初中数学代数最值问题常用解决方法
代数最值问题的常用解法
代数最值问题的常用解法
代数最值问题在数学中是一个常见的问题，它涉及到寻找代数表达式的最大值或最小值。
解决这类问题通常需要一些技巧和策略，下面是一些常用的方法：
1.配方法：对于形如 ax^2 + bx + c 的二次函数，如果
a > 0，则函数有最小值，该最小值为 (4ac - b^2) / 4a；如
果 a < 0，则函数有最大值，该最大值为 (4ac - b^2) /
4a。
这种方法的关键是将原式转化为完全平方的形式。
2.不等式法：利用基本不等式（如AM-GM不等式）来找
到代数表达式的上界或下界。
这种方法适用于处理含有平方和或平方差的不等式。
3.换元法：通过引入新的变量来简化代数表达式。
这通
常用于处理复杂的代数表达式或无理函数的最值问题。
4.导数法：对于一些难以直接分析的函数，求导后可以
通过分析导数的正负来判断函数的单调性，从而找到极值点。
5.参数方程法：对于含有参数的代数表达式，可以通过
参数的变化来找到最值。
这种方法常用于处理三角函数的最值问题。
6.数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过分析
图形来找到最值。
这种方法在处理一些涉及距离、面积或体积的最值问题时非常有效。
7.构造法：通过构造新的函数或表达式来找到最值。
这
需要一定的创造性思维和对数学知识的深入理解。
以上方法并非互斥，有时需要结合使用。
解决代数最值问题时，关键是理解问题的本质，选择合适的方法，并灵活运用数学知识。
2022年中考数学压轴题讲义 利用代数求解最值问题
利用代数求解最值问题1、问题提出：（1）如图1，点B 、C 在O 上且BC=2，过点O 作OE ⊥BC ，交BC 于点A ，交O 于点E ，连接BE 、CE ，若∠CBE =30°,则线段AE 的长度为_____________问题探究：（2）如图2，在ABC 中，BC=2，∠BAC=45°，求边AC 长度的最大值: 问题解决：（3）如图3，某城市拟在河流m 、n 所夹半岛区城建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB 、AD 、CD 和绿化带BC 四部分构成，其中B 、C 两定点间的距离为2000米，根据规划要求，A 、D 两点间的距离为600米，A 、D 两点到直线BC 的距离相等，AD 的中点E 到BC 的距离比点A 到BC 的距离多1003米。
若修建时需保证∠B 与∠C 的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由. (结果保留π)图1 图2 图32、问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD ，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，M 、N 分别为AD 、DC 上的点，且DM +DN ＝4，则四边形BMDN 的面积最大值是 ． （2）如图2，∠ACB ＝90°，且AC +BC ＝4，连接AB ，则△ABC 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决EDC AO E C BBAB Cmn（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．3、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD．AB＝5，AD＝6，∠A＝60°，在AD边上确定一点E，使得∠BEC＝60°，则AE＝（）A．4−√6B．6﹣2√3C．5−√13D．3√324、【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=____________（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=13，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F，则四边形ADEF的面积为___________【问题解决】（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，四边形ABCD中，AB=4厘米，点C到AB的距离为5厘米，∠C=90°，且BC=2CD，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元，请问一个这种四边形金属部件的造价最低是多少元？图1 图2 图35、如图，已知30MAN ∠=，点P 为MAN ∠内部一点，PEF 为等边三角形，点F 落在AM 上，点E 落在AN 上，过点P 做PC AN ⊥于点C ，PD AM ⊥于点D ，设PC 的长为x ，PEF 的面积为y ，若43AC =y 与x 之间的函数关系式；6、如图，等腰Rt △DEF 的三个顶点分别在等边△ABC 的三条边上，∠EDF=90°，已知AB=3√3+3，则△DEF 面积的最小值是_____________C DCB A D CFM NAP EFCABED7、问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点D ，E ，若AB ＝5，BC ＝6，求线段BP 的取值范围，并求AD +CE 的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E 、F 之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB ′、CC ′、DD ′．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和（BB ′+CC ′+DD ′）最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．8、（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边分别是_____，_______时，直角三角形的面积最大；（2）问题解决：如图，在一个t R EFG 的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上，BC 在斜边上，EF=30cm ，FG=40cm ，矩形面积最大是多少？（3）问题拓展：如图，矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=30cm ，点E 是AD 边上的动点（点E 与A,D 两点不重合），连接BE 、CE ，点F 是BC 边上的动点，过F 作FG ∥CE 交BE 于点G ，求三角形EFG 面积的最大值。
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。
文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。
接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。
还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。
结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。
通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。
掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。
最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。
解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。
而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。
在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。
学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。
利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。
初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。
只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。
最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。
2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。
在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。
七年级下册最值问题。
七年级下册最值问题。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册最值问题是初中数学中的重要概念，通过这一概念的学习，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
最值问题指的是在一组数据中找到最大值和最小值，并求出它们的具体数值。
在日常生活中，最值问题也是非常常见的，比如求一组数据中的最高温度和最低温度，或者求一堆数中的最大值和最小值等等。
在七年级下册的数学课程中，最值问题通常是以实际案例为背景展开讨论的。
通过解决这些案例，学生可以更好地理解最值问题的概念，并掌握解题的方法。
最值问题的解决一般分为两步，首先是找出一组数据中的最大值和最小值，然后是求出它们的具体数值。
在实际操作中，学生需要通过比较不同数的大小，从而找到最值。
除了直接比较数值大小外，还可以通过化简、提取公因式等方法来简化问题，更快地找到最值。
最值问题的学习不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和数学素养。
在解决最值问题的过程中，学生需要反复比较和分析数据，培养了他们的观察力和思考能力。
通过实际案例的讨论，学生可以更好地理解数学知识与实际生活的联系，增强他们的数学应用能力。
七年级下册最值问题还可以帮助学生培养合作精神和团队意识。
在解决最值问题的过程中，学生可以进行小组讨论和合作，共同探讨问题的解决方法，促进了他们与同学之间的交流与合作。
通过互相学习、互相启发，学生可以更好地理解数学知识，提高解题的效率和准确度。
最值问题的学习还可以促进学生主动学习的能力。
通过解决最值问题，学生需要自主思考、积极探索，培养了他们的自主学习意识。
在解决问题的过程中，学生可以提出自己的见解和想法，不断尝试和总结，从而提高了他们的学习兴趣和学习主动性。
七年级下册最值问题是一个涵盖面广、实用性强的数学概念，通过这一概念的学习，学生可以在数学知识上取得更好的掌握与运用。
最值问题的解决不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和团队合作精神。
初中数学中求函数极值的常用解法举例
初中数学中求函数极值的常用解法举例罗江县函数极值是指函数的最大值或最小值，此类问题在初中数学中比较常见。
它涉及的知识面广，综合性强，有着极为丰富的内涵，解法也颇具有技巧性。
解答这类问题需要根据具体的特点，采取不同的方法。
现举例介绍这类问题的常用解法，供大家参考。
一、配方法：配方法是初中数学中解题常用的方法，它是将已知代数式（等式）通过配方，变形成若干个完全平方式的形式，结合完全平方的非负性质，解决问题。
例1 ：若 x , y 为实数，求 A=5 x 2 + 5 y 2 − 8 xy + 2 x +2y +5 的最小值。
分析与解：A=（4x 2 − 8 xy + 4 y 2）+（x 2 + 2 x + 1）+（ y 2+ 2 y + 1 ）+ 3 = ( 2x − 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3显然，当 x = −1，y = − 1 时，A 有最小值3。
二、消元法：消元法是把代数式（等式）中的几个元素转化为以某一元素为主元的函数，再结合已知条件，经过运算，使问题简化，便于求解。
例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ y －z = 30 ，且x 、y 、 z 均为非负数，求 A = 5x + 3 y + 2z 的极值。
分析与解：由 2x + y + z = 40及3x + y − z = 30，得 x=2z －10，y=60－5z,又由 x ≥0，y ≥0得2z －10 ≥ 0， 60－5z ≥ 0,解得 5≤z ≤12，把 x=2z －10，y=60－5z 代入 A=5x+3y+2z得A=−3z+130，显然 A 是关于 z 的一次函数，且 A 随 z 增大而减小，所以 当 z=5 时，A 的最大值为115，当 z=12时，A 的最小值为94。
三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
中考数学点对点-最值问题(解析版)
中考数学最值问题专题知识点概述在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。
二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。
y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。
y ac b a max =-442。
2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
初中最值问题的常用解法
初中最值问题的常用解法(重庆北碚西南师范大学附属中学 400700) 张珍俊 最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1 配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1 求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6x y+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-20y+46=5(x+35y-3)2+65(y-56)2+16当x+35y-3=0y-56=0即x=52,y=56时原式有最小值1 6 .例2 设x∈R+,求函数y=x2-x+1 x的最小值.解:原式=(x-1)2+(x-1x)2+ 1当x=1x=1x即x=1时有最小值1. 2 消元法对于多元函数,可选择其中一个作为主元,设法消去另外的变量,从而转化为一元函数.消元法是解决多元函数的一个重要方法,但应注意自变量取值范围.例3 已知x、y、z为实数,且x+2y-z =6,x-y+2z=3,求S=x2+y2+z2的最小值.分析:在S中有三个变量,可通过消元法消去两个变量.解:由已知可得y=5一x,z=4-x,则S=x2+(5-x)2+(4-x)2=3(x-3)2+14.故当x=3时S有最小值14.例4 若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+ c+d的最大值.分析:由于b是正整数,可考虑以b为主元,设法消去a、c、d.解:由已知得c-a=b,d-c=b,c+ d-a=0解得a=-3b,c=-2b,d=-b故a+b+c+d=-5b≤-5,故b=1时,a+b+c+d有最大值- 5.3 构造法有些最值题目的已知条件与未知条件之间的关系比较隐蔽,需要通过构造搭建桥梁,使问题解决的途径明朗化,具体说来,构造的方法有数数联想构造,有形形联想构造,还有数形联想构造等.例5 设x、y是实数,且x2+x y+y2= 3,求x2-x y+y2的最值.解:设x2-x y+y2=m,又x2+x y+y2=3解得x+y=±9-m2,x y=3-m2则x,y是方程t2±9-m2t+3-m2=0的两个实根.从而有Δ=(±9-m2)2-43-m2≥解得m≥1,又9-m2≥0,即m≤9,则1≤m≤9.故m的最小值为1,最大值为9.例6 设a、b、c、d、e是实数,且a+b+ c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值.解:由已知得a+b+c+d-8-e,得a2+b2+c2+d2=16-e2令f(x)=4x2-2(a+b+c+d)x+ (a2+b2+c2+d2)==(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+ (x-d)2≥0另一方面,二次项系数为4,有Δ≤0解得0≤e≤165,所以e的最大值为165.例7 求函数y=x2-4x+8+ x2+2x+2的最小值.解:原式=(x-2)2+22+ (x+1)2+ 1.它表示点A(x,0)到点B(2,2),C(-1,1)的距离之和,原题转化为在x轴上找一点A到点B、C距离之和最小,由几何知识可得,应先求出点B关于x轴的对称点B′,,则最小值为B′C,又B′(2,—2),所以B′C= (2+1)2+(-2-1)2=32,故所求最小值为3 2.4 数形结合法所谓数形结合就是根据问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.图1例8 当a取遍0到5的所有实数值时,求满足3b=a(3a-8)的整数b的个数.分析:由3b=a(3a-8),有b=a2-83a.这是一个二次函数,其图象是一条抛物线,当a取遍0到5的所有实数时,求整数b的个数就是求b的最大值与最小值之间的整数的个数.解:先作出b=a2-83a的图象(注意0≤a≤5).由图象知,在0≤a≤5时,b的最小值为-(-83)24=-169,b的最大值为f(5)= 353.在-169与353之间共有13个整数.故整数b 的个数为13.例9 在满足x+2y≤3,x≥0,y≥0的条件下,求2x+y能达到的最大值.图2解:如图2,作出直线x+2y=3,满足不等式x≥0,y≥0,x+2y≤3约束的点集是图中直线与x,y轴所围成的区域△ABO(包括边界).要求s=2x+y的最大值,把s=2x+y变形为y=-2x+s,其相应的图象是斜率为-2的平行直线束.欲求s 的最大值,转化为求平行线通过△ABO时截距的最大值,显然,当直线y=-2x+s通过A(3,0)时,截距s最大,此时s= 6.5 局部调整法(变量取整数)有些最值问题它的自变量取整数,变量呈现一定的离散状况,且不少题目中变量也不止一个,解决这类问题,普通方法不一定适合,这时可考虑局部调整法,让我们从熟悉的例题谈起.例10 已知若干个正整数之和为1976,求其乘积的最大值.解:设n个正整数x1,x2,…,x n之和为1976,即x1+x2++…+x n=1976这里的n是一个变量,这是因为题目中要求的和为1976的正整数的个数是不确定的,我们的目标是追求乘积的最大值,而不拘泥于正整数的个数n.首先,关注一个大于4的正整数,如果x1,x2,…,x n中有一个大于4,比如x j >4,把x j拆成一个2与一个x j-2的和,x j= 2+(x j+2)两个加数的乘积2(x j-2)=2x j-4=x j+*x j-4)> x j所以,第一步调整是把x1,x2,…,x n中所有大于4的数x j,通过分拆成2与x j-2,全部换成不大于4的正整数.当然,不能让拆出的数中出现1,因为这时乘积不会变大,还要注意到,如果拆出的数恰巧出现4,由于4=2+2=2×2,所以把4换成2+2时,不会使乘积变小.因此,第二步调整是把x i中所有的4全部换成2×2.经过两步调整,乘积将会变大,而且是把1976拆成若干个2与3的和.下面的注意力就放在2和3的调整上由于2+2+2=3×2,但2×2×2< 3×3这说明,在对1976的分拆中多出现3比多出现2好于是,第三步调整是把1976的分拆中,每3个2换成两个3,即让分拆中多出现 3.因为1976=658×3+2,所以经过这三步调整把1976分成658个3与1个2之和.这时乘积最大,最大值为2×3658.这道题的解题过程是一组正整数的和等于1976第一次调整大于4的数拆成2,3,4若干个2,3,4的和等于1976第二次调整4拆成2+2若干个2,3的和等于1976第三次调整3个2拆成2个3658个3与1个2的和等于1976乘积最大值2×3658.例11 已知x1,x2,…,x67是正整数,并且它们的和等于110,求x21+x22+…+x267的最大值和最小值.解:(1)设x1≤x2≤…≤x66≤x67首先,把x2,x3,…,x66冻结,只研究x1和x67,由于(x1-1)2+(x67+1)2=x21+x267+2+ 2(x67-x1)>x21+x267.这表明,如果把最小数x1减少1,而把最大数x67增加1,(这时67个正整数的和不变),它们的平方和就增大,为此我们进行这样的调整.每次把x1减少1,把减少的1加到x67上,直到x1=1为止,从而对x1调整结束.这样调整的结果是,67个正整数的和为110不变,而平方和在调整后比调整前大.再把x2解冻,对x2调整,仍然是每次把x2减少1,把x67加上1,直到x2=1为止,结束对x2的调整.如此对x3,x4,…,x66一步一步地调整下去,直到把(x1,x2,…,x66,x67)调整到(1,1,…,1,44)这时,由于1+1+…+1+44=66×1+44=110并且每调整一次,平方和就增大一次,所以,所求x 21+x 22+…+x 267的最大值为12+…+1266个+442=2002(2)求最小值若|x j -x i |≥2时,不妨设x j >x i ,则由(x j -1)2+(x i +1)2-x 2j -x 2i =2(x i -x j )+2≤-2<0知,当|x j -x i |≥2时,将大数减1,小数加1,它们的平方和减少了,因此,要使x 21+x22+…+x 267最小,这67个数中任意两个数的差的绝对值不超过1,又由于这67个数的和为110,所以只有取43个2和24个1,使x 21+x 22+…+x 267最小,最小值为43×22+24×12=196.6 排序法对于某些轮换对称式可考虑此法.例12 设x 1,x 2,x 3,x 4,x 5均为自然数,且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5,试求x 5的最大值.解:不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5.因为x 1+x 2+x 4+x 4+x 5=x 1x 2x 3 x 4x 5所以1=1x 2x 3x 4x 5+1x 1x 3x 4x 5+1x 1x 2x 4x 5+1x 1x 2x 3x 5+1x 1x 2x 3x 4≤1x 4x 5+1x 4x 5+1x 4x 5+1x 5+1x 4=3+x 4+x 5x 4x 5于是,x 4x 5≤3+x 4+x 5从而,(x 4-1)(x 5-1)≤4若x 4=1,则x 1=x 2=x 3=x 4=1,由已知得4+x 5=x 5,矛盾.所以x 4≥2,则x 5-1≤(x 4-1)(x 5-1)≤4,x 5≤5当x 5=5时,存在x 1=x 2=x 3=1,x 4=2使等式成立.因而,x 5的最大值为 5.例13 设a ,b ,c ,a +b -c ,a +c -b ,b +c -a ,a +b +c 是7个两两不同的质数,且a ,b ,c 中有两数之和是800,设d 是这7个质数中最大数与最小数的差,求d 的最大可能值.(2001年中国数学奥林匹克竞赛题)解:不妨设a <b <c ,于是,这7个数中a 十b -c 最小,而a +b +c 最大,从而有d =(a +b +c )-(a +b -c )=2c ,问题转化为求c 的最大可能值.因为a +b -c >0,所以c <a +b <a +c <b +c 又因为a +b ,a +c ,b +c 中有一个数为800,所以c <800由于799=17×47和798都不是质数,而797为质数,故有c ≤797,d ≤1594另一方面,当a +b =800时,注意到a =5,b =795,a =7,b =793=13×61,a =11,b =789=3×263都不全是质数,从而不能满足题中要求.而a =13,b =787都是质数,这时a +b -c =3,a +c -b =23也都是质数,容易验:b +c -a =1571和a +b +c =1597也都是质数,综上可知,d 的最大可能值为1594.7 几何意义例14 设x 是实数,且f (x )=|x +1|+|x +2|+…+|x +5|,求f (x )的最小值.解:由绝对值几何意义,在数轴上画出-1、-2、-3、-4、-5对应的点分列为A 、B 、C 、D 、E ,设x 对应的点为P (如图3),则f (x )=|P A |+|PB |+|PC |+|P D |+|P E |.由几何意义,当P 在线段AE 上时|P A |+|P E |最小.图3同理,当P 在线段B D 上时|P B |+|P D |最小.向量方法在平面几何中的应用(重庆市第八中学 400030) 桂本祥 平面向量具有较强的工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题,还可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.用向量法解决平面几何问题的一般途径是:问题条件翻译向量关系式向量运算其它向量关系式翻译问题结论向量法应用于平面几何中时,它是数学中的数与形完美结合,能使平面几何许多问题代数化,程序化,从而得到更有效的解决.1 利用两个非零向量a、b共线的充要条件a =λb(其中λ是实数),解决与“平行或共线”有关的问题. 例1 如图1,一直线割△O AB的三边O A、AB、BO所在直线分别交于点R、S、T,求证:ORR AASSBB TTO=- 1.分析:点A、S、T分OR,AB,TR,BO的比为λ,m,n,u设OR=a,OB=b为基底向量,此定理是著名的梅涅劳斯定理,其逆定理也成立.证明:设OR=a,OB=b,O A=λa,O T= u b,A S=m AB,TS=n TR由O A+A S=OS=OB+B S=O T+ T S,所以λa+m(b-λa)=u b+n(a-u b)即λ(1-m)a+m b=u(1-n)b+n a,因为a,b不共线,所以λ(1-m)=nu(1-n)=m解得m=u(1-λ)1-λu 故ORR AASSBB TTO=-11-λm1-m1-uu=- 1. 当P与C点重合时,|PC|最小.故当P与C重合时,f(x)最小,易得最小值为6.推广到一般:设a1<a2<a3<…<a n,求f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a n|的最小值.答案:当n为偶数且a n2≤x≤a n2+1时f(x)有最小值a n+12+1+…+a n-(a1+a2+…+a n-12).8 归纳法指由特殊情形结论的形式,归纳出一般情况的结论形式,这种方法有助于培养对新问题的探索能力的提高.例15 已知正数a1,a2,…,a n;b1,b2,…,b n 满足a21+a22+…+a2n=b21+b22+…+b2n= 1,求F=min{a1b1,a2b2,a nb n}的最大值.解:易知,当所有的字母都相等时,F的值为1.下面证明:对于任意正数a1,a2,…,a n;b1, b2,…,b n均有F≤1若不然,则F>1,故a1b1>1a2b2>1,…,a nb n>1即有a21>b21,a22>b22,a2n>b2n于是a21+a22+…+a2n>b21+b22+…+ b2n,与题设矛盾,故F的最大值为 1.。
初中数学代数最值问题
初中数学代数最值问题
在初中数学中，最值问题是一个非常重要的概念，尤其是在代数中。
最值问题主要是探究一个函数的最大值或最小值，并且通过运算来求得最值。
最值问题的求解方法有很多，其中比较常见的是函数图像法和代数法。
函数图像法主要是通过画出函数图像来找出最值，而代数法则是通过解方程来找出最值。
在具体的求解过程中，要根据问题中的条件和要求来选择合适的方法进行求解。
在代数中，最值问题主要涉及到函数的极值和最值。
函数的极值分为极大值和极小值，而最值则分为最大值和最小值。
一般来说，求极值和最值需要通过求导数的方法来进行，具体的求解过程需要根据不同的函数类型来选择不同的求导方法。
综上所述，初中数学代数最值问题涉及到的知识点非常广泛，需要同学们掌握一定的代数基础和求解方法。
只有通过不断的练习和学习，才能够在最值问题中游刃有余，轻松解决各种问题。
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初中数学代数最值问题常用解决方法
最值问题，也就是最大值和最小值问题。
它是初中数学竞赛中的常见问题。
这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。
一. 配方法
例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）
可取得的最小值为_________。
解：原式
由此可知，当时，有最小值。
二. 设参数法
例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。
则
的最大值为________。
解：设，易知
由，得
从而，
由此可知，是关于t的方程的两个实根。
于是，有
解得。
故的最大值为2。
例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则
可取得的最小值为（）
A. 3
B.
C.
D. 6
解：设，则
从而可知，当时，取得最小值。
故选（B）。
三. 选主元法
例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足。
则z的最大值是________。
解：由得。
代入消去y并整理成以为主元的二次方程
，由x为实数，则判别式。
即，
整理得
解得。
所以，z的最大值是。
四. 夹逼法
例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。
设，记为m的最小值，y为m 的最大值。
则__________。
解：由得
解得
由是非负实数，得
从而，解得。
又，
故
于是，
因此，
五. 构造方程法
例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。
解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。
从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则
因为，
所以，
解得
所以k的最小值是
四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值
例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且。
若，则的最大值为_________。
解：由得，代入得。
而由和可知的整数。
所以，当时，取得最大值，为。
七. 借助几何图形法
例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数的最小值是________。
解：显然，若，则。
因而，当取最小值时，必然有。
如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2。
对于AB上的任一点O，令OA=x，则。
那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。
图1
设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时，。
作EF
比较法
例9. （2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000元。
现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少
解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则
解得
又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则
解得
于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。