【2015上饶六校联考】江西省上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考数学文试题 Word版含答案
江西省上饶市重点中学2015届高三下学期六校第二次联考数学(文)试题 含解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
若复数z 满足()21z i ⋅-=(i 为虚数单位），则z =（ )A ．53B ．15C ．5D ．55【答案】D考点：复数的运算． 2。
已知全集{}2|1U x x =≥，集合(){}|ln 10A x x =-≤，则UCA =（ ）A ．{}|12x x x ≤->或B ．{}|2x x >C ．{}|12x x x x ≤->或=1或D ．{}|=12x x x >或【答案】C 【解析】试题分析：{|11}U x x x =≤-≥或，{|12}A x x =<≤，因此{|112}UC A x x x x =≤-=>或或考点：集合的运算．3。
ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒,则边c =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒,即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点:余弦定理,正弦定理．4.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不重合的平面．下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//a a αβαβ⊥⊥则B ．若,a b 与α所成的角相等，则a b 与平行或相交C ．若α内有三个不共线的点到β的距离相等，则//αβD ．若,b a αβ⋂=⊂//,//a a b αβ且则 【答案】D 【解析】试题分析：A 中可能有a α⊂,B 中,a b 也可以异面,C 中,αβ可以是相交的，D 符合线面平行的性质定理，故D 正确，选D ． 考点：线面位置关系．5。
已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值x 和中位数a 的值是( ）A ．7.3,7.5x a ==B ．7.4,7.5x a ==C ．7.3,78x a ==和D ．7.4,78x a ==和 【答案】B 【解析】试题分析:8647116891057.410x +++++++++==，把这10个数按从小到大顺序排列，第5个是7，第6个是8，故中位数是7.5. 考点：平均值与中位数．（样本的数字特征）6.如图是某算法的程序框图，当输出的结果70T >时,正整数n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中,k T 的值依次为1,1，2,4，3,16,4,72，第四次时有7270T =>,这时可结束循环,故最小的n 为4． 考点：程序框图． 7。
江西省上饶市2015届高三第二次高考模拟试题 数学理
1~5 13
ACCBD 6～10 BACDA
11~12 16
DB
(1, 4]
14
31
15 8
因为sin C ≠ 0
2
2 2 2
, cos B ≠ 0
∴ tan B = 3
2 2
B=
π
3
…………………………6
由 7 = a + c − 2ac cos B ,得 49 = a + c − ac
……………7
A.充 必要条件 C 充要条件 5 个实数 a b c A (0
B 必要 充 条件 D 既 充 也 必要条件 等比数列 若 a+-b+c=l 立 则 b 的取值范围是 B [-1
1 ] 3
1 ] 3
c [
1 3
0)
D
1 − 1, 0) U (0, 3
·1 ·
6
如图 矩形 ABCD 的四个顶点的坐标 别为 A(0 1) B( π 1) C π 1 D(0 1)
的有 5 人.
1 1 C52 10 2 C5 C5 25 5 C52 10 2 = = , ξ = = = = , ξ = = = = P ( 1 ) P ( 2 ) 2 2 2 C10 45 9 C10 45 9 C10 45 9 2 5 2 ∴ Eξ = 0 × + 1 × + 2 × = 1 . ………………………………12 9 9 9
弦曲线
f ( x) = sin x 和余弦曲线 g ( x) = cos x 在矩形 ABCD
内交于点 F 向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点 则该点落在阴影区域内的概率是 A
1+ 2
精编江西省六校2015高三下学期第二次联考高中数学文科试题和答案
江西省六校2015届高三下学期第二次联考数学（文）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1、设全集,,,则等于A.B． C．D．2、复数等于(A)-i (B)i (C)12-13i (D)12+13i3、设集合，那么“”是“”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于A．－2 B．2 C．±4 D．±25、椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为A、B、C、D、6、若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于A．－ B.C．－ D.7、如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A． B. C． D.8、运行如图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是A．k>5 B．k>6 C．k>7 D．k>89、设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为A．4 B．6 C．8 D．1010、已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2 B．3 C. D.11、已知定义域为R 的函数f (x )满足：f (3)＝－6，且对任意x ∈R 总有3)('<x f ，则不等式f (x )<3x-15的解集为A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ． (3，＋∞)D ．(4，＋∞)12、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在集合A ＝{0,2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为____ ____．14、已知向量与的夹角为60°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为______ __．15、已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两相互垂直，则球心到截面的距离为 ．16、已知函数的值域为，设的最大值为，最小值为，则=_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17、数列是递增的等比数列，且121317,16b b bb +==，又4log 2n b na =+. （1）求数列、的通项公式；（2）若223661...m a a a a a ++++≤,求的最大值.18、如图，正三棱柱ABC ―A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ； （II ）求点c 到平面AB 1D 的距离.19、某校50名学生参加2014年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[)100,90，第二组[)110,100， ，第五组[]140,130．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值小于30分的概率．20、已知椭圆过点，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.21、已知：函数f （x ）＝（I ）求f （x ）的单调区间.（II ）若f （x ） >0恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、，若102==PB PA .（1）求证：AB AC 2=； （2）求DE AD ⋅的值.23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C :2sin 2cos a ρθθ=（0a >），过点()2,4P --的直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t是参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式()0f x >；（2）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．六校文科数学参考答案一、选择题1、D2、B3、A4、D5、B6、B7、A8、B9、C 10、c 11、c 12、B 二、填空题13、 4/9 14、1/6 15、 16、三、解答题17、（1）由{13131716b b b b +==可得{13116b b ==或{13161b b ==由题可知316b =，11b = .....2分1114,4,1n n n n q b b qa n --∴=∴===+ ......6分（2）112222232311(1)222222......m m a m m m mm m a a a a a a a a a =+---=+⨯+⨯1-2=++++++++++ ……8分266=672+2672a m mm -∴+≤由, ………10分整理得：1310m -≤≤，m ∴的最大值是10. ……12分 18、（I ）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE. ∵ABC ―A 1B 1C 1是正三棱柱，且AA 1 = AB ， ∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点， ………3分 又D 是BC 的中点， ∴DE ∥A 1C. ∵DE平面AB 1D ，A 1C平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D. ………6分（II ）解：∵平面B 1BCC 1⊥平面ABC ，且AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面B 1BCC 1，又AD 平面AB 1D ，∴平面B 1BCC 1⊥平面AB 1D. (8)分在平面B 1BCC 1内作CH ⊥B 1D 交B 1D 的延长线于点H ， 则CH 的长度就是点C 到平面AB 1D 的距离.由△CDH ∽△B 1DB ，得即点C 到平面AB 1D 的距离是……………..12分(利用等体积法也酌情给分)19．解（1所以该班成绩良好的人数为27人． ……….. 5分（2种情况；若分别在0和内时，共有12种情况……………10分事件“30m n -<”所包含的基本事件个数有9种.30m n -<）93217==． ……………….. 12分20、 解：（Ⅰ）由题意可知，，而且.解得，所以，椭圆的方程为………5分（Ⅱ）.设，，直线的方程为，令，则，即；直线的方程为，令，则，即；…………8分而，即，代入上式，∴，所以为定值…………12分21、解：（Ⅰ）的定义域为，………3分（1）当时，在上，在上，因此，在上递减，在上递增．………5分（2）当时，在上，在上，因此，在上递减，在上递增．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：时，．………9分当时，，． 综上得：． ………12分22、解: （1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角 ∴ABP ∆∽CAP ∆ ………2分 ∴2==PBAP AB AC ∴AB AC 2= ………4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分 又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCD AB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分 又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分23、解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax =直线的普通方程为20x y --= ---------4分(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=,1212,328t t t t a∴+=+=+， ------------6分 又 |||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===,由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-,代入得1=a --------10分24、解:(Ⅰ)当x 4≥时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0得x >-5，所以x 4≥成立 当421<≤-x 时,f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0 得x >1,所以1<x <4成立 当21-<x 时f (x )=-x -5>0得x <-5所以x <-5成立， 综上,原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} ------------5分 （Ⅱ）f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立421≤≤-x所以m≤9 -----------10分。
江西省上饶市2015届高三数学第二次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版
2015年江西省上饶市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）（2015•上饶二模）若x为复数，则方程x4=1的解是（）A．l或l B．i或﹣i C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i【考点】：复数及其指数形式、三角形式．【专题】：计算题；数系的扩充和复数．【分析】：方程x4=1可化为方程x4﹣1=0．对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解，注意要分解彻底【解析】：解：因为：x4﹣1=（x2+1）（x2﹣1）=（x+i）（x﹣i）（x﹣1）（x+1）．所以x4﹣1=0即（x+i）（x﹣i）（x﹣1）（x+1）=0．解得x=1，﹣1，i，﹣i．即在复数集中，方程x4=1的解为1，﹣1，i，﹣i故选：D．【点评】：本题考查运用平方差公式分解因式的能力．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．本题需注意，第一次运用平方差公式分解以后，余下的多项式仍然可以运用平方差公式再次分解．2．（5分）（2015•上饶二模）若集合A={1，m，m2}，集合B={2，4}，则“m=﹣2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合集合的基本运算关系，进行判断即可．【解析】：解：若A∩B={4}，则m=4或m2=4，即m=4或m=2或m=﹣2，当m=2时，集合A={1，2，4}，A∩B={2，4}不成立，故m=4或m=﹣2，即“m=﹣2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合的基本关系是解决本题的关键．3．（5分）（2015•上饶二模）把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为（）A．y=5cosx B．y=﹣5cosx C．y=5cos4x D．y=﹣5cos4x【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：计算题．【分析】：横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式为，再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为，利用诱导公式化简，从而得出结论．【解析】：解：把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为，再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为=5sin（x﹣）=﹣5cosx，故选B．【点评】：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．4．（5分）（2015•上饶二模）在函数①y=sin|2x|，②y=1﹣，③，④中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②B．②③④C．②③D．③④【考点】：三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：逐一求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．【解析】：解：∵函数①y=sin|2x|不是周期函数，没有最小正周期，不满足条件；②y=1﹣=cos（2x﹣）的最小正周期为=π，满足条件；③=tanx的最小正周期为π，满足条件；④的最小正周期为=π，满足条件，故②③④都满足条件，故选：B．【点评】：本题主要考查二倍角公式，三角函数的周期性及其求法，属于中档题．5．（5分）（2015•上饶二模）已知直线2x+y﹣c=0与圆x2+y2=R2交于A，B两点，则与（O为坐标原点）共线的向量是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣4）C．（4，2）D．（﹣1，2）【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：本题可通过设A，B两点坐标，联立方程求出向量坐标，再利用共线向量坐标成比例得出．【解析】：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2）由直线方程得y=﹣2x+c，代入圆的方程得：5x2﹣4xc+c2﹣R2=0则x1，x2为方程两根，x1+x2=，代入y=﹣2x+c得y1+y2=﹣+2c=则=（）设所求向量为（x，y），则，所以2y=x；故选C．【点评】：本题考查向量共线的充要条件．6．（5分）（2015•上饶二模）已知焦点在x轴的椭圆方程：，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=1，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出椭圆的焦点坐标，利用|AB|=1，求出a、b、c，然后求解离心率即可．【解析】：解：焦点在x轴的椭圆方程：，焦点坐标（±，0），不妨A（，），可得，解得a=2，椭圆的离心率为：e==．故选：A．【点评】：本题考查椭圆的简单性质，离心率的求法，考查计算能力．7．（5分）（2015•上饶二模）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成．若的所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】：数量积表示两个向量的夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：两组向量和均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论【解析】：解：由题意，设为非零向量的夹角为α，分类讨论可得①==，不满足②==5||2+4||2cosα，不满足；③==8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：A．【点评】：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题8．（5分）（2015•上饶二模）设变量x，y满足约束条件则z=|x﹣3y|的取值范围为（）A．[2，8] B．[0，8] C．[4，8] D．[0，4]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作差可行域，令t=x﹣3y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入t=x﹣3y求出t的范围，则答案可求．【解析】：解：由约束条件作差可行域如图，令t=x﹣3y，化为直线方程的斜截式得y=，联立，解得：A（﹣2，2），联立，解得：B（﹣2，﹣2），由图可知，当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最小，t有最大值为﹣2﹣3×（﹣2）=4；当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2﹣3×2=﹣8．∴z=|x﹣3y|的取值范围是[0，8]．故选：B．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）（2015•上饶二模）已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，1）【考点】：数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意可知1﹣2a＜0，0＜a＜1，且a12=17﹣24a＞a13=1，解出即可．【解析】：解：由已知可知1﹣2a＜0，0＜a＜1，且a12=17﹣24a＞a13=1，解得＜a＜．故选：C．【点评】：本题考查了数列的单调性、分段函数的性质、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015•上饶二模）已知函数f（x）=2ex，函数g（x）=k（x+1），若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方（没有交点），则实数是的取值范围是（）A．k＞2 B．k≥2 C．0≤k≤2 D．0≤k＜2【考点】：导数的几何意义；指数函数的图像变换；导数的运算．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：作出函数的图象，利用导数的几何意义求出切线斜率，利用数形结合即可得到结论．【解析】：解：若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方（没有交点），即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，即2ex﹣k（x+1）＞0，即2ex＞k（x+1），若k=0，满足条件，若k＜0，则不满足条件．则当k＞0时，g（x）=k（x+1）过定点（﹣1，0），函数f（x）的导数为f′（x）=2ex，设切点为（a，b），则对应的切线斜率k=f′（a）=2ea，则对应的切线方程为y﹣2ea=2ea（x﹣a），∵直线过点（﹣1，0），∴﹣2ea=2ea（﹣1﹣a），解得a=0，此时切线斜率k=f′（0）=2，即此时k=2，则解得0＜k＜2，综上0≤k＜2，故选：D【点评】：本题主要考查函数图象关系的应用，利用导数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•上饶二模）对于任意的x∈R，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a＜3 D．a≤3【考点】：函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】：原不等式分离出参数a：，转化为a只须小于函数的最小值即可，下面只要利用函数的单调性求出最小值，即可求出a的范围．【解析】：解：先从分离出参数a，即恒成立，下面只要求的最小值即可，令（t≥1）则x2=t2﹣1，∴y=，∵在[1，+∞）单调增函数，∴当t=1时，y有最小值3，故a＜3，故答案为：a＜3．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、二次函数的性质、换元法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．12．（5分）（2015•上饶二模）空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小．若如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】：球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据已知中几何体的外接球的定义，结合该几何体外接球的轴截面，可求出球的半径，进而得到答案．【解析】：解：该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体，做出其外接球的轴截面如下图所示：则，解得：x=，，故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2015•上饶二模）已知程序框图如图，则输出的i=9．【考点】：循环结构．【专题】：阅读型．【分析】：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，分别讨论S与i的值是否满足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果．【解析】：解：S=1，i=3不满足条件S≥100，执行循环体S=1×3=3，i=3+2=5，不满足条件S≥100，执行循环体S=3×5=15，i=5+2=7，不满足条件S≥100，执行循环体S=15×7=105，i=7+2=9，满足条件S≥100，退出循环体此时i=9故答案为：9【点评】：本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．14．（5分）（2015•上饶二模）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为（x﹣5）2+y2=9．【考点】：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．【专题】：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：确定抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，求出圆的半径，即可得到圆的方程．【解析】：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意，r=3，则所求方程为（x﹣5）2+y2=9故答案为：（x﹣5）2+y2=9．【点评】：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（5分）（2015•上饶二模）把正奇数依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号3个数，第四个括号1个数，…如此循环为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），…．则2015这个奇数在第504个括号内．【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：括号里的数有一定规律：即每四个一组，各组里面的数都有1+2+3+4=10个数．且每四个一组的第1个括号一个数构成一个首项为3公差为20的等差数列，设2013是每四个一组中第n个小组内的数，根据规律即可找出n的值【解析】：解：括号里的数有规律：即每三个一组，里面的数都是1+2+3=6，且每三个一组的第1个括号里一个数构成一个首项为1公差为12的等差数列，故每三个一组中第n个小组内的第一个数的通项公式为：1+12（n﹣1）=12n﹣11，设2015是每三个一组中第n个小组内的数，由12n﹣11=2015，⇒n≈168，从而每三个一组中第168个小组内的第一个数是12×168﹣11=2016，即2015是第504个括号内的数，故答案为：504．【点评】：本题考查了归纳推理，等差数列的通项公式，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式．16．（5分）（2015•上饶二模）若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．【考点】：对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．【专题】：计算题．【分析】：本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x ∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．【解析】：解：函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）【点评】：本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键．三、解答题：（共70分）17．（12分）（2015•上饶二模）已知正项等比数列{an}满足：1na1+1na3=4，1na4+1na6=10，（1）求数列{an}的通项公式；（2）记Sn=1na1+1na2+…+1nan如果数列{bn}满足：，设，求Cn的最大值．【考点】：数列的求和；等比数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出；（2）利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性即可得出．【解析】：解：（1）由题意可得，，∴；（2）由（1）可知，记，则=，∴cn＞cn+1，∴数列{cn}是单调递减数列，，即cn的最大值为．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2015•上饶二模）在某一届江西省中学生运动会上，承办学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．定义身高在180cm以上（包括180cm）为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）为“非高个子”．现将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（精确到lcm），由于污染导致这个茎叶图中的一个数据模糊．（1）如果用分层抽样的方法以“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）在女志愿者身高的中位数是175的条件下，求茎叶图中，这个模糊数据所表示的身高不大于172的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据茎叶图，结合分层抽样的方法，再利用列举法从五个人中选出两个人的基本事件以及对应的概率；（2）设看不清的女志愿者身高为x，结合中位数的概念以及x的可能值，计算对应的概率即可．【解析】：解：（1）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，所以选中的“高个子”有人，设这两个人为A，B；“非高个子”有人，设这三个人C，D，E；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）从这五个人A，B，C，D，E中选出两个人共有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共有十种不同方法；…（4分）其中至少有一人是“高个子”的选法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）共有七种；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因此，至少有一人是“高个子”的概率是；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）设看不清的女志愿者身高为x，由题意可得，满足女志愿者身高的中位数是175的x值为0，1，2，3，4，5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）其中不大于172的x值有0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分所以在女志愿者身高的中位数是175条件下，这个模糊数据表示的身高不大于172的概率是．（12分）【点评】：本题考查了茎叶图与分层抽样的应用问题，也考查了用列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）（2015•上饶二模）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，所有棱长均为2，若点A1在底面ABC的射影O落在AB的中点M上．（1）在线段A1C1上找到一点N，使得MN∥面B1C1CB，求A1N的长度；（2）求四棱锥体积VA﹣BB1C1C．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）取A1C1中点N，B1C1的中点E，连结BE，EN，由三角形中位线定理可得EN ∥A1B1，结合三棱柱的性质可得A1B1∥BM，再由边长相等可得四边形ENBM为平行四边形，由此证得MN∥面B1C1CB，此时A1N=1；（2）求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，再求出三棱锥A﹣A1B1C1的体积，则由=得答案．【解析】：解：（1）取A1C1中点N，则A1N=1，取B1C1的中点为E，连结BE，EN则EN∥A1B1，又A1B1∥BM，∴EN∥BM，且，∴四边形ENBM为平行四边形，∴有MN∥BE，即MN∥面B1C1CB，此时A1N=1；（2）∵，，∴=，=，∴==3﹣1=2．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．20．（12分）（2015•上饶二模）已知抛物线y2=2px的焦点为F，若该抛物线上有一点A，满足直线FA的倾斜角为120°，且|FA|=4，（1）求抛物线方程；（2）若抛物线上另有两点B，C满足，求直线BC的方程．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）如图，设抛物线的准线为l，过A作AM⊥l，垂足为M．由|AF|=4可得|AM|=4，由∠AFx=120°，可知|NF|=|AM|+|AF|cos60°=6，由抛物线的定义即可得出．（2）由（1）可知点，可设点B（x1，y1），C（x2，y2），由，可得x1+x2=8，，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解析】：解：（1）如图，设抛物线的准线为l，过A作AM⊥l，垂足为M．由|AF|=4可得|AM|=4，由∠AFx=120°，可知|NF|=|AM|+|AF|cos60°=6，由抛物线的定义可得p=|NF|=6，即抛物线方程为y2=12x．（2）由（1）可知点，可设点B（x1，y1），C（x2，y2），由，可得：，即得x1+x2=8，，即BC中点坐标为，∵，=12x2，∴=12（x1﹣x2），而BC斜率，∴直线BC方程为：，整理为：，【点评】：本题考查了抛物线的定义、中点坐标公式、斜率计算公式、点与抛物线的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•上饶二模）设函数f（x）=ax2+1nx，g（x）=x2+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．（1）求函数f（x）和g（z）的解析式；（2）若函数F（x）=f（x）﹣m[g（x）+x]在区间[2，3]上不单调，求实数m的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）欲求函数f（x）和g（x）的解析式，利用在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等列出等式．从而求出a，b．（2）求出F（x）的解析式，求得导数，令h（x）=（1﹣2m）x2﹣mx+1，解法一、对m讨论，结合二次函数的图象和性质，考虑图象在[2，3]与x轴有两个交点，解不等式组即可得到m的范围；解法二、运用参数分离，求出右边函数的导数，运用单调性，求得最值，即可得到m的范围．【解析】：解：（1）函数f（x）=ax2+1nx，g（x）=x2+b，f′（x）=2ax+，g′（x）=2x，由题意可得，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），即有a=1+b，2a+1=2，解得a=，b=﹣，所以；（2）解法一、由（1）可知，则，记h（x）=（1﹣2m）x2﹣mx+1，要使F（x）在区间[2，3]上不单调，当1﹣2m=0时，h（x）＜0，F（x）递减，显然不满足题意；则①，解得m∈Φ，或②，解得m∈Φ，或③，解得m∈Φ，或④，解得，故满足条件的m的取范围为．解法二：，记h（x）=（1﹣2m）x2﹣mx+1，设当F（x）在区间[2，3]上单调时，恒有h（x）≥0或h（x）≤0，分离变量得：或，，所以在[2，3]上递减．即﹣，即得此时或．所以满足F（x）在区间[2，3]上不单调时，m的取值范围为．【点评】：本题主要考查函数解析式的求解及待定系数法、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答．若多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：参数方程选讲22．（10分）（2015•上饶二模）选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【考点】：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：直线与圆．【分析】：（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8s in（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos，计算求得结果．【解析】：解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）s inφ+8cos（+φ）cosφ=8cos[（+φ）﹣φ]=8×=4．【点评】：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．选修4-5：不等式选讲23．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．【考点】：二维形式的柯西不等式．【专题】：综合题；不等式．【分析】：（1）写出分段函数，确定函数的单调性，可得函数f（x）的最小值；（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1，可得a2+b2+c2的最小值．【解析】：解：（1）f（x）=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减，当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值m=1．…（5分）（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+c）2=1，故a2+b2+c2≥，当且仅当a=，b=，c﹣时取等号∴a2+b2+c2的最小值为．…（10分）【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，属于中档题．。
江西省上饶市重点中学2015届高三下学期六校第二次联考
江西省上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数)2015i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +【答案】B考点：复数的运算.2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合}1cos |{==x x B π，则()U C A B 的元素个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：110x +->1x ⇒>或2x <-，∴(,2)(0,)A =-∞-+∞ ，cos 12,x x k k Z πππ=⇒=∈，2,x k k Z =∈，∴{|2,}B x x k k Z ==∈，[2,0]U C A =-，(){2,0}U C A B =- ，含两个元素.考点：集合的运算.3.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P B ∈的概率为（ ） A ．932B ．732C ．716D ．916【答案】A 【解析】试题分析：点集A 是如图所示的矩形ABCD 内部，其面积为4416⨯=，点集B 是曲边三角形OCN 内部，其面积为22231211(2)(2)123S x x dx x x x -=+-=+--⎰8119(24)(2)3232=+---+=，所求概率为9921632P ==.考点：几何概型.4.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）种． A ．240B. 180C. 150D.540【答案】C 【解析】试题分析：方法数为22333555331502C C C A A +⋅=，选B. 考点：排列组合的应用.5.已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos)sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前12项和为（ ）A.211B.212C.126D.147【答案】D 【解析】试题分析：由题意，当n 为奇数时，21n n a a +=+，当n 为偶数时，22n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以1213112412()()S a a a a a a =+++++++ 6652(12)(6)212⨯-=++- 147=，选D.考点：递推公式，等差数列与等比数列的前n 项和.6.奇函数()f x 、偶函数()g x 的图象分别如图1、2所示，方程()()0f g x =，()()0g f x =的实根个数分别为a 、b ，则a b +等于（ ）A.14B.10C.7D.3【答案】B 【解析】试题分析：由图得(())0()0f g x g x =⇒=或()1g x =±，()0g x =有3解，()1g x =有2解，()1g x =-有2解，因此7a =，由于()1f x -≤≤，则(())0()0g f x f x =⇒=，而()0f x =有3解，因此3b =，所以10a b +=，选B.考点：方程的解，函数的零点.7.执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013C ．2014D ．2015【答案】A 【解析】试题分析：由正弦函数的性质，{sin}3k π是以6为周期的周期数列，60S =，从而{}k S 也是以6为周期的数列，1234560S S S S S S ======，因此2011S =20121S =>，故选A.考点：程序框图，周期数列.8.已知a 、b 为正实数，直线y=x －a 与曲线y=ln （x+b ）相切，则22a b+的取值范围是( )A ．（0，12） B.（0，1）C.（0，+∞）D.[)1,+∞【答案】A 【解析】试题分析：1ln()'y x b y x b =+⇒=+，令11x b=+，1x b =-，所以10b a --=，即1a b =-，由于0,0a b >>，因此01b <<，22(1)926222a b b b b b -==++-+++，令2(2,3)t b =+∈，函数9()6h t t t =+-在(2,3)上是减函数，所以1()(0,)2h t ∈，选A.考点：导数与切线，函数的值域.9.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ． 4C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：如图，该几何体是正方体中的NBCQ ，正方体的棱长为2，四面体NBCQ 的四个面的面积分别为PMB考点：三视图.10.已知m n s t *∈、、、R ，m+n=4，9m n s t +=其中m n 、是常数，且s t +的最小值是89，满足条件的点(,)m n 是双曲线22128x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线方程为( )A.4100x y +-=B.220x y --=C.4100x y +-=D.460x y --=【答案】D 【解析】试题分析：11()()()99m n ns mts t s t m ns t t s+=++=+++1(49≥+，由题意1(489+=，所考点：基本不等式，圆锥曲线的弦中点问题.11.设等差数列{}n a满足：22222244484857sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-．若当且仅当n=9时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A．9,8ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．9,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：2222222222 44484848485757sin cos cos cos sin sin sin(1sin)cos(1cos) sin()sin()a a a a a a a a a aa a a a-+----=++2222484857sin cos cos sinsin()a a a aa a-=+4848484857(sin cos cos sin)(sin cos cos sin)sin()a a a a a a a aa a+-=+484857sin()sin()sin()a a a aa a+-=+48sin()1a a=-=，42()2d k k Zππ-=+∈，由于(1,0)d∈-，所以8dπ=-，9S是{}nS中的最大值，则9100,0a a><，故有189d a d-<<-，即198aππ<<，选A. 考点：两角和与差的正弦公式，等差数列的性质，等差数列的前n项和.12.已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ）A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥．B.000,0,()0a x f x ∃>∃>≤.C. 0,0,()0a x f x ∀>∀>≥D.000,0,()0a x f x ∃>∃>≥【答案】C 【解析】试题分析：2121'()2(ln )2(ln )2a f x x x a x x x x -=-+⋅=-，当2120a x e -<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，同理当212a x e->时，()f x 单调递增，212121()()2a a f x f ee a --==-+最小，显然不等式212a ea ->有正数解（如1a =，（当然可以证明0a >时，21102a e a --+≤）），即存在0a >，使()0f x <最小，因此C 错误.考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设m R ∈,过定点A 的动直线10x my +-=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点P(x,y)，则PA PB ⋅的最大值是 . 【答案】5 【解析】试题分析：由已知知定点(1,0)A ，(2,3)B ，且对任意m R ∈，已知两直线是垂直的，即PA PB ⊥，210AB =，所以22210PA PB AB +==，由基本不等式2252PA PBPA PB +⋅≤=，当且仅当PA PB =时等号成立，因此所求最大值为5.考点：直线方程，两直线垂直，基本不等式.14.计算12323n nn n n C C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法：构造等式： 0122n nn n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导， 得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法， 计算12223223n n n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+=_________． 【答案】2(1)2n n n -+⋅ 【解析】试题分析：关键是构造一个等式，在等式12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+ 两边都乘以x ，得12233123(1)n n n n n n n C x C x C x nC x nx x -++++=+ ，两边求导得，122232211223(1)(1)(1)n n n n n n n n C C x C x n C x n x n n x x ---++++=++-+ ，令1x =，得122232122232(1)2(1)n n n n n n n n C C C n C n n n n n ---++++=⋅+-⋅=+⋅ .考点：构造法，导数与二项式定理的应用.15.已知点O 是锐角ABC ∆的外心，8123AB AC A π===，，. 若AO xAB yAC =+，则69x y += .【答案】5 【解析】试题分析：以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系（使得点C 在第一象限），则有(0,0)A ，(8,0)B，C ，设(4,)O y ，由OA OC =可得y =O，AO = ，(8,0)AB =，AC = ，因为AO xAB yAC =+，所以8643x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1649x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以695x y +=. 考点：向量的坐标运算. 16.若数列{}n a 满足2111,2n n n a a a a +==+，n N +∈，且11n nb a =+，12n n P b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，则2n n P S += .【答案】2【解析】试题分析：因为21n n n a a a +=+，所以111n n n n a b a a +==+，记11(2)(2)n n n n T P S P S --=+-+，则1212121121(2)(2)n n n n T bb b b b b bb b b b b --=++++-++++ 1212(1)n n n bb b b b -=-+1122312(1)1n n n n a a a b a a a a -=⋅⋅⋅⋅-++ =111(1)011n n na a a -+=++，所以1122n n n n P S P S --+=+，从而11112222n n P S P Sb b +=+=+=.考点：数列的递推公式.三、解答题(本大题共6小题，满分70分. 17-21题是必做题，每题12分．请在22和23题中只选做一题，多做则按22题给分，选做题满分10分.） 17.（本小题共12分）设函数f （x ）=sinxcos （x+3π），x∈R． （1）设,[0,]2παβ∈，553(),(),2122621210f f απβπ+=-=-求sin()αβ-的值.． (2)△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列； 且a+c=6，()2Bf =，求△ABC 的面积． 【答案】（1）1665；（2. 【解析】故ABC ∆的面积11sin 922ABC S ac B ∆==⨯=（12分） 考点：两角和与差的正（余）弦公式，二倍角公式，同角关系等三角公式，正（余）弦定理. 18.（本小题共12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数． (2) 从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. （3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4个学生,设这四个学生中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X,(以该校学生的成绩的频率估计概率)，求X 的分布列和数学期望.【答案】(1)中位数为73.33；（2）2970；（3）其分布列为:44()0.30.7,(0,1,2,3,4)kk k p X k C k -==⋅=数学期望为 1.2EX =. 【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图中，各组的频率和等于1，由此可求得第四组的频率，中位数是把频率分布直方图中小矩形的面积平分的那个点；（2）[70,80)，[80,90) ，[90,100]的人数分别是18,15,3，所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率是22218153236C C C P C ++=；（3）人数(4,0.3)X B ,所以其分布列为:44()0.30.7,(0,1,2,3,4)kk k p X k C k -==⋅=.试题解析：（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+*++*=……1分直方图如下所示……………………………….2分 中位数是0.1701073.330.3c x =+⨯= 计这次考试的中位数是73.33分…………………….4分 0.030.01频率组距（2）[70,80)，[80,90) ，[90,100]”的人数是18,15,3．所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率．22218153236C C C P C ++==87210 ………………………8分 (3) 因为(4,0.3)X B ,所以其分布列为:44()0.30.7,(0,1,2,3,4)kk k p X k C k -==⋅=数学期望为40.3 1.2EX np ==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：频率分布直方图，中位数，古典概型，随机变量的分布列与数学期望.19.（本小题共12分）如图，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、PC 的中点．（1）若PA = 1，求证：EF⊥平面PCD ；（2）若PA = 2，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角 Q - AP - D若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）满足条件的Q 存在，是EF 中点． 【解析】试题分析：（1）题中要证EF ⊥平面PCD ，由于EF 与平面PCD 的关系不能直接确定，因此我们寻找中间量，取PD 中点M ，由//MF DC 且12MF DC =得//MF AE 且MF AE =，故有AMFE 是平行四边形，从而//EF AM ，而通过证明AM ⊥平面PCD 证得结论；（2）涉及到二面角问题，我们建立空间直角坐标系，用空间向量法解决，以,,AD AB AP为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,,0)2E ，11(,,1)22F ，知平面PAD 的法向量为(0,1,0)n = ，对存在性命题，我们假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=，1(,0,1)2EF = ，1(,,)22Q λλ=，[0,1]λ∈，(0,0,2)AP = ，1(,,)22AQ λλ= ，设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z = ，10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ ，利用法向量夹角余弦值与二面角的余弦值的绝对值相等可求得λ，如能求得，说明存在，如果求不出说明假设错误，满足题设条件的点不存在.试题解析：（1）取PD 中点M ，连接MF ，MA 在ΔCPD 中，F 为PC 的中点，∴MF 平行且等于12DC ，正方形ABCD 中E 为AB 中点， AE 平行且等于12DC ，∴AE 平行且等于MF ，故：EFMA 为平行四边形，∴EF ∥AM ……2分 又因为PA=1=AD所以PAD ∆为等腰三角形，所以AM⊥PD， 又因为CD⊥平面PAD ，所以CD⊥AM 因为CD PD D = ，所以AM⊥平面PCD ；因为EF ∥AM，所以EF⊥平面PCD ． ……5分（2）如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系：(0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,,0)2E ，11(,,1)22F由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)n =， ……6分 假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ= ，1(,0,1)2EF = ，1(,,)22Q λλ=，[0,1]λ∈，(0,0,2)AP = ，1(,,)22AQ λλ=设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =，xyzQ10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩∴cos ,m n m n m n ⋅<>==，由已知：=解得：12λ=，所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点． ……12分 考点：线面垂直，二面角，存在性命题.20.（本小题共12分）已知焦点在x 轴的椭圆222:16x y C b += (0)b >的左、右焦点分别为12,F F ，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足222AF F B =，直线AB 的斜．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(≠∈=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标． 【答案】（1）12622=+y x ；（2）（ⅰ）3；（ⅱ）(3，1)或(3，－1)． 【解析】试题分析：（1）已知条件222AF F B =涉及到椭圆上的点到焦点的距离，因此我们通过椭圆椭圆的第二定义来分析解决问题，设l 是椭圆的右准线，,,AM l BN l M N ⊥⊥、为垂足，记BN d =，则2B F e d =，由已知222AF F B =得22AF ed =，因此2AM d =，又直线AB的斜率为，所以tan BAM ∠，∴c o s 6BAM ∠=，又c o s 3A M A N dBAM AB ed -∠==13e=，所以13e =，解得e =a =故有2c =，22b =，椭圆方程即得；（2）本小题是直线与椭圆的位置关系问题，由（1）(2,0)F ，设直线PQ 的方程为2x my =+，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线PQ 的方程与椭圆方程方程联立，消去x ，得关于y 的一元二次方程，可得1212,y y y y +，从而求得PQ 的中点M 的坐标为)32,36(22+-+m m m .再由PQ TF ⊥，知直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y ，这样可得点T 的坐标为()()2,--t m t ，由,,O M T 三点共线可求得3t =；（ⅱ）由（ⅰ）得(3,)T m -，于是1||2+=m TF ，同样由（ⅰ）的运算可计算出||PQ =221)3m m ++.所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥.由等号成立的条件可行T 点坐标为(3，1)或(3，－1)． 试题解析：（1）由已知解得c=2,b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . ………………………………（4分） （2）（ⅰ）由（1）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 点的坐标为),3(m -.于是1||2+=m TF ， ||PQ =221)3m m ++. 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值33． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，－1)．…………………………（12分）考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.圆锥曲线的综合问题.21.（本小题共12分）已知函数1e )(--=ax x f x(a 为常数)，曲线y ＝f (x )在与y 轴的交点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的单调区间；(2)证明：当0>x 时，1e 2+>x x ；(3)证明：当*∈N n 时，()nn n e)3(1ln1312113+>++++ . 【答案】（1）2=a ，函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增；（2）证明见解析；（3）证明见解析.即1e 2+>x x .…………（8分）(3)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x >. 证明如下：令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(2)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，所以01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>. 所以)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+= ，代入上式，则12ln 33ln 12>+， 23ln 33ln 23>+，nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n n n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ，所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++ …（12分）考点：导数与函数的单调性，不等式的证明. 22.（本小题共10分）选修4-4：极坐标和参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值． 【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程22(1)1x y -+= ，直线l的普通方程为0x m -=； （2）1或1. 【解析】试题分析：（1）由c o s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩及222x y ρ=+可把曲线C 的方程化为直角坐标方程，把直线参数方程中的参数t 消去可得普通方程；（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，方程的解t 的绝对值就是PA 、PB ，即12PA PB t t ⋅=，这样可解得m .试题解析：（1）曲线C 的直角坐标方程22(1)1x y -+= ……3分直线l的普通方程为0x m -= ……5分 （2）将12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)1x y -+=，得：221112m t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：221)20t m t m m -+-=，由0∆>，即223(1)4(2)0m m m --->，解得：-1 < m < 3设t 1、t 2是上述方程的两实根，则121)t t m +=-，2122t t m m =- ……8分 又直线l 过点(,0)P m ，由上式及t 的几何意义得212|||||||2|1PA PB t t m m ⋅==-=，解得：1m =或1m =，都符合-1 < m < 3，因此实数m 的值为1或11 ……10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的应用.23.（本小题共10分）选修4-5：不等式选讲 已知1,,222=++∈c b a R c b a ，． （1）若0a b c ++=，求a 的最大值．（2）若ab bc ca ++的最大值为M ,解不等式113x x M ++-≥.【答案】（1（2）33(,][,)22-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：（1）由222()2()b c b c +≤+可得a 的不等式，由此可求得a 的范围；（2）由基本不等式可得1M =，则本题要解不等式311≥++-x x ，由绝对值的定义分类讨论可求得解集.试题解析：（1）因为222222()22()a b c b c bc b c =--=++≤+ 所以2222(1),32a a a ≤-∴≤即33a -≤≤所以a 分 (2） 2222221222a b b c c a ab bc ca +++++≤++= 所以M=1 ………7分 若不等式113x x M ++-≥对一切实数,,a b c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分 考点：基本不等式，解绝对值不等式.。
江西省红色六校2015届高三第二次联考数学试题(文科)(解析版)
2015年江西省红色六校高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•江西二模）复数z=（i是虚数单位）的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．i D．﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：∵z==，∴z的共轭复数为﹣i．故选：B．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2015•江西二模）设集合M={x|y2=3x，x∈R}，N={y|x2+y2=4，x∈R，y∈R}，则M∩N 等于（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，2] C．{（1，），（1，﹣）} D．[0，2]【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解析】：解：根据题意得：M=R，N=[﹣2，2]，则M∩N=[﹣2，2]．故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2012•黑龙江）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：计算题．【分析】：通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解析】：解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．【点评】：本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江西二模）若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】：由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．【解析】：解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．【点评】：本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．5．（5分）（2015•江西二模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．10π+96 B．9π+96 C．8π+96 D．9π+80【考点】：由三视图求面积、体积．【分析】：由三视图知几何体为一个正方体和一个圆柱的组合体，根据三视图的数据求出正方体表面积和圆柱的侧面积，再相加可得答案．【解析】：解：由三视图知几何体为一个正方体与一个圆柱的组合体，其中圆柱的直径为2，高为4，S侧面积=2π×1×4=8π，正方体的边长为4，S正方体=6×42=96，∴几何体的表面积S=8π+96．故选C．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．6．（5分）（2015•江西二模）阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）A．i≤4 B．i≤5′ C．i≤6 D．i≤7【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【解析】：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前0 1第一圈 2 2 是第二圈 6 3 是第三圈14 4 是第四圈30 5 否所以当i≤4时．输出的数据为30，故选A．【点评】：本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．7．（5分）（2015•江西二模）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：任意角的三角函数的定义．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由条件利用任意角的三角函数的定义可得tanθ=2，再利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．【解析】：解：由题意可得，tanθ=2，=sin2θ+cos2θ=•=•=•=，故选：D．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．8．（5分）（2015•江西二模）设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A． 3 B．8 C．D．【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】：由题意作出其平面区域，m=表示了区域内的点到直线x﹣3y=0的距离；而m取得最大值时z也取得最大值；从而求解．【解析】：解：由题意作出其平面区域，m=表示了区域内的点到直线x﹣3y=0的距离；而m取得最大值时z也取得最大值；当取点A（﹣2，2）时，m取得最大值；故z=|x﹣3y|的最大值为|﹣2﹣3×2|=8；故选B．【点评】：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．9．（5分）（2015•江西二模）在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边BC上的一点，且•=•，则•的值为（）A．0 B． 4 C．8 D．﹣4【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：将已知等式•=•变形得到AD⊥BC，得到AD的长度，然后利用向量的数量积解答．【解析】：解：因为•=•，所以，即=0，所以AD⊥BC，又∠ABC=30°所以∠BAD=60°，AD=ABcos∠BAD=2，所以•=2×4×cos60°=4；故选B．【点评】：本题考查了向量的运算以及向量垂直的判断、数量积公式的运用；属于基础题．10．（5分）（2015•江西二模）已知函数f（x）=若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N+），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【考点】：数列的函数特性．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数的单调性，结合数列的特殊性，得出，求解即可即＜a＜3．【解析】：解：已知函数f（x）=f（8）=a8﹣6=a2，∵若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N+），且{a n}是递增数列，∴即2＜a＜3，故选：C【点评】：本题考查了函数的单调性，数列的函数性，结合不等式求解，难度不大，容易出错．11．（5分）（2015•江西二模）在x轴、y轴上截距相等且与圆（x+2）2+（y﹣3）2=1相切的直线L共有（）条．A． 2 B． 3 C． 4 D．6【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：与圆（x+2）2+（y﹣3）2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过原点的直线和斜率为﹣1 的两条直线．【解析】：解：圆的圆心（﹣2，3），半径是1，原点在圆外，与圆（x+2）2+（y﹣3）2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条；斜率为﹣1的直线也有两条；共4条．故选：C【点评】：本题考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线．容易出错．12．（5分）（2015•江西二模）已知f（x）=﹣﹣m有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．[3，+∞）C．（0，3）D．（3，+∞）【考点】：函数的零点．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：由题意，f（x）=﹣﹣m有两个不同的零点可化为方程﹣=m有两个不同的解，利用函数图象解答．【解析】：解：f（x）=﹣﹣m有两个不同的零点可化为方程﹣=m有两个不同的解，作函数y=﹣的图象如下，故m的取值范围是（0，3）；故选C．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象之间的关系，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．【考点】：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】：计算题．【分析】：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．【解析】：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【点评】：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015•江西二模）在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f（x）=x2+ax+b2有零点的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，由一元二次方程根与系数的关系，算出函数f（x）=x2+ax+b2有零点时满足a≥2b，满足条件的点（a，b）在正方形内部且在直线a﹣2b=0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．【解析】：解：∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取，∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点（a，b）在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点若函数f（x）=x2+ax+b2有零点，则△=a2﹣4b2≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a﹣2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S1==4∵正方形OABC的面积为S=4×4=16∴函数f（x）=x2+ax+b2有零点的概率为P===故答案为：【点评】：本题给出a、b满足的关系式，求函数f（x）=x2+ax+b2有零点的概率，着重考查了面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．15．（5分）（2015•江西二模）用两个平行平面同截一个直径为20cm的球面，所得截面圆的面积分别是64πcm2、36πcm2，则这两个平面间的距离是2cm或14cm．【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：先根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可．【解析】：解：设两个截面圆的半径别为r1，r2．球心到截面的距离分别为d1，d2．球的半径为R．由πr12=36πcm2，得r1=6cm．由πr22=64πcm2，得r2=8cm．如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，即d2﹣d1=8﹣6=2cm．如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d2+d1=8+6=14cm．故答案为：2cm或14cm．【点评】：本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题．此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力．本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解．16．（5分）（2015•江西二模）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于．【考点】：双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：取双曲线的一条渐近线：，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．【解析】：解：取双曲线的一条渐近线：，联立解得，故A．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴，化为．∴双曲线C2的离心率．故答案为．【点评】：熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2015•江西二模）为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况，从所有高三学生中抽取40名学生，将他们的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该校高三年级有1800人，试估计这次考试的数学成绩不低于60分的人数及60分以上的学生的平均分；（2）若从[40，50）与[90，100]这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（2）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．【解析】：解：（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．解得a=0.03．根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．由于高三年级共有学生1800人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为1800×0.85=1530人．可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为：65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=66.25．（2）解：成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15种．如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种，所以所求概率为．【点评】：本题考查由频率分布直方图求频率、频数，考查了古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是读懂频率分布直方图，应用相关数据进行准确计算．*）18．（12分）（2015•江西二模）已知{a在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和S n．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由已知得数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列，由此能求出a n=1+（a ﹣1）×1=n，从而b n+1﹣b n=2n．由此利用累加法能求出b n．（2）由C n=n2n﹣n，利用分组求和法和错位相减法能求出{c n}的前n项和S n．【解析】：解：（1）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n=1+（a﹣1）×1=n …（3分）从而b n+1﹣b n=2n．∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1…（6分）（2）C n=n2n﹣n令，①则2T n=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，由错位相减法可得…（10分）从而．…（12分）【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法、分组求和法和错位相减法的合理运用．19．（12分）（2015•江西二模）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．【考点】：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）由线面垂直的性质定理，证出CD⊥平面PAD．在△PCD中根据中位线定理，证出EF∥CD，从而EF⊥平面PAD，结合面面垂直的判定定理，可得平面EFG⊥平面PAD；（2）根据线面平行判定定理，得到CD∥平面EFG，所以CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，得到三棱锥M﹣EFG的体积等于三棱锥D﹣EFG的体积．再由面面垂直的性质证出点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，算出△EFG的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D﹣EFG的体积，即可得到三棱锥M﹣EFG的体积．【解析】：解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD…（3分）又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）（2）∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴V M﹣EFG=V D﹣EFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）因此，三棱锥M﹣EFG的体积V M﹣EFG=V D﹣EFG=×S△EFG×=．…（12分）【点评】：本题给出底面为正方形的四棱锥，求三棱锥M﹣EFG的体积并证明面面垂直，着重考查了锥体体积的求法和空间线面平行、面面垂直等位置关系判定的知识，属于中档题．20．（12分）（2015•江西二模）已知函数f（x）=x3﹣alnx﹣（a∈R，a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求导函数，再分类讨论：a＜0时，a＞0时，由此可确定f（x）的单调区间；（2）只要求出f（x）的最小值，满足f（x）的最小值大于或等于为即可．【解析】：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，①当a＜0时，恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上得：当a＜0时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；当a＞0，f（x）单调递减为，f（x）单调递增为（，+∞）．（2）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需对任意的f（x）min≥0，①当a＜0时，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，∴只需f（1）≥0，而f（1）=，∴a＜0满足题意；②当0＜a≤1时，，f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴只需f（1）≥0，而f（1）=，∴0＜a≤1满足题意；③当a＞1时，＞1，f（x）在[1，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，∴只需即可，而=0，∴a＞0不满足题意；综上，a∈（﹣∞，0）∪（0，1]．【点评】：本题考查导数与函数的单调性以及函数的最值，运用了分类讨论、等价转化思想想同，属于中档题．21．（12分）（2015•江西二模）已知点F是抛物线y2=2px的焦点，其中p是正常数，AB，CD 都是抛物线经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方．（1）求+；（2）①当|AF|•|BF|=p2时，求k；②设△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设，由，得，由此利用韦达定理、抛物线定义，结合已知条件得．（2）①=，由此能求出．②由|CF|•|DF|=（k2+1）p2，，能求出当k=1时，S有最小值2p2．【解析】：解：（1）设由，得，由韦达定理，得：…（2分）由抛物线定义得同理，用，∴．…（5分）（2）①=…（8分）当时，，又k＞0，解得…（9分）②由①同理知|CF|•|DF|=（k2+1）p2，，由变形得，…（10分）又AB⊥CD，∴=…（12分）∴当k=1时，S有最小值2p2…（14分）【点评】：本题考查+的求法，考查直线斜率的求法，考查两个三角形的面积之和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．四、解答题（共3小题，满分30分）22．（10分）（2015•江西二模）如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．（1）证明：B，D，H，E四点共圆；（2）证明：CE平分∠DEF．【考点】：三角形中的几何计算．【专题】：证明题；综合题．【分析】：（I），要证明B，D，H，E四点共圆，根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180°即可（II）由（I）知B，D，H，E四点共圆可得∠CED=30°，要证CE平分∠DEF，只要证明∠CEF=30°即可【解析】：解：（I）在△ABC中，因为∠B=60°所以∠BAC+∠BCA=120°因为AD，CE是角平分线所以∠AHC=120°（3分）于是∠EHD=∠AHC=120°因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆（5分）（II）连接BH，则BH为∠ABC得平分线，得∠HBD=30°由（I）知B，D，H，E四点共圆所以∠CED=∠HBD=30°（8分）又∠AHE=∠EBD=60°由已知可得，EF⊥AD，可得∠CEF=30°所以CE平分∠DEF【点评】：本题主要证明平面几何中四点共圆的判定理及性质定理的综合应用，解决此类问题的关键是灵活利用平面几何的定理，属于基本定理的简单运用．23．（10分）（2015•江西二模）已知圆的极坐标方程为：．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【考点】：点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程．【专题】：计算题．【分析】：（1）极坐标方程即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，故x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+），由于﹣1≤sin（α+）≤1，可得2≤x+y≤6．【解析】：解：（1）即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于2．【点评】：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的参数方程，得到圆的参数方程为，是解题的关键．24．（10分）（2012•黑龙江）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解析】：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
江西省上饶市重点中学2015届高三下学期六校第二次联考
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()21z i ⋅-=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．15 C 【答案】D考点：复数的运算．2.已知全集{}2|1U x x =≥，集合(){}|ln 10A x x =-≤，则U C A =（ ）A ．{}|12x x x ≤->或B ．{}|2x x >C ．{}|12x x x x ≤->或=1或D ．{}|=12x x x >或 【答案】C 【解析】试题分析：{|11}U x x x =≤-≥或，{|12}A x x =<≤，因此{|112}U C A x x x x =≤-=>或或考点：集合的运算．3.ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点：余弦定理，正弦定理．4.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不重合的平面．下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//a a αβαβ⊥⊥则B ．若,a b 与α所成的角相等，则a b 与平行或相交C ．若α内有三个不共线的点到β的距离相等，则//αβD ．若,b a αβ⋂=⊂//,//a a b αβ且则 【答案】D 【解析】试题分析：A 中可能有a α⊂，B 中,a b 也可以异面，C 中,αβ可以是相交的，D 符合线面平行的性质定理，故D 正确，选D ． 考点：线面位置关系．5.已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值x 和中位数a 的值是（ ）A ．7.3,7.5x a ==B ．7.4,7.5x a ==C ．7.3,78x a ==和D ．7.4,78x a ==和 【答案】B 【解析】 试题分析：8647116891057.410x +++++++++==，把这10个数按从小到大顺序排列，第5个是7，第6个是8，故中位数是7.5。
江西省上饶市高三第二次高考模拟试题 数学理 PDF版高
上饶市2015届第二次高考模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：1~5 ：ACCBD ，6～10：BACDA ， 11~12 ：DB 二、填空题：13、 14、31 15、8 16、①②④ 三、解答题： 17、解：（1）因为sin cos 0,sin sin cos 0b C B B C C B =∴-= …………2分，…………………………6分 （2）由22272cos a c ac B =+-,得，……………7分223()349()494a c ac a c +=+≤++ 14==7a c a c +≤（当且仅当时取等号）， 周长的最大值为21……………………………………12分18、解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为1711.01851.01802.01753.01702.01651.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯高于全省的平均值170.5 ……4分（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………6分 （Ⅲ）4 997.0)435.170435.170(=⨯+≤<⨯-ξP ，0013.029974.01)5.182(=-=≥∴ξP ，0.0013×100 000=130. 所以，全省前130名的身高在182.5 cm 以上，这50人中182.5 cm 以上的有5人. 随机变量可取，于是924510)0(21025====C C P ξ,954525)1(2101515====C C C P ξ,924510)2(21025====C C P ξ1922951920=⨯+⨯+⨯=∴ξE . ………………………………12分19、解析：(1)证明： 因为平面， 所以. ……………3分因为是正方形，所以，又相交从而平面. …………6分(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即， 所以.由可知，. …8分 则，，，，，所以，设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令，则.因为平面，所以为平面的法向量，，所以cos ,32CA CA CA⋅〈〉===n n n . 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ………12分20、解析：(1)易得，，，设，则，直线PS 与TE 交于C ，故2x ≠±，0022y yx x =++① 且0122y y x x λ+=--，② 。
2015红色六校二模 江西省红色六校2015届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
俯视图侧视图正视图3244江西省红色六校2015届高三第二次联考数学理科试题（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）命题，审题：任弼时中学 莲花中学数学试题分为（Ⅰ）（Ⅱ）卷，共22个小题。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}3|>=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=041|x x x B ，则A B = （ ）A . ∅B . ()3,4C .()2,1-D . ()4.+∞2．已知z 是纯虚数,21iz +-是实数,那么z 等于（ ）A ．2i B .i C .-i D .-2i 3．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布()2100,5N ，且()1100.98P ξ<=，()90100P ξ<<的值为（ ）A ．0．49B ．0．52C ．0．51D ．0．484．某三棱锥的三视图如图所示， 该三梭锥的表面积是（ ）A . 28+65B . 30+65C . 56+ 125D . 60+1255．已知函数132,1(),32,1x x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩则方程2()1f x =的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则 （ ） A ．2(2)(3)(log )af f f a << B ．2(3)(log )(2)af f a f << C ．2(log )(3)(2)a f a f f << D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<7．设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x m x y x y 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A .()21,1+B . ()+∞+,21 C . ()3,1 D . ()+∞,38.设(sin cos )k x x dxπ=-⎰，若82128(1)...k x a a x a x a x-=++++，则123...a a a a ++++=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2569.若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=xC x B x x x A ，则B A ⋂中元素个数为（ ）A .4个 B.6个 C . 2个 D. 0个10规定函数)(x f y =图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数)(x f y =的“中心距离”，给出以下四个命题：①函数1y x =的“中心距离”大于1；②函数542+--=x x y 的“中心距离”大于1；③若函数))((R x x f y ∈=与))((R x x g y ∈=的“中心距离” 相等，则函数)()()(x g x f x h -=至少有一个零点．以上命题是真命题的个数有：（ ）A 0B 1C 2D 3 11已知曲线0)C y x =≤≤：与函数()l o g (a f x x =-及函数()(1xg x a a -=>其中的图像分别交于1122(,),(,)A x y B x y ，则2212x x +的值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．212．如图，三棱柱OAD-EBC ，其中A ，B ，C ，D ，E 均在以O 为球心，半径为2的球面上，EFOAD-EBC 的体积为 （ ） A ． B ． C ． D ．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空題:本大题共4小题,每小题5分共20分.13． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A =_________________。
江西省六校2015届高三第二次联考数学答案(理)
六校联考数学卷（理）参考答案与评分标准一、 选择题1~6 BADBDB 7~12 BCCCBA二、 填空题13、1 14、-8 15、C 16、64π三、 解答题17、解:（1）当n=1时11122a S a ==-，12a =，当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 得12n n a a -=∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{n a }的通项公式为2nn a =． ……3分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， 解得0d =（舍去）或3d =∴数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． ……6分 （2……8分……10分 ……12分18、解：（1）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， 解得0.03a =； ……2分 又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克， ……4分 而50个样本小球重量的平均值为：故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克； ……6分 （2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则1(3,)5X B ~.X 的取值为0、1、2、3，……10分 X ∴的分布列为：……12分 19、解：（1）证明：⊥PC Θ平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2=AB ，1==CD AD ，222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴又C PC BC =I ，⊥∴AC 平面PBC ，∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC ……6分（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1， 设P （0，0，a ）（0>a ）， )0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，取m =（1，－1，0） ……8分B则0=⋅=⋅CA m CP m ，∴m u r为面PAC 的法向量设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅CE n CA n ，即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，，则2=a 于是)2,2,2(--=n 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为……12分（或设CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴，请酌情给分）20、解：（1）由题意得121221PF F S c b b ∆=⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是 ……4分 （2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点. 当直线l 斜率不存在时以线段PQ 为直径的圆的方程为：223xy +=……5分当直线l 斜率存在时 设(1)(0)y k x k =-≠得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有……7分又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为直线BM 的方程为……8分 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． ……9分故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点 ……12分 （或设1x my =+请酌情给分）21、解：（Ⅰ）由得切线的斜率(2)31,2,k f a a '==-=-∴=，故2()2ln 2f x x x x =-+， …… 2分 由()2f x x m ≥+得22ln m x x ≤-∵不等式()2f x x m ≥+2max (2ln )m x x ≤- ……4分令2()2ln g x x x =-，故()0g x '=时，1x =．当时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<．(1)1g =-，所以1m ≤- ……6分（Ⅱ）因为()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0A x B x所以方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12,x x ，则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得……8分*）120,01,x x t <<∴<<Q 即证明在01t <<上恒成立 …10分 又01t <<，所以()0u t '> 所以，()u t 在()0,1上是增函数，则()()10u t u <=，从而知………12分22、解: （1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ ………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分 23、解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax = 直线的普通方程为20x y --= ---------4分 (Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=, 1212,328t t t t a ∴+=+=+， ------------6分又|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===, 由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-, 代入得1=a ---------10分 24、解:(Ⅰ)当x 4≥时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 得x >-5，所以x 4≥成立 当421<≤-x 时,f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0 得x >1,所以1<x <4成立 当21-<x 时f (x )=-x -5>0得x <-5所以x <-5成立， 综上,原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} ------------5分 （Ⅱ）f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立421≤≤-x所以m≤9 ------------10分。
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上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考数学试卷（文科）时间：120分钟 总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若复数z 满足()21z i ⋅-=（i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．15 C D 2．已知全集{}2|1U x x =≥，集合(){}|ln 10A x x =-≤，则U C A =（ ）A ．{}|12x x x ≤->或B ．{}|2x x >C ．{}|12x x x x ≤->或=1或D ．{}|=12x x x >或3．在ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ==︒，则边c =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．64．设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不重合的平面．下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//a a αβαβ⊥⊥则B ．若,a b 与α所成的角相等，则a b 与平行或相交C ．若α内有三个不共线的点到β的距离相等，则//αβD ．若,b a αβ⋂=//,//a a b αβ且则5．已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值x 和中位数a 的值是（ ）A ．7.3,7.5x a ==B ．7.4,7.5x a ==C ．7.3,78x a ==和D ．7.4,78x a ==和 6．如图是某算法的程序框图，当输出的结果70T >时，正整数n 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 7．记集合(){}22,|16A x y xy =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ．若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（ ）A ．24ππ- B ．324ππ+ C ．24ππ+ D ．324ππ- 8．函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是（ ）A ．(),36k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．()2,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．()2,236k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．()22,263k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9．函数()(),f x g x 都不是常数并且定义域均为R ，则“()(),f x g x 同是奇函数或同是偶函数”是“()()f x g x 与的积是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 10．已知变量,x y 满足约束条件2x y x y a-≥⎧⎨+≤⎩，且z x ay =+的最大值为16，则实数a =（ ）A ．5-或6B ．5或6-C ．6-D ．611．已知双曲线()22221024x y b b b-=<<-与x 轴交于,A B 两点，点()0,C b ，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．在平面直角坐标系中，O 为原点，()()()4,0,0,4,1,0A B C -，动点D 满足1CD =，OA OB OD ++的最大值是（ ）A B ．C ．6D ．5 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知方程：31210x x a -+-=在[]1,3上有解，则实数a 的取值范围是 ．14．已知三棱锥A BCD -满足棱,,AB AC AD 两两互相垂直，且BC CD =5BD =．则三棱锥A BCD -外接球的体积为 ．15．过点()3,1P -引直线，使点()2,3A -，()4,5B 到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．16．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ．若n a =902，则n = ．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题共12分）对于数列{}n a ，定义其积数是()123,nn a a a a V n N n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈．（1）若数列{}n a 的积数是1n V n =+，求n a ；（2）等比数列{}n a 中，23,a =324a a a 是和的等差中项，若数列{}n a 的积数n V 满足21n t V n -≥对一切n N +∈恒成立，求实数t 的取值范围．18．（本小题共12分）甲、乙两位同学玩猜数字游戏：（1）给出四个数字0，1，2，5，先由甲将这四个数字组成一个四位数，然后由乙来猜甲的四位数是多少，求乙猜对的概率；（2）甲先从1，2，3，4，5，6这六个数中任选出两个数（不考虑先后顺序），然后由乙来猜．若乙至少答对一个数则乙赢，否则甲赢．问这种游戏规则公平吗？请说明理由．19．（本小题共12分）已知E 是矩形ABCD （如图1）边CD 上的一点，现沿AE 将△DAE 折起至△D 1AE （如图2），并且平面D 1AE ⊥平面ABCE ，图3为四棱锥D 1—ABCE 的主视图与左视图．（1）求证：直线BE ⊥平面D 1AE ； （2）求点A 到平面D 1BC 的距离．20．（本小题共12分）已知函数()()ln ,xf x ex k =+（k 为常数，e =2.71828……是自然对数的底数）．函数()y f x =的导函数为()f x '，且()10f '=． （1）求k 的值；（2）设()()()()2,x xe g xf x f x e x x ϕ'⎡⎤=-+=⎣⎦，()()g x t x ϕ≤⋅恒成立．求实数t 的取值范围．21．（本小题共12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为2，F为其右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 与x 轴垂直， 3OF OP ⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，若以AB 为直径的圆恒过原点O ，求||AB 弦长的最大值.选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BA 是⊙O 的直径，AD ⊥AB ，点F 是线段AD 上异于A 、D 的一点，且BD 、BF 与⊙O 分别交于点C 、E ．求证：BC BFBE BD=．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与曲线C 公共点的极坐标．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数a b 和()0b ≠，若不等式22a b a b M b ++-≤⋅有解，记实数M 的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）解不等式13x x m -+-≤．上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考数学试卷答案（文科）13．[]15,8--14．315．41303x y x --==或 16．436 12．=516OA OB OD OA OB OC CD OA OB OC CD +++++≤+++=+=17．解：（1）1n V n =+ ()1231na a a a n n ∴⋅⋅=+ ……………… ①当2n ≥，()12311n a a a a n n -∴⋅⋅=-⋅ ……………… ②①/②得：11n n a n +=- ……………………………………………………（4分）当111,2n a V === 211n a n n ⎧⎪∴=+⎨⎪-⎩()()12,n n n N +=≥∈…………………（6分）（2）设等比数列{}n a 的公比为q3a 是2a 和4a 的等差中项，且2a =33242a a a ∴=+ 22222a q a a q⋅=+ 2210q q -+= ()210q -= 1q ∴=………………………（8分）()3213,n n n t a V n N n n+-∴==≥∈则恒成立即()min213nt -≤ 213t -≤ 即2t ≤………………………………（12分）18．解：（1）由0，1，2，5组成的四位数共有18种，如下： 1025，1052，1205，1502，1250，1520，2015，2051，2105，2501，2150，2510， 5012，5021，5102，5201，5120，5210 ∴乙猜对的概率为118P =…………………………………………（6分） （2）从1，2，3，4，5，6中任选出2个数，共有15种，如下：（1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （3，4） （3，5） （3，6） （4，5） （4，6） （5，6） 乙赢的概率为93=155P =乙 甲赢的概率为62=155P =甲 P P >乙甲 ∴这种游戏规则不公平 …………………………………（12分）19．解：（1）证明：由主视图和左视图易知：1AD DE EC BC ====∴2AE BE AB === ∴222AE BE AB +=11BE AED AE ABCE D AE ABCE AE ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭又平面平面平面平面1BE D AE ⇒⊥平面……………………（5分）（2）分别取,AE BC 中点M ，N111D A D E ==111D M AED AE ABCE D AE ABCE AE ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭又平面平面平面平面 ABCE M D 平面⊥⇒1 11D M BCMN BC D M MN M ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭1BC D MN ⇒⊥平面 1BC D N ∴⊥ 1R t D M N ∆中，132D M MN ==1D N ∴=设A 到平面1D BC 的距离为d11A D BC D ABC V V --= 111133D BC ABC S d D M S ∆∆∴⋅=⋅⋅111122D N BC d D M AB BC ⋅⋅=⋅⋅12122d ⋅=⨯11d ∴=……………………（12分）20、解：（1）()()()1ln ,10xx f x ex k e f ek e x''=++⋅∴=+= 1k ∴=- ………………………………………………………（4分）（2）()11ln xg x e x x ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭，由()()g x t x ϕ≤ 得11ln x x e e x t x x ⎛⎫--≤⋅ ⎪⎝⎭即()11ln 0tx x x x--≤> ()1ln 0t x x x x ∴≥--> 令()1ln h x x x x =--，()0x > 则()()2ln 20,h x x x e -'=-+== ()h x ∴在()()()()2222max 10,,,,1e e h x h e e---+∞∴==+211t e ∴≥+ ……………………………………………………………（12分）21．解：（1）由已知得22,1b b ==，又32===∠=⋅c POF OP OF24a ∴= ∴椭圆C 的方程为2214x y += …………………………（5分） （2）（i ）当直线OA的斜率不存在或斜率为零时，易知||AB ==；…（7分） （ii ）当直线OA 的斜率存在且不为零时，直线OA ，OB 互相垂直且由图像的对称性知，直线OA ，OB 为椭圆C 有四个交点，从中任取两点作弦长AB 所得的值相等. 设直线OA 方程为：y kx = ()0k ≠联立：2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：22414x k =+ 不妨取A ⎛⎫ 同理取B ⎛⎫则||AB====<∴ 综上(i) (ii)可知：max ||AB = ………………………（12分）22．证明：连接AC ，EC,90BAC ABC ∠+∠=︒,90ABC FDB ∠+∠=︒∴BAC FDB ∠=∠，又=BAC BEC ∠∠，∴=BEC FDB ∠∠又=CBE FBD ∠∠，BCE BFD ∴∆∆∽,BC BFBE BD∴=……………………（10分）23．解：（1）由55y =+得55y =-，将其代入25x =+中得：280x y -+= ∴直线l 的直角坐标方程为280x y -+= …………………………（3分）由=2cos 4sin ρθθ+，得2=2cos 4sin ρρθρθ+2224x y x y ∴+=+ 即22240x y x y +--=∴曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=……………………………（6分）（2）由22280240x y x y x y -+=⎧⎨+--=⎩ 得04x y =⎧⎨=⎩ ∴直线l 与曲线C 的公共点为()0,4 ()0,θπ∈ ∴直线l 与曲线C 公共点的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭………（10分）24．解：（1）由22a b a b M b ++-≤⋅，得22a b a bM b++-≥()2222=4a b a b a b a bbb+--++-≥要使不等式22a b a b M b ++-≤⋅有解，则44M m ≥∴=，………………（5分） （2）由（1）知4m =，∴不等式为134x x -+-≤ 由绝对值的几何意义知04x ≤≤∴不等式解集为{}|04x x ≤≤…………………………（10分）。