( M + m)u
m
m M
细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 只有重力作功 机械能守恒！ 机械能守恒！ 1 ( m + M ) u 2 = ( m + M ) g l (1 − c o s α ) 2 入射物体的速度： 入射物体的速度：
N
dP F= dt
∑ F + ∑∑
i =1 i i =1 j ≠ i
N
N
dpi d N f ij = ∑ = ∑ pi dt i =1 iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 dt
N
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：
∫ (∑ F )dt = ∑ p − ∑ p
tf ti i f i i i
i
或： I = ∑ I i = P f − P i
P = ∑ pi = 常矢量
i= i =1
N
注意
——质点系动量守恒定律 质点系动量守恒定律
1. 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 尽管总动量不守恒） （尽管总动量不守恒）
∑ p α = const.
i i
2. 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程， 与内力相比小很多。 与内力相比小很多。 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量） 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之 下可以忽略不计。 下可以忽略不计。 我们可以有近似的动量守恒。 我们可以有近似的动量守恒。 3. 动量定理只适用于惯性系 4. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定 在牛顿力学的理论体系中， 律的推论。 律的推论。 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律， 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观 和微观领域、低速和高速范围均适用。 和微观领域、低速和高速范围均适用。
第3章_动量与角动量
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
第4章动量和角动量
用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)
解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将 落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平
v
dm
向右为正。
m
F
t 时刻系统的水平总动量：
m v dm 0mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: m d v m (v m d m )v
dt 时间内水平总动量的增量： d p (m d m )v m v d v m
④ 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合 外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。
N
当Fx 0时，
mivix px 常量
i＝1
当Fy 0时，
N
miviy py 常 量
i＝1
当Fz 0时，
N
miviz pz 常 量
i＝1
⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系。
例题4-3 质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮
dt
F dtdp — 动量定理的微分式
2）积分形式： 对上式积分，
t2
v Fdt
t1
pv2 pv1
dpv
即：
t2
v Fdt
pv
— 动量定理的积分式
t1
在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。
说明
1、反映了过程量与状态量的关系。 2、I 与p 同向3、。 只适用于惯性系。
从动量定理可以知道,在相等的冲量作用下,不同质量的物体, 其速度变化是不相同的,但它们的动量的变化却是一样的,所以从 过程角度来看,动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。 因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更 确切些。动量是描述物体机械状态的状态参量。
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理动量定理和动量角动量定理是物理学中非常基本的两个概念。
它们的内容涉及到我们对物体运动规律的认识，不仅有助于我们更好地理解物理学知识，还可以应用于现实生活中的一些问题。
下面，我们将分别介绍这两个概念及其应用。
一、动量定理动量定理是描述物体运动过程中动量变化的一个基本定理。
它指出：在总外力作用下，物体的动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：Δp=Ft其中，Δp表示物体动量的变化量，F表示物体所受的总外力，t 表示外力作用的时间。
式子的意义是：在总外力作用下，物体动量的变化量等于总外力作用时间的乘积。
重物移动时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么物体的动量就会发生更大的变化。
从而可以更快地推动物体运动起来。
同样，如果要让运动中的物体停下来，也可以利用动量定理的知识。
通过对物体施加一个与它的运动方向相反的恒定力，也就是反向加速度，可以让物体的动量逐渐减小，直到物体停下来。
二、动量角动量定理动量角动量定理是物理学中另一个基本的概念。
它是通过描述物体绕某一点旋转的行为，来了解物体运动过程中动量变化的定理。
它指出：在物体绕某一点旋转时，物体的角动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力矩和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：ΔL=Mt其中，ΔL表示物体角动量的变化量，M表示作用力矩，t表示外力作用的时间。
式子的意义是：在物体绕某一点旋转时，物体角动量的变化量等于力矩作用时间的乘积。
个陀螺时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么陀螺的角动量也会发生更大的变化。
从而可以更快地让陀螺旋转。
同样，如果要让旋转中的陀螺停下来，也可以利用动量角动量定理的知识。
通过对陀螺施加一个与它的旋转方向相反的外力矩，也就是反向加速度矩，可以让陀螺的角动量逐渐减小，直到陀螺停下来。
总之，动量定理和动量角动量定理是物理学中非常重要的两个概念。
它们既可以帮助我们更好地理解物理学知识，也可以用于实际生活中的问题解决。
动量与角动量
例2：质量为m的质点做圆锥摆运动，质点的速 率为v，圆半径为R。圆锥母线与轴线之间的夹 角为 ，计算质点所受的拉力在一周内的冲量。
演示
逆风行舟
F进 风
F风对帆
F横
1 1 2
帆
Δ
2
F帆对风 Δ
×
i c i
x 质心位置是质点位置 以质量为权重的平均值。
二、几种系统的质心 ● 两质点系统 m1
·r
z
C
1
×
m2 r2
·
m1 r1 = m2 r2
● 连续体
dm ×C rc m y
r
0
r dm rC m
xdm xC m
x
……
●均匀杆、圆盘圆环、球，质心为其几何中心。 ●“小”线度物体的质心和重心是重合的。 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 [例6]如图示， 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。 y 令 为圆盘的面密度， 均质圆盘 R
L r p
·
于是有
dL M dt
质点角动量定理 （微分形式）
或
d L M dt
积分
t2 M t1
d t L2 L1
质点角动量定理 （积分形式）
t2 M t1
d t 称冲量矩 ——力矩对时间的积累作用。
力矩的量纲是ML2T-2，单位是N.m
可认为动量近似守恒。
6、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。 7、用守恒定律作题，应注意分析过程、系统和 条件。
例4：一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M， 停在光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自 圆弧顶端由静止下滑。求当小物体m滑到底时， 大物体M在水平面上移动的距离。
角动量和动量的转化关系
角动量和动量的转化关系角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们之间存在着转化关系。
本文将详细解释角动量和动量的含义，并探讨它们之间的转化关系。
我们来了解一下角动量的概念。
角动量是描述物体旋转状态的物理量。
对于一个质点，其角动量可以通过其质量、速度和距离旋转轴的位置来确定。
角动量的大小与旋转物体的质量、速度和旋转半径有关。
当旋转物体的质量增加、速度增加或旋转半径增加时，角动量也会增加。
而动量是描述物体运动状态的物理量。
动量等于物体的质量乘以其速度。
动量是一个矢量量，具有大小和方向。
当物体的质量增加或速度增加时，动量也会增加。
在物理学中，角动量和动量之间存在着转化关系。
在旋转运动中，物体的角动量可以转化为动量，而动量也可以转化为角动量。
这种转化关系可以通过以下两种情况来解释：情况一：物体的角动量转化为动量。
当一个旋转物体突然停止旋转，其角动量会转化为线性动量。
这是因为旋转物体在旋转时具有角动量，当它停止旋转时，角动量会转化为物体的线性动量。
这就是我们常说的角动量守恒定律。
情况二：动量转化为角动量。
当一个物体在运动过程中受到外力的作用，其动量会转化为角动量。
这是因为外力的作用会改变物体的运动状态，使其发生旋转运动，从而产生角动量。
通过上述两种情况可以看出，角动量和动量之间存在着转化关系。
它们之间的转化是相互联系的，不可分割的。
这种转化关系在物理学中具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
在实际应用中，角动量和动量的转化关系被广泛应用于航天、机械工程、天文学等领域。
例如，火箭发射时，燃料的动量转化为火箭的角动量，从而使火箭得以旋转并产生推力。
再如，地球的自转使得地球具有角动量，而地球自转的角动量又转化为地球的动量，影响地球的运动轨迹。
角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们之间存在着转化关系。
角动量描述物体的旋转状态，而动量描述物体的运动状态。
角动量可以转化为动量，动量也可以转化为角动量。
物理动量和角动量
02
角动量
定义
总结词
角动量是描述旋转运动的物理量，表示物体转动惯量和角速度的乘积。
详细描述
角动量是描述旋转运动的物理量，它等于物体转动惯量和角速度的乘积。转动惯量是描述物体转动惯 性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。角速度是描述物体旋转快慢的物理量，等于物 体转过的角度与时间的比值。
乒乓球的旋转速度和方向决定了球的 轨迹和落点，对于比赛结果具有重要 影响。因此，乒乓球运动员需要熟练 掌握各种旋转球技术，以提高比赛水 平。
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动量的计算公式
总结词
动量的计算公式是质量与速度的乘积 。
详细描述
动量的计算公式为 P=mv，其中 P 表示 动量，m 表示质量，v 表示速度。这个 公式用于计算物体的动量，是物理学中 常用的基本公式之一。
动量的矢量性
总结词
动量是一个矢量，具有方向和大小。
详细描述
动量具有矢量性，表示物体运动的方向和大小。在物理学中，动量的方向与速度 的方向一致，大小等于质量与速度的乘积。矢量性是动量最基本的性质之一，对 于描述物体的运动状态和变化趋势非常重要。
角动量的计算公式
总结词
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。
详细描述
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。转动惯量 I 是由物体的质量分布和旋转轴的位置决定的， 可以通过质心坐标系和刚体转动轴的垂直距 离计算得出。角速度 ω 是描述物体旋转快慢 的物理量，等于物体转过的角度与时间的比
动量的守恒定律
总结词
在没有外力作用的情况下，封闭系统中的总动量保持不变。
第动量与角动量课件
证角动量守恒定律的正确性。
04
第动量与角动量的应用
第动量与角动量在日常生活中的应用
体育活动
在投掷、击打、跑步等体育活动 中，动量和角动量起着关键作用 ，例如棒球运动员利用角动量原
理转动身体来增加投球速度。
舞蹈和杂技
舞者可以利用角动量来保持旋转， 杂技演员可以利用动量和角动量完 成高难度动作。
交通工具
一个封闭系统，在没有外力矩作用的 情况下，其角动量保持不变。
作用在物体上的力矩，使物体产生旋 转运动。
角动量
一个物体绕某点旋转的动量，等于物 体质量、速度和旋转半径的乘积。
角动量守恒定律的适用范围
适用于封闭系统
角动量守恒定律仅适用于系统边界不随时间变化的封闭系统。
适用于无外力矩作用的情况
只有在没有外力矩作用的情况下，角动量才能保持守恒。
骑自行车、滑冰和驾驶汽车时，动 量和角动量影响平衡和运动轨迹， 例如转弯时自行车利用角动量保持 稳定。
第动量与角动量在科学研究中的应用
物理实验
在研究碰撞、摩擦、旋转等物理 现象时，动量和角动量是重要的 物理量，帮助科学家理解和描述
自然界的运动规律。
天文学
行星和卫星的运动中涉及到角动 量守恒，有助于科学家研究天体
第动量守恒定律的适用范围
01
第动量守恒定律适用于 宏观低速的物理系统， 如物体、质点等。
02
第动量守恒定律不适用 于微观高速的物理系统 ，如原子、粒子等。
03
第动量守恒定律适用于 不受外力作用的封闭系 统，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
04
第动量守恒定律不适用 于受到外力作用的开放 系统，如摩擦力、重力 等。
运动规律和宇宙演化。
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t
t
9
利用动量定理解题
•确定研究对象，分析运动过程；
•受力分析； •规定正向，确定始末两态的动量P0、P； •应用定理列方程求解。必要时进行讨论。
13
例: 质量为m的弹性小球与墙壁碰撞前后的速度大
小都是v, 方向与墙的法线成450角, 如图所示. 如小 球与墙的作用时间为 t , 求小球对墙的平均冲力.
0
负号表示小球受到墙的作用力方向与X轴正向相反。
15
练习 ：质量为m 的质点, 以不变的速率v沿正三角形 ABC的水平光滑轨道运动, 质点越过A角时, 轨道作 用于质点的冲量大小为多少? A 解： 根据质点动量定理,质点受轨道
的冲量等于它动量的增量。
v
I F t m v m v
Fdtmv
x
t2
2x
mv 1x
1y
Fdtmv mv
y 2y t1
Fdtmv mv
z 2z t1
t2
1z 8
对于 Fc
F t mv mv x 2 x 1 x
F t mv mv y 2 y 1 y
F t mv mv z 2 z 1 z
上式说明：哪一个方向的冲量只改变哪一个方向的动量 B）为了对冲力的大小有个估计，还常用到 平均冲力的概念： F t2 F F d t t1 p 平均冲力 F t2 t1 t o
质点动量的改变量决定于所受合外力的冲量 t2 c 时 I F t t 当 F I F dt 2 1
t1
力的冲量决定于力对时间的积累，力越大，作用力越 长，对动量的改变越大，这道理很多篮球运动员都知 道。
但是换上一个书生气十足的人，躲闪不及，则伸手去 接。从接球的声音，可知他虽迅速接住，但从他接球 7 的声音，可知他接球用力较大。
前言
牛顿定律是瞬时的规律。
散射 在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 （微观） …
我们往往只关心过程中力的效果
——力对时间和空间的积累效应。
力在时间上的积累效应：
平动 转动 冲量 冲量矩 动量的改变 角动量的改变 改变能量
力在空间上的积累效应
功
3
§3.1 冲量，动量，质点动量定理
定义：力的冲量（impulse）—
m v2
m v1
14
小球对墙的平均冲力方向与图示相反.
解: (2) 列分量式求解
取坐标系如图
v2
F t m v cos m v cos x 2 1 F t m v sin m v sin 0 y 2 1
v1
2 m v cos 45 2 m v F F x t t
如果是一篮球飞来,又是什么态度呢?急忙躲 闪,生怕打着自已的脑袋! 为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同 呢？
原来一者是跚跚而来，既轻且慢。而另者是迅速而来， 既重又快。或者说人们对于物体的运动量都有极其明 白的计算。物体的运动量是由物体的质量和速度决定 Pm v 的。用 来描述是科学的。
6
F1
（theorem of momentum of particle system）
m1
对质点系： ( F f ） d t d p i ij i i j i i 由牛顿第三定律有： fij 0
i ji
j i
17
所以有： ( F ） d t d p i i i i 令 F F ， p P i 外 i
t 1
（积分形式）
4
令 Pm v 称为质点的动量,单位:千克/秒,则:
质点动量定理:
说明:动量
I P P 2 1
质点所受合 m v
清晨,鸟语花香，迈步林荫道，一树叶落下,你是什么 态度呢?毫不在意,漫不经心.好不悠闲！ 5
第三章 动量与角动量
（Momentum and Angular Momentum）
1
本章目录
前言 §3.1 冲量，动量，质点动量定理
§3.2 质点系动量定理 §3.3 动量守恒定律 *§3.4 变质量系统、火箭飞行原理
§3.5 质点的角动量 §3.6 角动量守恒定律 §3.7 质点系的角动量
2
以上两人接球时都是使一个动量为 m v 的物体从m v 变 为零，但一者是用增长时间，减小力的办法；而另一者 是用较大的力，时间却短的办法。这说明动量的改变决 定于力的大小及力的作用时间。科学地反映这一规律， t2 即定义一个冲量
I
F dt
t1 t2
t1
应用该定理应注意：
A) 实际中常用分量式：
i i
则有：
质点的动量（momentum）—
t2 I Fdt
t1
pm v
d( m v ) d p F d t d t
质点动量定理：
（theorem of momentum of a particle）
d I F d t d p （微分形式）
t2 I d t p p 2 1 F
作矢量图如图,由图有 I 3 0 m v sin 60 m v 2 2
B
C
m v
60 0
I 3m v
轨道作用于质点的冲量大小也为 3 m v
I
m v
16
§3.2 质点系动量定理
为质点 i 受的合外力 F i F 12 F 13 F2 1 fij为质点 i 受质点 j 的内力 F31 F23 m2 pi 为质点 i 的动量。 F3 2 m3 （ F f ） d t d p 对质点 i ： i ij i
解: (1) 作矢量图求解
设墙对球的平均作用力为 F 忽略重力的影响, 由动量定理, 有
v2
F t m v m v 2 1
v1
F t
作矢量图如图所示, 由图得
F t 2
0 m vsin 45
0 2 m v sin 45 2 m v F t t