3空间点、直线、平面间的位置关系

空间点、直线、平面间的位置关系[知识能否忆起]一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 三、直线与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系[小题能否全取]1.三个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线． 2．异面直线的有关问题(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．(2)所成的角的求法：平移法．典题导入[例1] (2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点，求证：CE ，D 1F ，DA 三线共点． [自主解答] ∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交． 设D 1F ∩CE ＝P ，∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD . ∴P ∈AD .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．本例条件不变试证明E ，C ，D 1，F 四点共面． 证明：∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC .∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E ，C 1，F ，D 四点共面．由题悟法1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．以题试法1．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为( )①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①④错误，②③正确．2．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A．对边相等的四边形一定是平面图形B．四边相等的四边形一定是平面图形C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．答案：(1)C(2)①④3.设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．4．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与截面DBC 1交于O 点，AC ，BD 交于M 点，求证：C 1，O ，M 三点共线．证明：∵C 1∈平面A 1ACC 1， 且C 1∈平面DBC 1.∴C 1是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点． 又∵M ∈AC ，∴M ∈平面A 1ACC 1. ∵M ∈BD ，∴M ∈平面DBC 1，∴M 也是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点， ∴C 1M 是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的交线． ∵O 为A 1C 与截面DBC 1的交点， ∴O ∈平面A 1ACC 1，O ∈平面DBC 1， 即O 也是两平面的公共点，∴O ∈直线C 1M ，即C 1，O ，M 三点共线．5.(2012·许昌调研)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．典题导入[例2](2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[自主解答]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．[答案]②④由题悟法1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．以题试法1．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．答案：52．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD 相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．异面B．相交C．不可能平行D．不可能相交解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．4．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．则四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．5．(2013·杭州模拟)若a，b，c，d是空间四条直线．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d”，则()A．a∥b且c∥dB．a，b，c，d中任意两条可能都不平行C．a∥bD．a与b，c与d中至少有一对直线互相平行解析：选D(1)若a，b，c，d在同一平面内，则a∥b，c∥d.(2)若a，b，c，d不在同一平面内，①若a，b相交，则a，b确定平面α，此时c⊥α，d⊥α，故c∥d.②若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面β，此时，c⊥β，d⊥β，c∥d.③若a，b平行，则c，d关系不定．同理，若c，d相交，异面也可推出a∥b，若c ，d 平行，则a ，b 关系不确定．综上知，a ，b ，c ，d 中至少有一对直线互相平行．6．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析：选B ①在选项A 中：l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 1与l 3可以平行也可相交或异面，借助正方体的棱很容易理解．②在B 中：l 1⊥l 2，l 2∥l 3，由异面直线所成角的定义可以推出l 1⊥l 3.③l 1∥l 2∥l 3，三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面．④共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．7.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中如图所示，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有三对．8．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. 9．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．解析：E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．答案：充分不必要10.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为P A，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与CF异面；②直线BE与AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有________个．解析：如图，易得EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，即B，E，F，C四点共面，则①错误，②正确，③正确，④不一定正确．答案：211．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直解析：选C在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.12．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH 为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交．13．(2012·池州模拟)正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2EB，CF＝2FD，将直角梯形AEFD沿EF折起到A′EFD′的位置，使点A′在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上．(1)判断直线AA′与DD′的位置关系，并证明；(2)证明平面A′AE⊥平面A′BC；解：(1)AA′∥DD′.设直线AD与EF相交于点O，翻折后直线A′D′仍过O点，∴A，A′，D，D′四点共面于平面OAA′.又FD∥AE，FD⊄平面A′AE，AE⊂平面A′AE，∴FD∥平面A′AE.同理，FD′∥平面A′AE，而FD∩FD′＝F，∴平面DFD′∥平面A′AE.又平面OAA′∩平面DFD′＝DD′，平面OAA′∩平面A′AE＝AA′，∴AA′∥DD′.(2)∵A′G⊥平面ABCD，∴A′G⊥AB.又AB⊥BC，BC∩A′G＝G，∴AB⊥平面A′BC.又AB⊂平面A′AE，∴平面A′AE⊥平面A′BC.14．(2012·襄阳模拟)关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是() A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a⊂M，b⊂M, 且l⊥a，l⊥b，则l⊥M解析：选C同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错．a∥M，b ⊥a时，b与M的位置关系不确定，B错；当a∥b时，l⊥a，l⊥b，l不一定垂直于M，故D错误．典题导入[例3] (2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．[自主解答] 连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝⎛⎭⎫52a 2＋⎝⎛⎭⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35. [答案] 35由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．以题试法1．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为________．解析：连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求，又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.答案：60°2．(2012·唐山模拟)四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.255B.55C.45D.35解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD 为正方形，故CD∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角∠P AB ，在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知：cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×2×5＝55. 3．(2012·广州模拟)在正四棱锥V －ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选D 如图所示，设AC ∩BD ＝O ，连接VO ，由于四棱锥V －ABCD 是正四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO .又四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面VAC .所以BD ⊥VA ，即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2. 4.如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．解析：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，∴EG ∥AB ，FG ∥CD .∴EF 与CD 所成角即为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG ，在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1， FG ＝12CD ＝2， ∴sin ∠EFG ＝12.∴∠EFG ＝π6. ∴EF 与CD 所成的角为π6. 答案：π65．(2012·西安模拟)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝BC ，则直线PC 与AB 所成角的大小是________．解析：分别取P A ，AC ，CB 的中点F ，D ，E 连接FD ，DE ，EF ，AE ，则∠FDE 是直线PC 与AB 所成角或其补角．设P A ＝AC ＝BC ＝2a ，在△FDE 中，易求得FD ＝2a ，DE ＝2a ，FE ＝6a ，根据余弦定理，得cos ∠FDE ＝2a 2＋2a 2－6a 22×2a ×2a＝－12，所以∠FDE ＝120°. 所以直线PC 与AB 所成角的大小是60°.答案：60°2．(2012·哈尔滨模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)． 答案：242．(2012·蚌埠模拟)如图在四面体OABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，且OB ＝OC ＝3，OA ＝4.给出如下判断：①存在点D(O点除外)，使得四面体DABC有三个面是直角三角形；②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号填上)．解析：①作OH⊥平面ABC于H并延长至D，使OH＝HD，则四面体DABC与四面体OABC全等，故①正确；②在以O，A，B，C确定的球上，显然存在点D满足条件，故②正确；③过O做平面ABC的垂线，在垂线上任取一点D，显然OD⊥平面ABC，故③不正确；④△ABC不是正三角形，以△ABC为底面没有正棱锥．取BC的中点O1，在平面AOO1内取D，使BC＝BD＝CD＝32且AD＝5，则四面体是以△BCD为底的正棱锥，这样的D点存在，所以④正确．⑤BC垂直于④所作的平面AOO1，在平面AOO1内以A为圆心，以BC为半径作圆，圆周上任一点满足条件，所以这样的D点有无数个，故⑤正确．答案：①②④⑤。