三角函数与平面向量考点分析

三角函数与平面向量考点分析三角函数和平面向量历来是高考的的重点内容，这两部分内容之间互相渗透，而且也和其他数学分支进行融合。

在高考试题中，这两部分内容的基础性、工具性以及渗透性都表现的淋漓尽致。

我省5年自主命题以来，对三角向量的考查着重在知识的理解及知识之间的交汇点上，考查常规的三角运算与变形及三角函数的图象与性质，一般为中档题和容易题，分值约为22分。

即两个客观题和一个主观题，以下结合考纲，对高考中的三角向量题进行分析。

—、考纲要求：考纲对三角与向量的主要要求为：掌握和、差、倍、半角的三角公式，能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明，理解三角函数的图象性质，掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，理解、掌握向量的有关概念及相关运算等。

二、考题分析：04年至08年这5年高考中，考察涉及到三角函数或平面向量的题及分布位置如下：04年第12题三角函数应用，13题求值，17题为三角变换，19题为向量与三角05年第7题求角的范围，9题比较大小，15（文科）求周期和最值，18题为解三角函数06年第3题求值，11（文）三角形内求值，16题为向量与三角（变换、图象性质）07年第1题（文）求值，2（理）图象变换，9（理）向量与概率，（文）向量，16题为（理）向量与三角（文）三角函数不等式08年第1题向量，5图象变换与对称性，12解三角形，16题为（理）函数与三角函数（图象性质）（文）三角函数向量作为一种解题工具，往往与其它知识综合起来考察，独立的向量大题目前还只有04年考过。

通过直角三角形考查向量的数量积及最值问题，但和三角函数的联系不大，侧重平面几何与向量的综合至今对高中平面向量的教学都还有很大的影响力，是一道考能力的经典好题。

三．三角函数的复习建议1．要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念何表示。

2．在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取3．单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，利用三角函数线进行求角和解三角不等式，有时候会更简单。

4．要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性5．函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小，要注意单调区间是一个连续区间。

6．三角函数很好地体现了对称性和周期性的关系，要把这种关系拓展到一般函数。

对称性用处：对称轴和最值对应,对称点和平衡点对应.（1）了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期．．．．．．．．．．．情况．．； （2）会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈； cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈ tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈ 注意加了绝对值后的情况变化.7．熟练三角函数图象的作图方法，注意定义域有限制的作图训练。

通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。

理解正、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2π）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x 轴的交点，会用五点法画函数sin()y A x x ωϕ=+∈R ，的图象，并理解它的性质：（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（２）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（３）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的14个周期。

注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。

8．熟悉公式的记忆和运用（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；（3）倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的意图；（4）合一变形:asinx+bsinx=()ϕ++x b a sin 22。

但要控制难度，限制在ϕ是特殊角的范围内。

提醒:一些常见的变形技巧:(1)变角(不要盲目用一些公式展开,关键是看已知角和所求角有没有特殊关系。

比如相差180度,90度等) ；(2)变名（切割化弦，齐次化切）；（3）变式（结构式的转化）;(4)变幂。

特别地 ：1、见“1±cos α,1±sin α”,要消12、见到高次要想到降幂3、见sin α²cos α和sin α±sin α，要想到互化；4、见齐次式，要想到可化正切；5、见tan α±tan β、tan α²tan β要想到两角和与差的正切公式6、见到分式，想通分，使分母最简9．关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。

Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 2是ABC ∆外接圆直径）注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A c b aC c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等三个；注：bca cb A 2cos 222-+=等三个。

Ⅱ。

几个公式: ⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin 2121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===∆； ⑵内切圆半径r=c b a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin Cc B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解；其中h=bsinA,②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥ b 时，一解（一锐角）。

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

三角函数这部分内容在高考中的难度要求是不高的，所以在复习的时候要控制难度，但由于公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要花较多的时间加强训练，学习时注意化归思想和数形结合思想的渗透，注意易错点。

四、平面向量的复习建议1．透彻理解向量的概念。

向量概念的两大要素“方向和长度”使向量既有“形”又有“数”的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体。

要抱着这样的观点去学习向量知识。

2．先从向量的几何特征进行学习，包括向量相等，向量共线的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加减、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示，目的是给向量建立一个系统的几何体系。

3．向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。

如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。

4．向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚。

向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚；两个公式同时运用，又可构造出一个等式。

要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离。

5．要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能，但题目的难度要有所控制。

如：①在平行四边形ABCD 中，=，则0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，即菱形模型。

若AD AB ⊥-=+，即矩形模型。

②在ABC ∆中，222==，O 是ABC ∆的外心；AC AB +一定过BC 的中点；通过ABC ∆的重心；A G +B G +C G =0 ，G 是ABC ∆的重心；B H A H ⋅=C H B H ⋅=A H C H ⋅，H 是ABC ∆的垂心；+λ)(R ∈λ通过ABC ∆的内心；λ(BB A B A cos +C C A C A cos ))(R ∈λ通过ABC ∆的垂心 =⋅+⋅+⋅c b a 则O 是ABC ∆的内心；6．适当训练以平面向量为背景的解析几何问题。

解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件，有的要懂得看出几何特征，有的是利用坐标运算直接转化为数的关系。

在解析几何中也经常利用向量解决有关角度和垂直，以及点分线段的问题，会使得问题简单化。

多训练一些这样的题目，就不会感到畏惧了。

三角函数和平面向量做为高中数学的两个重要分支，内容繁杂，需要用心学习，把基础知识和基本技能练扎实，并且适当地提高能力，要把握好学习这两部分内容的度。

五 、题型归类三角函数与平面向理的复习备考后阶段应主要关注以下几类题型训练： ① 三角公式的基本应用问题，做到熟练、准确、灵巧的运用好相关公式进行变形；② 对图像和性质的研究问题，做到比较深透的领悟并把握好图像的结构及其性质，并能做一些有效的拓展，如图像变换、对称等；③ 三角形中的边角关系问题，要切实把握好三角形的基本结构和常用的数量关系；会利用正余弦定理进行边角互化，判断三角形形状；三角形中会构造函数不等式求范围或最值。

④ 向量、三角与平面几何的联系题，这类问题能充分反映出在知识交汇处命题的原则。

六．例题分析（1）三角函数的运算变形，本质是一种代数变形，如配方、降次、换元、因式分解等变形方法，应引起学生的重视。

例1（04湖北）己知226sin sin cos 2cos 0αααα+-=. 2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求sin 23πα+（）的值。

若考生局限于三角函数中平方降次的思维定势中，不会在代数结构中进行因式分解变形，就会陷入泥潭，无从下手。

(2 )三角函数的图象和性质需熟练掌握 例2（07广东）)()4(sin )4(sin )(22是函数ππ--+=x x x fA.周期为π的奇函数；B. 周期为π的偶函数C.周期为π2的奇函数D.周期为π2的偶函数例3（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2πD . 4π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，∴ 最小正周期为π，选B. （3）05年与07年的三角形都利用了三角形的结构，将正、余弦定理、面积定理贯穿在三角变形之中。