离散数学(第26讲)
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离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学26.笛卡尔乘积及相关定理
∴（AB）CA（BC）“”不满足结合律。
二、笛卡尔乘积相关定理
1.定理3-4.1笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)
(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
证明定理3-4.1 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
学情分析Βιβλιοθήκη 学生已经掌握了集合运算，序偶的概念及性质。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课教学
教学过程：
一、笛卡尔乘积
1、定义令A和B为任意两个集合,如果序偶的第一元素是A的元素,第二元素是B的元素;所有这样的序偶的集合称为集合A和B的笛卡尔乘积或者直积,记作AB.笛卡尔乘积的符号化表示为:
例1设A={a，b}，B={1，2}，C={z}
则(AB)C={〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,1〉,〈b,2〉}{z}
={〈a,1,z〉,〈a,2,z〉,〈b,1,z〉,〈b,2,z〉}
A( BC ) ={a,b}{〈1,z〉,〈2,z〉}
={〈a,〈1,z〉〉,〈a,〈2,z〉〉,〈b,〈1,z〉〉,〈b,〈2,z〉〉}
（4）存在集合A,使AA×A
解:(1)不一定为真，当A=, B={1}, C={2,3}时，便不真。
(2)为真。
(3)为真。等量代入。
(4)为真。当A =时,使AA×A.
n个集合的笛卡尔乘积的定义：
设A={Ai}，iIn
Ai=A1A2……An
=（（（A1A2）A3）……）An
二、笛卡尔乘积相关定理
1.定理3-4.1笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)
(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
证明定理3-4.1 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
学情分析Βιβλιοθήκη 学生已经掌握了集合运算，序偶的概念及性质。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课教学
教学过程：
一、笛卡尔乘积
1、定义令A和B为任意两个集合,如果序偶的第一元素是A的元素,第二元素是B的元素;所有这样的序偶的集合称为集合A和B的笛卡尔乘积或者直积,记作AB.笛卡尔乘积的符号化表示为:
例1设A={a，b}，B={1，2}，C={z}
则(AB)C={〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,1〉,〈b,2〉}{z}
={〈a,1,z〉,〈a,2,z〉,〈b,1,z〉,〈b,2,z〉}
A( BC ) ={a,b}{〈1,z〉,〈2,z〉}
={〈a,〈1,z〉〉,〈a,〈2,z〉〉,〈b,〈1,z〉〉,〈b,〈2,z〉〉}
（4）存在集合A,使AA×A
解:(1)不一定为真，当A=, B={1}, C={2,3}时，便不真。
(2)为真。
(3)为真。等量代入。
(4)为真。当A =时,使AA×A.
n个集合的笛卡尔乘积的定义：
设A={Ai}，iIn
Ai=A1A2……An
=（（（A1A2）A3）……）An
离散数学26 前束范式
2
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
4
一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
8
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
1
一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
4
一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
8
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
1
一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。
全套课件：离散数学(西北大学)
联结词化归 P∧Q＝（P∨Q）； P∨Q＝（P∧Q）； PQ＝P∨Q； PQ＝（PQ）∧（QP） 其它 PQ＝QP (PQ)∧（PR）＝PQ∧R P∨（P∧Q）＝P P（QR）＝P∧QR P∧（P∨Q）＝P
§1.5 对偶定理
（7）对偶公式定义 （8）对偶公式性质： 一个等式成立其对偶等式也
成立
§1.6 命题逻辑基本蕴含式及推理规则
§1.8 命题联结词的扩充与归约 （13）命题联结词的扩充——异或：、与非： 、或非：、蕴含否定：C （14）命题联结词的归约 命题联结词可归约为如下形式之一： • {, } • {, } • {} • {}
第二章 谓词逻辑
§2.1 谓词与个体 （1）个体 • 个体常量与个体变量 • 个体域与全总个体域 （2）谓词 • 一元谓词——刻划个体性质 • 二元谓词——刻划两个个体间关系 • n元谓词——刻划n个个体间关系
（10）11个推理规则 P，Q P； P，Q Q； P P∨Q； Q P∨Q； P，Q P∧Q； P，P∨Q Q； P，PQ Q； Q，PQ P； PQ，QR P R； PQ，RS P∧R Q∧S； P∨Q，PR，QR R；
§1.7 范式 （11）范式——命题公式的一种标准形式 （12）特异析取范式：该范式是一个析取 式，每个析取项是所有命题变元式其否定的合 取式。 （13）特异合取范式：该范式是一个合取 式，每个析取项是所有命题变元式其否定的析 取式。
① Pi是公理；
② Pi是由Pk，Pr，（k，r<i）施行分离规则 而得。
最后，Pn＝Q 即为定理。 （18）导出规则——如有AB为定理则必有A B。
（19）推理定理——设有设有A1，A2，…，An B， 则必有：A 1, A2, …An-1 An B。
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学高等里离散数学课件-CHAP
图论
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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Gk＝G-{e1,e2,…,ei}中的桥；
3. 当Gk为零图时，算法结束；否则，返回2。
2020/5/11
计算机学院
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例13-1.5
在右图所示的欧拉图中，某 人用算法求Ｇ中的欧拉回路时，
v1
走了简单的回路：
e8
v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
G-E（C）仍然无奇数度结点。
?
由于G是连通的，C中应至少存在一点v，使G-
E（C）中有一条包含v的回路C′。（见示意图）
2020/5/11计算机学院7Cv
C'
这样，就可以构造出一条由C和C′组成的 G的回路，其包含的边数比C多，与假设矛盾。 因此，C必是Euler回路，结论成立。
2020/5/11
冯伟森
Email：fws365@ 2020年5月11日星期一
主要内容
Euler图及其应用
① 欧拉道路（回路）的定义 ② 如何判别欧拉图 ③ 一个图含有欧拉道路的条件 ④ 连通有向图G中含有有向欧拉道路和回路的充
要条件 ⑤ Fleury算法 ⑥ Euler图的应用(中国邮递员问题算法)
证明： “”
由于在回路C 中边不可能重
设G是Euler图，则G必然存复在出一现条包含所有边
（也包含所有结点）的回路C，对uV，u必然在
C中出现一次（可出现多次），每出现u一次，都
关联着G中的两条边，而当u又重复出现时，它又
关联着G中的另外的两条边，（为什么？）
因而u每出现一次，都将使得结点u的度数增
2020/5/11
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例13-1.1
v1
v2
v5
v3 v4 a)
v1
v1
v2
v5
v4
v3 v4 b)
v2 c) v3
图a是欧拉图；图b不是欧拉图，但存在欧拉道 路；图c不存在欧拉道路。
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定理13-1.1 无向连通图G＝<V，E>是欧拉图当
且仅当G的所有结点的度数都为偶数。
V2
V5 V2
现V在5 ，我们是
不是已经解决
V3
V4
(a)
V3
了V哥桥4 尼问斯题V2 堡？七
V3
(b)
(c)
由定理13-1.1及推论13-1.1.1容易看出：
a) 是欧拉图； b) 不是欧拉图，但存在欧拉道路； c) 既不是欧拉图，也不存在欧拉道路。
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有向图的欧拉道路、欧拉图
类似于无向图的讨论，对有向图我们有以下 结论： 定理13-1.2 ⅰ）有向连通图G含有有向欧拉道路，当且仅当
除了两个结点以外，其余结点的入度等于出度， 而这两个例外的结点中，一个结点的入度比出 度大1，另一个结点的出度比入度大1。 ⅱ）有向连通图G含有有向欧拉回路，当且仅当G 中的所有结点的入度等于出度。
“”
路的端点。
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立；
⑵若G有两个奇度数结点u和v，则G+uv是Euler图，从而
存在Euler回路C。从C中去掉边uv，则得到一条简单
道路L（起点u和终点v），且包含了G的全部边，即L是
一条Euler道路。
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例13-1.2
V1
V1
V1
V4
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推论13-1.1.1非平凡连通图G＝<V，E>含有欧拉道 路当且仅当G仅有零个或者两个奇数度结点。
证明：“” 设G具有一注意条：Eu若le有r道两路个L奇，则在L中除起 点和终点外，其余每个度结数点结都点与，偶则数它条们边相关联，所
以，G中仅有零个（Eule是r回G路中）每或条者欧两拉个通奇数度结点。
同样，有向Euler图的结点度数都为偶数；含有有 向Euler道路的图仅有零个或者两个奇度数结点。
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例13-1.3
V2
V2
V1
V2
V3
V1
V3 V1
V3
V8
V4
V4
V4
V7
V6
V5
(a)
(b)
(c)
▪ 图a)存在一条的欧拉道路：v3v1v2v3v4v1；
▪ 图(b)中存在欧拉回路v1v2v3v4v1v3v1，因而(b) 是欧拉图；
设G＝<V，E>是一个欧拉图 即如果ei+1是割
1. 任取v0∈V，令P0＝v0；
边，同时还有其 它边与vi相关联，
2. 设P0＝v0e1v1e2…eivi，按下则面不的能方选法ei+从1
GK=E-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1：
1) ei+1与vi相关联；
2) 除非无别的边可选取，否则ei+1不应该为
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡城市有一条横贯全城的普雷格尔(Pregel) 河，城的各部分用七座桥联接，每逢假日，城中居民进 行环城逛游，这样就产生了一个问题：能不能设计一次 “遍游”，使得从某地出发对每座跨河桥只走一次，而 在遍历了七桥之后却又能回到原地？
A
b1
b2
b5
C
加2度，若u在通路中重复出现j次，则deg(u)＝2j。
即u的度数必为偶数。
2020/5/11
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“”
设连通图G的结点的度数都是偶数，则G必
含有简单回路（可对结点个数进行归纳证明） 。
设C是一条包含G中边最多的简单回路：
⑴ 若C已经包含G中所有的边，则C就是Euler回
路，结论成立。
⑵ 若C不能包含G中所有的边，则删边子图 Why
b(乙)
a(甲) c
解
，仅有两个度数为奇数的结点b，c，因而存
在从b到c的欧拉通路，蚂蚁乙走到c只要走一条欧拉通路，
边数为9条。而蚂蚁甲要想走完所有的边到达c，至少要
先走一条边到达b，再走一条欧拉通路，因而它至少要走
10条边才能到达c，所以乙必胜。
2020/5/11
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Fleury算法（构造Euler回路）
b6
D
b3
b4 b7
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B
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Euler图
定义13-1.1 设G是一个无孤立结点的图，包含
G的每条边的简单道路（回路）称为该图的一条
欧拉道路（回路）。具有欧拉回路的图称为欧
拉图。 规定平凡图为欧拉图。
为什么？
显然，每个欧拉图必然是连通图。
因此，一条欧拉道路（回路）是经过图中每 边一次且仅一次的道路（回路）。
▪ 图 (c) 中 有 欧 拉 回 路 v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1 因而(c)是欧拉图。
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例13-1.4
甲、乙两只蚂蚁分别位于右图 中的结点a，b处，并设图中的边长 度是相等的。甲、乙进行比赛：从 它们所在的结点出发，走过图中的 所有边最后到达结点c处。如果它们 的速度相同，问谁先到达目的地？